第27章相似03單元測

一、選擇題（共30分，每題3分）1.在平面直角坐標系中，已知點，.若與關(guān)于點O位似，且，則點的坐標為（）A.或 B.或C. D.【答案】A【解析】【分析】由與關(guān)于點O位似，且，得到與的相似比為1：2，由點E的坐標為，即可得到答案．【詳解】解：∵與關(guān)于點O位似，且，∴與的相似比為1：2，∵點E的坐標為，∴點的坐標為或，即或，故選：A【點睛】此題考查了位似，根據(jù)位似得到與的相似比為1：2，是解題的關(guān)鍵．2.如圖，小正方形邊長均為1，則下列圖形中三角形(陰影部分)與△ABC相似的是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)網(wǎng)格的特點求出三角形的三邊，再根據(jù)相似三角形的判定定理即可求解．【詳解】已知給出的三角形的各邊AB、CB、AC分別為、2、、只有選項B的各邊為1、、與它的各邊對應成比例．故選B．【點睛】此題主要考查相似三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟知相似三角形的判定定理．3.如圖，在直角坐標系xOy中，矩形EFGO的兩邊OE，OG在坐標軸上，以y軸上的某一點P為位似中心，作矩形ABCD，使其與矩形EFGO位似，若點B，F(xiàn)的坐標分別為（4，4），（2，1），則位似中心P的坐標為（

）A.（0，1.5） B.（0，2）C.（0，2.5） D.（0，3）【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意求出CG的長，利用相似三角形的性質(zhì)求出PG的值，從而求出點P的坐標即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD和四邊形EFGO均為矩形，點B，F(xiàn)的坐標分別為（4，4）、（2，1），∴，，點C（0，4），點G（0，1），∴，，∵，∴△FGP∽△BCP∴，即，解得，∴點P坐標為（0，2），故選：B．【點睛】此題主要考查了位似中心的概念和位似圖形的性質(zhì)等知識，熟練掌握位似中心的概念和位似圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4.如圖，在中，點在邊上，，與邊交于點，連接，記，的面積分別為（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意判定，由相似三角形的面積之比等于相似比的平方解答．【詳解】∵在中，，∴，，若，則，，即：，整理得：，而，則，，，即：，故無法判斷與之間的大小關(guān)系，排除A、B；若，則，，即：，整理得：，而，則，，，即：，排除C，，．故選：D．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，以及與不等式相結(jié)合，熟練掌握相似三角形的基本性質(zhì)，抓住面積比等于相似比的平方，靈活運用不等式進行比較大小是解題的關(guān)鍵．5.如圖，A（，1），B（，4），C（，4），點P是邊上一動點，連接，以為斜邊在的右上方作等腰直角，當點P在邊且運動一周時，點Q的軌跡形成的封閉圖形面積為（）A.2 B.3 C.4 D.6【答案】B【解析】【分析】如圖，由題意，點P在的三條邊上運動一周時，點Q運動的軌跡是．利用相似三角形的性質(zhì)求出，，，利用勾股定理的逆定理，證明是直角三角形，即可解決問題．【詳解】解：如圖，由題意，點P在的三條邊上運動一周時，點Q運動的軌跡是．A（，1），B（，4），C（，4），，，，，，，，，同法可得，，，，點Q的軌跡形成的封閉圖形面積．故選：B．【點睛】本題考查軌跡，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找點Q的運動軌跡，屬于中考選擇題中的壓軸題．6.如圖，點O是矩形對角線上的一點，⊙O經(jīng)過點C，且與邊相切于點E，若，，則的半徑長為（）A. B. C. D.4【答案】B【解析】【分析】連接，并延長于點F，連接，根據(jù)切線的性質(zhì)以及矩形的性質(zhì)可得，從而得到，設(shè)的半徑長為r，，則，，可得，從而得到，在中，由勾股定理，即可求解．【詳解】解：如圖，連接，并延長于點F，連接，∵四邊形是矩形，∴，∵⊙O與邊相切于點E，∴，即，∴，∴，，∴，，設(shè)的半徑長為r，，則，，∴，∴，解得：，∴，在中，，∴，解得：或（舍去），∴．故選∶B【點睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握切線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7.由四個全等的直角三角形和一個小正方形組成的大正方形如圖所示，過點G作的垂線交于點I，若，則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)，，根據(jù)三角形相似可得，再根據(jù)正方形的面積即可求解．【詳解】解：如圖所示，過點作于，正方形，正方形，直角三角形，設(shè)，，∵，∴（同角的余角相等），∵，∴，∴，∵，∴，，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，故選：．【點睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，理解和掌握正方形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8.如圖，在中，，點是中點，是直線上一動點，連接，以為斜邊在其左側(cè)作，使，連接，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】連接．由題意易證，即得出，，從而得出，即又易證，得出．再根據(jù)勾股定理可求出，從而得出，即說明當最小時，最?。指鶕?jù)當時，最小，結(jié)合三角形相似的判定和性質(zhì)求出此時的值，即如圖的值，進而即可求出的最小值．【詳解】如圖，連接．∵，，∴，∴，，∴，即，∴，∴．∵，∴，∴，∴當最小時，最小．∵點P是直線上一動點，∴當時，最小，如圖即為最小時，此時所作的三角形為．∵點是中點，∴，∴．又∵，∴，∴，即，解得：，即的最小值為，∴，解得：．故選D．【點睛】本題考查三角形相似的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，勾股定理等知識，較難．證明出當時，最小，此時最小是解題關(guān)鍵．9.如圖，在平面直角坐標系中，矩形的頂點，分別落在軸、軸的正半軸上，，，若反比例函數(shù)（k＞0）經(jīng)過，兩點，則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】過點作軸于點，易證，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得：：：，設(shè)，根據(jù)，，表示出點坐標，再根據(jù)平移的性質(zhì)可得點坐標，再根據(jù)點和點都在反比例函數(shù)上列方程，求出的值，進一步可得點坐標，即可確定的值．【詳解】解：過點作軸于點，如圖所示：則，矩形的頂點，分別落在軸、軸的正半軸上，，，，，，，，：：：，設(shè)，，，，：：，，，點坐標為，根據(jù)平移，可得點坐標為，反比例函數(shù)經(jīng)過，兩點，，解得或舍去，點坐標為，將點坐標代入，得，故選：C．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，待定系數(shù)法求解析式等，本題綜合性較強，難度較大．10.如圖，在矩形中，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到三點恰好在同一直線上，與相交于點，連接．以下結(jié)論正確的是（）①；；③點是線段的黃金分割點；④A.①②③ B.①③ C.①②③ D.①③④【答案】D【解析】【分析】由是繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到的，得到，再由矩形的性質(zhì)得出從而判斷①；由，可得，從而判斷②；由和，得出，可以判斷③；在線段上作，如圖所示，連接，通過證明，得出是等腰直角三角形，可以判斷④．【詳解】證明：∵是繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，∴，∴，又∵四邊形是矩形，∴，∴，即，∴，即，故①正確；∵，∴，即是直角三角形，而不是直角三角形，∴②錯誤；在和中，∵，∴，∴，∵，∴，∴點是線段的黃金分割點，∴③正確；在線段上作，如圖所示，連接，∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴④正確，故選：D．【點睛】本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)以及黃金分割點的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等綜合知識，關(guān)鍵是對知識的掌握和運用．二、填空題（共15分，每題3分）11.如圖，在矩形中，，，點P是邊上一點，若與相似，則的長度為_____．【答案】2或5或8【解析】【分析】設(shè)為，表示出，然后分和對應邊，和是對應邊兩種情況，利用相似三角形對應邊成比例列式求解即可．【詳解】解：設(shè)為，∵，∴，①和是對應邊時，∵，∴，即，解得，，經(jīng)檢驗或8是分式方程的解；②和是對應邊時，∵，∴，即，解得，經(jīng)檢驗是分式方程的解，∴當或5或8時，與相似，故答案為：2或5或8．【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，主要利用了相似三角形對應邊成比例，難點在于要分類討論．12如圖，，AB＝a，CD＝b，．則EF＝_____．【答案】【解析】【分析】連接BD，交EF于點G．由平行線分線段成比例可得出．由和，易證和，即得出和，代入數(shù)據(jù)，即可用m，n，a，b表示出EG和GF的長，最后由求解即可．【詳解】如圖，連接BD，交EF于點G．∵，，∴．∵，∴，∴，即，∴．∵，∴，∴，即，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題考查平行線分線段成比例，相似三角形的判定和性質(zhì)．正確作出輔助線是解題關(guān)鍵．13.如圖，矩形的對角線相交于點，點分別是邊上的點，且．若，，那么___________．【答案】【解析】【分析】作于于，如圖，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，，，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，推出，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：如圖，作于于，如圖，∵四邊形是矩形，∴，，，∴，，∴，∴∴∵，∴，即，∵，∴，即，∴，∴，∴故答案為：【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：平行于三角形一邊的直線與其他兩邊所截的三角形與原三角形相似；有兩組角對應相等的兩個三角形相似；相似三角形對應邊的比等于相等，都等于相似比．也考查了矩形的性質(zhì)．14.如圖，內(nèi)接于，為直徑，作交于點D，延長，交于點F，過點C作的切線，交于點E．如果，，則弦BC的長為__________．【答案】##【解析】【分析】連接．先證，推出，再證，根據(jù)勾股定理求出，，的長，通過證明，得出比例線段即可求出的長．【詳解】解：如圖，連接．與相切，是的半徑，，，，，，，，，，．∵是的直徑，，在中，，，，，，，，，，，在中，，在和中，，，，，，．故答案為：．【點睛】本題主要考查了勾股定理、切線的定義、等腰三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是熟練掌握并綜合運用上述知識．15.如圖，分別是反比例函數(shù)和在第一象限內(nèi)的圖象，點A在上，線段交于點B，作軸于點C，交于點D，延長交于點E，作軸于點F，下列結(jié)論：①，②，③，④．其中正確的序號是___________．【答案】①②④【解析】【分析】根據(jù)反比例函數(shù)中的幾何意義，即可證明①正確；過點作軸于點，通過證明，，根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方，可得，再通過證明，即可求證②正確；再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可證明③不正確；根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可證明④正確．【詳解】解：∵點，都在上，且軸，軸，∴，又∵，，∴，故①正確；如圖，過點作軸于點，∴，∴，∵，，，∴，，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，故②正確；∴，故③不正確；∵，∴，∵，，∴，∴，∴，即，故④正確；綜上所述，正確的結(jié)論有①②④．故答案為：①②④【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)及的幾何意義，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定，熟練掌握相關(guān)知識點是解本題的關(guān)鍵．三、解答題（共55分）16.杭州市西湖風景區(qū)的雷峰塔又名“皇妃塔”，某校社會實踐小組為了測量雷峰塔的高度，在地面上C處垂直于地面豎立了高度為2米的標桿，這時地面上的點E，標桿的頂端點D，雷峰塔的塔尖點B正好在同一直線上，測得米，將標桿向后平移到點G處，這時地面上的點F，標桿的頂端點H，雷峰塔的塔尖點B正好又在同一直線上（點F，點G，點E，點C與塔底處的點A在同一直線上），這時測得米，米，請你根據(jù)以上數(shù)據(jù)，計算雷峰塔的高度．【答案】雷峰塔的高度為米【解析】【分析】先證明，利用相似比得到①，再證明，利用相似比得到②，由①②得，解得的長，據(jù)此求解即可求出的長．【詳解】解：根據(jù)題意得米，米，米，米，∵，∴，∴，即①，∵，∴，∴，即②，由①②得，解得（米），把代入①得，解得（米），

答：雷峰塔的高度為米．【點睛】本題考查相似三角形的應用，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會構(gòu)建方程解決問題．17.如圖，在中，，在邊AB上截取，連接CD，若點D恰好是線段AB的一個黃金分割點，且有且，求的度數(shù)．【答案】【解析】【分析】根據(jù)兩邊成比例夾角相等，證明兩三角形相似，然后利用相似三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理求解即可．【詳解】證明：∵，∴，∵，∴，∵點恰好是線段的一個黃金分割點，且有，∴，∴，∵，∴；∴，∴，∵是的外角，∴，∵，∴，∵，∴∴，∴的度數(shù)為．【點睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定方法．18.如圖，，，，點，，在一條直線上，點，，也在一條直線上．若與的距離是，求點到直線距離．【答案】【解析】【分析】根據(jù)得到，又因為與的距離是，過點作的延長線，垂足為點，交的延長線于點，則有，于是得，，根據(jù)相似比即可求解．【詳解】解：，，，∴，∴，即，如圖所示，過點作的延長線，垂足為點，交的延長線于點，∵與的距離是，即，且由作圖可知，，，，即，∴，∴，∵，∴，∴，則，即點到直線距離是．【點睛】本題主要考查三角形的相似與實際問題的綜合應用，掌握三角形的相似是解題的關(guān)鍵．19.如圖，在中，是角平分線，平分交于點E，且．（1）求證：．（2）若，且，求的長．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義結(jié)合平行線的性質(zhì)，得出，即可得出，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，得出，即可得出答案；（2）根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)，得出，根據(jù)等角對等角得出，根據(jù)，得出，根據(jù)平行線分線段成比例定理，得出，求出，根據(jù)，求出，根據(jù)，，得出，求出．【小問1詳解】證明：∵是角平分線，∴.∵平分，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，∴；【小問2詳解】解：∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，∴．【點睛】本題主要考查了角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定，熟練掌握三角形相似的判定方法，是解題的關(guān)鍵．20.如圖，在中，，點O在上，以點O為圓心，OA長為半徑的圓與、分別交于點D、E，且．（1）判斷直線與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若，，求的長．【答案】（1）相切；理由見解析（2）【解析】【分析】（1）連結(jié)，根據(jù)等角的余角相等以及平角的定義，得到，即可得證；（2）證明，利用相似比即可得解．【小問1詳解】直線與的位置關(guān)系是相切．證明：連接，∵，∴．∵，∴，∵，∴．∴．∴．∴．∵為半徑，∴是⊙O的切線．【小問2詳解】解：∵，∴，∵．∴．∴∵，∴．【點睛】本題考查圓和三角形的綜合應用．熟練掌握切線的判定方法，以及相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．21.如圖，在中，是邊上的一個動點（不與點B，C重合），連接，將線段繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接交于點P，連接CN．（1）求證：；（2）問線段的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；（3）求證：．【答案】（1）見解析（2）（3）見解析【解析】【分析】（1）利用SAS證明，可得；（2）首先說明，得，再根據(jù)勾股定理得，等量代換即可；（3）先根據(jù)兩個角相等得，則，再等量代換即可證明結(jié)論．【小問1詳解】證明：∵將線段繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到，∴，∴，∴，∵，∴，∴；【小問2詳解】解：，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴；【小問3詳解】證明：，∴，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題是相似形綜合題，主要考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握基本幾何圖形是解題的關(guān)鍵．22.如圖，在等腰中，，．點D是邊上一個動點（不與端點重合），以為對角線作菱形，使得，交邊于點H．（1）求證：．（2）求證：在點D的運動過程中，線段之間總滿足數(shù)量關(guān)系；（3）連接，探索在點D的運動過程中，面積的變化規(guī)律．【答案】（1）見解析（2）見解析（3）面積固定不變【解析】【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可得，，可得答案；（2）利用，得再通過證明，，從而證明結(jié)論；（3）根據(jù)，得，可知E點的運動軌跡為以圖中連線所在的直線，從而得出答案．【小問1詳解】證明：∵四邊形為菱形，∴，∴，在中，，，∵，∴，∴，即；【小問2詳解】證明：∵四邊形為菱形，，∴，又∵，∴，∴，即，又∵，∴，∴，∴，∴，∴；【小問3詳解】解：面積固定不變．如圖，連接，∵，且，∴，∴，且在D點運動過程中（E點也隨之運動），，始終成立，∴E點的運動軌跡為以圖中連線所在的直線，即，則在中，以為底邊，點E向作垂線，所得高h即為兩平行線，之間的距離為定值，∴面積固定不變．【點睛】本題是四邊形綜合題，主要考查了菱形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)，得出點E的運動路徑是解題的關(guān)鍵．23.如圖，的三邊長分別為a、b、c（），的三邊長分別為、、．已知，相似比為．（1）若，，求的值．（2）若，求證：；（3）若，試給出符合條件的一對和，使得a、b、c和、、都是正整數(shù)；（4）若，是否存在和使得？并請說明理由．【答案】（1）（2）見解析（3），（4）不存在；理由見解析．【解析】【分析】（1）利用三角形相似的性質(zhì)：對應邊對應成比例進行計算即可；（2）利用三角形相似的性質(zhì)：對應邊對應成比例進行證明即可；（3）取，同時取，即可滿足要求；（4）不存在，假設(shè)存在推出，進而推出a、b、c構(gòu)不成三角形．【小問1詳解】解：∵，，，∴，即：，解得：；【小問2詳解】證明：∵，相似比為，∴，∴，又∵，∴．【小問3詳解】取，同時取，此時，∴，且，【小問4詳解】不存在這樣的和，理由如下：假設(shè)存在，則．又∵，，∴，∴，∴，與三角形的三邊關(guān)系不符，∴不存在和，使得．【點睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)．熟練掌握相似三角形的性質(zhì)：對應邊對應成比例是解題的關(guān)鍵．24.如圖，在四邊形和Rt中，，，點C在上，，，，延長交于點M．點P從點A出發(fā)，沿方向勻速運動，速度為2cm/s；同時，點Q從點M出發(fā)，沿方向勻速運動，速度為1cm/s．過點P作于點H，交于點G．設(shè)運動時間為（）．解答下列問題：（1），；（均用含有t的代數(shù)式表示）（2）連接，作于點N，當四邊形為矩形時，求t的值；（3）設(shè)四邊形的面積為S，求S的函數(shù)表達式；（4）在運動過程中，當點P在的平分線上時，求的長度．【答案】（1），（2）（3）（4）【解析】【分析】（1）首先利用速度×時間表示的長，再利用勾股定理求出的長，證明，可得結(jié)論；（2）先根據(jù)勾股定理得，證明可得的長，再證明，列比例式可表示的長，由列方程可解答；（3）根據(jù)可得結(jié)論；（4）根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)得：，得證明，可得的長．【小問1詳解】由題意得：如圖1中，在中，，∴，∵，∴，∴，∵∴，∴，即，∴，∴；故答案為：，；【小問2詳解】如圖2，由題意得：，由勾股定理得：，∵，∴，∵，∴，∴，即，∴，∴，∵四邊形是矩形，∴，∵，∴，∴，即，∴，∵，∴，∴；【小問3詳解】如圖3，作于點，連接，∴，∴，即，∴，在中，，∴，∴∴==；【小問4詳解】如圖4，延長交于，∵，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即，∴【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和判定，矩形的性質(zhì)，三角形和四邊形的面積等知識，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵．25.已知二次函數(shù)（）的圖象經(jīng)過A（1，0）、B（?3，0）兩點，頂點為點C．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）如二次函數(shù)的圖象與y軸交于點G，拋物線上是否存在點Q，使得∠QAB=∠ABG，若存在求出Q點坐標，若不存在請說明理由；（3）經(jīng)過點B并且與直線AC平行的直線BD與二次函數(shù)圖象的另一交點為D，DE⊥AC，垂足為E，DFy軸交直線AC于點F，點M是線段BC之間一動點，F(xiàn)N⊥FM交直線BD于點N，延長MF與線段DE的延長線交于點H，點P為△NFH的外心，求點M從點B運動到點C的過程中，P點經(jīng)過的路線長．【答案】（1）（2）或（3）【解析】【分析】（1）將A（1，0）、B（3，0）代入，即可求解；（2）先求出BG的解析式為，然后再進行分類討論，分別求得點Q的坐標即可；（3）可知△DNH與△FNH是直角三角形，外心P在斜邊NH的中點，分別求出直線AC及直線BD的函數(shù)關(guān)系式，再分為當M運動到C點時及當點M運動到B點時兩種情況進行討論，求解即可．【小問1詳解】∵二次函數(shù)的圖像經(jīng)過A（1,0）、B（3,0），∴，解得，∴二次函數(shù)的解析式為；【小問2詳解】由題可知G點坐標，設(shè)直線BG的解析式為，得：，解得：，∴BG的解析式為，①AQBG，直線AQ的解析式，聯(lián)立直線AQ與二次函數(shù)解析式，解得或此時Q的坐標為，②直線與y軸的交點為K，其關(guān)于x軸的對稱點為直線的解析式為：與二次函數(shù)解析式聯(lián)立得，解得或，此時Q的坐標為，綜上,拋物線上存在點Q使得∠QAB=∠BAG，Q點坐標為或【小問3詳解】如圖，易知△DNH與△FNH是直角三角形，外心P在斜邊NH的中點，∴PD=PF=NH，所以點P是線段DF的垂直平分線上的動點，∵直線AC的解析式為y=x1，BDAC，∴直線BD的解析式為y=x+3，∴D（3,6），①當M運動到C點時與點E重合，，則，又因為∠DEF=90°，DE=EF，∴四邊形為正方形，∴是線段DF的中點（3,4）；②當點M運動到B點時，，∵四邊形DN1FE是正方形∴，∴，∴，∵四邊形DN1FE是正方形，∴，∴，∴，∴，同理，所以的中點（4，4），∵，∴【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，會用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，會求函數(shù)的交點坐標，根據(jù)點M的運動情況確定P點的軌跡是線段是解題的關(guān)鍵．（2022·四川攀枝花·中考真題）26.如圖，在矩形中，，，點E、F分別為、的中點，、相交于點G，過點E作，交于點H，則線段的長度是（）A. B.1 C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得出，求出，，求出，根據(jù)勾股定理求出，求出，根據(jù)三角形的中位線求出，根據(jù)相似三角形的判定得出，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，再求出答案即可．【詳解】解析：四邊形是矩形，，，，，，點E、F分別為、的中點，，，，，，．由勾股定理得：，，，，，，解得：，故選：A．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)和判定，能熟記矩形的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．（2022·浙江衢州·中考真題）27.如圖，在中，．分別以點為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點，作直線分別交，于點．以為圓心，長為半徑畫弧，交于點，連結(jié)．則下列說法錯誤的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)線段垂直平分線的判定與性質(zhì)即可判斷選項A；先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，從而可得，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，然后根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得，由此即可判斷選項B；先假設(shè)可得，再根據(jù)角的和差可得，從而可得，由此即可判斷選項C；先根據(jù)等腰三角形的判定可得，再根據(jù)相似三角形的判定可得，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，最后根據(jù)等量代換即可判斷選項D．【詳解】解：由題意可知，垂直平分，，，則選項A正確；，，，，，，，，，，則選項B正確；假設(shè)，，又，，，與矛盾，則假設(shè)不成立，選項C錯誤；，，，在和中，，，，即，，則選項D正確；故選：C．【點睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，綜合性較強，熟練掌握判定定理與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．（2022·浙江衢州·中考真題）28.西周數(shù)學家商高總結(jié)了用“矩”（如圖1）測量物高的方法：把矩的兩邊放置成如圖2的位置，從矩的一端（人眼）望點，使視線通過點，記人站立的位置為點，量出長，即可算得物高．令BG=x（m），EG=y（m），若a=30cm，b=60cm，AB=1.6m，則關(guān)于的函數(shù)表達式為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)矩形的判定與性質(zhì)可得，從而可得，再根據(jù)相似三角形的判定證出，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【詳解】解：由題意可知，四邊形是矩形，，，，又，，，，，，整理得：，故選：B．【點睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、一次函數(shù)的幾何應用，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．（2022·四川遂寧·中考真題）29.如圖，D、E、F分別是三邊上的點，其中，BC邊上的高為6，且DE//BC，則面積的最大值為（）A.6 B.8 C.10 D.12【答案】A【解析】【分析】過點A作AM⊥BC于M，交DE于點N，則AN⊥DE，設(shè)，根據(jù)，證明，根據(jù)相似三角形對應高的比等于相似比得到，列出面積的函數(shù)表達式，根據(jù)配方法求最值即可．【詳解】如圖，過點A作AM⊥BC于M，交DE于點N，則AN⊥DE，設(shè)，，，，，，∴,，當時，S有最大值，最大值為6，故選：A．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)求最值，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．（2022·江蘇常州·中考真題）30.如圖，在中，，，．在中，，，．用一條始終繃直的彈性染色線連接，從起始位置（點與點重合）平移至終止位置（點與點重合），且斜邊始終在線段上，則的外部被染色的區(qū)域面積是______．【答案】21【解析】【分析】過點作的垂線交于，同時在圖上標出如圖，需要知道的是的被染色的區(qū)域面積是，所以需要利用勾股定理，相似三角形、平行四邊形的判定及性質(zhì)，求出相應邊長，即可求解．【詳解】解：過點作的垂線交于，同時在圖上標出如下圖：，，，，在中，，，．，，，四邊形為平行四邊形，，，解得：，，，，，，，同理可證：，，，，的外部被染色的區(qū)域面積為，故答案為：21．【點睛】本題考查了直角三角形，相似三角形的判定及性質(zhì)、勾股定理、平行四邊形的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是把問題轉(zhuǎn)化為求梯形的面積．（2022·山東東營·中考真題）31.如圖，已知菱形的邊長為2，對角線相交于點O，點M，N分別是邊上的動點，，連接.以下四個結(jié)論正確的是（）①是等邊三角形；②的最小值是；③當最小時；④當時，.A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.①②③④【答案】D【解析】【分析】①依據(jù)題意，利用菱形的性質(zhì)及等邊三角形的判定與性質(zhì)，證出，然后證，AM=AN，即可證出．②當MN最小值時，即AM為最小值，當時，AM值最小，利用勾股定理求出，即可得到MN的值．③當MN最小時，點M、N分別為BC、CD中點，利用三角形中位線定理得到，用勾股定理求出，，而菱形ABCD的面積為：，即可得到答案．④當時，可證，利用相似三角形對應邊成比例可得，根據(jù)等量代換，最后得到答案．【詳解】解：如圖：在菱形ABCD中，AB=BC=AD=CD，，OA=OC，∵，∴，與為等邊三角形，又，，∴，在與中∴，∴AM=AN，即為等邊三角形，故①正確；∵，當MN最小值時，即AM為最小值，當時，AM值最小，∵，∴即，故②正確；當MN最小時，點M、N分別為BC、CD中點，∴，∴，在中，，∴，而菱形ABCD的面積為：，∴，故③正確，當時，∴∴∴∴故④正確；故選：D．【點睛】此題考查了菱形的性質(zhì)與面積，等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定，勾股定理，三角形中位線定理等相關(guān)內(nèi)容，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．（2022·江蘇淮安·中考真題）32.如圖，在中，，，，點是邊上的一點，過點作，交于點，作的平分線交于點，連接．若的面積是2，則的值是______．【答案】【解析】【分析】先根據(jù)勾股定理得出，根據(jù)的面積是2，求出點到的距離為，根據(jù)的面積，求出點到的距離為，即可得出點到的距離為，根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，得出，求出，，根據(jù)等角對等邊求出，即可求出，即可得出最后結(jié)果．【詳解】解：在中，由勾股定理得，，∵的面積是2，∴點到的距離為，在中，點到的距離為，∴點到的距離為，∵，∴，∴，∴，，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了三角形高的有關(guān)計算，平行線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定，解題的關(guān)鍵是求出點到的距離為，點到的距離為．（2022·內(nèi)蒙古內(nèi)蒙古·中考真題）33.如圖，在平面直角坐標系中，Rt的直角頂點B在x軸的正半軸上，點O與原點重合，點A在第一象限，反比例函數(shù)（）的圖象經(jīng)過OA的中點C，交于點D，連接．若的面積是1，則k的值是_________．【答案】##【解析】【分析】連接OD，過C作，交x軸于E，利用反比例函數(shù)k的幾何意義得到，根據(jù)OA的中點C，利用△OCE∽△OAB得到面積比為1：4，代入可得結(jié)論．【詳解】解：連接OD，過C作，交x軸于E，∵∠ABO＝90°，反比例函數(shù)（x＞0）的圖象經(jīng)過OA的中點C，，∴，，2OC=OA，∵，∴△OCE∽△OAB，∴，∴，∴，∴k＝，故答案為：．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義：在反比例函數(shù)y=圖象中任取一點，過這一個點向x軸和y軸分別作垂線，與坐標軸圍成的矩形的面積是定值．在反比例函數(shù)的圖象上任意一點向坐標軸作垂線，這一點和垂足以及坐標原點所構(gòu)成的三角形的面積是，且保持不變．也考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．（2022·黑龍江牡丹江·中考真題）34.如圖，在等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE中，，點D在BC邊上，DE與AC相交于點F，，垂足是G，交BC于點H．下列結(jié)論中：①；②；③若，，則；④，正確的是______．【答案】②③##③②【解析】【分析】先證明再證明若可得平分與題干信息不符，可判斷①不符合題意；再證明可得而可判斷②符合題意；如圖，連接EH，求解設(shè)再建立方程組可判斷③符合題意；證明可得若，則與題干信息不符，可判斷④不符合題意；從而可得答案．【詳解】解：∵，∴∵等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE，∴∴∵∴若∴∴平分與題干信息不符，故①不符合題意；∵∴∴∴而∴，故②符合題意；如圖，連接EH，由∴∵∴設(shè)解得：即BD=3，故③符合題意；∵若，則與題干信息不符，故④不符合題意；故答案為：②③【點睛】本題考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應用，相似三角形的判定與性質(zhì)，作出適當?shù)妮o助線，構(gòu)建直角三角形是解本題的關(guān)鍵．（2022·湖北武漢·中考真題）35.如圖，點P是上一點，是一條弦，點C是上一點，與點D關(guān)于對稱，交于點E，與交于點F，且．給出下面四個結(jié)論：①平分；②；③；④為的切線．其中所有正確結(jié)論的序號是_________________．【答案】①②④【解析】【分析】根據(jù)點AB為CD的垂直平分線，得出BD=BC，AD=AC，根據(jù)等邊對等角得出∠BDC=∠BCD，利用平行線性質(zhì)可判斷①正確；利用△ADB≌△ACB（SSS）得出∠EAB=∠CAB，利用圓周角弧與弦關(guān)系可判斷②正確；根據(jù)等弧所對的圓周角相等可得∠AEF≠∠ABE，從而可得△AEF與△ABE不相似，即可判斷③；連結(jié)OB，利用垂徑定理得出OB⊥CE，利用平行線性質(zhì)得出OB⊥BD，即可判斷④正確．【詳解】解：∵點C是上一點，與點D關(guān)于對稱，∴AB為CD的垂直平分線，∴BD=BC，AD=AC，∴∠BDC=∠BCD，∵，∴∠ECD=∠CDB，∴∠ECD=∠BCD，∴CD平分∠BCE，故①正確；在△ADB和△ACB中，∵AD=AC，BD=BC，AB=AB，∴△ADB≌△ACB（SSS），∴∠EAB=∠CAB，∴，∴BE=BC=BD，故②正確；∵AC≠AE，∴≠，∴∠AEF≠∠ABE，∴△AEF與△ABE不相似，故③錯誤；連結(jié)OB，∵，CE為弦，∴OB⊥CE，∵，∴OB⊥BD，∴BD為的切線．故④正確，∴其中所有正確結(jié)論的序號是①②④．故答案為①②④．．【點睛】本題考查軸對稱性質(zhì)，線段垂直平分線性質(zhì)，角平分線判定，三角形全等判斷于性質(zhì)，垂徑定理，切線判斷，掌握軸對稱性質(zhì)，線段垂直平分線性質(zhì)，角平分線判定，三角形全等判斷于性質(zhì)，垂徑定理，切線判斷是解題關(guān)鍵．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）36.如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖像交于點，與軸交于點．（1）_________，_________；（2）連接并延長，與反比例函數(shù)的圖像交于點，點在軸上，若以、、為頂點的三角形與相似，求點的坐標．【答案】（1）4，2（2）點的坐標為、【解析】【分析】對于（1），將點A的坐標代入兩個關(guān)系式，即可得出答案；對于（2），先求出AO，BO，CO，再確定點D的位置，然后分兩種情況和，再根據(jù)相似三角形的對應邊成比例求出答案即可．【小問1詳解】將點A（1，4）代入一次函數(shù)y=2x+b，得，解得，一次函數(shù)的關(guān)系式為；將點A（1，4）代入反比例函數(shù)，得，反比例函數(shù)的關(guān)系式為．故答案為：4，2；【小問2詳解】點A與點C關(guān)于原點對稱，可知點C的坐標是（1，4）．當x=0時，y=2，∴點B（0，2），∴OB=2．根據(jù)勾股定理可知．當點落在軸的正半軸上，則，∴與不可能相似．當點落在軸的負半軸上，若，則.∵，∴，∴；若，則．∵，，∴，∴．綜上所述：點的坐標為、．【點睛】這是一道關(guān)于一次函數(shù)和反比例函數(shù)的綜合問題，考查了待定系數(shù)法求關(guān)系式，相似三角形的性質(zhì)和判定等．（2022·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）37.如圖，在平行四邊形中，是一條對角線，且，，，是邊上兩點，點在點的右側(cè)，，連接，的延長線與的延長線相交于點．（1）如圖1，是邊上一點，連接，，與相交于點．①若，求的長；②在滿足①的條件下，若，求證：；（2）如圖2，連接，是上一點，連接．若，且，求的長．【答案】（1）①；②證明見解析（2）【解析】【分析】（1）①解：根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可證，得到，再根據(jù)，，，結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)求出的長，代入比例式即可求出的長；②先根據(jù)證明可得，再根據(jù)，求出，進一步證明，最后利用等腰三角形的三線合一可證明結(jié)論．（2）如圖，連接，先根據(jù)證明，再結(jié)合，說明，利用平行線分線段成比例定理可得，接著證明，可得到，設(shè)，則，根據(jù)構(gòu)建方程求出，最后利用可得結(jié)論．【小問1詳解】①解：如圖，∵四邊形是平行四邊形，，，∴，，，，∴，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴的長為．②證明：∵，∴，∵，在和中，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴．【小問2詳解】如圖，連接，∵，，∴，∴，∵，在和中，∴，∴，∴∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，∴，設(shè)，則，∵，∴，∴，即，∴，∴．∴的長為．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，等腰三角形的三線合一，平行線的判定及性質(zhì)，平行線分線段成比例定理等知識．靈活運用相似三角形和全等三角形的判定及性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．（2022·湖南長沙·中考真題）38.如圖，四邊形內(nèi)接于，對角線，相交于點E，點F在邊上，連接．（1）求證：；（2）當時，則___________；___________；___________．（直接將結(jié)果填寫在相應的橫線上）（3）①記四邊形，的面積依次為，若滿足，試判斷，的形狀，并說明理由．②當，時，試用含m，n，p的式子表示．【答案】（1）見解析（2）0，1，0（3）①等腰三角形，理由見解析，②【解析】【分析】（1）根據(jù)同弧所對的圓周角相等，對頂角相等，即可得證；（2）由（1）的結(jié)論，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，即可得出0，根據(jù)已知條件可得，，即可得出根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，根據(jù)恒等式變形，進而即可求解．（3）①記的面積為，則，，根據(jù)已知條件可得，進而可得，得出，結(jié)合同弧所對的圓周角相等即可證明是等腰三角形；②證明，，根據(jù)相似三角形性質(zhì)，得出，則，，計算即可求解．【小問1詳解】證明：，，即，又，；【小問2詳解】，，，，∵∴，∴，∵，，，，，，，，，，，，故答案為：0，1，0【小問3詳解】①記的面積為，則，，①，即，②由①②可得，即，，，即，∴點D和點C到的距離相等，，，，，都為等腰三角形；②，，，，，，，，，又，，，，，則，，．【點睛】本題考查了圓周角定理，勾股定理，等腰三角形的判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，對于相似恒等式的推導是解題的關(guān)鍵．（2022·福建·中考真題）39.在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線經(jīng)過A（4，0），B（1，4）兩點．P是拋物線上一點，且在直線AB的上方．（1）求拋物線的解析式；（2）若△OAB面積是△PAB面積2倍，求點P的坐標；（3）如圖，OP交AB于點C，交AB于點D．記△CDP，△CPB，△CBO的面積分別為，，．判斷是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）（2）存在，或（3，4）（3）存在，【解析】【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）待定系數(shù)法求得直線AB的解析式為，過點P作PM⊥x軸，垂足為M，PM交AB于點N．過點B作BE⊥PM，垂足為E．可得，設(shè)，則．由，解方程求得的值，進而即可求解；（3）由已知條件可得，進而可得，過點分別作軸的垂線，垂足分別，交于點，過作的平行線，交于點，可得，設(shè)，，則，根據(jù)可得，根據(jù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求的最大值．【小問1詳解】解：（1）將A（4，0），B（1，4）代入，得，解得．所以拋物線的解析式為．【小問2詳解】設(shè)直線AB的解析式為，將A（4，0），B（1，4）代入，得，解得．所以直線AB的解析式為．過點P作PM⊥x軸，垂足為M，PM交AB于點N．過點B作BE⊥PM，垂足為E．所以．因為A（4，0），B（1，4），所以．因為△OAB的面積是△PAB面積的2倍，所以，．設(shè)，則．所以，即，解得，．所以點P的坐標為或（3，4）．【小問3詳解】記△CDP，△CPB，△CBO的面積分別為，，．則如圖，過點分別作軸的垂線，垂足分別，交于點，過作的平行線，交于點，，設(shè)直線AB的解析式為．設(shè)，則整理得時，取得最大值，最大值為【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合，待定系數(shù)法求解析式，面積問題，相似三角形的性質(zhì)與判定，第三問中轉(zhuǎn)化為線段的比是解題的關(guān)鍵．40.如圖，在正方形中，點E是上一點（不與C，D兩點重合），連接，過點C作于點F，交對角線于點G，交邊于點H，連接．下列結(jié)論①；②；③當E是的中點時，；④當時，；其中正確的有（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】D【解析】【分析】通過證明≌推出，；利用角平分的性質(zhì)可證中邊的高與中邊的高相等，通過“等底等高”證明；證明∽，∽，求出相關(guān)線段長度，可知當E是的中點時，；利用相似三角形的面積比等于相似比的平方，兩個等高的三角形面積比等于底長的比，可證．【詳解】解：四邊形是正方形，，．，，，，即．在和中，，≌，，．故①正確；四邊形是正方形，，即是的角平分線，點G到邊與邊的距離相等，即中邊的高與中邊的高相等，又，，故②正確；設(shè)正方形的邊長為，當E是的中點時，，，由勾股定理得：，，，，∽，，．，，∽，，即，，，，，，當E是的中點時，，故③正確；當時，，，，∽，，中邊的高與中邊的高相等，，，設(shè)，則，，，，，，，，，，故④正確．綜上，正確的有4個．故選D．【點睛】本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，三角形面積公式，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)等，綜合性較強，難度較大，解題的關(guān)鍵是從圖形中找出全等三角形和相似三角形．41.如圖，在平面直角坐標系中，以點A(0，4)為圓心，4為半徑的圓交y軸于點B．已知點C(4，0)，點D為⊙A上的一動點，以D為直角頂點，在CD左側(cè)作等腰直角三角形CDE，連接BC，則△BCE面積的最小值為_________．【答案】##【解析】【分析】取的中點，連接，證明，得出點在以為圓心，為半徑的圓上運動，取點，連接，根據(jù)中線的性質(zhì)得出在以為圓心，為半徑的圓上運動，過點作，當三點共線時，到的距離最短，此時的面積最小，證明，求得，進而即可求解．【詳解】解：如圖，取的中點，連接，∵，∴是等腰直角三角形，，，設(shè)是等腰直角三角形，∴，∴，即，又，設(shè)，則，∵是的中點，∴，∴，∴，∵，∴，則，即點在以為圓心，為半徑的圓上運動，如圖，取點，連接，則點為的中點，∴，∴在以為圓心，為半徑的圓上運動，過點作，當三點共線時，到的距離最短，此時的面積最小，∵，∴，∴，由，∴，∴，∵以點A(0，4)為圓心，4為半徑的圓交y軸于點B∴，∴，∴，又，∴，∴，當三點共線時，到的距離為，此時．故答案為：．【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，點到圓上的點的最值問題，求得點的軌跡是解題的關(guān)鍵．42.如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝12，點P在邊AB上，D、E分別為BC、PC的中點，連接DE．過點E作BC的垂線，與BC、AC分別交于F、G兩點．連接DG，交PC于點H．（1）∠EDC的度數(shù)為；（2）連接PG，求△APG的面積的最大值；（3）PE與DG存在怎樣的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系？請說明理由；（4）求的最大值．【答案】（1）45°（2）9（3）PE=DG，理由見解析（4）【解析】【分析】（1）先說明∠B=45°，再說明DE是△CBP的中位線可得DEBP，然后由平行線的性質(zhì)即可解答；（2）先說明△EDF和△GFC是等腰直角三角形可得DF=EF=、GF=CF=；設(shè)AP=x，則BP=12x，BP=12x=2DE，然后通過三角形中位線、勾股定理、線段的和差用x表示出AG，再根據(jù)三角形的面積公式列出表達式，最后運用二次函數(shù)求最值即可；（3）先證明△GFD≌△CFE，可得DG=CE，進而可得PE=DG；由△GFD≌△CFE可得∠ECF=∠DGF，進而得到∠GHE=∠CFE=90°，即可說明DG、PE的位置關(guān)系；（4）先說明△CEF∽△CDH得到，進而得到，然后將已經(jīng)求得的量代入可得，然后根據(jù)求最值即可．【小問1詳解】解：∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝12∴∠B=∠ACB=45°∵，D、E分別為BC、PC的中點∴DEBP，DE=∴∠EDC=∠B=45°．【小問2詳解】解：如圖：連接PG∵∠EDC=∠ACB=45°，GF⊥DC∴△EDF和△GFC是等腰直角三角形∴DF=EF=，GF=CF=，設(shè)AP=x，則BP=12x，BP=12x=2DE∴DE=，EF=∵Rt△APC，∴PC=∴CE=∵Rt△EFC∴FC=FG=∴CG=CF=∴AG=12CG=12=∴S△APG=所以當x=6時，S△APG有最大值9．【小問3詳解】解：DG=PE，DG⊥PE，理由如下：∵DF=EF，∠CFE=∠GFD，GF=CF∴△GFD≌△CFE(SAS)∴DG=CE∵E是PC的中點∴PE=CE∴PE=DG；∵△GFD≌△CFE∴∠ECF=∠DGF∵∠CEF=∠PEG∴∠GHE=∠EFC=90°，即DG⊥PE．【小問4詳解】解：∵△GFD≌△CFE∴∠CEF=∠CDH又∵∠ECF=∠DCH∴△CEF∽△CDH∴，即∴∵FC=，CE=，CD=∴∴的最大值為．【點睛】本題主要考查了三角形中位線、平行線的性質(zhì)、二次函數(shù)求最值、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點，綜合應用所學知識成為解答本題的關(guān)鍵．43.回顧：用數(shù)學的思維思考（1）如圖1，在△ABC中，AB＝AC．①BD，CE是△ABC的角平分線．求證：BD＝CE．②點D，E分別是邊AC，AB的中點，連接BD，CE．求證：BD＝CE．（從①②兩題中選擇一題加以證明）（2）猜想：用數(shù)學的眼光觀察經(jīng)過做題反思，小明同學認為：在△ABC中，AB＝AC，D為邊AC上一動點（不與點A，C重合）．對于點D在邊AC上的任意位置，在另一邊AB上總能找到一個與其對應的點E，使得BD＝CE．進而提出問題：若點D，E分別運動到邊AC，AB的延長線上，BD與CE還相等嗎？請解決下面的問題：如圖2，在△ABC中，AB＝AC，點D，E分別在邊AC，AB的延長線上，請?zhí)砑右粋€條件（不再添加新的字母），使得BD＝CE，并證明．（3）探究：用數(shù)學的語言表達如圖3，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠A＝36°，E為邊AB上任意一點（不與點A，B重合），F(xiàn)為邊AC延長線上一點．判斷BF與CE能否相等．若能，求CF的取值范圍；若不能，說明理由．【答案】（1）見解析（2）添加條件CD=BE，見解析（3）能，0＜CF＜【解析】【分析】（1）①利用ASA證明△ABD≌△ACE．②利用SAS證明△ABD≌△ACE．（2）添加條件CD=BE，證明AC+CD=AB+BE，從而利用SAS證明△ABD≌△ACE．（3）在AC上取一點D，使得BD=CE，根據(jù)BF=CE，得到BD=BF，當BD=BF=BA時，可證△CBF∽△BAF，運用相似性質(zhì)，求得CF的長即可．【小問1詳解】①如