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文檔簡介
一、選擇題(共30分,每題3分)1.在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn),.若與關(guān)于點(diǎn)O位似,且,則點(diǎn)的坐標(biāo)為()A.或 B.或C. D.【答案】A【解析】【分析】由與關(guān)于點(diǎn)O位似,且,得到與的相似比為1:2,由點(diǎn)E的坐標(biāo)為,即可得到答案.【詳解】解:∵與關(guān)于點(diǎn)O位似,且,∴與的相似比為1:2,∵點(diǎn)E的坐標(biāo)為,∴點(diǎn)的坐標(biāo)為或,即或,故選:A【點(diǎn)睛】此題考查了位似,根據(jù)位似得到與的相似比為1:2,是解題的關(guān)鍵.2.如圖,小正方形邊長均為1,則下列圖形中三角形(陰影部分)與△ABC相似的是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)網(wǎng)格的特點(diǎn)求出三角形的三邊,再根據(jù)相似三角形的判定定理即可求解.【詳解】已知給出的三角形的各邊AB、CB、AC分別為、2、、只有選項(xiàng)B的各邊為1、、與它的各邊對應(yīng)成比例.故選B.【點(diǎn)睛】此題主要考查相似三角形的判定,解題的關(guān)鍵是熟知相似三角形的判定定理.3.如圖,在直角坐標(biāo)系xOy中,矩形EFGO的兩邊OE,OG在坐標(biāo)軸上,以y軸上的某一點(diǎn)P為位似中心,作矩形ABCD,使其與矩形EFGO位似,若點(diǎn)B,F(xiàn)的坐標(biāo)分別為(4,4),(2,1),則位似中心P的坐標(biāo)為(
)A.(0,1.5) B.(0,2)C.(0,2.5) D.(0,3)【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意求出CG的長,利用相似三角形的性質(zhì)求出PG的值,從而求出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可.【詳解】解:∵四邊形ABCD和四邊形EFGO均為矩形,點(diǎn)B,F(xiàn)的坐標(biāo)分別為(4,4)、(2,1),∴,,點(diǎn)C(0,4),點(diǎn)G(0,1),∴,,∵,∴△FGP∽△BCP∴,即,解得,∴點(diǎn)P坐標(biāo)為(0,2),故選:B.【點(diǎn)睛】此題主要考查了位似中心的概念和位似圖形的性質(zhì)等知識(shí),熟練掌握位似中心的概念和位似圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.4.如圖,在中,點(diǎn)在邊上,,與邊交于點(diǎn),連接,記,的面積分別為()A.若,則B.若,則C.若,則D.若,則【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意判定,由相似三角形的面積之比等于相似比的平方解答.【詳解】∵在中,,∴,,若,則,,即:,整理得:,而,則,,,即:,故無法判斷與之間的大小關(guān)系,排除A、B;若,則,,即:,整理得:,而,則,,,即:,排除C,,.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì),以及與不等式相結(jié)合,熟練掌握相似三角形的基本性質(zhì),抓住面積比等于相似比的平方,靈活運(yùn)用不等式進(jìn)行比較大小是解題的關(guān)鍵.5.如圖,A(,1),B(,4),C(,4),點(diǎn)P是邊上一動(dòng)點(diǎn),連接,以為斜邊在的右上方作等腰直角,當(dāng)點(diǎn)P在邊且運(yùn)動(dòng)一周時(shí),點(diǎn)Q的軌跡形成的封閉圖形面積為()A.2 B.3 C.4 D.6【答案】B【解析】【分析】如圖,由題意,點(diǎn)P在的三條邊上運(yùn)動(dòng)一周時(shí),點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的軌跡是.利用相似三角形的性質(zhì)求出,,,利用勾股定理的逆定理,證明是直角三角形,即可解決問題.【詳解】解:如圖,由題意,點(diǎn)P在的三條邊上運(yùn)動(dòng)一周時(shí),點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的軌跡是.A(,1),B(,4),C(,4),,,,,,,,,同法可得,,,,點(diǎn)Q的軌跡形成的封閉圖形面積.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查軌跡,相似三角形的判定和性質(zhì),解直角三角形等知識(shí),解題的關(guān)鍵是正確尋找點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡,屬于中考選擇題中的壓軸題.6.如圖,點(diǎn)O是矩形對角線上的一點(diǎn),⊙O經(jīng)過點(diǎn)C,且與邊相切于點(diǎn)E,若,,則的半徑長為()A. B. C. D.4【答案】B【解析】【分析】連接,并延長于點(diǎn)F,連接,根據(jù)切線的性質(zhì)以及矩形的性質(zhì)可得,從而得到,設(shè)的半徑長為r,,則,,可得,從而得到,在中,由勾股定理,即可求解.【詳解】解:如圖,連接,并延長于點(diǎn)F,連接,∵四邊形是矩形,∴,∵⊙O與邊相切于點(diǎn)E,∴,即,∴,∴,,∴,,設(shè)的半徑長為r,,則,,∴,∴,解得:,∴,在中,,∴,解得:或(舍去),∴.故選∶B【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì),相似三角形的判定和性質(zhì),矩形的性質(zhì),勾股定理,熟練掌握切線的性質(zhì),相似三角形的判定和性質(zhì),矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.7.由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形組成的大正方形如圖所示,過點(diǎn)G作的垂線交于點(diǎn)I,若,則的值為()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè),,根據(jù)三角形相似可得,再根據(jù)正方形的面積即可求解.【詳解】解:如圖所示,過點(diǎn)作于,正方形,正方形,直角三角形,設(shè),,∵,∴(同角的余角相等),∵,∴,∴,∵,∴,,∴,∵,,∴,∴,∴,∴,∴,∵,∴,∴,故選:.【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì),相似三角形的性質(zhì),理解和掌握正方形的性質(zhì),相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.8.如圖,在中,,點(diǎn)是中點(diǎn),是直線上一動(dòng)點(diǎn),連接,以為斜邊在其左側(cè)作,使,連接,則的最小值為()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】連接.由題意易證,即得出,,從而得出,即又易證,得出.再根據(jù)勾股定理可求出,從而得出,即說明當(dāng)最小時(shí),最小.又根據(jù)當(dāng)時(shí),最小,結(jié)合三角形相似的判定和性質(zhì)求出此時(shí)的值,即如圖的值,進(jìn)而即可求出的最小值.【詳解】如圖,連接.∵,,∴,∴,,∴,即,∴,∴.∵,∴,∴,∴當(dāng)最小時(shí),最?。唿c(diǎn)P是直線上一動(dòng)點(diǎn),∴當(dāng)時(shí),最小,如圖即為最小時(shí),此時(shí)所作的三角形為.∵點(diǎn)是中點(diǎn),∴,∴.又∵,∴,∴,即,解得:,即的最小值為,∴,解得:.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查三角形相似的判定和性質(zhì),直角三角形斜邊中線的性質(zhì),勾股定理等知識(shí),較難.證明出當(dāng)時(shí),最小,此時(shí)最小是解題關(guān)鍵.9.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,矩形的頂點(diǎn),分別落在軸、軸的正半軸上,,,若反比例函數(shù)(k>0)經(jīng)過,兩點(diǎn),則的值為()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】過點(diǎn)作軸于點(diǎn),易證,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得:::,設(shè),根據(jù),,表示出點(diǎn)坐標(biāo),再根據(jù)平移的性質(zhì)可得點(diǎn)坐標(biāo),再根據(jù)點(diǎn)和點(diǎn)都在反比例函數(shù)上列方程,求出的值,進(jìn)一步可得點(diǎn)坐標(biāo),即可確定的值.【詳解】解:過點(diǎn)作軸于點(diǎn),如圖所示:則,矩形的頂點(diǎn),分別落在軸、軸的正半軸上,,,,,,,,:::,設(shè),,,,::,,,點(diǎn)坐標(biāo)為,根據(jù)平移,可得點(diǎn)坐標(biāo)為,反比例函數(shù)經(jīng)過,兩點(diǎn),,解得或舍去,點(diǎn)坐標(biāo)為,將點(diǎn)坐標(biāo)代入,得,故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征,矩形的性質(zhì),相似三角形的判定和性質(zhì),待定系數(shù)法求解析式等,本題綜合性較強(qiáng),難度較大.10.如圖,在矩形中,將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到三點(diǎn)恰好在同一直線上,與相交于點(diǎn),連接.以下結(jié)論正確的是()①;;③點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn);④A.①②③ B.①③ C.①②③ D.①③④【答案】D【解析】【分析】由是繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的,得到,再由矩形的性質(zhì)得出從而判斷①;由,可得,從而判斷②;由和,得出,可以判斷③;在線段上作,如圖所示,連接,通過證明,得出是等腰直角三角形,可以判斷④.【詳解】證明:∵是繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),∴,∴,又∵四邊形是矩形,∴,∴,即,∴,即,故①正確;∵,∴,即是直角三角形,而不是直角三角形,∴②錯(cuò)誤;在和中,∵,∴,∴,∵,∴,∴點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn),∴③正確;在線段上作,如圖所示,連接,∵,∴,在和中,,∴,∴,∵,∴,∴,∴是等腰直角三角形,∴,∵,∴,∴④正確,故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)以及黃金分割點(diǎn)的性質(zhì),全等三角形的判定和性質(zhì)等綜合知識(shí),關(guān)鍵是對知識(shí)的掌握和運(yùn)用.二、填空題(共15分,每題3分)11.如圖,在矩形中,,,點(diǎn)P是邊上一點(diǎn),若與相似,則的長度為_____.【答案】2或5或8【解析】【分析】設(shè)為,表示出,然后分和對應(yīng)邊,和是對應(yīng)邊兩種情況,利用相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求解即可.【詳解】解:設(shè)為,∵,∴,①和是對應(yīng)邊時(shí),∵,∴,即,解得,,經(jīng)檢驗(yàn)或8是分式方程的解;②和是對應(yīng)邊時(shí),∵,∴,即,解得,經(jīng)檢驗(yàn)是分式方程的解,∴當(dāng)或5或8時(shí),與相似,故答案為:2或5或8.【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì),矩形的性質(zhì),主要利用了相似三角形對應(yīng)邊成比例,難點(diǎn)在于要分類討論.12如圖,,AB=a,CD=b,.則EF=_____.【答案】【解析】【分析】連接BD,交EF于點(diǎn)G.由平行線分線段成比例可得出.由和,易證和,即得出和,代入數(shù)據(jù),即可用m,n,a,b表示出EG和GF的長,最后由求解即可.【詳解】如圖,連接BD,交EF于點(diǎn)G.∵,,∴.∵,∴,∴,即,∴.∵,∴,∴,即,∴,∴.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例,相似三角形的判定和性質(zhì).正確作出輔助線是解題關(guān)鍵.13.如圖,矩形的對角線相交于點(diǎn),點(diǎn)分別是邊上的點(diǎn),且.若,,那么___________.【答案】【解析】【分析】作于于,如圖,根據(jù)矩形的性質(zhì)得到,,,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到,推出,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.【詳解】解:如圖,作于于,如圖,∵四邊形是矩形,∴,,,∴,,∴,∴∴∵,∴,即,∵,∴,即,∴,∴,∴故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì):平行于三角形一邊的直線與其他兩邊所截的三角形與原三角形相似;有兩組角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似;相似三角形對應(yīng)邊的比等于相等,都等于相似比.也考查了矩形的性質(zhì).14.如圖,內(nèi)接于,為直徑,作交于點(diǎn)D,延長,交于點(diǎn)F,過點(diǎn)C作的切線,交于點(diǎn)E.如果,,則弦BC的長為__________.【答案】##【解析】【分析】連接.先證,推出,再證,根據(jù)勾股定理求出,,的長,通過證明,得出比例線段即可求出的長.【詳解】解:如圖,連接.與相切,是的半徑,,,,,,,,,,.∵是的直徑,,在中,,,,,,,,,,,在中,,在和中,,,,,,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理、切線的定義、等腰三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等,解題的關(guān)鍵是熟練掌握并綜合運(yùn)用上述知識(shí).15.如圖,分別是反比例函數(shù)和在第一象限內(nèi)的圖象,點(diǎn)A在上,線段交于點(diǎn)B,作軸于點(diǎn)C,交于點(diǎn)D,延長交于點(diǎn)E,作軸于點(diǎn)F,下列結(jié)論:①,②,③,④.其中正確的序號(hào)是___________.【答案】①②④【解析】【分析】根據(jù)反比例函數(shù)中的幾何意義,即可證明①正確;過點(diǎn)作軸于點(diǎn),通過證明,,根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方,可得,再通過證明,即可求證②正確;再根據(jù)相似三角形的性質(zhì),即可證明③不正確;根據(jù)相似三角形的性質(zhì),即可證明④正確.【詳解】解:∵點(diǎn),都在上,且軸,軸,∴,又∵,,∴,故①正確;如圖,過點(diǎn)作軸于點(diǎn),∴,∴,∵,,,∴,,∴,,∴,∵,∴,∴,∴,故②正確;∴,故③不正確;∵,∴,∵,,∴,∴,∴,即,故④正確;綜上所述,正確的結(jié)論有①②④.故答案為:①②④【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)及的幾何意義,相似三角形的判定和性質(zhì),平行線的判定,熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解本題的關(guān)鍵.三、解答題(共55分)16.杭州市西湖風(fēng)景區(qū)的雷峰塔又名“皇妃塔”,某校社會(huì)實(shí)踐小組為了測量雷峰塔的高度,在地面上C處垂直于地面豎立了高度為2米的標(biāo)桿,這時(shí)地面上的點(diǎn)E,標(biāo)桿的頂端點(diǎn)D,雷峰塔的塔尖點(diǎn)B正好在同一直線上,測得米,將標(biāo)桿向后平移到點(diǎn)G處,這時(shí)地面上的點(diǎn)F,標(biāo)桿的頂端點(diǎn)H,雷峰塔的塔尖點(diǎn)B正好又在同一直線上(點(diǎn)F,點(diǎn)G,點(diǎn)E,點(diǎn)C與塔底處的點(diǎn)A在同一直線上),這時(shí)測得米,米,請你根據(jù)以上數(shù)據(jù),計(jì)算雷峰塔的高度.【答案】雷峰塔的高度為米【解析】【分析】先證明,利用相似比得到①,再證明,利用相似比得到②,由①②得,解得的長,據(jù)此求解即可求出的長.【詳解】解:根據(jù)題意得米,米,米,米,∵,∴,∴,即①,∵,∴,∴,即②,由①②得,解得(米),把代入①得,解得(米),
答:雷峰塔的高度為米.【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題,學(xué)會(huì)構(gòu)建方程解決問題.17.如圖,在中,,在邊AB上截取,連接CD,若點(diǎn)D恰好是線段AB的一個(gè)黃金分割點(diǎn),且有且,求的度數(shù).【答案】【解析】【分析】根據(jù)兩邊成比例夾角相等,證明兩三角形相似,然后利用相似三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理求解即可.【詳解】證明:∵,∴,∵,∴,∵點(diǎn)恰好是線段的一個(gè)黃金分割點(diǎn),且有,∴,∴,∵,∴;∴,∴,∵是的外角,∴,∵,∴,∵,∴∴,∴的度數(shù)為.【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),三角形內(nèi)角和定理等知識(shí),解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定方法.18.如圖,,,,點(diǎn),,在一條直線上,點(diǎn),,也在一條直線上.若與的距離是,求點(diǎn)到直線距離.【答案】【解析】【分析】根據(jù)得到,又因?yàn)榕c的距離是,過點(diǎn)作的延長線,垂足為點(diǎn),交的延長線于點(diǎn),則有,于是得,,根據(jù)相似比即可求解.【詳解】解:,,,∴,∴,即,如圖所示,過點(diǎn)作的延長線,垂足為點(diǎn),交的延長線于點(diǎn),∵與的距離是,即,且由作圖可知,,,,即,∴,∴,∵,∴,∴,則,即點(diǎn)到直線距離是.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形的相似與實(shí)際問題的綜合應(yīng)用,掌握三角形的相似是解題的關(guān)鍵.19.如圖,在中,是角平分線,平分交于點(diǎn)E,且.(1)求證:.(2)若,且,求的長.【答案】(1)見解析(2)【解析】【分析】(1)根據(jù)角平分線的定義結(jié)合平行線的性質(zhì),得出,即可得出,根據(jù)相似三角形的性質(zhì),得出,即可得出答案;(2)根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì),得出,根據(jù)等角對等角得出,根據(jù),得出,根據(jù)平行線分線段成比例定理,得出,求出,根據(jù),求出,根據(jù),,得出,求出.【小問1詳解】證明:∵是角平分線,∴.∵平分,∴,又∵,∴,∴,∴,∴,∴;【小問2詳解】解:∵平分,∴,∵,∴,∴,∴,∵,∴,∵,∴,∴,∴,∵,∴,∵,,∴,∴.【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的定義,平行線的性質(zhì),三角形相似的判定和性質(zhì),等腰三角形的判定,熟練掌握三角形相似的判定方法,是解題的關(guān)鍵.20.如圖,在中,,點(diǎn)O在上,以點(diǎn)O為圓心,OA長為半徑的圓與、分別交于點(diǎn)D、E,且.(1)判斷直線與⊙O的位置關(guān)系,并說明理由;(2)若,,求的長.【答案】(1)相切;理由見解析(2)【解析】【分析】(1)連結(jié),根據(jù)等角的余角相等以及平角的定義,得到,即可得證;(2)證明,利用相似比即可得解.【小問1詳解】直線與的位置關(guān)系是相切.證明:連接,∵,∴.∵,∴,∵,∴.∴.∴.∴.∵為半徑,∴是⊙O的切線.【小問2詳解】解:∵,∴,∵.∴.∴∵,∴.【點(diǎn)睛】本題考查圓和三角形的綜合應(yīng)用.熟練掌握切線的判定方法,以及相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.21.如圖,在中,是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)B,C重合),連接,將線段繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到,連接交于點(diǎn)P,連接CN.(1)求證:;(2)問線段的數(shù)量關(guān)系,并加以證明;(3)求證:.【答案】(1)見解析(2)(3)見解析【解析】【分析】(1)利用SAS證明,可得;(2)首先說明,得,再根據(jù)勾股定理得,等量代換即可;(3)先根據(jù)兩個(gè)角相等得,則,再等量代換即可證明結(jié)論.【小問1詳解】證明:∵將線段繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到,∴,∴,∴,∵,∴,∴;【小問2詳解】解:,∵,∴,∴,∴,∵,∴,∵,∴,∴;【小問3詳解】證明:,∴,∴,∴,∴,∴.【點(diǎn)睛】本題是相似形綜合題,主要考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí),熟練掌握基本幾何圖形是解題的關(guān)鍵.22.如圖,在等腰中,,.點(diǎn)D是邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與端點(diǎn)重合),以為對角線作菱形,使得,交邊于點(diǎn)H.(1)求證:.(2)求證:在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過程中,線段之間總滿足數(shù)量關(guān)系;(3)連接,探索在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過程中,面積的變化規(guī)律.【答案】(1)見解析(2)見解析(3)面積固定不變【解析】【分析】(1)根據(jù)菱形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可得,,可得答案;(2)利用,得再通過證明,,從而證明結(jié)論;(3)根據(jù),得,可知E點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為以圖中連線所在的直線,從而得出答案.【小問1詳解】證明:∵四邊形為菱形,∴,∴,在中,,,∵,∴,∴,即;【小問2詳解】證明:∵四邊形為菱形,,∴,又∵,∴,∴,即,又∵,∴,∴,∴,∴,∴;【小問3詳解】解:面積固定不變.如圖,連接,∵,且,∴,∴,且在D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中(E點(diǎn)也隨之運(yùn)動(dòng)),,始終成立,∴E點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為以圖中連線所在的直線,即,則在中,以為底邊,點(diǎn)E向作垂線,所得高h(yuǎn)即為兩平行線,之間的距離為定值,∴面積固定不變.【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題,主要考查了菱形的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì),得出點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路徑是解題的關(guān)鍵.23.如圖,的三邊長分別為a、b、c(),的三邊長分別為、、.已知,相似比為.(1)若,,求的值.(2)若,求證:;(3)若,試給出符合條件的一對和,使得a、b、c和、、都是正整數(shù);(4)若,是否存在和使得?并請說明理由.【答案】(1)(2)見解析(3),(4)不存在;理由見解析.【解析】【分析】(1)利用三角形相似的性質(zhì):對應(yīng)邊對應(yīng)成比例進(jìn)行計(jì)算即可;(2)利用三角形相似的性質(zhì):對應(yīng)邊對應(yīng)成比例進(jìn)行證明即可;(3)取,同時(shí)取,即可滿足要求;(4)不存在,假設(shè)存在推出,進(jìn)而推出a、b、c構(gòu)不成三角形.【小問1詳解】解:∵,,,∴,即:,解得:;【小問2詳解】證明:∵,相似比為,∴,∴,又∵,∴.【小問3詳解】取,同時(shí)取,此時(shí),∴,且,【小問4詳解】不存在這樣的和,理由如下:假設(shè)存在,則.又∵,,∴,∴,∴,與三角形的三邊關(guān)系不符,∴不存在和,使得.【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì).熟練掌握相似三角形的性質(zhì):對應(yīng)邊對應(yīng)成比例是解題的關(guān)鍵.24.如圖,在四邊形和Rt中,,,點(diǎn)C在上,,,,延長交于點(diǎn)M.點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿方向勻速運(yùn)動(dòng),速度為2cm/s;同時(shí),點(diǎn)Q從點(diǎn)M出發(fā),沿方向勻速運(yùn)動(dòng),速度為1cm/s.過點(diǎn)P作于點(diǎn)H,交于點(diǎn)G.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為().解答下列問題:(1),;(均用含有t的代數(shù)式表示)(2)連接,作于點(diǎn)N,當(dāng)四邊形為矩形時(shí),求t的值;(3)設(shè)四邊形的面積為S,求S的函數(shù)表達(dá)式;(4)在運(yùn)動(dòng)過程中,當(dāng)點(diǎn)P在的平分線上時(shí),求的長度.【答案】(1),(2)(3)(4)【解析】【分析】(1)首先利用速度×?xí)r間表示的長,再利用勾股定理求出的長,證明,可得結(jié)論;(2)先根據(jù)勾股定理得,證明可得的長,再證明,列比例式可表示的長,由列方程可解答;(3)根據(jù)可得結(jié)論;(4)根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)得:,得證明,可得的長.【小問1詳解】由題意得:如圖1中,在中,,∴,∵,∴,∴,∵∴,∴,即,∴,∴;故答案為:,;【小問2詳解】如圖2,由題意得:,由勾股定理得:,∵,∴,∵,∴,∴,即,∴,∴,∵四邊形是矩形,∴,∵,∴,∴,即,∴,∵,∴,∴;【小問3詳解】如圖3,作于點(diǎn),連接,∴,∴,即,∴,在中,,∴,∴∴==;【小問4詳解】如圖4,延長交于,∵,∴,∵平分,∴,∵,∴,∴,∴,∵,∴,∵,∴,∴,即,∴【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì)和判定,矩形的性質(zhì),三角形和四邊形的面積等知識(shí),證明三角形相似是解題的關(guān)鍵.25.已知二次函數(shù)()的圖象經(jīng)過A(1,0)、B(?3,0)兩點(diǎn),頂點(diǎn)為點(diǎn)C.(1)求二次函數(shù)的解析式;(2)如二次函數(shù)的圖象與y軸交于點(diǎn)G,拋物線上是否存在點(diǎn)Q,使得∠QAB=∠ABG,若存在求出Q點(diǎn)坐標(biāo),若不存在請說明理由;(3)經(jīng)過點(diǎn)B并且與直線AC平行的直線BD與二次函數(shù)圖象的另一交點(diǎn)為D,DE⊥AC,垂足為E,DFy軸交直線AC于點(diǎn)F,點(diǎn)M是線段BC之間一動(dòng)點(diǎn),F(xiàn)N⊥FM交直線BD于點(diǎn)N,延長MF與線段DE的延長線交于點(diǎn)H,點(diǎn)P為△NFH的外心,求點(diǎn)M從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C的過程中,P點(diǎn)經(jīng)過的路線長.【答案】(1)(2)或(3)【解析】【分析】(1)將A(1,0)、B(3,0)代入,即可求解;(2)先求出BG的解析式為,然后再進(jìn)行分類討論,分別求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)即可;(3)可知△DNH與△FNH是直角三角形,外心P在斜邊NH的中點(diǎn),分別求出直線AC及直線BD的函數(shù)關(guān)系式,再分為當(dāng)M運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)及當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)兩種情況進(jìn)行討論,求解即可.【小問1詳解】∵二次函數(shù)的圖像經(jīng)過A(1,0)、B(3,0),∴,解得,∴二次函數(shù)的解析式為;【小問2詳解】由題可知G點(diǎn)坐標(biāo),設(shè)直線BG的解析式為,得:,解得:,∴BG的解析式為,①AQBG,直線AQ的解析式,聯(lián)立直線AQ與二次函數(shù)解析式,解得或此時(shí)Q的坐標(biāo)為,②直線與y軸的交點(diǎn)為K,其關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為直線的解析式為:與二次函數(shù)解析式聯(lián)立得,解得或,此時(shí)Q的坐標(biāo)為,綜上,拋物線上存在點(diǎn)Q使得∠QAB=∠BAG,Q點(diǎn)坐標(biāo)為或【小問3詳解】如圖,易知△DNH與△FNH是直角三角形,外心P在斜邊NH的中點(diǎn),∴PD=PF=NH,所以點(diǎn)P是線段DF的垂直平分線上的動(dòng)點(diǎn),∵直線AC的解析式為y=x1,BDAC,∴直線BD的解析式為y=x+3,∴D(3,6),①當(dāng)M運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)與點(diǎn)E重合,,則,又因?yàn)椤螪EF=90°,DE=EF,∴四邊形為正方形,∴是線段DF的中點(diǎn)(3,4);②當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí),,∵四邊形DN1FE是正方形∴,∴,∴,∵四邊形DN1FE是正方形,∴,∴,∴,∴,同理,所以的中點(diǎn)(4,4),∵,∴【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì),熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì),會(huì)用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式,會(huì)求函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)情況確定P點(diǎn)的軌跡是線段是解題的關(guān)鍵.(2022·四川攀枝花·中考真題)26.如圖,在矩形中,,,點(diǎn)E、F分別為、的中點(diǎn),、相交于點(diǎn)G,過點(diǎn)E作,交于點(diǎn)H,則線段的長度是()A. B.1 C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得出,求出,,求出,根據(jù)勾股定理求出,求出,根據(jù)三角形的中位線求出,根據(jù)相似三角形的判定得出,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出,再求出答案即可.【詳解】解析:四邊形是矩形,,,,,,點(diǎn)E、F分別為、的中點(diǎn),,,,,,.由勾股定理得:,,,,,,解得:,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)和判定,能熟記矩形的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵.(2022·浙江衢州·中考真題)27.如圖,在中,.分別以點(diǎn)為圓心,大于的長為半徑畫弧,兩弧相交于點(diǎn),作直線分別交,于點(diǎn).以為圓心,長為半徑畫弧,交于點(diǎn),連結(jié).則下列說法錯(cuò)誤的是()A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)線段垂直平分線的判定與性質(zhì)即可判斷選項(xiàng)A;先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得,從而可得,再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得,然后根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得,由此即可判斷選項(xiàng)B;先假設(shè)可得,再根據(jù)角的和差可得,從而可得,由此即可判斷選項(xiàng)C;先根據(jù)等腰三角形的判定可得,再根據(jù)相似三角形的判定可得,然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得,最后根據(jù)等量代換即可判斷選項(xiàng)D.【詳解】解:由題意可知,垂直平分,,,則選項(xiàng)A正確;,,,,,,,,,,則選項(xiàng)B正確;假設(shè),,又,,,與矛盾,則假設(shè)不成立,選項(xiàng)C錯(cuò)誤;,,,在和中,,,,即,,則選項(xiàng)D正確;故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì),綜合性較強(qiáng),熟練掌握判定定理與性質(zhì)是解題關(guān)鍵.(2022·浙江衢州·中考真題)28.西周數(shù)學(xué)家商高總結(jié)了用“矩”(如圖1)測量物高的方法:把矩的兩邊放置成如圖2的位置,從矩的一端(人眼)望點(diǎn),使視線通過點(diǎn),記人站立的位置為點(diǎn),量出長,即可算得物高.令BG=x(m),EG=y(m),若a=30cm,b=60cm,AB=1.6m,則關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式為()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)矩形的判定與性質(zhì)可得,從而可得,再根據(jù)相似三角形的判定證出,然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論.【詳解】解:由題意可知,四邊形是矩形,,,,又,,,,,,整理得:,故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、一次函數(shù)的幾何應(yīng)用,熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵.(2022·四川遂寧·中考真題)29.如圖,D、E、F分別是三邊上的點(diǎn),其中,BC邊上的高為6,且DE//BC,則面積的最大值為()A.6 B.8 C.10 D.12【答案】A【解析】【分析】過點(diǎn)A作AM⊥BC于M,交DE于點(diǎn)N,則AN⊥DE,設(shè),根據(jù),證明,根據(jù)相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比得到,列出面積的函數(shù)表達(dá)式,根據(jù)配方法求最值即可.【詳解】如圖,過點(diǎn)A作AM⊥BC于M,交DE于點(diǎn)N,則AN⊥DE,設(shè),,,,,,∴,,當(dāng)時(shí),S有最大值,最大值為6,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì),相似三角形的判定和性質(zhì),二次函數(shù)求最值,熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.(2022·江蘇常州·中考真題)30.如圖,在中,,,.在中,,,.用一條始終繃直的彈性染色線連接,從起始位置(點(diǎn)與點(diǎn)重合)平移至終止位置(點(diǎn)與點(diǎn)重合),且斜邊始終在線段上,則的外部被染色的區(qū)域面積是______.【答案】21【解析】【分析】過點(diǎn)作的垂線交于,同時(shí)在圖上標(biāo)出如圖,需要知道的是的被染色的區(qū)域面積是,所以需要利用勾股定理,相似三角形、平行四邊形的判定及性質(zhì),求出相應(yīng)邊長,即可求解.【詳解】解:過點(diǎn)作的垂線交于,同時(shí)在圖上標(biāo)出如下圖:,,,,在中,,,.,,,四邊形為平行四邊形,,,解得:,,,,,,,同理可證:,,,,的外部被染色的區(qū)域面積為,故答案為:21.【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形,相似三角形的判定及性質(zhì)、勾股定理、平行四邊形的判定及性質(zhì),解題的關(guān)鍵是把問題轉(zhuǎn)化為求梯形的面積.(2022·山東東營·中考真題)31.如圖,已知菱形的邊長為2,對角線相交于點(diǎn)O,點(diǎn)M,N分別是邊上的動(dòng)點(diǎn),,連接.以下四個(gè)結(jié)論正確的是()①是等邊三角形;②的最小值是;③當(dāng)最小時(shí);④當(dāng)時(shí),.A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.①②③④【答案】D【解析】【分析】①依據(jù)題意,利用菱形的性質(zhì)及等邊三角形的判定與性質(zhì),證出,然后證,AM=AN,即可證出.②當(dāng)MN最小值時(shí),即AM為最小值,當(dāng)時(shí),AM值最小,利用勾股定理求出,即可得到MN的值.③當(dāng)MN最小時(shí),點(diǎn)M、N分別為BC、CD中點(diǎn),利用三角形中位線定理得到,用勾股定理求出,,而菱形ABCD的面積為:,即可得到答案.④當(dāng)時(shí),可證,利用相似三角形對應(yīng)邊成比例可得,根據(jù)等量代換,最后得到答案.【詳解】解:如圖:在菱形ABCD中,AB=BC=AD=CD,,OA=OC,∵,∴,與為等邊三角形,又,,∴,在與中∴,∴AM=AN,即為等邊三角形,故①正確;∵,當(dāng)MN最小值時(shí),即AM為最小值,當(dāng)時(shí),AM值最小,∵,∴即,故②正確;當(dāng)MN最小時(shí),點(diǎn)M、N分別為BC、CD中點(diǎn),∴,∴,在中,,∴,而菱形ABCD的面積為:,∴,故③正確,當(dāng)時(shí),∴∴∴∴故④正確;故選:D.【點(diǎn)睛】此題考查了菱形的性質(zhì)與面積,等邊三角形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定,勾股定理,三角形中位線定理等相關(guān)內(nèi)容,熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.(2022·江蘇淮安·中考真題)32.如圖,在中,,,,點(diǎn)是邊上的一點(diǎn),過點(diǎn)作,交于點(diǎn),作的平分線交于點(diǎn),連接.若的面積是2,則的值是______.【答案】【解析】【分析】先根據(jù)勾股定理得出,根據(jù)的面積是2,求出點(diǎn)到的距離為,根據(jù)的面積,求出點(diǎn)到的距離為,即可得出點(diǎn)到的距離為,根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì),得出,求出,,根據(jù)等角對等邊求出,即可求出,即可得出最后結(jié)果.【詳解】解:在中,由勾股定理得,,∵的面積是2,∴點(diǎn)到的距離為,在中,點(diǎn)到的距離為,∴點(diǎn)到的距離為,∵,∴,∴,∴,,∵平分,∴,∵,∴,∴,∴,∴,∴,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形高的有關(guān)計(jì)算,平行線的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的判定,解題的關(guān)鍵是求出點(diǎn)到的距離為,點(diǎn)到的距離為.(2022·內(nèi)蒙古內(nèi)蒙古·中考真題)33.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,Rt的直角頂點(diǎn)B在x軸的正半軸上,點(diǎn)O與原點(diǎn)重合,點(diǎn)A在第一象限,反比例函數(shù)()的圖象經(jīng)過OA的中點(diǎn)C,交于點(diǎn)D,連接.若的面積是1,則k的值是_________.【答案】##【解析】【分析】連接OD,過C作,交x軸于E,利用反比例函數(shù)k的幾何意義得到,根據(jù)OA的中點(diǎn)C,利用△OCE∽△OAB得到面積比為1:4,代入可得結(jié)論.【詳解】解:連接OD,過C作,交x軸于E,∵∠ABO=90°,反比例函數(shù)(x>0)的圖象經(jīng)過OA的中點(diǎn)C,,∴,,2OC=OA,∵,∴△OCE∽△OAB,∴,∴,∴,∴k=,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義:在反比例函數(shù)y=圖象中任取一點(diǎn),過這一個(gè)點(diǎn)向x軸和y軸分別作垂線,與坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積是定值.在反比例函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)向坐標(biāo)軸作垂線,這一點(diǎn)和垂足以及坐標(biāo)原點(diǎn)所構(gòu)成的三角形的面積是,且保持不變.也考查了相似三角形的判定與性質(zhì).(2022·黑龍江牡丹江·中考真題)34.如圖,在等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE中,,點(diǎn)D在BC邊上,DE與AC相交于點(diǎn)F,,垂足是G,交BC于點(diǎn)H.下列結(jié)論中:①;②;③若,,則;④,正確的是______.【答案】②③##③②【解析】【分析】先證明再證明若可得平分與題干信息不符,可判斷①不符合題意;再證明可得而可判斷②符合題意;如圖,連接EH,求解設(shè)再建立方程組可判斷③符合題意;證明可得若,則與題干信息不符,可判斷④不符合題意;從而可得答案.【詳解】解:∵,∴∵等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE,∴∴∵∴若∴∴平分與題干信息不符,故①不符合題意;∵∴∴∴而∴,故②符合題意;如圖,連接EH,由∴∵∴設(shè)解得:即BD=3,故③符合題意;∵若,則與題干信息不符,故④不符合題意;故答案為:②③【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰直角三角形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理的應(yīng)用,相似三角形的判定與性質(zhì),作出適當(dāng)?shù)妮o助線,構(gòu)建直角三角形是解本題的關(guān)鍵.(2022·湖北武漢·中考真題)35.如圖,點(diǎn)P是上一點(diǎn),是一條弦,點(diǎn)C是上一點(diǎn),與點(diǎn)D關(guān)于對稱,交于點(diǎn)E,與交于點(diǎn)F,且.給出下面四個(gè)結(jié)論:①平分;②;③;④為的切線.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是_________________.【答案】①②④【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)AB為CD的垂直平分線,得出BD=BC,AD=AC,根據(jù)等邊對等角得出∠BDC=∠BCD,利用平行線性質(zhì)可判斷①正確;利用△ADB≌△ACB(SSS)得出∠EAB=∠CAB,利用圓周角弧與弦關(guān)系可判斷②正確;根據(jù)等弧所對的圓周角相等可得∠AEF≠∠ABE,從而可得△AEF與△ABE不相似,即可判斷③;連結(jié)OB,利用垂徑定理得出OB⊥CE,利用平行線性質(zhì)得出OB⊥BD,即可判斷④正確.【詳解】解:∵點(diǎn)C是上一點(diǎn),與點(diǎn)D關(guān)于對稱,∴AB為CD的垂直平分線,∴BD=BC,AD=AC,∴∠BDC=∠BCD,∵,∴∠ECD=∠CDB,∴∠ECD=∠BCD,∴CD平分∠BCE,故①正確;在△ADB和△ACB中,∵AD=AC,BD=BC,AB=AB,∴△ADB≌△ACB(SSS),∴∠EAB=∠CAB,∴,∴BE=BC=BD,故②正確;∵AC≠AE,∴≠,∴∠AEF≠∠ABE,∴△AEF與△ABE不相似,故③錯(cuò)誤;連結(jié)OB,∵,CE為弦,∴OB⊥CE,∵,∴OB⊥BD,∴BD為的切線.故④正確,∴其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是①②④.故答案為①②④..【點(diǎn)睛】本題考查軸對稱性質(zhì),線段垂直平分線性質(zhì),角平分線判定,三角形全等判斷于性質(zhì),垂徑定理,切線判斷,掌握軸對稱性質(zhì),線段垂直平分線性質(zhì),角平分線判定,三角形全等判斷于性質(zhì),垂徑定理,切線判斷是解題關(guān)鍵.(2022·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題)36.如圖,一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖像交于點(diǎn),與軸交于點(diǎn).(1)_________,_________;(2)連接并延長,與反比例函數(shù)的圖像交于點(diǎn),點(diǎn)在軸上,若以、、為頂點(diǎn)的三角形與相似,求點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】(1)4,2(2)點(diǎn)的坐標(biāo)為、【解析】【分析】對于(1),將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入兩個(gè)關(guān)系式,即可得出答案;對于(2),先求出AO,BO,CO,再確定點(diǎn)D的位置,然后分兩種情況和,再根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例求出答案即可.【小問1詳解】將點(diǎn)A(1,4)代入一次函數(shù)y=2x+b,得,解得,一次函數(shù)的關(guān)系式為;將點(diǎn)A(1,4)代入反比例函數(shù),得,反比例函數(shù)的關(guān)系式為.故答案為:4,2;【小問2詳解】點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)對稱,可知點(diǎn)C的坐標(biāo)是(1,4).當(dāng)x=0時(shí),y=2,∴點(diǎn)B(0,2),∴OB=2.根據(jù)勾股定理可知.當(dāng)點(diǎn)落在軸的正半軸上,則,∴與不可能相似.當(dāng)點(diǎn)落在軸的負(fù)半軸上,若,則.∵,∴,∴;若,則.∵,,∴,∴.綜上所述:點(diǎn)的坐標(biāo)為、.【點(diǎn)睛】這是一道關(guān)于一次函數(shù)和反比例函數(shù)的綜合問題,考查了待定系數(shù)法求關(guān)系式,相似三角形的性質(zhì)和判定等.(2022·內(nèi)蒙古包頭·中考真題)37.如圖,在平行四邊形中,是一條對角線,且,,,是邊上兩點(diǎn),點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè),,連接,的延長線與的延長線相交于點(diǎn).(1)如圖1,是邊上一點(diǎn),連接,,與相交于點(diǎn).①若,求的長;②在滿足①的條件下,若,求證:;(2)如圖2,連接,是上一點(diǎn),連接.若,且,求的長.【答案】(1)①;②證明見解析(2)【解析】【分析】(1)①解:根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可證,得到,再根據(jù),,,結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)求出的長,代入比例式即可求出的長;②先根據(jù)證明可得,再根據(jù),求出,進(jìn)一步證明,最后利用等腰三角形的三線合一可證明結(jié)論.(2)如圖,連接,先根據(jù)證明,再結(jié)合,說明,利用平行線分線段成比例定理可得,接著證明,可得到,設(shè),則,根據(jù)構(gòu)建方程求出,最后利用可得結(jié)論.【小問1詳解】①解:如圖,∵四邊形是平行四邊形,,,∴,,,,∴,,∴,∴,∴,∵,∴,∴,∴,∴的長為.②證明:∵,∴,∵,在和中,∴,∴,∵,,∴,∴,∴,∵,∴,∴,∵,∴.【小問2詳解】如圖,連接,∵,,∴,∴,∵,在和中,∴,∴,∴∵,∴,∴,∴,∵,∴,∵,∴,,∴,∴,∴,∴,設(shè),則,∵,∴,∴,即,∴,∴.∴的長為.【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì),相似三角形的判定及性質(zhì),全等三角形的判定及性質(zhì),等腰三角形的三線合一,平行線的判定及性質(zhì),平行線分線段成比例定理等知識(shí).靈活運(yùn)用相似三角形和全等三角形的判定及性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.(2022·湖南長沙·中考真題)38.如圖,四邊形內(nèi)接于,對角線,相交于點(diǎn)E,點(diǎn)F在邊上,連接.(1)求證:;(2)當(dāng)時(shí),則___________;___________;___________.(直接將結(jié)果填寫在相應(yīng)的橫線上)(3)①記四邊形,的面積依次為,若滿足,試判斷,的形狀,并說明理由.②當(dāng),時(shí),試用含m,n,p的式子表示.【答案】(1)見解析(2)0,1,0(3)①等腰三角形,理由見解析,②【解析】【分析】(1)根據(jù)同弧所對的圓周角相等,對頂角相等,即可得證;(2)由(1)的結(jié)論,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得,即可得出0,根據(jù)已知條件可得,,即可得出根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得,根據(jù)恒等式變形,進(jìn)而即可求解.(3)①記的面積為,則,,根據(jù)已知條件可得,進(jìn)而可得,得出,結(jié)合同弧所對的圓周角相等即可證明是等腰三角形;②證明,,根據(jù)相似三角形性質(zhì),得出,則,,計(jì)算即可求解.【小問1詳解】證明:,,即,又,;【小問2詳解】,,,,∵∴,∴,∵,,,,,,,,,,,,故答案為:0,1,0【小問3詳解】①記的面積為,則,,①,即,②由①②可得,即,,,即,∴點(diǎn)D和點(diǎn)C到的距離相等,,,,,都為等腰三角形;②,,,,,,,,,又,,,,,則,,.【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理,勾股定理,等腰三角形的判定,相似三角形的性質(zhì)與判定,對于相似恒等式的推導(dǎo)是解題的關(guān)鍵.(2022·福建·中考真題)39.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知拋物線經(jīng)過A(4,0),B(1,4)兩點(diǎn).P是拋物線上一點(diǎn),且在直線AB的上方.(1)求拋物線的解析式;(2)若△OAB面積是△PAB面積2倍,求點(diǎn)P的坐標(biāo);(3)如圖,OP交AB于點(diǎn)C,交AB于點(diǎn)D.記△CDP,△CPB,△CBO的面積分別為,,.判斷是否存在最大值.若存在,求出最大值;若不存在,請說明理由.【答案】(1)(2)存在,或(3,4)(3)存在,【解析】【分析】(1)待定系數(shù)法求解析式即可求解;(2)待定系數(shù)法求得直線AB的解析式為,過點(diǎn)P作PM⊥x軸,垂足為M,PM交AB于點(diǎn)N.過點(diǎn)B作BE⊥PM,垂足為E.可得,設(shè),則.由,解方程求得的值,進(jìn)而即可求解;(3)由已知條件可得,進(jìn)而可得,過點(diǎn)分別作軸的垂線,垂足分別,交于點(diǎn),過作的平行線,交于點(diǎn),可得,設(shè),,則,根據(jù)可得,根據(jù),根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求的最大值.【小問1詳解】解:(1)將A(4,0),B(1,4)代入,得,解得.所以拋物線的解析式為.【小問2詳解】設(shè)直線AB的解析式為,將A(4,0),B(1,4)代入,得,解得.所以直線AB的解析式為.過點(diǎn)P作PM⊥x軸,垂足為M,PM交AB于點(diǎn)N.過點(diǎn)B作BE⊥PM,垂足為E.所以.因?yàn)锳(4,0),B(1,4),所以.因?yàn)椤鱋AB的面積是△PAB面積的2倍,所以,.設(shè),則.所以,即,解得,.所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為或(3,4).【小問3詳解】記△CDP,△CPB,△CBO的面積分別為,,.則如圖,過點(diǎn)分別作軸的垂線,垂足分別,交于點(diǎn),過作的平行線,交于點(diǎn),,設(shè)直線AB的解析式為.設(shè),則整理得時(shí),取得最大值,最大值為【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合,待定系數(shù)法求解析式,面積問題,相似三角形的性質(zhì)與判定,第三問中轉(zhuǎn)化為線段的比是解題的關(guān)鍵.40.如圖,在正方形中,點(diǎn)E是上一點(diǎn)(不與C,D兩點(diǎn)重合),連接,過點(diǎn)C作于點(diǎn)F,交對角線于點(diǎn)G,交邊于點(diǎn)H,連接.下列結(jié)論①;②;③當(dāng)E是的中點(diǎn)時(shí),;④當(dāng)時(shí),;其中正確的有()A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【答案】D【解析】【分析】通過證明≌推出,;利用角平分的性質(zhì)可證中邊的高與中邊的高相等,通過“等底等高”證明;證明∽,∽,求出相關(guān)線段長度,可知當(dāng)E是的中點(diǎn)時(shí),;利用相似三角形的面積比等于相似比的平方,兩個(gè)等高的三角形面積比等于底長的比,可證.【詳解】解:四邊形是正方形,,.,,,,即.在和中,,≌,,.故①正確;四邊形是正方形,,即是的角平分線,點(diǎn)G到邊與邊的距離相等,即中邊的高與中邊的高相等,又,,故②正確;設(shè)正方形的邊長為,當(dāng)E是的中點(diǎn)時(shí),,,由勾股定理得:,,,,∽,,.,,∽,,即,,,,,,當(dāng)E是的中點(diǎn)時(shí),,故③正確;當(dāng)時(shí),,,,∽,,中邊的高與中邊的高相等,,,設(shè),則,,,,,,,,,,故④正確.綜上,正確的有4個(gè).故選D.【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),角平分線的性質(zhì),三角形面積公式,勾股定理,相似三角形的判定與性質(zhì)等,綜合性較強(qiáng),難度較大,解題的關(guān)鍵是從圖形中找出全等三角形和相似三角形.41.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,以點(diǎn)A(0,4)為圓心,4為半徑的圓交y軸于點(diǎn)B.已知點(diǎn)C(4,0),點(diǎn)D為⊙A上的一動(dòng)點(diǎn),以D為直角頂點(diǎn),在CD左側(cè)作等腰直角三角形CDE,連接BC,則△BCE面積的最小值為_________.【答案】##【解析】【分析】取的中點(diǎn),連接,證明,得出點(diǎn)在以為圓心,為半徑的圓上運(yùn)動(dòng),取點(diǎn),連接,根據(jù)中線的性質(zhì)得出在以為圓心,為半徑的圓上運(yùn)動(dòng),過點(diǎn)作,當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí),到的距離最短,此時(shí)的面積最小,證明,求得,進(jìn)而即可求解.【詳解】解:如圖,取的中點(diǎn),連接,∵,∴是等腰直角三角形,,,設(shè)是等腰直角三角形,∴,∴,即,又,設(shè),則,∵是的中點(diǎn),∴,∴,∴,∵,∴,則,即點(diǎn)在以為圓心,為半徑的圓上運(yùn)動(dòng),如圖,取點(diǎn),連接,則點(diǎn)為的中點(diǎn),∴,∴在以為圓心,為半徑的圓上運(yùn)動(dòng),過點(diǎn)作,當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí),到的距離最短,此時(shí)的面積最小,∵,∴,∴,由,∴,∴,∵以點(diǎn)A(0,4)為圓心,4為半徑的圓交y軸于點(diǎn)B∴,∴,∴,又,∴,∴,當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí),到的距離為,此時(shí).故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定,等腰直角三角形的性質(zhì),勾股定理,點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的最值問題,求得點(diǎn)的軌跡是解題的關(guān)鍵.42.如圖,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=12,點(diǎn)P在邊AB上,D、E分別為BC、PC的中點(diǎn),連接DE.過點(diǎn)E作BC的垂線,與BC、AC分別交于F、G兩點(diǎn).連接DG,交PC于點(diǎn)H.(1)∠EDC的度數(shù)為;(2)連接PG,求△APG的面積的最大值;(3)PE與DG存在怎樣的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系?請說明理由;(4)求的最大值.【答案】(1)45°(2)9(3)PE=DG,理由見解析(4)【解析】【分析】(1)先說明∠B=45°,再說明DE是△CBP的中位線可得DEBP,然后由平行線的性質(zhì)即可解答;(2)先說明△EDF和△GFC是等腰直角三角形可得DF=EF=、GF=CF=;設(shè)AP=x,則BP=12x,BP=12x=2DE,然后通過三角形中位線、勾股定理、線段的和差用x表示出AG,再根據(jù)三角形的面積公式列出表達(dá)式,最后運(yùn)用二次函數(shù)求最值即可;(3)先證明△GFD≌△CFE,可得DG=CE,進(jìn)而可得PE=DG;由△GFD≌△CFE可得∠ECF=∠DGF,進(jìn)而得到∠GHE=∠CFE=90°,即可說明DG、PE的位置關(guān)系;(4)先說明△CEF∽△CDH得到,進(jìn)而得到,然后將已經(jīng)求得的量代入可得,然后根據(jù)求最值即可.【小問1詳解】解:∵在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=12∴∠B=∠ACB=45°∵,D、E分別為BC、PC的中點(diǎn)∴DEBP,DE=∴∠EDC=∠B=45°.【小問2詳解】解:如圖:連接PG∵∠EDC=∠ACB=45°,GF⊥DC∴△EDF和△GFC是等腰直角三角形∴DF=EF=,GF=CF=,設(shè)AP=x,則BP=12x,BP=12x=2DE∴DE=,EF=∵Rt△APC,∴PC=∴CE=∵Rt△EFC∴FC=FG=∴CG=CF=∴AG=12CG=12=∴S△APG=所以當(dāng)x=6時(shí),S△APG有最大值9.【小問3詳解】解:DG=PE,DG⊥PE,理由如下:∵DF=EF,∠CFE=∠GFD,GF=CF∴△GFD≌△CFE(SAS)∴DG=CE∵E是PC的中點(diǎn)∴PE=CE∴PE=DG;∵△GFD≌△CFE∴∠ECF=∠DGF∵∠CEF=∠PEG∴∠GHE=∠EFC=90°,即DG⊥PE.【小問4詳解】解:∵△GFD≌△CFE∴∠CEF=∠CDH又∵∠ECF=∠DCH∴△CEF∽△CDH∴,即∴∵FC=,CE=,CD=∴∴的最大值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形中位線、平行線的性質(zhì)、二次函數(shù)求最值、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn),綜合應(yīng)用所學(xué)知識(shí)成為解答本題的關(guān)鍵.43.回顧:用數(shù)學(xué)的思維思考(1)如圖1,在△ABC中,AB=AC.①BD,CE是△ABC的角平分線.求證:BD=CE.②點(diǎn)D,E分別是邊AC,AB的中點(diǎn),連接BD,CE.求證:BD=CE.(從①②兩題中選擇一題加以證明)(2)猜想:用數(shù)學(xué)的眼光觀察經(jīng)過做題反思,小明同學(xué)認(rèn)為:在△ABC中,AB=AC,D為邊AC上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A,C重合).對于點(diǎn)D在邊AC上的任意位置,在另一邊AB上總能找到一個(gè)與其對應(yīng)的點(diǎn)E,使得BD=CE.進(jìn)而提出問題:若點(diǎn)D,E分別運(yùn)動(dòng)到邊AC,AB的延長線上,BD與CE還相等嗎?請解決下面的問題:如圖2,在△ABC中,AB=AC,點(diǎn)D,E分別在邊AC,AB的延長線上,請?zhí)砑右粋€(gè)條件(不再添加新的字母),使得BD=CE,并證明.(3)探究:用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)如圖3,在△ABC中,AB=AC=2,∠A=36°,E為邊AB上任意一點(diǎn)(不與點(diǎn)A,B重合),F(xiàn)為邊AC延長線上一點(diǎn).判斷BF與CE能否相等.若能,求CF的取值范圍;若不能,說明理由.【答案】(1)見解析(2)添加條件CD=BE,見解析(3)能,0<CF<【解析】【分析】(1)①利用ASA證明△ABD≌△ACE.②利用SAS證明△ABD≌△ACE.(2)添加條件CD=BE,證明AC+CD=AB+BE,從而利用SAS證明△ABD≌△ACE.(3)在AC上取一點(diǎn)D,使得BD=CE,根據(jù)BF=CE,得到BD=BF,當(dāng)BD=BF=BA時(shí),可證△CBF∽△BAF,運(yùn)用相似性質(zhì),求得CF的長即可.【小問1詳解】①如
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