2022年秋《等差數(shù)列課時(shí)4》教學(xué)設(shè)計(jì)

高中數(shù)學(xué)精編資源1/16《等差數(shù)列》教學(xué)設(shè)計(jì)課時(shí)4等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用必備知識(shí)學(xué)科能力學(xué)科素養(yǎng)高考考向等差數(shù)列的概念學(xué)習(xí)理解能力觀察記憶概括理解說(shuō)明論證應(yīng)用實(shí)踐能力分析計(jì)算推測(cè)解釋簡(jiǎn)單問題解決遷移創(chuàng)新能力綜合問題解決猜想探究發(fā)現(xiàn)創(chuàng)新數(shù)學(xué)運(yùn)算【考查內(nèi)容】1.等差數(shù)列中基本量的計(jì)算(知三求二),通常涉及用性質(zhì)解決等差數(shù)列的片段求和等問題2.求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值3.依據(jù)求與等差數(shù)列相關(guān)的遞推數(shù)列的求和問題(如裂項(xiàng)相消求和、分組求和及倒序相加求和)【考查題型】選擇題、填空題、解答題等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用邏輯推理數(shù)學(xué)運(yùn)算等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式邏輯推理數(shù)學(xué)運(yùn)算等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)運(yùn)算一、本節(jié)內(nèi)容分析本節(jié)內(nèi)容是對(duì)等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和公式的初步探究,主要介紹等差數(shù)列的概念、性質(zhì)及應(yīng)用;等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的性質(zhì)及應(yīng)用,這些內(nèi)容是等差數(shù)列的核心知識(shí).通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí),學(xué)生能夠通過(guò)生活中的實(shí)例,理解等差數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式的意義.探索并掌握等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式,理解等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的關(guān)系.能在具體的問題情境中,發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系,并解決相應(yīng)的問題,體會(huì)等差數(shù)列與一元一次函數(shù)的關(guān)系.本節(jié)包含的核心知識(shí)和體現(xiàn)的核心素養(yǎng)如下:核心知識(shí)1.等差數(shù)列的概念2.等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用3.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式4.等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用數(shù)學(xué)運(yùn)算數(shù)學(xué)建模邏輯推理核心素養(yǎng)二、學(xué)情整體分析在學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容之前,學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了數(shù)列的概念以及表示方法,所以學(xué)習(xí)本節(jié)等差數(shù)列是有知識(shí)基礎(chǔ)的,但是本節(jié)知識(shí)作為高考數(shù)學(xué)深入探究考查的一個(gè)重點(diǎn),大部分學(xué)生還是會(huì)對(duì)等差數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用以及前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)及應(yīng)用等方面有難度,不僅包括理解上的難度,也有計(jì)算上的難度.對(duì)前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)上也存在邏輯推理的困難.學(xué)情補(bǔ)充:_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________三、教學(xué)活動(dòng)準(zhǔn)備【任務(wù)專題設(shè)計(jì)】1.等差數(shù)列的概念2.等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用3.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式4.等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用【教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)】1.通過(guò)生活中的實(shí)例,理解等差數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式的意義,達(dá)到數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)水平.2.能在具體的問題情境中,發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系,并利用等差數(shù)列的性質(zhì)解決相應(yīng)的問題,達(dá)到數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)水平.3.探索并掌握等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式,理解等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的關(guān)系,達(dá)到邏輯推理核心素養(yǎng)水平.4.能在具體的問題情境中利用數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的性質(zhì)解決相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題,達(dá)到數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)水平.【教學(xué)策略設(shè)計(jì)】因?yàn)榈炔顢?shù)列問題在日常生活中有大量的應(yīng)用,如存款利息,每日溫差等與人們生活關(guān)系密切的現(xiàn)實(shí)問題,人們解決許多實(shí)際問題也需要有關(guān)數(shù)列的知識(shí).實(shí)際教學(xué)中可以利用教材中的實(shí)際案例作為教學(xué)引入,引導(dǎo)學(xué)生注意觀察數(shù)字或圖形的變化特征,鍛煉邏輯推理核心素養(yǎng),充分發(fā)揮學(xué)生自主探究學(xué)習(xí)的能動(dòng)性,實(shí)現(xiàn)情境教學(xué)、先學(xué)后教的教學(xué)策略,提高學(xué)生自主探究的能力,對(duì)等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和有深入的理解和靈活的掌握.【教學(xué)方法建議】情境教學(xué)法、問題教學(xué)法,還有__________________________________________________【教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)】重點(diǎn):1.理解等差數(shù)列的概念及其性質(zhì),探索并掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,會(huì)用公式解決一些簡(jiǎn)單的問題,體會(huì)等差數(shù)列與一次函數(shù)之間的聯(lián)系.2.探索并掌握等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式,學(xué)會(huì)用公式解決一些實(shí)際問題,體會(huì)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和與二次函數(shù)之間的聯(lián)系.難點(diǎn):1.概括通項(xiàng)公式推導(dǎo)過(guò)程中體現(xiàn)出的數(shù)學(xué)思維方法.2.等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式推導(dǎo)思路的獲得.【教學(xué)材料準(zhǔn)備】1.常規(guī)材料:多媒體課件、_________________________________________________2.其他材料:_____________________________________________________________四、教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)教學(xué)導(dǎo)入師:同學(xué)們,上課之前,我們先回顧下上節(jié)課的重點(diǎn)內(nèi)容,都學(xué)了哪些重要知識(shí)和性質(zhì)應(yīng)用呢?請(qǐng)幾位同學(xué)為我們推導(dǎo)一下等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式.【學(xué)生復(fù)習(xí)教材,積極練習(xí),積極發(fā)言,教師指定同學(xué)回答并予以鼓勵(lì)和肯定,總結(jié)歸納】師:推導(dǎo)等差數(shù)列前項(xiàng)和有奇偶項(xiàng)法和倒序相加法,常用倒序相加法.其中,從奇偶項(xiàng)法中,我們可以得到奇偶項(xiàng)數(shù)的性質(zhì).從推導(dǎo)得到的等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式中,我們又可以得到和這兩個(gè)新的等差數(shù)列.其間的知識(shí)聯(lián)系,同學(xué)們要細(xì)心體會(huì).這節(jié)課我們首先通過(guò)一個(gè)題復(fù)習(xí)下前項(xiàng)和公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用.【設(shè)情境巧引入】本節(jié)課內(nèi)容和上節(jié)課聯(lián)系緊密,通過(guò)復(fù)習(xí)上節(jié)課知識(shí)要點(diǎn)從而引出本節(jié)課學(xué)習(xí)重點(diǎn),起到承上啟下的作用,既復(fù)習(xí)了知識(shí),又引出了課題.教學(xué)精講【典型例題】利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和求其他基本量例1某校新建一個(gè)報(bào)告廳,要求容納800個(gè)座位,報(bào)告廳共有20排座位,從第2排起后一排都比前一排多2個(gè)座位.問第1排應(yīng)安排多少個(gè)座位.師:這道實(shí)際應(yīng)用問題是一道關(guān)于什么的問題?生:等差數(shù)列問題.師:從哪里看出來(lái)的?生:從第2排起后一排都比前一排多2個(gè)座位,可知公差是2.師:很好,并且我們還知道,前20項(xiàng)和是800,先找到里邊的幾個(gè)基本量,再通過(guò)基本量之間的關(guān)系,就可以解決問題了.【引導(dǎo)學(xué)生積極思考,獨(dú)立完成,教師指定學(xué)生回答并予以肯定,解得第1排應(yīng)安排21個(gè)座位】師:這道題還只是一道簡(jiǎn)單的實(shí)際應(yīng)用問題,我們重點(diǎn)是要將實(shí)際生活的語(yǔ)言還原成數(shù)學(xué)概念語(yǔ)言,從而找到解題方法.那這道問題我們是借助了哪個(gè)公式?請(qǐng)同學(xué)來(lái)幫大家復(fù)習(xí)一下.生:等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式,或.師:好的,那這道題屬于等差數(shù)列前項(xiàng)和公式的一個(gè)簡(jiǎn)單應(yīng)用,我們?cè)賮?lái)看一個(gè)它的另一種應(yīng)用,就是求最值.【意義學(xué)習(xí)】教師由實(shí)際問題出發(fā),將實(shí)際問題和數(shù)學(xué)知識(shí)相聯(lián)系,采用分步提問的方式引導(dǎo)學(xué)生的思路,培養(yǎng)學(xué)生的解題意識(shí).【典型例題】求等差數(shù)列前項(xiàng)和的最值例2已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,公差,則是否存在最大值?若存在,求的最大值及取得最大值時(shí)的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.【學(xué)生閱讀教材,積極思考,合作交流】師:同學(xué)們,這道例題怎樣去求前項(xiàng)和的最大值?由公式可知,,里邊的和是未知的,借助等差數(shù)列的單調(diào)性可以嗎?【教師引導(dǎo)學(xué)生思考,學(xué)生獨(dú)立做題,教師巡視檢查,并做總結(jié)講解】生:因?yàn)楣钍切∮?的,所以這個(gè)等差數(shù)列是遞減數(shù)列.師:很好.所以從某一項(xiàng)開始,可能就會(huì)減小到0,減小到小于0.又由,可知:當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.所以我們就可以得到前項(xiàng)和的大小變化:從中可以得到當(dāng)或6時(shí),取最大,且最大值是30.【自主學(xué)習(xí)】教師啟發(fā)學(xué)生解題思路,即采用數(shù)列的單調(diào)性解題,學(xué)生先自主獨(dú)立思考,然后教師總結(jié)整理答案,更能使學(xué)生對(duì)知識(shí)理解深刻.【方法策略】求等差數(shù)列前項(xiàng)和的最值的解法一總結(jié)方法:(1)當(dāng)時(shí),由不等式組可求得取最大值時(shí)的值.(2)當(dāng)時(shí),由不等式組可求得取最小值時(shí)的值.師:關(guān)于這道題還有一種解法,前項(xiàng)和公式有很多種書寫形式,如果我們把再改寫一下,使它和二次函數(shù)有一樣的格式,是否又能得到一些求最值的思路呢?【情境學(xué)習(xí)】學(xué)生在求前n項(xiàng)和最值的問題情境中,總結(jié)方法,通過(guò)具體問題理解方法,更能加深印象.【要點(diǎn)知識(shí)】求等差數(shù)列前項(xiàng)和公式補(bǔ)充等差數(shù)列的前項(xiàng)和可以改寫成.當(dāng)時(shí),是關(guān)于的二次函數(shù)(為正整數(shù)).師:由此我們可以知道等差數(shù)列前項(xiàng)和具有和二次函數(shù)類似的性質(zhì),所以要想求前項(xiàng)和的最大值,我們應(yīng)該怎么做?生:先寫出公式再代入數(shù)值,因?yàn)橐笞钪?所以可以先配方..師:很好.又因?yàn)楣顬樨?fù)數(shù),所以這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和如果先把它看成是二次函數(shù)解析式的話,是不是開口向下?開口向下有最大.所以由解析式我們知道當(dāng)時(shí),取最大,但是因?yàn)閿?shù)列是特殊的函數(shù),自變量必須是正整數(shù),所以我們只能選取離最近的正整數(shù),那么等于多少呢?最大值又是多少呢?生:當(dāng)或6時(shí),取最大,最大值是30.師:正確.和第一種解法得到的答案一致.所以通過(guò)這個(gè)題我們要明確一點(diǎn):計(jì)算等差數(shù)列前項(xiàng)和的最值,可以借助二次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)和方法,但是要注意的是,在等差數(shù)列前項(xiàng)和公式中,自變量只能取正整數(shù),這也是數(shù)列與函數(shù)的主要區(qū)別.師:同學(xué)們,比較一下這兩個(gè)求等差數(shù)列前項(xiàng)和最值的方法,哪個(gè)更簡(jiǎn)便一些?當(dāng)然每個(gè)方法都有不同知識(shí)的側(cè)重點(diǎn),我們重點(diǎn)掌握其中的推理過(guò)程以及思路方法.所以我們?cè)僮鲆坏李愃频乃伎碱}.如果把這道例題中的公差改換成,那么有最大值嗎?采用轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)頂點(diǎn)式的解法作答.【教師引導(dǎo)學(xué)生思考,學(xué)生分組交流,認(rèn)真演算,教師指定學(xué)生回答問題】生:通過(guò)將等差數(shù)列前項(xiàng)和公式化為二次函數(shù)頂點(diǎn)式的方法,得到當(dāng)時(shí),取最大值.師:正確!因?yàn)榍笞钪?我們可以利用二次函數(shù)頂點(diǎn)式求解,所以有沒有解決更一般的等差數(shù)列前項(xiàng)和最大值的通用解法?【簡(jiǎn)單問題解決能力】由已知的二次函數(shù)配方法代入到解決數(shù)列前n項(xiàng)和最大值的問題中,建立數(shù)學(xué)模型,培養(yǎng)學(xué)生的簡(jiǎn)單問題解決能力.【分析計(jì)算能力】通過(guò)對(duì)比由不等式組和二次函數(shù)性質(zhì)求解數(shù)列前n項(xiàng)和的最值.培養(yǎng)學(xué)生的分析計(jì)算能力.【方法策略】求等差數(shù)列的前項(xiàng)和最值的解法2公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)和可以表示成的形式,我們可將其變形為.(1)若,則當(dāng)最小時(shí),有最小值;(2)若,則當(dāng)最小時(shí),有最大值.注:其中,.師:其實(shí)這個(gè)公式還有一個(gè)應(yīng)用,就是已知數(shù)列的前項(xiàng)和公式是,可以判定數(shù)列是等差數(shù)列.綜合前面講到的通項(xiàng)公式,總結(jié)一下判定數(shù)列為等差數(shù)列的幾種方法.【意義學(xué)習(xí)】教師講解了解題思路,通過(guò)類似的思考題,引導(dǎo)學(xué)生思考,學(xué)生分組合作學(xué)習(xí),參與到解決問題的過(guò)程中來(lái),加深對(duì)解題思路的理解.【方法策略】判定數(shù)列為等差數(shù)列的方法1.定義法:證明對(duì)任意正整數(shù)都有等于同一個(gè)常數(shù).2.等差中項(xiàng)法:證明對(duì)任意正整數(shù)都有后,可遞推得出,根據(jù)定義得出數(shù)列為等差數(shù)列.3.通項(xiàng)公式法:得出為常數(shù))后,得對(duì)任意正整數(shù)恒成立,根據(jù)定義判定數(shù)列為等差數(shù)列.4.前項(xiàng)和公式法:得出(為常數(shù))后,根據(jù)的關(guān)系,得出,再使用定義法證明數(shù)列為等差數(shù)列.【概括理解能力】通過(guò)對(duì)通項(xiàng)公式的綜合學(xué)習(xí),概括總結(jié)出判定數(shù)列為等差數(shù)列的方法,鞏固所學(xué)知識(shí),提高學(xué)生的概括理解能力.師:接下來(lái),我們練習(xí)幾道習(xí)題.【鞏固練習(xí)】等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用1.某市一家商場(chǎng)的新年最高促銷獎(jiǎng)設(shè)立了兩種領(lǐng)獎(jiǎng)方式:第一種,獲獎(jiǎng)?wù)呖梢赃x擇2000元的獎(jiǎng)金;第二種,從12月20日到第二年的1月1日,每天到該商場(chǎng)領(lǐng)取獎(jiǎng)品,第1天領(lǐng)取的獎(jiǎng)品價(jià)值為100元,第2天為110元,以后逐天增加10元.你認(rèn)為哪種領(lǐng)獎(jiǎng)方式獲獎(jiǎng)?wù)呤芤娓?2.已知數(shù)列的前項(xiàng)和,求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.3.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為是否存在最大(小)值?如果存在,求出取得最值時(shí)的值.4.求集合,且中元素的個(gè)數(shù),并求這些元素的和.5.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為,前項(xiàng)和為.求取得最小值時(shí)的值.師:好的,同學(xué)們,本節(jié)課我們主要學(xué)了等差數(shù)列前項(xiàng)和公式的應(yīng)用.主要學(xué)習(xí)了:(1)利用等差數(shù)列的單調(diào)性求前項(xiàng)和最值;(2)利用二次函數(shù)的頂點(diǎn)式求前項(xiàng)和最值.因?yàn)榈炔顢?shù)列內(nèi)容比較多,我們分了4個(gè)課時(shí)完成.下面我們組織一個(gè)小組比賽活動(dòng),同學(xué)們分小組,每個(gè)小組內(nèi)一名同學(xué)說(shuō)一條重要知識(shí)或公式,最先說(shuō)完的小組為獲勝組.【學(xué)生分小組活動(dòng),合作交流,積極發(fā)言】師:現(xiàn)在已經(jīng)產(chǎn)生獲勝組,請(qǐng)組內(nèi)一名代表具體幫我們概述一下,等差數(shù)列全部的重點(diǎn)概念.【課堂小結(jié)】等差數(shù)列前n頂和公式的應(yīng)用1.等差數(shù)列的概念.2.等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用3.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式.4.等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的性質(zhì)及應(yīng)用.【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)實(shí)際例子導(dǎo)入、自主、情境、活動(dòng)學(xué)習(xí)等方式,理解等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式的關(guān)系,掌握在具體情境中,發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系,并解決相應(yīng)問題,培養(yǎng)分析計(jì)算、簡(jiǎn)單問題解決能力、提升數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng).教學(xué)評(píng)價(jià)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式本身具有很多性質(zhì),有關(guān)通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式的應(yīng)用問題解法角度會(huì)有多個(gè),解決問題需應(yīng)對(duì)解題策略方法有所選擇.應(yīng)用所學(xué)知識(shí),完成下面各題:1.若數(shù)列為等差數(shù)列,求.思路:本題通過(guò)等差數(shù)列的概念和性質(zhì)來(lái)求解通項(xiàng)公式.解析:方法一:令數(shù)列的首項(xiàng)為,公差為,則即解得方法二:∵,∴.方法三:∵為等差數(shù)列,,∴解得.方法四:∵為等差數(shù)列,∴為等差數(shù)列,∴,又.【設(shè)計(jì)意圖】教師引導(dǎo)學(xué)生整理知識(shí),使學(xué)生體會(huì)知識(shí)的生成、發(fā)展、完善的過(guò)程,通過(guò)具體知識(shí)點(diǎn)的演練,提高學(xué)生的學(xué)科能力,提升核心素養(yǎng).2.等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,若.(1)求公差的取值范圍;(2)為何值時(shí),最大,并說(shuō)明理由.思路:本題通過(guò)利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和性質(zhì)求基本量的取值范圍和最值.解析:(1)由又由,得,代入不等式組,∴解得.(2)方法一:由(1)知:且數(shù)列是遞減數(shù)列,由得即中最后一個(gè)正數(shù)項(xiàng)是開始為負(fù)數(shù)項(xiàng),∴當(dāng)時(shí),最大.方法二:由(1)知:且數(shù)列是遞減數(shù)列,若要最大,需確定數(shù)列中最后一個(gè)非負(fù)數(shù)項(xiàng)是第幾項(xiàng).由