2024-2025學(xué)年滬教版初中數(shù)學(xué)九年級(jí)（上）教案 第22章 相似形22.2相似三角形的判定（第5課時(shí)）

第22章相似形22.2相似三角形的判定第5課時(shí)直角三角形相似的判定教學(xué)目標(biāo)1.掌握判定兩個(gè)直角三角形相似的方法：如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似.2.培養(yǎng)學(xué)生的觀察、發(fā)現(xiàn)、比較、歸納的能力，感受兩個(gè)直角三角形相似的判定方法與直角三角形全等的判定方法(HL)的區(qū)別與聯(lián)系，體驗(yàn)事物間特殊與一般的關(guān)系.3.讓學(xué)生經(jīng)歷從實(shí)驗(yàn)探究到歸納證明的過(guò)程，發(fā)展學(xué)生的合情推理能力.教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：掌握直角三角形相似的判定方法.難點(diǎn)：能熟練地運(yùn)用直角三角形相似的判定定理.教學(xué)過(guò)程導(dǎo)入新課【回顧與思考】如圖，觀察兩副三角尺，其中三個(gè)角角度相同的兩個(gè)三角尺大小可能不同，但它們看起來(lái)是相似的.一般地，如果兩個(gè)三角形有兩組對(duì)應(yīng)角相等，它們一定相似嗎？對(duì)于直角三角形，類比判定直角三角形全等的HL定理，我們能不能通過(guò)兩邊來(lái)判定兩個(gè)直角三角形相似呢？探究新知【活動(dòng)】畫一畫：在圖中邊長(zhǎng)為1的方格上任畫一個(gè)直角三角形，再畫出第二個(gè)直角三角形，使它的一直角邊和斜邊長(zhǎng)都是原三角形的對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)的兩倍.畫完之后，用量角器比較兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)角大小，你發(fā)現(xiàn)了什么結(jié)論？大家的結(jié)論都一樣嗎？【互動(dòng)】（小組討論作圖，教師引導(dǎo)，總結(jié)結(jié)論）發(fā)現(xiàn)：這兩個(gè)三角形相似.【活動(dòng)】探究：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝90°∠C′＝90°.，求證：Rt△ABC∽R(shí)t△A′B′C′.結(jié)論：如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似.幾何語(yǔ)言：在Rt△ABC和Rt△A1B1C1中，∠C＝∠C1＝90°.如果＝k，那么Rt△ABC∽R(shí)t△A1B1C1.【嘗試】（學(xué)生自己解決）例1如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，AC＝5.在Rt△A′B′C′中，∠A′C′B′＝90°，A′C′＝6，A′B′＝10.求證：Rt△ABC∽R(shí)t△B′C′A′.證明：在Rt△ABC中，BC＝＝3，∴.又∵＝，∴＝.又∵∠ABC＝∠A′C′B′＝90°，∴Rt△ABC∽△RtB′C′A′.【互動(dòng)】（師生互動(dòng)，老師引導(dǎo)方法）例2如圖，下列四個(gè)三角形中，與△ABC相似的是（）ＡＢＣＤ解析：設(shè)網(wǎng)格圖中小正方形的邊長(zhǎng)是1，則AB＝，BC＝，AC＝，∴AB∶AC∶BC＝1∶2∶.∵AB2+AC2＝BC2，∴△ABC是直角三角形，且AB∶AC＝1∶2.∵選項(xiàng)A、D不是直角三角形，∴排除A、D選項(xiàng).∵B選項(xiàng)中的三角形的兩直角邊的邊長(zhǎng)比為1∶2，C選項(xiàng)中的三角形的兩直角邊的邊長(zhǎng)比為3∶2，∴選項(xiàng)B正確.答案：B【總結(jié)】以網(wǎng)格圖考查的題目，要應(yīng)用勾股定理分別求出各圖中的三角形的三邊長(zhǎng)，再求解三邊之比，這是解題的關(guān)鍵.【探究】（小組討論，老師引導(dǎo)）例3如圖，∠ABC＝∠CDB＝90°，CB＝a，AC＝b.求當(dāng)BD與a，b之間滿足怎樣的關(guān)系時(shí)，以點(diǎn)A，B，C為頂點(diǎn)的三角形與以C，D，B為頂點(diǎn)的三角形相似？解：∵∠ABC＝∠CDB＝90°，∴當(dāng)時(shí)，△ABC∽△CDB，即.當(dāng)時(shí)，△ABC∽△BDC，即，CD＝，∴BD2＝a2-，BD＝.【探究】（嘗試解決，并思考能得到什么結(jié)論）例4如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8.E是AC上一點(diǎn)，AE＝5，ED⊥AB，垂足為D.求AD的長(zhǎng).【總結(jié)】由此得到一個(gè)判定兩直角三角形相似的方法：有一個(gè)銳角相等的兩個(gè)直角三角形相似.課堂練習(xí)1.在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，已知∠C＝∠C′＝90°.依據(jù)下列各組條件判斷這兩個(gè)三角形是不是相似，并說(shuō)明理由.（1）∠A＝25°，∠B′＝65°；（2）AC＝3，BC＝4，A′C′＝6，B′C′＝8.2.如圖，已知在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠B′A′C′＝∠B′A′C′＝90°，AD，A′D′分別是兩個(gè)三角形斜邊上的高，且CD∶C′D′＝AC∶A′C′.請(qǐng)證明：△ABC∽△A′B′C′.參考答案1.解：（1）∵∠A＝25°，∠C＝90°，∴∠B＝65°，∴∠B＝∠B′＝65°.∵∠C＝∠C′＝90°，∴Rt△ABC∽R(shí)t△A′B′C′.（2）∵AC＝3，BC＝4，A′C′＝6，B′C′＝8，∴，，∴，且∠C＝∠C′＝90°，∴Rt△ABC∽R(shí)t△A′B′C′.2.證明：∵∠ADC＝∠A′D′C′＝90°，，∴△ADC∽△A′D′C′，∴∠C＝∠C′.又∵∠BAC＝∠B′A′C′＝90°，∴△ABC∽△A′B′C′.課堂小結(jié)相似三角形的判定方法：通過(guò)定義，平行于三角形一邊的直線，兩角分別相等，兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，三邊成比例，兩直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例.布置作業(yè)教材第84頁(yè)練習(xí)T1，2，第86頁(yè)習(xí)題T10.板書設(shè)計(jì)如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊