2023-2024學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)單元速記·巧練（湘教版）第四章 相交線與平行線（知識(shí)歸納+題型突破）（原卷版）

第四章相交線與平行線（知識(shí)歸納+題型突破）1、理解對(duì)頂角、余角、補(bǔ)角等概念，探索并掌握對(duì)頂角相等、同角（或等角）的余角相等、同角（或等角）的補(bǔ)角相等的性質(zhì)．2、理解垂線、垂線段等概念，能用三角板或量角器過(guò)一點(diǎn)畫已知直線的垂線．3、能用尺規(guī)作圖：作一條線段的垂直平分線；過(guò)一點(diǎn)作已知直線的垂線．4、掌握基本事實(shí)：同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直．5、理解點(diǎn)到直線的距離的意義，能度量點(diǎn)到直線的距離.6、識(shí)別同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角.7、理解平行線的概念.8、掌握平行線基本事實(shí)I：過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行.9、掌握平行線基本事實(shí)Ⅱ：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行.10、探索并證明平行線的判定定理：兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等（或同旁內(nèi)角互補(bǔ)），那么這兩條直線平行.11、掌握平行線的性質(zhì)定理I：兩條平行直線被第三條直線所截，同位角相等.12、探索并證明平行線的性質(zhì)定理Ⅱ：兩條平行直線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等（或同旁內(nèi)角互補(bǔ)）.13、能用三角板和直尺過(guò)已知直線外一點(diǎn)畫這條直線的平行線.14、能用尺規(guī)作圖：過(guò)直線外一點(diǎn)作這條直線的平行線.15、了解平行于同一條直線的兩條直線平行.一、知識(shí)框架二、知識(shí)概念1.鄰補(bǔ)角：兩條直線相交所構(gòu)成的四個(gè)角中，有公共頂點(diǎn)且有一條公共邊的兩個(gè)角是鄰補(bǔ)角。2.對(duì)頂角：一個(gè)角的兩邊分別是另一個(gè)角的兩邊的反向延長(zhǎng)線，像這樣的兩個(gè)角互為對(duì)頂角。3.垂線：兩條直線相交成直角時(shí)，叫做互相垂直，其中一條叫做另一條的垂線。4.平行線：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線。5.同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角：兩條直線被第三條直線所截所形成的八個(gè)角中，有四對(duì)同位角，兩對(duì)內(nèi)錯(cuò)角，兩對(duì)同旁內(nèi)角。同位角：∠1與∠5像這樣具有相同位置關(guān)系的一對(duì)角叫做同位角。內(nèi)錯(cuò)角：∠4與∠6像這樣的一對(duì)角叫做內(nèi)錯(cuò)角。同旁內(nèi)角：∠4與∠5像這樣的一對(duì)角叫做同旁內(nèi)角。6.命題：判斷一件事情的語(yǔ)句叫命題。7.平移：在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形沿某個(gè)方向移動(dòng)一定的距離，圖形的這種移動(dòng)叫做平移平移變換，簡(jiǎn)稱平移。8.對(duì)應(yīng)點(diǎn)：平移后得到的新圖形中每一點(diǎn)，都是由原圖形中的某一點(diǎn)移動(dòng)后得到的，這樣的兩個(gè)點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)點(diǎn)。9.定理與性質(zhì)對(duì)頂角的性質(zhì)：對(duì)頂角相等。10垂線的性質(zhì)：性質(zhì)1：過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直。性質(zhì)2：連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短。11.平行公理：經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行。平行公理的推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。12.平行線的性質(zhì)：性質(zhì)1：兩直線平行，同位角相等。性質(zhì)2：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等。性質(zhì)3：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。13.平行線的判定：判定1：同位角相等，兩直線平行。判定2：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行。判定3：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行。題型一平面上兩條直線的位置關(guān)系【例1】（23-24七年級(jí)上·山東聊城·期中）平面上的三條直線最多可將平面分成（

）部分A．4 B．6 C．7 D．8【例2】平面內(nèi)兩兩相交的條直線，其交點(diǎn)個(gè)數(shù)最少為個(gè)，最多為個(gè)，則等于（

）A． B． C． D．以上都不對(duì)【例3】（23-24七年級(jí)下·貴州黔東南·階段練習(xí)）如圖所示，直線和相交于點(diǎn)O，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【例4】（23-24七年級(jí)下·河北邢臺(tái)·階段練習(xí)）如圖，直線，被直線和所截，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．與是同位角 B．與是內(nèi)錯(cuò)角C．與是同旁內(nèi)角 D．，，互為鄰補(bǔ)角鞏固訓(xùn)練：1．如下圖，在一張白紙上畫條直線，最多能把白紙分成部分（如圖（1）），畫條直線，最多能把白紙分成部分（如圖（2）），畫條直線，最多能把白紙分成部分（如圖（3）），......，當(dāng)在一張白紙上畫條直線，最多能把白紙分成（）A．部分 B．部分 C．部分 D．部分2．（23-24七年級(jí)下·全國(guó)·課后作業(yè)）當(dāng)光線從空氣中射入水中時(shí)，光線的傳播方向發(fā)生了變化，這種現(xiàn)象叫做光的折射．如圖，直線與相交于點(diǎn)，一束光線沿射入水面，在點(diǎn)處發(fā)生折射，沿射入水中，如果，，那么光的傳播方向改變了（）A． B． C． D．3．（22-23七年級(jí)下·湖北武漢·階段練習(xí)）如圖，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．與是鄰補(bǔ)角 B．與是同位角C．與是內(nèi)錯(cuò)角 D．與是同旁內(nèi)角4．（23-24七年級(jí)下·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，的同位角有（）A． B．或 C．或 D．或或5．（2024·廣東佛山·一模）兩條直線被第三條直線所截，形成了常說(shuō)的“三線八角”，為了便于記憶，同學(xué)們可用雙手表示“三線八角”（兩大拇指代表被截直線，兩只食指在同一直線上代表截線），如圖，它們構(gòu)成的一對(duì)角可以看成（

）A．同位角 B．同旁內(nèi)角 C．內(nèi)錯(cuò)角 D．對(duì)頂角6．（22-23七年級(jí)下·湖北武漢·階段練習(xí)）如圖，三條直線兩兩相交，與是角，與是角，與是角．7．（23-24七年級(jí)下·吉林白城·階段練習(xí)）如圖，直線a、b相交于點(diǎn)O，若，則度．9．（23-24七年級(jí)下·河北保定·階段練習(xí)）如圖，已知直線相交于點(diǎn)O，射線把分成兩部分．（1）寫出圖中的對(duì)頂角，的補(bǔ)角是；（2）已知，且，則的度數(shù)為．10．（22-23七年級(jí)下·湖北省直轄縣級(jí)單位·階段練習(xí)）問(wèn)題：我們知道平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系有兩種：相交、平行，那在同一平面內(nèi)多條直線的位置關(guān)系又如何？現(xiàn)準(zhǔn)備研究在同一平面內(nèi)，有且僅有兩條直線平行的條直線產(chǎn)生的交點(diǎn)個(gè)數(shù)情況．（是不小于3的正整數(shù)）(1)【初探】當(dāng)時(shí)，交點(diǎn)個(gè)數(shù)有________個(gè)；當(dāng)時(shí)，交點(diǎn)個(gè)數(shù)有________個(gè)；(2)【再探】當(dāng)時(shí)，交點(diǎn)個(gè)數(shù)最多有________個(gè)；(3)【歸納】請(qǐng)你求出在同一平面內(nèi)，有且僅有兩條直線平行的條直線最多能產(chǎn)生多少個(gè)交點(diǎn)；(4)【運(yùn)用】在同一平面內(nèi)，有且僅有兩條直線平行的12條直線最多能產(chǎn)生多少個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)，圖中共有多少對(duì)對(duì)頂角？11．（23-24七年級(jí)下·貴州黔東南·階段練習(xí)）觀察以下圖形，尋找對(duì)頂角及鄰補(bǔ)角．

(1)圖（1）中共有對(duì)對(duì)頂角，對(duì)鄰補(bǔ)角．(2)圖（2）中共有對(duì)對(duì)頂角，對(duì)鄰補(bǔ)角．(3)圖（3）中共有對(duì)對(duì)頂角，對(duì)鄰補(bǔ)角．(4)根據(jù)上面的規(guī)律，直線條數(shù)與對(duì)頂角對(duì)數(shù)之間的關(guān)系為∶若n條直線相交于一點(diǎn)，則可形成對(duì)對(duì)頂角，對(duì)鄰補(bǔ)角．(5)若100條直線相交于一點(diǎn)，則可形成多少對(duì)對(duì)頂角？多少對(duì)鄰補(bǔ)角？題型二平移【例1】（2024七年級(jí)下·浙江·專題練習(xí)）如圖所示的圖案分別是奔馳、奧迪、大眾、三菱汽車的車標(biāo)，其中，可以看作由“基本圖案”經(jīng)過(guò)平移得到的是（

）A．B．C． D．【例2】（23-24八年級(jí)下·山東濟(jì)南·階段練習(xí)）如圖，將沿方向平移得到，若的周長(zhǎng)為，則四邊形的周長(zhǎng)為．【例3】（23-24七年級(jí)下·河南·階段練習(xí)）如圖，三角形的邊長(zhǎng)為，將三角形向右平移得到三角形，已知四邊形為長(zhǎng)方形，則陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【例4】（22-23七年級(jí)下·湖北武漢·階段練習(xí)）某公園內(nèi)有一長(zhǎng)方形花壇，想在花壇內(nèi)修筑同樣寬的兩條小路（陰影部分）供游客賞花，現(xiàn)有如圖所示甲、乙兩種設(shè)計(jì)方案（兩種方案中小路寬度一樣），則關(guān)于兩種設(shè)計(jì)方案中的小路，以下說(shuō)法正確的是（

）A．面積相等，周長(zhǎng)不相等 B．面積不相等，周長(zhǎng)相等C．面積和周長(zhǎng)都相等 D．面積和周長(zhǎng)都不相等鞏固訓(xùn)練1．（23-24七年級(jí)下·河北邢臺(tái)·階段練習(xí)）如圖，直徑為4的第一個(gè)圓向右平移得到第二個(gè)圓，若圖中陰影部分的周長(zhǎng)為，則平移的距離為（）A． B． C． D．2．（23-24七年級(jí)下·河北保定·階段練習(xí)）如圖，兩個(gè)直角三角形重疊在一起，將其中一個(gè)沿點(diǎn)B到點(diǎn)C的方向平移到的位置，，，，平移距離為12，則陰影部分的面積（

）A．160 B．168 C．180 D．1923．（2024·云南·模擬預(yù)測(cè)）如圖，中，，把沿直線向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度得到，則四邊形的面積是（

）

A．22 B．18 C．15 D．244．（23-24八年級(jí)上·山東淄博·期末）如圖，將沿方向平移到，若A，D之間的距離為2，，則等于（

）

A．6 B．7 C．8 D．95．（2024七年級(jí)下·江蘇·專題練習(xí)）如圖，，將直角三角形沿著射線方向平移，得三角形，已知，，則陰影部分的面積為（）A． B． C． D．6．（23-24七年級(jí)下·江西上饒·階段練習(xí)）如圖，把一個(gè)三角形紙板的一邊緊靠數(shù)軸平移，則點(diǎn)平移的距離為．7．（22-23七年級(jí)下·遼寧鞍山·階段練習(xí)）如圖，是一塊長(zhǎng)方形場(chǎng)地，米，米，從兩處入口的小路都為1米，兩小路匯合處路寬為2米，其余部分種植草坪，則草坪面積為米．8．（23-24七年級(jí)下·江蘇徐州·階段練習(xí)）如圖，原來(lái)是重疊的兩個(gè)直角三角形，將其中一個(gè)三角形沿著方向平移線段的距離，就得到此圖形，陰影部分面積為．9．（23-24七年級(jí)下·河北石家莊·階段練習(xí)）如圖所示，三角形的邊在數(shù)軸上，，將三角形沿?cái)?shù)軸的負(fù)方向平移至三角形的位置(1)和的數(shù)量關(guān)系為，位置關(guān)系為；度；(2)若點(diǎn)D表示的數(shù)為，點(diǎn)A表示的數(shù)為0，點(diǎn)C表示的數(shù)為4①求點(diǎn)F表示的數(shù)；②若，求四邊形的周長(zhǎng)10．（23-24八年級(jí)下·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，是由沿箭頭方向平移得到的．(1)若，求的度數(shù)；(2)若，求的長(zhǎng)；(3)若，求，的長(zhǎng)．題型三平行線的性質(zhì)與判定【例1】（23-24七年級(jí)上·山東濱州·期末）如圖，，則的度數(shù)是（

）．

A． B． C． D．【例2】（22-23八年級(jí)上·貴州六盤水·期末）如圖，把一塊直角三角板的直角頂點(diǎn)放在直尺的一邊上，如果，那么的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【例3】（23-24七年級(jí)下·河北邢臺(tái)·階段練習(xí)）在同一平面內(nèi)，有直線，已知，，，，…，按此規(guī)律下去，若，則的值可以是（）A．42 B．47 C．63 D．85【例4】（23-24七年級(jí)下·江蘇泰州·階段練習(xí)）根據(jù)解答過(guò)程填空（理由或數(shù)學(xué)式）已知：如圖，平分交于點(diǎn)，求證：．證明：（已知），（______），（______），平分（已知），（______），（等量代換），（已知），（等量代換），（______），（______）．【例5】（23-24七年級(jí)下·江蘇南通·階段練習(xí)）如圖，已知，，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．(1)求證：；(2)若，，求的度數(shù)．鞏固訓(xùn)練1．（23-24八年級(jí)上·山東青島·期末）如圖：，平分，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．2．（22-23七年級(jí)下·江蘇南通·期末）如圖，在中，，點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在直線上，且直線∥MN，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．3．（23-24七年級(jí)上·江蘇鹽城·期末）將一副三角板按如圖所示的方式擺放，其中，，．若，則的度數(shù)為．4．（23-24八年級(jí)上·山東菏澤·期末）如圖所示，已知，直線分別交于E、F兩點(diǎn)，平分，交于點(diǎn)G．若，則度．5．（22-23七年級(jí)下·四川成都·期末）將一個(gè)含有角的直角三角板如圖所示放置，其中一個(gè)角的頂點(diǎn)落在直線上，含角的頂點(diǎn)落在直線上．若，，則的度數(shù)為．6．（23-24八年級(jí)上·河南鄭州·期末）一桿古秤在稱物體時(shí)的狀態(tài)如圖所示，已知，則的度數(shù)是．

7．（22-23七年級(jí)下·江蘇泰州·期末）如圖所示，一條公路修到湖邊時(shí)，需拐彎繞湖而過(guò)，如果第一次拐的角，第二次拐的角，第三次拐的角是，這時(shí)的道路恰好和第一次拐彎之前的道路平行，則是度．8．（23-24七年級(jí)上·河南南陽(yáng)·期末）如圖，直線，且分別與直線交于，兩點(diǎn)，把一塊含角的三角尺按如圖所示的位置擺放，若，則．

9．（23-24七年級(jí)下·江蘇徐州·階段練習(xí)）如圖，直線被直線所截，添加一個(gè)條件，使．10．（23-24七年級(jí)下·江蘇·周測(cè)）如圖，，，，求和的度數(shù)．

11．（23-24七年級(jí)下·吉林·階段練習(xí)）如圖，已知，求證：．

12．（22-23七年級(jí)下·湖北武漢·階段練習(xí)）已知，，，求證：．13．（23-24七年級(jí)下·全國(guó)·課后作業(yè)）在同一平面內(nèi)，有2024條互不重合的直線，若，，以此類推，試判斷和的位置關(guān)系．14．（22-23七年級(jí)下·湖北武漢·階段練習(xí)）如圖，，．求證：．證明：（

），又，（

），（

），（

），又，，（

）．題型四根據(jù)平行線的性質(zhì)與判定探究角的度數(shù)與關(guān)系【例1】（23-24七年級(jí)上·河南新鄉(xiāng)·期末）在綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“一個(gè)含30°的直角三角尺和兩條平行線”為背景開展數(shù)學(xué)活動(dòng)．已知兩直線，，且，直角三角尺中，，．圖1

圖2

圖3(1)【操作發(fā)現(xiàn)】如圖1，當(dāng)三角尺的頂點(diǎn)在直線上時(shí)，若，則______；(2)【探索證明】如圖2，當(dāng)三角尺的頂點(diǎn)在直線上時(shí)，請(qǐng)寫出與間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)【拓展應(yīng)用】如圖3，把三角尺的頂點(diǎn)放在直線上且保持不動(dòng)，旋轉(zhuǎn)三角尺，點(diǎn)始終在直線（為直線上一點(diǎn)）的上方，若存在（），請(qǐng)直接寫出射線與直線所夾銳角的度數(shù)．【例2】（23-24七年級(jí)上·四川遂寧·期末）如圖，直線，直線與分別交于點(diǎn)G，H，．小明將一個(gè)直角三角形按如圖①放置，使點(diǎn)N、M分別在直線上，且在點(diǎn)C、H的右側(cè)，．(1)填空：度；(2)若的平分線交直線于點(diǎn)O，如圖②．①當(dāng)時(shí)，求α的度數(shù)；②小明將三角形沿直線左右移動(dòng)，保持，點(diǎn)N、M分別在直線和直線上移動(dòng)，請(qǐng)直接寫出的度數(shù)（用含α的式子表示）．【例3】（23-24七年級(jí)上·重慶沙坪壩·期末）如圖，已知為直線上一點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在直線上（在的右側(cè)）且滿足在外部且平分交于點(diǎn)．(1)如圖1，若，求的度數(shù)；(2)如圖2，若射線上有一點(diǎn)滿足，請(qǐng)?zhí)骄颗c之間的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由；(3)如圖3，若，射線從與射線重合的位置出發(fā)，繞點(diǎn)以每秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，同時(shí)射線從與射線重合的位置出發(fā)，繞點(diǎn)以每秒的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為秒，當(dāng)射線和射線平行時(shí)，求出的值．【例4】（23-24七年級(jí)上·浙江金華·期末）如圖，三角尺的直角頂點(diǎn)P在直線上，其中，．

(1)如圖①，若，求的度數(shù)．(2)如圖②，若，平分，求的度數(shù)．(3)在（1）的條件下，將三角尺繞點(diǎn)P以每秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)t秒后得到三角尺，如圖③，當(dāng)時(shí)，求t的值．鞏固訓(xùn)練1．（22-23八年級(jí)上·河南駐馬店·期末）（1）【感知】如圖①，，點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在直線上，點(diǎn)為之間一點(diǎn)，求證：．小明想到以下的方法，請(qǐng)你幫忙完成推理過(guò)程．證明：如圖①，過(guò)點(diǎn)作．（已知），（_______），（_______），（等式的基本性質(zhì)），．（2）【應(yīng)用】小明同學(xué)進(jìn)行了更進(jìn)一步的思考：利用【感知】中的結(jié)論進(jìn)行證明如圖②，直線，點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在直線上，直線分別平分，且交于點(diǎn)．猜想并證明與的數(shù)量關(guān)系．（3）【拓展】如圖③，，直線與分別交于點(diǎn)，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，，若動(dòng)點(diǎn)在線段上移動(dòng)（不與重合），連接和的平分線交于點(diǎn)，補(bǔ)全圖形（不必尺規(guī)作圖），請(qǐng)直接寫出與的數(shù)量關(guān)系．2．（23-24七年級(jí)上·山東濟(jì)南·期末）【閱讀探究】（1）如圖1，分別是上的點(diǎn)，點(diǎn)在兩平行線之間，，求的度數(shù)．解：過(guò)點(diǎn)作，所以______，因?yàn)椋?，所以______，因?yàn)椋裕?）從上面的推理過(guò)程中，我們發(fā)現(xiàn)平行線可將和“湊”在一起，得出角之間的關(guān)系，使問(wèn)題得以解決．進(jìn)一步研究，我們可以發(fā)現(xiàn)圖1中和之間存在一定的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系為________．【方法應(yīng)用】（3）如圖2，分別是上的點(diǎn)，點(diǎn)在兩平行線之間，，求的度數(shù)．【應(yīng)用拓展】（4）如圖3，分別是上的點(diǎn)，點(diǎn)在兩平行線之間，作和的平分線，交于點(diǎn)（交點(diǎn)在兩平行線之間），若，則的度數(shù)為________（用含的式子表示）．3．（23-24七年級(jí)上·四川宜賓·期末）如圖，，點(diǎn)、分別在直線，上，為直線和之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足．(1)如圖1，、、之間的數(shù)量關(guān)系為．(2)如圖2，、、之間的數(shù)量關(guān)系為．(3)如圖3，，分別平分和，點(diǎn)在左側(cè)，點(diǎn)在右側(cè)．①若，求的度數(shù)．②猜想規(guī)律：與的數(shù)量關(guān)系可表示為．③如圖4，若與的角平分線交于點(diǎn)，與的角平分線交于點(diǎn)，與的角平分線交于點(diǎn)，……依此類推，則與的數(shù)量關(guān)系是．4．（23-24八年級(jí)上·山西運(yùn)城·期末）已知，直線，點(diǎn)P為平面上一點(diǎn)，連接與．(1)如圖1，點(diǎn)P在直線，之間，當(dāng)，時(shí)，求的度數(shù)．(2)如圖2，點(diǎn)P在直線，之間，與的角平分線相交于點(diǎn)K，寫出與之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．(3)如圖3，點(diǎn)P落在外．①直接寫出、、的數(shù)量關(guān)系為______．②與的角平分線相交于點(diǎn)K，請(qǐng)直接寫出與的數(shù)量關(guān)系為______．5．（23-24八年級(jí)上·江西吉安·期末）如圖，已知，．點(diǎn)是射線上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)不重合），，分別平分和交射線于點(diǎn)E，F(xiàn)．(1)求的度數(shù)，若，請(qǐng)直接用含的式子表示；(2)隨著點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，設(shè)，，與之間的數(shù)量關(guān)系是否改變？若不改變，請(qǐng)求出此數(shù)量關(guān)系；若改變，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出的度數(shù)．6．（23-24七年級(jí)上·四川宜賓·期末）已知直線，在三角形紙板中，，(1)將三角形按如圖1放置，點(diǎn)E和點(diǎn)G分別在直線上，若，則°(2)將三角形按如圖2放置，點(diǎn)E和點(diǎn)G分別在直線上，交于點(diǎn)H，若，，試求、之間的數(shù)量關(guān)系；(3)在圖2中，若，，將三角形繞點(diǎn)F以每秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)三角形兩條直角邊分別與平行時(shí)，求出相應(yīng)t的值（直接寫出答案）．7．（23-24八年級(jí)上·安徽安慶·期末）問(wèn)題情境：如圖1，，，，求的度數(shù)．問(wèn)題遷移：(1)如圖2，，點(diǎn)P在射線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P在A，B兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，，，求，，之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．(2)在（1）的條件下，如果點(diǎn)P在A，B兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)P與點(diǎn)A，B，O三點(diǎn)不重合），請(qǐng)直接寫出，，之間的數(shù)量關(guān)系．8．（23-24八年級(jí)上·陜西榆林·期末）綜合與探究某學(xué)習(xí)小組發(fā)現(xiàn)一個(gè)結(jié)論：已知直線，若直線，則．他們發(fā)現(xiàn)這個(gè)結(jié)論運(yùn)用很廣、請(qǐng)你利用這個(gè)結(jié)論解決以下問(wèn)題．已知直線，點(diǎn)在，之間，點(diǎn)，分別在直線，上，連接，．(1)如圖1，作，運(yùn)用上述結(jié)論，探究與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．(2)如圖2，，，求出與之間的數(shù)量關(guān)系．(3)如圖3，直接寫出，，，，之間的數(shù)量關(guān)系：__________．9．（23-24八年級(jí)上·重慶長(zhǎng)壽·期末）如圖，直線，連接線段，直線、及線段把平面分成①、②、③、④四個(gè)部分，規(guī)定∶線上各點(diǎn)不屬于任何部分．當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P落在某個(gè)部分時(shí)，連接、，構(gòu)成、、三個(gè)角．(1)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P落在第①部分時(shí)，如圖1，求證：；(2)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P落在第②部分時(shí)，是否成立？在圖2中畫出圖形，若成立，寫出推理過(guò)程，若不成立，直接寫出這三個(gè)角之間的關(guān)系．(3)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P落在第③部分時(shí)，延長(zhǎng)，點(diǎn)P在射線的左側(cè)和右側(cè)時(shí)，分別探究、、之間的關(guān)系，在圖3中畫出圖形，并直接寫出相應(yīng)的結(jié)論．10．（23-24七年級(jí)上·重慶渝中·期末）如圖，直線，直線分別交、于點(diǎn)、．點(diǎn)在直線上方，點(diǎn)在直線上（在點(diǎn)的右邊），連接，平分．(1)如圖1，若，求的度數(shù)；(2)如圖2，若平分，直線交于點(diǎn)，請(qǐng)?zhí)骄颗c之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)如圖3，在（2）問(wèn)的條件下，連接并延長(zhǎng)．若，，將繞著點(diǎn)以每秒的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為秒，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，射線始終平分，是內(nèi)部一條射線，平分，當(dāng)，且的度數(shù)為射線與直線所夾銳角的倍時(shí)，直接寫出的值（本題研究的所有角度均小于）．11．（22-23七年級(jí)上·河南南陽(yáng)·期末）如圖，已知．點(diǎn)P是射線上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A不重合），，的角平分線分別交射線于點(diǎn)C，D．(1)①的度數(shù)是______；②∵，∴______；(2)求的度數(shù)；(3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，與之間的數(shù)量關(guān)系是否隨之發(fā)生變化？若不變化，請(qǐng)寫出它們之間的關(guān)系；若變化，請(qǐng)寫出變化規(guī)律．(4)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到使時(shí)，的度數(shù)是______．12．（21-22七年級(jí)下·浙江寧波·期末）已知直線，和，分別交于，點(diǎn)，點(diǎn)，分別在線，上，且位于的左側(cè)，點(diǎn)在直線上，且不和點(diǎn)，重合．(1)如圖1，點(diǎn)P在線段上，，，求的度數(shù)．(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試判斷，，的數(shù)量關(guān)系，直接寫出結(jié)果，不需要說(shuō)明理由．題型五平行線的性質(zhì)在生活中的應(yīng)用【例1】（21-22六年級(jí)下·山東東營(yíng)·期末）實(shí)驗(yàn)證明，平面鏡反射光線的規(guī)律是：射到平面鏡上的光線和被反射出的光線與平面鏡所夾的銳角相等．如圖1，一束光線m射到平面鏡a上，被a反射后的光線為n，則入射光線m、反射光線n與平面鏡a所夾的銳角．(1)利用這個(gè)規(guī)律人們制作了潛望鏡，圖2是潛望鏡工作原理示意圖，AB、CD是平行放置的兩面平面鏡．已知光線經(jīng)過(guò)平面鏡反射時(shí)，有，，請(qǐng)解釋進(jìn)入潛望鏡的光線m為什么和離開潛望鏡的光線是平行的？（請(qǐng)把證明過(guò)程補(bǔ)充完整）理由：∵（已知），∴（①），∵，（已知），∴（②），∴，即：，∴（③）(2)顯然，改變兩面平面鏡AB、CD之間的位置關(guān)系，經(jīng)過(guò)兩次反射后，入射光線m與反射光線n之間的位置關(guān)系會(huì)隨之改變，如圖3，一束光線m射到平面鏡AB上，被AB反射到平面鏡CD上，又被CD反射．若被CD反射出的光線n和光線m平行，且，則∠6=______°，∠ABC=______°．(3)請(qǐng)你猜想：圖3中，當(dāng)兩平面鏡AB、CD的夾角∠ABC=______°時(shí)，可以使任何入射光線m經(jīng)過(guò)平面鏡AB、CD的兩次反射后，與反射光線n平行、請(qǐng)說(shuō)明理由．【例2】（22-23七年級(jí)下·吉林松原·期末）如圖，，、分別為直線、上兩點(diǎn)，且，若射線繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至后立即回轉(zhuǎn)，射線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至后立即回轉(zhuǎn)，兩射線分別繞點(diǎn)、點(diǎn)不停地旋轉(zhuǎn)，若射線轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是秒，射線轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是秒，且、滿足．（友情提醒：鐘表指針走動(dòng)的方向?yàn)轫槙r(shí)針?lè)较颍?1)，；(2)若射線、射線同時(shí)旋轉(zhuǎn)，問(wèn)至少旋轉(zhuǎn)多少秒時(shí)，射線、射線互相垂直．(3)若射線繞點(diǎn)順時(shí)針先轉(zhuǎn)動(dòng)18秒，射線才開始繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在射線到達(dá)之前，問(wèn)射線再轉(zhuǎn)動(dòng)多少秒時(shí)，射線、射線互相平行？【例3】（22-23七年級(jí)下·江蘇泰州·期末）如圖1是一盞可折疊臺(tái)燈．圖2、圖3是其平面示意圖，支架、為固定支撐桿，支架可繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)調(diào)節(jié)．已知燈體頂角，頂角平分線始終與垂直．

(1)如圖2，當(dāng)支架旋轉(zhuǎn)至水平位置時(shí)，恰好與平行，求支架與水平方向的夾角的度數(shù)；(2)若將圖2中的繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置，求此時(shí)與水平方向的夾角的度數(shù)．鞏固訓(xùn)練1．（22-23七年級(jí)下·云南昆明·期末）光線在不同介質(zhì)中的傳播速度是不同的，因此光線從水中射向空氣時(shí)，要發(fā)生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光線，在空氣中也是平行的．如圖，若平行光線由水中射向空氣時(shí)所形成的，則為（）A． B． C． D．2．（21-22七年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·期末）一輛汽車在筆直的公路上行駛，兩次拐彎后，與在原來(lái)的方向的垂直方向前進(jìn)，那么兩次拐彎的角度可能是（

）A．第一次左拐，第二次右拐 B．第一次左拐，第二次左拐C．第一次右拐，第二次左拐 D．第一次右拐，第二次右拐3．（23-24九年級(jí)上·貴州貴陽(yáng)·期中）如圖，一條街道有兩個(gè)拐角和，已知，若，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．4．（22-23七年級(jí)下·河北滄州·期末）如圖是小亮繪制的潛望鏡原理示意圖，兩個(gè)平面鏡的鏡面與平行，入射光線m與出射光線n平行，若入射光線m與鏡面的夾角，且，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．5．（22-23七年級(jí)下·貴州黔南·期中）如圖，的一邊是平面鏡，，點(diǎn)C是上一點(diǎn)，一束光線從點(diǎn)C射出，經(jīng)過(guò)平面鏡上的點(diǎn)D反射后沿射線射出，已知，要使反射光線，則的度數(shù)是度．

6．（22-23七年級(jí)下·河北承德·期末）為保證安全，某兩段鐵路兩旁安置了兩座可旋轉(zhuǎn)探照燈A，B，探照燈的光線可看作射線如圖，燈A的光線從射線開始，繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至射線上便立即回轉(zhuǎn)，燈B光線從射線開始，繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至射線便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視．已知，連接，，則；若燈B的光線先轉(zhuǎn)動(dòng)，每秒轉(zhuǎn)動(dòng)，45秒后燈A的光線才開始轉(zhuǎn)動(dòng)，每秒轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈B的光線第一次到達(dá)之前，燈A的光線轉(zhuǎn)動(dòng)秒時(shí)，兩燈的光線互相平行．

7．（2023七年級(jí)下·江蘇·專題練習(xí)）如圖，在兩條筆直且平行的景觀道上放置P，Q兩盞激光燈．其中光線按順時(shí)針?lè)较蛞悦棵氲乃俣刃D(zhuǎn)至邊便立即回轉(zhuǎn)，并不斷往返旋轉(zhuǎn)；光線按順時(shí)針?lè)较蛞悦棵氲乃俣刃D(zhuǎn)至邊就停止旋轉(zhuǎn)，此時(shí)光線也停止旋轉(zhuǎn)．若光線先轉(zhuǎn)4秒，光線才開始轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，光線旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為秒．8．（22-23七年級(jí)上·福建泉州·期末）光線從空氣射入水中時(shí)，光線的傳播方向會(huì)發(fā)生改變，這就是折射現(xiàn)象．如圖，水面與底面平行，光線從空氣射入水里時(shí)發(fā)生了折射，變成光線射到水底C處射線X是光線的延長(zhǎng)線，，，則的度數(shù)為．9．（23-24八年級(jí)上·山西大同·階段練習(xí)）如圖、一艘輪船由B處向C處航行，C處在B處的北偏東方向上，在海島上的觀察所A測(cè)得B在A的南偏西方向上，若輪船行駛到C處時(shí)測(cè)得，求從C處看A、B兩處的視角的度數(shù)．

題型六垂線【例1】（23-24七年級(jí)下·山東青島·單元測(cè)試）下列圖形中，線段的長(zhǎng)表示點(diǎn)A到直線距離的是（

）A．B． C．D．【例2】（23-24七年級(jí)上·浙江·期末）如圖，直線，相交于點(diǎn)，平分，設(shè)，，下列結(jié)論：①，則；②若，則；③若，則；④若平分．則其中正確的結(jié)論是（

）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【例3】（23-24七年級(jí)下·河北保定·階段練習(xí)）如圖，在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)O作已知直線a的平行線和垂線，可作的條數(shù)分別是m條和n條，則的值為（

）

A．0條 B．1條 C．2條 D．無(wú)數(shù)條【例4】（23-24七年級(jí)下·山東青島·單元測(cè)試）如圖，要在渠岸上找一點(diǎn)，在點(diǎn)處開溝，把水渠中的水引到點(diǎn)，要使溝最短，線段與渠岸的位置關(guān)系應(yīng)是，理由是．【例5】（22-23七年級(jí)下·內(nèi)蒙古呼和浩特·期中）如圖，中，，，，，P為直線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，則線段的最小值是，原因是．【例6】（23-24七年級(jí)上·江蘇宿遷·期末）解答下列問(wèn)題：(1)畫線段、，并延長(zhǎng)、相交于點(diǎn)E；(2)畫直線，射線；(3)過(guò)D點(diǎn)作；(4)過(guò)D點(diǎn)作．鞏固訓(xùn)練1．（23-24七年級(jí)下·河北邢臺(tái)·階段練習(xí)）為直線外一點(diǎn)，，，為直線上三點(diǎn)，，，，則點(diǎn)到直線的距離為（）A．，或 B．C．小于 D．不大于2．（23-24七年級(jí)下·河南·階段練習(xí)）為直線外一點(diǎn)，為直線上三點(diǎn)，，，，則點(diǎn)到直線的距離不可能是（

）A． B． C． D．3．（22-23七年級(jí)上·河南鶴壁·期末）點(diǎn)P為直線m外一點(diǎn)，點(diǎn)P到直線m上的三點(diǎn)A，B，C的距離分別為，，，則點(diǎn)P到直線m的距離可能為（

）A．2cm B．4cm C．5cm D．7cm4．（23-24七年級(jí)上·吉林長(zhǎng)春·期末）如圖，點(diǎn)A，D在直線m上，點(diǎn)，在直線上，，，，點(diǎn)A到直線的距離是（）A．線段的長(zhǎng)度 B．線段的長(zhǎng)度C．線段的長(zhǎng)度 D．線段的長(zhǎng)度5．（22-23七年級(jí)下·云南迪慶·期末）如圖所示，直線，相交于點(diǎn)，于點(diǎn)，且，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．6．（23-24七年級(jí)下·四川瀘州·階段練習(xí)）如圖，中，，，，，P為直線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，則線段的最小值是．7．（23-24七年級(jí)下·廣西南寧·階段練習(xí)）如圖，這是小明同學(xué)在體育課上跳遠(yuǎn)測(cè)量的方法，其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)道理是．8．（23-24七年級(jí)下·河北石家莊·階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)C到直線的距離是線段的長(zhǎng)度.9．（22-23七年級(jí)下·新疆烏魯木齊·期末）如圖，已知，，若，．10．（23-24七年級(jí)上·江蘇宿遷·期末）如圖，已知，．若，則．

11．（23-24七年級(jí)上·四川綿陽(yáng)·期末）如圖，已知點(diǎn)在直線上，平分，點(diǎn)在直線的上方，設(shè)與互補(bǔ)，平分，則．（用含的式子表示）12．（23-24七年級(jí)上·浙江寧波·期末）如圖，是的邊上一點(diǎn)．(1)過(guò)點(diǎn)畫的垂線，垂足為點(diǎn)．(2)________（填“”、“”或“”），依據(jù)是________________．13．（23-24七年級(jí)下·山東濟(jì)寧·階段練習(xí)）火車站，碼頭分別位于兩點(diǎn)，直線分別表示鐵路與河流．按下列要求，請(qǐng)畫圖并說(shuō)明理由：(1)從火車站到碼頭怎樣走最近？(2)從碼頭到鐵路怎樣走最近？14．（23-24七年級(jí)上·河南新鄉(xiāng)·階段練習(xí)）如圖，一輛汽車在直線形公路上由A向B行駛，點(diǎn)C，D分別是位于公路兩側(cè)的村莊，設(shè)汽車行駛到點(diǎn)E時(shí)，離村莊C最近，行駛到點(diǎn)F時(shí)，離村莊D最近．(1)請(qǐng)你在上分別畫出E，F(xiàn)兩點(diǎn)的位置；(2)如果在公路上有一個(gè)點(diǎn)P到村莊C和村莊D的距離之和最短，請(qǐng)?jiān)诠飞袭嫵鳇c(diǎn)P．15．（23-24七年級(jí)上·福建福州·期末）按照下列要求完成畫圖及問(wèn)題解答．(1)分別畫直線和射線；(2)畫線段，取的中點(diǎn)；(3)過(guò)點(diǎn)畫直線的垂線，交直線于點(diǎn)；(4)測(cè)量點(diǎn)到直線的距離為______．16．（23-24七年級(jí)下·河南·階段練習(xí)）如圖，已知，，，將下面“判斷與的位置關(guān)系”的過(guò)程補(bǔ)充完整．證明：，（已知）______．（兩直線平行，______），，（______）______，______，（______），（等量代換）____________，即．______．（______，兩直線平行）17．（22-23七年級(jí)下·新疆烏魯木齊·期末）如圖，直線、相交于點(diǎn)O，，且平分，若，求的度數(shù)．18．（23-24七年級(jí)下·吉林白城·階段練習(xí)）如圖，直線與相交于點(diǎn)O，垂直，垂直，是的平分線．(1)請(qǐng)直接寫出圖中的鄰補(bǔ)角；(2)如果，求的度數(shù)；(3)在（2）的條件下，經(jīng)過(guò)點(diǎn)O在內(nèi)部作射線，使得，求的度數(shù)．題型七兩條平行線間的距離【例1】（22-23七年級(jí)上·河北秦皇島·開學(xué)考試）如圖，平行線間的三個(gè)圖形，下列說(shuō)法正確的是（

）

A．平行四邊形的面積大B．三角形的面積大C．梯形的面積大