高中數(shù)學(xué)（必修五）校本教材正文

第一章解三角形

§1.1.1正弦定理

重點(diǎn)與難點(diǎn)：

重點(diǎn)：正弦定理的探索和證明及其基本應(yīng)用。

難點(diǎn)：已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時(shí)判斷解的個數(shù)。

知識方法歸納：

1.通過對任意三角形邊長和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法;

2.會運(yùn)用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解斜三角形的兩類基本問題。

范例剖析：

例1.在AABC中，已知A=32.0°,B=81.8°,a=42.9cm,解三角形。

點(diǎn)評：直接使用正弦定理解題，對于運(yùn)算復(fù)雜的可利用計(jì)算器

訓(xùn)練1.在AABC中，已知a=20cm,b=28cm,A=40°,解三角形［角度精確到1°,邊長

精確到1cm）。

點(diǎn)評：應(yīng)注意已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時(shí)，可能有兩解的情形。

例2.已知AABC中，ZA=60°,a=求——,，十絲?！?/p>

sinJ+sinZ/+sin6'

a+0+c

點(diǎn)評:在AABC中，等式布=A（A>0）恒成立。

sin71+sin4+sinC

達(dá)標(biāo)練習(xí)

1.在AABC中，若理4:要自，則B的值為（）

ab

A.30°B.450C.60°D.90°

2.已知AABC中，acosB=bcosA,則aABC為（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰或直角三角形D.鈍角三角形

3.在4ABC中,C=2B,則把當(dāng)?shù)扔冢ǎ?/p>

sinB

a0b_a_c

A.-B.-C.-D.一

baca

4.在AABC中，己知々=5后,c=10,A=30。,則B=（）

A.105°B.60°C.15°D.105°或15°

5.AABC根據(jù)下列條件,確定AABC有兩解的是（）

A.a=18,b=20,A=120°B.a=60,c=48,B=60°

C.a=3,b=6,A=30°D.a=14,b=16,A=45°

6.在AABC中，A：B：C=1：2：3,則Q：/?：C等于.

7.（2010廣東）已知a,b,c分別是△ABC的三個內(nèi)角A,B,C所對的邊，若a=l,b=,A+C=2B,

則sinC=

8.在4ABC中,A=60°,C=45°,b=2,求此三角形的最小邊長。

9.已知AABC中,a=6,b=l,B=30°,求其面機(jī)

★10.在A43C中，A:3=l:2,。的角平分線8把三角形面積分成3:2兩部分，求cosA。

§1.1.2余弦定理

重點(diǎn)與難點(diǎn)：

“重點(diǎn):‘余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程及其基本應(yīng)用；

難點(diǎn)：勾股定理在余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程中的作用。

知識方法歸納：

掌握余弦定理的兩種表示形式及證明余弦定理的向量方法,并會運(yùn)用余弦定理解決兩類

基本的解三角形問題。

范例剖析：

例1.在AABC中，已知白=26，c=V6+V2,8=60°,求b及A

點(diǎn)評：求A可以利用余弦定理，乜可以利用正弦定理：注意確定A的取值范圍。

訓(xùn)練1.已知a、b、c分別是△A6C中角A、B、C的對邊，且2

(1)求角8的大??；(2)若c=3a,求tanA的值.

例2.在△ABC中，已知a=134.6ow,Z?=87.&T??,c=l61.7cm,解三角形

點(diǎn)評：可以考慮先用余弦定理求得其中的一個角，另外一個角用正弦定理余弦定理都可以。

訓(xùn)練2.在AABC中，角A、B、C所對的邊分別是。、b、c,Ka2+c2-b2=-ac.

2

A-L-C

(1)求cosB的值；(2)求sin?——上+cos28的值.

2

達(dá)標(biāo)練習(xí)

2

1.在AA8C中，8=60°,b=act則AA8C一定是（）

A.銳角三角形B.鈍角三角形C.等腰三角形D.等邊三角形

2.在A48C中，若a=2,b=2叵,c=V6+V2,則4的度數(shù)是（）

A.30°B.45°C.60°D.75°

3.在AABC中，已知方=4Ji,C=2A/3,ZA=120°,則a等于?)

A.2歷B.6C.2亞或6D.2>/15+65/3

4.在△ABC中，已知。=2,bcosC+ccosB=()

A.1B.V2C.2D.4

5.邊長為5,7,8的三角形的最大角與最小角的和是（）

A.90°B.120°C.135°D.150”

6.(2011四川)在△48。中，sin:A<sin2B+sin2C-sinBsinC,則力的取值范圍是

￡,乃)吟㈤

A.(0,芻B.c.(0,^1D.

6633

7.在AABC中，a2+b29,則AABC的形狀是

..ci—[b-c).

8.在AABC中，--------二1,n則/人=_______________

be

9.在△ABC中，已知a=7,b=8,cosC=—,則最大角的余弦值是______.

14

10.（2011湖北）設(shè)A48C的內(nèi)角A、B、。所對的邊分別為a、b、c已知a=1,6=2,

二1

cose=—.

4

（I）求A45c的周長；（II）求cos（A—C）的值.

§1.1.3正、余弦定理綜合應(yīng)用

重點(diǎn)與難點(diǎn)：

重點(diǎn):在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時(shí)，有兩解或一解或無解等情形:

三角形各種類型的判定方法；三角形面積定理的應(yīng)用。

難點(diǎn)：正、余弦定理與三角形的有關(guān)性質(zhì)的綜合運(yùn)用。

知識方法歸納：

1.掌握在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時(shí)，有兩解或一解或無解等情

形：三角形各種類型的判定方法；三角形面積定理的應(yīng)用。

2.學(xué)會綜合運(yùn)用正、余弦定理，三角函數(shù)公式及三角形有關(guān)性質(zhì)求解三角形問題。

范例剖析：

例1.在AABC中，已知a=7,。=5,c=3,判斷AABC的類型。

點(diǎn)評：直接應(yīng)用余弦定理，由角的余弦值的正負(fù)決定角的大小，進(jìn)而決定三角形的形狀。

訓(xùn)練1.已知a,b,c分別是△ABC的三個內(nèi)角A、B、C的對邊.

(1)若AABC面積為無,。=2,4=60。,求2,b的值；

2

(2)若acosA=bcosB,試判斷△ABC的形狀.

例2.a,4c為△ABC的三邊，其面積5八仙;=12石，反=48,b-c=2,求a.

點(diǎn)評：正余弦定理的靈活轉(zhuǎn)換是解題的關(guān)鍵。

訓(xùn)練2.在AABC中，人6。。一=】，面積為爭求擊信募菽的值

達(dá)標(biāo)練習(xí)

1.在AABC中，已知〃=5j5,c=10,A=30。,則B=()

A.105°B.60°C.I50D.105?；?5°

2.在AABC中，已知a=6,b=4,C=120°,則sinB的值是（）

A后R歷C上D回

A?------fc>.------------L）.----------

7193819

A

3.在△ABC中，中，若sin8sinC=cos2?,則^ABC是（）

2

A.等邊三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形

4.若aABC的三邊長為a、b、c,且/（幻=//+（/+。2一。2）工+。2,貝|￡（x）的圖

象是（）

A.在x軸的上方B.在x粕的下方C.與x軸相切D.與x軸交于兩點(diǎn)

5.已知。=3后，c=2,8=150°,則AABC的面積&=.

tanAa2

----------------

6.在△ABC中，若tanBb2,則^ABC的形狀是.

7.三角形4ABC中AB=14,角。=60',AC：BC=8：5,求AABC的面積S。

8.（2011遼寧）△48C的三個內(nèi)角4,B,C所對的邊分別為a,b,c,asiivUin3+加os2A=0

（I）求2；（II）若/=於+6。2，求B.

★9.設(shè)AABC的內(nèi)角力，B,C的對邊分別為a,6,。，且。=36.求:

a

⑵鬻+篝的值

(1)c的值;

cosA-2cosC_2c-a

10.（2011山東）在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知

cosBb

(1)求吧C的值；(2)若cosB=1,Z?=2.求A4BC的面積.

sinA4

§1.2應(yīng)用舉例（一）

重點(diǎn)與難點(diǎn):

重點(diǎn)：用正、余弦定理解決與三角形有關(guān)的實(shí)際問題中的距離問題

難點(diǎn)：根據(jù)題意建立解三角形的數(shù)學(xué)模型

知識方法歸納：

1.方位角：從指北方向線順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角。

如方位角60°,如圖1-2-1所示。

3.方向角：從指定方向線到目標(biāo)方向線的水平角。

如東偏北60°,南偏西300等。

范例剖析：

例1.如圖1-2-2,為測量河對岸A、B兩點(diǎn)的距離，在河的

這邊測出CD的長為—km,ZADB=ZCDB=30°,NACD=6。，

2

求、兩點(diǎn)間的距離。

NACB=45°,ABC

圖122

點(diǎn)評：測量不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離問題，一般可轉(zhuǎn)化為應(yīng)用正弦定理、余弦定理求三角形

邊長的問題。

訓(xùn)練1.為測鼠河對岸A、B兩點(diǎn)的距離，若在河岸選取相距40米的C、D兩點(diǎn)，測得

NBC4=60",NACD=30°,NCDB=45°,ZBDA=60\求A、B兩點(diǎn)間的距離。

例2.某人在M汽車站的北偏西20°的方向上的A處，觀察到點(diǎn)C處有一輛汽車沿公路向M

站行駛。公路的走向是M站的北偏東40°。開始時(shí)，汽車到A的距離為31千米，汽車前進(jìn)

20千米后，到A的距離縮短了10千米。問汽車還需行駛多遠(yuǎn)，才能到達(dá)M汽車站？

點(diǎn)評：1.正確理解方向角、方位角的概念畫出圖形是解本題的首要條件；

2.根據(jù)圖形結(jié)合已知，將問題轉(zhuǎn)化為解三角形的問題。

訓(xùn)練2.海上有甲乙兩個小島相距10nmile,從甲島望丙島和乙島成6。的視角，從乙島望

丙島成75°的視角，求丙島和乙島之間的距離.

達(dá)標(biāo)練習(xí)

1.如圖1,為了測量隧道AB的長度，給定下列四組數(shù)據(jù),

測量時(shí)應(yīng)用數(shù)據(jù)（）.

A.a>Cl>hB.6Z,Cl

C.D.

2.兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都是。km,從C處觀察，A的方位角是/紛，B

的方位角是為〃，則燈塔A與B兩點(diǎn)間的距離是（）.

A.akmB.y/3akmC.D.2akm

3.一角槽的橫斷面如圖所示，四邊形ADEB是矩形，若NC4D=50',

NCBE=70°,AC=3cm,BC=5cm、則DE等于()

A.7cmB.7\/3cm

C.(3cos500+5cos70)cmD.(3cos40+5cos20)cm

4.在某測量中，設(shè)A在B的南偏東34〃27',則B在A的(

A.北偏西34°27'B.七偏東55°33'C.北偏西55°33'D.南偏西55"33'

5.某人在船上看見燈塔在船的南偏東30°方向，后來該船沿南偏東6D'的方向航行45nmiIe

后看見燈塔在正西方向，則此時(shí)船與燈塔的距離是（）.

A.15yfinmileB.叵nmileC.27nmileD.lOyfbnmile

6.為了測量河的寬度，在一岸邊選定A、B兩點(diǎn)，望對岸

的標(biāo)記物C,測得NCAB=30°,ZCBA=75°,AB=120m,

則河的寬度是m。

7.已知海島A四周8海里內(nèi)有暗礁，今有一貨輪由西向東航行，望見A島在北偏東75°,

航行海里后20應(yīng)，見此島在北偏東30',如貨輪不改變航向繼續(xù)前進(jìn)，間有無觸礁危

險(xiǎn)？

8.如圖，我炮兵陣地位于A處，兩觀察所分別設(shè)于C,D,已知4ACD為正三角形，當(dāng)目標(biāo)

出現(xiàn)于點(diǎn)B時(shí)，測得NBCD=75'，NCDB=45°,A、B、C、D在同一平面上，求炮兵陣

地與FI標(biāo)的距離AB是多少？

9.由A地到B地，以前無直達(dá)列車，必須經(jīng)D,C兩地轉(zhuǎn)車才能達(dá)到，現(xiàn)在要在A,B兩地

間修一條直達(dá)鐵路，如圖4,經(jīng)測量得NBAD=45°,ZBCD=60°,ZADC=150\

BC=10A/2km,DC=20A/2km,求A,B兩地間的距離.

§1.2應(yīng)用舉例（二）

重點(diǎn)與難點(diǎn):

重點(diǎn)：能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些有關(guān)底部不可到達(dá)的物體

高度測量的問題和測量角度問題.

難點(diǎn):：能觀察較復(fù)雜的圖形，從中找到解決問題的關(guān)鍵條件.

知識方法歸納：

1.坡角：坡面與水平面的夾角。

2.坡比：坡面的鉛垂高度與水平寬度之比。i=4=tana

3.仰角和俯角：

在同一鉛直平面內(nèi)，目標(biāo)視線與水平線

的夾角，當(dāng)視線在水平線上方時(shí)叫仰角，

當(dāng)視線在水平線下方時(shí)叫俯角。

范例剖析

例1.如圖，地面上有一根旗桿0P，為了測得它的高度，在地面上取一基線AB=20m,在

A處測得點(diǎn)P的仰角/OAP=30°,在B處測得P的仰角NOBP=45°,乂測得N

AOB=60°,求旗桿的高度h（結(jié)果保留根式）.

圖3

點(diǎn)評：一般是轉(zhuǎn)化為直角三角形模型，利用直角三角形知識解決。

訓(xùn)練1.為了測量上海東方明珠塔的高度，某人站在A處測得塔尖的仰角為30°,前進(jìn)

312石m后，到達(dá)B處測得塔尖的仰角為60°,求東方明珠塔的高度。

訓(xùn)練2.為測某塔的高度，在一幢與塔相距20機(jī)的樓的樓頂處測得塔頂人的仰角為

30°,測得塔基8的俯角為45',則塔A8的高度為多少米？

例2.甲船在A處觀察到乙船在它的北偏東60°方向的B處，兩船相距10海里，乙船向正

北行駛，若甲船速度是乙船的百倍，問甲船應(yīng)向什么方向行駛才能追上乙船？

點(diǎn)評：體會數(shù)形結(jié)合思想，理解三角形模型的實(shí)際應(yīng)用。

訓(xùn)練3.某建筑物高100米，在它的正西方向A望該建筑物頂?shù)难鼋菫?5°,在該建筑物

南偏西600方向上有一處B,測得AB=100米，求在B處望該建筑物頂?shù)难鼋牵?/p>

訓(xùn)練4.甲船在A處遇險(xiǎn)，在甲船西南10海里B處的乙船收到甲船的報(bào)警后，測得甲船是

沿著東偏北105°方向，以每小時(shí)9海里的速度向某島靠近，如果乙船要在40分鐘內(nèi)追上

甲船，問乙船應(yīng)以什么速度、向何方向航行？（取Sin22〃k之叵）

14

達(dá)標(biāo)練習(xí)

1.從A處望B處的仰角為a,從B處望A處的俯角為夕，則有（）.

A.a>/3B.a=pC.a+P=90°D,a+尸=180"

2.在200m高的山頂上，測得山下一塔頂與塔底的俯角分別為45°,60°,則塔高為（）.

A.200（1B.mC.100V3wD.100m

3.有一段兩岸平行的河流，水流為lm/s,小船的速度為正m/s,,為使所走路程最短，小

船行駛方向應(yīng)與水流方向所成的角是（）.

A.90°B.120°C.135°D.150°

4.有一長為。的斜坡，它的傾斜角為巴現(xiàn)要將傾斜角改為坡高不變，則坡底要伸長（）.

2

A.acos。B.asin。C.4cos且D.a

2

5.某山坡的坡度i=l:2,設(shè)坡角為a,貝ijsina的值是（）

V?2百八1.

A.B.-------C.-D.2

552

6.從高出海平面h米的小島A處看到正東方向有一只船俯角為30°,正南方向有一只船

俯角為45°,則此時(shí)兩船間的距離為（）

A.2。米B,收力米C.血米D,20萬米

7.當(dāng)太陽光線與水平面的傾角為60°,一根長為2m的竹竿要使它的影子最長，則竹竿與

地面所成的角為.

8.某人向正北方向走了26km后向右轉(zhuǎn)了一定的角度，然后朝新方向走了3km,此時(shí)距

出發(fā)地恰好百km,則此人右轉(zhuǎn)的角度是

9.從某電線桿的正東方向的A點(diǎn)處測得電線桿頂端的仰角是

60。，從電線桿正西偏南30。的B處測得電線桿頂端的仰角

是45°,A,B間距離為35m,則此電線桿的高度是.

B

10.如圖，在某點(diǎn)B處測得建筑物AE的頂端A的仰角為。，沿BE方向前進(jìn)30m至C處測得

頂端A的仰角為28,再繼續(xù)前進(jìn)至D點(diǎn)，測得頂端A的仰角為4。，求。的大小和

建筑物AE的高。

§1.2應(yīng)用舉例（三）

重點(diǎn)與難點(diǎn)：

重點(diǎn)：解三角形的綜合運(yùn)用。

難點(diǎn)：解決有關(guān)三角形的計(jì)算問題和證明問題。

知識方法歸納：

△ABC中，A、B、C分別對應(yīng)a、b、c邊，則4ABC的面積

S=—absinC=—bcsinA=—acsinB

222

范例剖析：

例1.已知園內(nèi)接四邊形ABCD的邊長分別為AB=2,BC=6,CD=DA=4,求四邊形ABCD

的面積.

點(diǎn)評：正確利用三角形的性質(zhì)解決面積問題。

訓(xùn)練I.四邊形ABCD中，B=C=120°,AB=4,BC=CD=2,求該四邊形的面積。

訓(xùn)練2.在4ABC中，B=30",AB=2百，AC=2,求△ABC的面積。

例2.在4ABC中，三個內(nèi)角A、B、C的對邊分別為。、）、C,其中c=10,且

絲2=2=3。求證：ZXABC是直角三角形。

cosBa3

點(diǎn)評：熟記解三角形有關(guān)的公式和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵。

cos2Acos2B11

訓(xùn)練3.在aABC中，求證:

b-

訓(xùn)練4.在AABC中，已知a=2bcosC,求證：ZXABC是等腰三角形。

達(dá)標(biāo)練習(xí)

1.△ABC"sin2A=sin2B+sin2C,則AABC為（）

A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等邊三角形D.等腰三角形

-什sinAcosBcosC曰八八口/、

2.若-------------------,則AAABC是（）

abc

A.等邊三角形B.有一內(nèi)角是30°三角形

C.等腰直角三角形D.有一內(nèi)角是3（）o等腰三角形

3.若等腰三角形的底邊長為。，腰長為2〃，則腰上的中線長為（）.

V33V65

A.---aB.—ciC.---CLD.-ci

2223

4.在AABC中，A=60°,AC=16,面積S=220Ji,則BC的長為（）

A.20V6B.75C.51D.49

5.已知aBC的三邊長分別為。-2,〃，。+2,且它的最大角的正弦值為沙貝腦

個三角形的面積是（)

A厲015后3573

A.----c,正D.-----

4444

6.(2010湖南)ZXABC中,角A,B,C所對的邊長分別為a,b,c,若NC=120°,

c=&a,貝!!()

A.a>bB.a<bC.a=bD.a與b的大小關(guān)系不能確定

2

7.在AABC中，已知B=45°,AC=V1(),cosC=-^—,則邊BC三

8.（2010浙江）在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a,b,c,已知cos2C=-一

4

(I)求sinC的值;(II)當(dāng)a=2,2sinA=sinC時(shí)，求b及c的長.

9.在4ABC中，已知Iga-Ige=lgsinB=-1gV2,且B為銳角，試判斷AABC的形狀。

★10.在aABC中，Ulb2=acS^a2—c2=ac—bc,

求：（1）角A的大?。唬?）皿0的值。

第二章數(shù)列

§2.1數(shù)列的概念與簡單表示法(第一課時(shí))

重點(diǎn)與難點(diǎn)：

重點(diǎn)：數(shù)列及其有關(guān)概念，通項(xiàng)公式及其應(yīng)用

難點(diǎn)：根據(jù)一些數(shù)列的前幾項(xiàng)抽象、歸納數(shù)列的通項(xiàng)公式

知識方法歸納：

1.數(shù)列的通項(xiàng)公式：如果數(shù)列｛4｝的第n項(xiàng)勺與n之間的關(guān)系可以用一個公式來表示,

那么這個公式就叫做這個數(shù)列的通項(xiàng)公式.

2.數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系：數(shù)列可以看成以正整數(shù)集N“(或它的有限子集(1,2,3,n｝)

為定義域的函數(shù)4=/5),當(dāng)自變量從小到大依次取值時(shí)對應(yīng)的一列函數(shù)值。

反過來，對于函數(shù)片乙般,如果/口(i=l、2、3、4…)有意義，那么我們可以得到

一個數(shù)列/1/〃、f⑵、f(3)、f(4)…,f(n),…

3.根據(jù)數(shù)列項(xiàng)的大小分：

遞增數(shù)列：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都不小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列。

遞減數(shù)列：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都不大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列。

常數(shù)數(shù)列：各項(xiàng)相等的數(shù)列。

擺動數(shù)列：從第2項(xiàng)起，有些項(xiàng)天于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列

范例剖析:

例1.以下數(shù)列哪些是遞增數(shù)列，遞減數(shù)列，常數(shù)數(shù)列，擺動數(shù)列？

(1)3,5,9,17,33,2.AAA12

3115*玉’63*99

(3)0,1,0,1,0,1,……；(4)3,3,3,3,3,3,3,

點(diǎn)評：掌握數(shù)列的的分類，初步讓學(xué)生領(lǐng)會根據(jù)數(shù)列的項(xiàng)寫出通項(xiàng)公式

例2.而數(shù)列的前幾項(xiàng)的值，寫出數(shù)列的一個通項(xiàng)公式：

246810

(1)3,5,9,17,33,....；(2)—,—,—,—,—,....;

315356399

(3)0,1,0,1,0,1,……；(4)13,3,5,5,7,7,9,9,……；

達(dá)標(biāo)練習(xí)

1.下列解析式中不是數(shù)列1,一1,1,一1』...，的通項(xiàng)公式的是()

B.q=(-1嚴(yán)C.q=(-1嚴(yán)D.%=匕〃離蠡

2.數(shù)列6,2及，而….的一個通項(xiàng)公式是()

A.an=>J3n-3B.a“=《3n-lC.=J3〃+1D.a“=j3r+3

3.數(shù)列2,-6,12,一20,30,—42,....的一個通項(xiàng)公式是()

nn+1

A.%=(—1)n(n+l)B.%=(—1)n(n+l)

nn+\

C.%=(—1)n(n-l)D.%=(—1)n(n-l)

4.已知數(shù)列｛q｝,an=—!—（WGTVJ,那么」一是這個數(shù)列的第（）項(xiàng).

1"J〃n（n+2）+120

A.9B.10C.11D.12

5.數(shù)列｛/｝,%=/5）是一個函數(shù)，則它的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

A.非負(fù)整數(shù)集B.正整數(shù)集

C.正整數(shù)集或其子集D.正整數(shù)集或｛1,2,3,4,

6.已知數(shù)列｛凡｝,q=2〃2—10〃+3,它的最小項(xiàng)是（）

A.第一項(xiàng)B.第二項(xiàng)C.第三項(xiàng)D.第二項(xiàng)或第三項(xiàng)

7.數(shù)列4,0,4,0,4,0,…的一個通項(xiàng)公式為；數(shù)列0.7,0.77,0.777,0.7777,…

的一個通項(xiàng)公式為.

2

8.已知/（X）=log2（x+7）,an=f（n）,則｛4｝的第五項(xiàng)為.

9.數(shù)列竺，注，毛，竺，巨…，的一個通項(xiàng)公式為.

25101726

10.已知數(shù)列｛〃“｝中，4=3,40=21,通項(xiàng)％是項(xiàng)數(shù)〃的一次函數(shù),

①求｛嗎的通項(xiàng)公式，并求4005；

②若也｝是由。2，。4，。6，。8，一，組成，試歸納也｝的一個通項(xiàng)公式.

§2.1數(shù)列的概念與簡單表示法（第二課時(shí)）

重點(diǎn)與難點(diǎn)：

重點(diǎn)：根據(jù)數(shù)列的遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)

難點(diǎn)：理解遞推公式與通項(xiàng)公式的關(guān)系

.知識方法歸納：

1.通項(xiàng)公式法：如果數(shù)列｛凡｝的第n項(xiàng)與序號之間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這

個公式就叫做這個數(shù)列的通項(xiàng)公式。

2.圖象法

3.遞推公式法：遞推公式：如果已知數(shù)列｛外｝的第1項(xiàng)（或前幾項(xiàng)），且任一項(xiàng)凡與它

的前一項(xiàng)（或前n項(xiàng)）間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個

數(shù)列的遞推公式。

4.列舉法：劭,內(nèi)，…,即，…,簡記為｛4）.

范例剖析：

q=l（n=l）

例1.設(shè)數(shù)列｛?！ǎ凉M足,?1z八寫出這個數(shù)列的前五項(xiàng)。

4=1+—（n>1）.

*

點(diǎn)評：讓學(xué)生體會遞推法，掌握用遞推公式來求數(shù)列中的項(xiàng)

訓(xùn)練1.己知數(shù)列｛勺｝的通項(xiàng)公式，寫出這個數(shù)列的前5項(xiàng)，并作出它的圖象:

（一1）〃

（2）牝=

71+12"

例2.已知％=2,an+l2%寫出前5項(xiàng)，并猜想*.

點(diǎn)評：培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力，讓學(xué)生掌握累乘法求通向公式

訓(xùn)練2.若數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式劣=一二?，記f(n)=2(1-a?)(1。)…(la),試通過計(jì)

5+1)2

算f(l),f(2),f(3)的值，推測出f(n)o(用含n的代數(shù)式表示)

達(dá)標(biāo)練習(xí)

1.數(shù)列3,33,333,3333,….的一個通項(xiàng)公式是()

nnn

A.an=1(10-l).B.an=1(10+l).C.a?=l(lO-2).D.a?=l(l0"+2).

2.下圖是用同樣規(guī)格的黑、白兩色正方形瓷磚鋪設(shè)的若干圖案，則按此規(guī)律第n個圖案中

需用黑色瓷磚()塊.

(1)(2)(3)

A.4n+8B.4n+7C.4n+6D.4n+9

3.已知數(shù)列｛aj中,ai=l,(n+l)an=ran+i,則數(shù)列｛aj的一個通項(xiàng)公式an二()

A.4nB.2nC.nD.3n

4.已知數(shù)列｛4｝滿足q=-2,j=2+工，則田二()

\-a?

5.已知數(shù)列｛%｝,q=如-5,且/=11,則知=()

A.31B.28C.30D.29

6.已知數(shù)列｛(｝,4=3,%=6,且%+2=。向-勺，則數(shù)列的第五項(xiàng)為()

A.6B.-3C.-12D.-6

7.已知數(shù)列｛aj對任意的p,q￡N*滿足a〉q=ap+aq且a2=-6,那么a】產(chǎn).

8.在數(shù)歹U｛an｝中,a「=4n-；,a1+a2+…+an=an2+bn,n￡N*,其中a、b為常數(shù)，貝ijab=.

9.已知｛4｝滿足4=3,%討=2%+1,試寫出該數(shù)列的前5項(xiàng)，并用觀察法寫出這個數(shù)

列的一個通項(xiàng)公式.

x-x

10.己知函數(shù)f(x)=2-2,數(shù)列｛加｝滿足f(log2an)=2n.求數(shù)列⑸｝的通項(xiàng)公式;

§2.2等差數(shù)列(第一課時(shí))

重點(diǎn)與難點(diǎn)：

重點(diǎn)：等差數(shù)列的概念，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；

難點(diǎn)：等差數(shù)列的概念的理解，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其應(yīng)用；

知識方法歸納：

1.等差數(shù)列的概念：________________________________________________________

數(shù)學(xué)語言：____________________________________________________________________

2.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：：

范例剖析：

例1.已知｛aj是一個等差數(shù)列，請?jiān)谙卤碇刑钊脒m當(dāng)?shù)臄?shù):

aia2a.i36d

-32

84

點(diǎn)評：(1)靈活掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為二q+(〃-1)〃，并能用其求數(shù)列的各項(xiàng);

(2)學(xué)會運(yùn)用公式d=來求等差數(shù)列的公差。

n-m

訓(xùn)練1.(1)在等差數(shù)列區(qū)｝中，%=9,a9=6,求由,d,正;

(2)2011是數(shù)列7,13,19,25,31,…,中的第()項(xiàng).

A.332B.333C.334D.335

例2.已知5個數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為15,平方和為85,求這5個數(shù)。

點(diǎn)評：為減少運(yùn)算量，要注意設(shè)元的技巧，如奇數(shù)個數(shù)成等差，可設(shè)為…，

ci—2d,a—dS,a+2d…（公差為d）；偶數(shù)個數(shù)成等差，可設(shè)為…，

a-3d,a-d,a^-d,a+3d,-?-（公差為2d）；

訓(xùn)練2.成等差數(shù)列的四個數(shù)的和為26,第二數(shù)與第二數(shù)之積為40,求這四個數(shù).

達(dá)標(biāo)練習(xí)：

1.等差數(shù)列｛〃“）的前三項(xiàng)為1一1,x+1,2x+3,則這個數(shù)列的逐項(xiàng)公式為（）

A.an=2n-5B.an=2n-3C.an=2n-1D.an=2n+1

2.在數(shù)列｛即｝中，的=2,2%u=2%+1則以⑼的值為（）

A.49B.50C.51D.52

3.在9和-3之間依次插入三個數(shù)a,b,c,使得這五個數(shù)成等差數(shù)列，則下列正確的是（）

A.a=4B.b=lC.c=0D.6=6

4.一個首項(xiàng)為23,公差為整數(shù)的等差數(shù)列，如果前六項(xiàng)均為正數(shù)，第七項(xiàng)起為負(fù)數(shù)，則它

的公差是（）

A.-2B.—3C.—4D.—5

5.｛%｝是首項(xiàng)4=2,公差d=4的等差數(shù)列，若勺=2010,則序號〃=（）

A.501B.502C.503D.504

6.數(shù)列｛%｝中，a2=5,an+i=an+2,則這個數(shù)列的通項(xiàng)公式是

7.若機(jī)。〃，數(shù)列根和孫乙，打，”3，〃都是等差數(shù)列，則出一％=________

b2f

★8.已知｛-!-｝是等差數(shù)列,且6=收-1,44=0+1.則30=.

%

9.梯子的最高一級寬30厘米，最低一級寬100厘米，中間還有9級，各級的寬度組成等差

數(shù)列，計(jì)算中間各級的寬度。

10.若lg2,IgQX-l）,lg（2'+3）成等差數(shù)列，求x的值。

3

★II.已知/(x+l)=f_4,笨差數(shù)列｛〃“｝中，a]=/(x-l),a2=--,?3=/(x)；

(1)求x的值；(2)求通項(xiàng)公式勺；

§2.2等差數(shù)列(第二課時(shí))

重點(diǎn)與難點(diǎn)t

重點(diǎn)：等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、性質(zhì)的理解與應(yīng)用；

難點(diǎn)：靈活應(yīng)用等差數(shù)列的定義及性質(zhì)解決一些相關(guān)問題；

知識方法歸納：

1.等差中項(xiàng)的概念：若三個數(shù)A6組成,那么A叫做。與力的,

即2A=或A=o

2.等差數(shù)列的單調(diào)性：等差數(shù)列的公差時(shí)，數(shù)列為遞增數(shù)列；公差時(shí),

數(shù)列為遞減數(shù)列;公差時(shí),數(shù)列為常數(shù)列;等差數(shù)列不可能是。

范例剖析：

例1.在等差數(shù)列｛%｝中，若4+&=9,%=7,求知，。9.

點(diǎn)評：(1)結(jié)論：(性質(zhì))在等差數(shù)列中，若m+n=p+q,則。卅++4；

特別地，當(dāng)m+〃=2〃時(shí)，則有%+/=2%(m,n,p,qEN*)；

(2)等差數(shù)列中，已知四個元素句，〃，d,中的任意三個，便可求出其余兩個。

訓(xùn)練1.(1)在等差數(shù)列｛?！ǎ校鬭4=5ta9=17,求《4,%；

(2)已知｛an｝是等差數(shù)列，a7+ai3=20,則ag+aio+ai尸()

A.36B.30C.24D.18

例2.在正項(xiàng)數(shù)列｛an｝中，〃]=1，an=yla^+2（n>2）,求數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式。

點(diǎn)評：

（1）等差數(shù)列的判斷方法：定義法4+]-4”=d（d為常數(shù)）或?！?[=?！币弧！盻1（〃之2）;

（2）｛冊｝是等差數(shù)列=〃“二"詈^（?>2）；

⑶若｛%｝、電｝是等差數(shù)列，則｛g〃｝,｛她+P〃J（0〃是非零常數(shù)），

｛j｝（P，"M），S"凡"-Sn，S3bs筋，…也成等差數(shù)列。

訓(xùn)練2.在非零數(shù)列｛%｝中，《=3,且對任意大于1的正整數(shù)〃，點(diǎn)（向，向7）在直

A-j-V3=0上，求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式。

達(dá)標(biāo)練習(xí)

1.數(shù)列1,-3,5,-7,9,…的一個通項(xiàng)公式為（）

n

A.aH=2n-\B.a”=（一1）"（1一2〃）C.a?=（-l）（2?-1）D.。”=（一1）”（2〃+1）

2.在等差數(shù)列｛〃〃｝中，若。3+。4+。5+。6+%=領(lǐng)，則%+%=（）

A.45B.75C.160D.180

3.在等差數(shù)列51,47,43……中，第一個負(fù)數(shù)的是（）

A.第13項(xiàng)B.第14項(xiàng)C.第15項(xiàng)D.第16項(xiàng)

4.已知等差數(shù)列％,av…?！ǖ墓顬閐，則c%，cavc%，…。為常數(shù)且

（?工0）是（）

A.公差為d的等差數(shù)列B.公差為cd的等差數(shù)列

C.非等差數(shù)列D.以上都不對

5.首項(xiàng)為24的等差數(shù)列，從第10項(xiàng)起開始為負(fù)數(shù)，則公差d的范圍是（）

o88

A.d<—B.d-3C.-3<dV—D.-3Wd<—

333

6.設(shè)數(shù)列｛/｝是單調(diào)遞增的等差數(shù)列，前三項(xiàng)和為12,前三項(xiàng)積為48,則它的公差是（）

A.IB.2C.±2D.4

7.等差數(shù)列｛（｝中，組與4的等差中項(xiàng)為5，%與生的等差中項(xiàng)為7，則q=.

8.等差數(shù)列｛%｝中，an=tn,a?=n,(〃，meN,5.n^m),則&“+,“=

9.已知數(shù)列｛Iog2(a“一D,(〃￡/*)｝為等差數(shù)列，且4=3,%=9.求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)

式。

10.已知等差數(shù)列｛aj中，公差d>0,且滿足a2?a3=45,ai+a4=14,求數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式.

§2.3等差數(shù)列的前n項(xiàng)和(第一課時(shí))

重點(diǎn)與難點(diǎn)：

重點(diǎn)：等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的理解、推導(dǎo)及應(yīng)用.

難點(diǎn)：靈活應(yīng)用等差數(shù)列前n項(xiàng)公式解決一些簡單的有關(guān)問題.

知識方法歸納：

1.等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式(略)

2.用倒序相加法推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式(略)

3.公式的應(yīng)用，解題時(shí)需要根據(jù)已知條件靈活選用公式。

范例剖析：

例1.(1)已知等差數(shù)歹U｛an｝中，ai=4,S8=172,求a8和d;

(2)等差數(shù)列-10,-6,-2,2,…前多少項(xiàng)的和是54?

點(diǎn)評：=〃(4+""),對于這個公式，只要知道等差數(shù)列首項(xiàng)小.尾項(xiàng)。”和