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學(xué)必求其心得,業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得,業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得,業(yè)必貴于專精皰丁巧解牛知識·巧學(xué)1.物理學(xué)中的向量物理中有許多量,比如力、速度、加速度、位移等都是具有大小和方向的,因而它們都是向量。力、速度、加速度、位移的合成就是向量的加法,因而它們也符合向量加法的三角形法則和平行四邊形法則;力、速度、加速度、位移的分解也就是向量的分解;運動的疊加也用到了向量的加法.在物理中動量是向量的數(shù)乘,力所做的功是向量的數(shù)量積。深化升華數(shù)學(xué)與物理學(xué)是密不可分的兩門自然科學(xué),它們之間有著千絲萬縷的聯(lián)系。用數(shù)學(xué)知識研究物理問題的方法是:首先把物理問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題,即將物理量之間的關(guān)系抽象成數(shù)學(xué)模型,然后利用建立起來的數(shù)學(xué)模型解釋和回答相關(guān)的物理問題。學(xué)法一得向量在物理學(xué)中最基本的應(yīng)用就是力、速度、加速度、位移的合成與分解。2。向量在平面幾何中的應(yīng)用由于向量的線性運算和數(shù)量積運算具有鮮明的幾何背景,平面幾何圖形的許多性質(zhì),如平移、全等、相似、長度、夾角等都可以由向量的線性運算和數(shù)量積表示出來,因此,可以用向量方法解決平面幾何中的一些問題。解決幾何問題時,先用向量表示相應(yīng)的點、線段、夾角等幾何元素;然后通過向量的運算,特別是數(shù)量積來研究點、線段等元素之間的關(guān)系;最后再把運算結(jié)果“翻譯"成幾何關(guān)系,得到幾何結(jié)論.這就是用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”:(1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系,用向量表示問題中涉及的幾何元素,將平面問題轉(zhuǎn)化為向量問題;(2)通過向量運算,研究幾何元素之間的關(guān)系;(3)再把運算結(jié)果“翻譯"成幾何關(guān)系。學(xué)法一得由于向量的數(shù)量積主要涉及向量的模及向量的夾角,因此,平面幾何中涉及到距離(線段長度)、垂直和夾角問題時,常利用向量的數(shù)量積運算及其性質(zhì)來解決.典題·熱題知識點1物理學(xué)中的向量例1如圖2-5—2,在日常生活中,我們有時要用同樣長的兩根繩子掛一個物體,如果繩子的最大拉力為F,物體受到的重力為圖2思路分析:為了確切描述這一問題,應(yīng)先把物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,畫出力的示意圖.解:由向量的平行四邊形法則、力的平衡及直角三角形的有關(guān)知識易得出|M|=.方法歸納解決力的合成與分解問題,關(guān)鍵是畫出示意圖,并利用向量的運算法則進行解題.巧妙變式上題中求的是拉力與兩繩夾角間的關(guān)系,本題也可以改結(jié)論,將所求的結(jié)論變成“兩繩之間的夾角θ為何值時,拉力M最小,最小值是多少”.思路分析:結(jié)合上題的解法找出拉力M的大小與兩繩之間的夾角θ之間的關(guān)系,然后利用三角函數(shù)的性質(zhì)求最值即可.例2如圖2—5-3,一條河的兩岸平行,河寬為500米,一艘船從A處出發(fā)到對岸,船速為圖2思路分析:如果水是靜止的,則船只要取垂直于對岸的方向行駛,就能使航程最短,所用的時間也最短,考慮到水流速度,要使船行駛最短的航程,那么船的速度與水流速度的合速度應(yīng)垂直于對岸.解:要使船行駛最短的航程,那么船的速度與水流速度的合速度應(yīng)垂直于對岸。如圖2-圖2|v|=.所以,所用時間t=×60≈3.1(分鐘)。方法歸納在用向量解決物理問題時,也要注意平面幾何知識在解題過程中的應(yīng)用.知識點2向量在平面幾何中的應(yīng)用例3已知A、B、C是坐標平面上的三點,其坐標分別為A(1,2)、B(4,1)、C(0,—1),則三角形ABC的形狀為()A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D。以上均不對思路解析:由于=(3,-1),=(—1,—3),所以||=||=。又·=3×(—1)+(-1)×(-3)=0,所以⊥。所以,三角形ABC為等腰直角三角形。答案:C方法歸納當已知三角形三頂點坐標而判斷其形狀時,可轉(zhuǎn)化為向量知識來解決,利用向量的模判斷三邊關(guān)系,而利用夾角公式求三個內(nèi)角.深化升華判斷三角形的形狀要從邊和角這兩方面入手.例4如圖2—5-5所示,已知點M、N、L分別為△ABC的邊AC、AB、BC上的點,且=l,=m,=n,=0,試求l、m、n的關(guān)系.圖2-5思路分析:取一組向量作為基底,將、、表示這組基底的線性組合,再用平面向量基本定理比較基底的系數(shù),即可得出結(jié)論.解:以=a,=b為一組基底,根據(jù)已知條件有=la,=mb.又=—a-b,則有=-na—nb。則=(l-1)a—b。①=a+mb,②=—na+(1-n)b.③將①②③代入=0,整理得(l-n)a+(m-n)b=0,根據(jù)平面向量基本定理有l(wèi)-n=m—n=0,即l=m=n.方法歸納在平面幾何中,利用向量找線段長度之間的關(guān)系一般利用向量的線性運算或向量模的計算公式。問題·探究思想方法探究問題:求等腰直角三角形兩直角邊上的中線所成鈍角的余弦值。探究過程:由于題目中涉及到了兩直線所成的鈍角的余弦值的問題,而由向量數(shù)量積的性質(zhì)可知,利用向量數(shù)量積的性質(zhì)可以處理向量的夾角問題,則可考慮建立直角坐標系,構(gòu)造向量,利用向量數(shù)量積的性質(zhì)求夾角。因此可如圖2-圖2設(shè)A(2,0)、B(0,2),則F(1,0)、E(0,1),所以cos∠EGF===—。探究結(jié)論:由于向量有幾何意義、向量運算和坐標運算,因此將
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