2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義(新高考)第04講數(shù)列求和(含新定義解答題)(分層精練)(學(xué)生版+解析)

二、填空題8．（24-25高一上·陜西咸陽·開學(xué)考試）計(jì)算．三、解答題9．（24-25高三上·河北·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足.(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式.(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.10．（23-24高三上·湖南·階段練習(xí)）已知遞增等差數(shù)列滿足：，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前2n項(xiàng)和.11．（23-24高二下·廣東珠?！るA段練習(xí)）已知數(shù)列an中，，．(1)求an(2)求和：12．（24-25高三上·內(nèi)蒙古包頭·開學(xué)考試）已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前2n項(xiàng)和．B能力提升1．（2024·福建泉州·二模）已知數(shù)列an和bn的各項(xiàng)均為正，且，bn是公比3的等比數(shù)列．?dāng)?shù)列an的前n項(xiàng)和滿足(1)求數(shù)列an，b(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．2．（2024·河北秦皇島·二模）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：.C綜合素養(yǎng)（新定義解答題）1．（23-24高二下·河南安陽·期中）在數(shù)列中，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前12項(xiàng)和，其中表示不超過的最大整數(shù)，如，.2．（23-24高三下·上海浦東新·階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)列{an}滿足：，點(diǎn)（在曲線上．(1)當(dāng)且時(shí)，求實(shí)數(shù)列{an}(2)在（1）的條件下，若表示不超過實(shí)數(shù)t的最大整數(shù)，令，是數(shù)列bn的前n項(xiàng)和，求的值；(3)當(dāng)，時(shí)，若存在，且對恒成立，求證：．第04講數(shù)列求和(分層精練）A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)（新定義解答題）A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（24-25高二上·江蘇鎮(zhèn)江·開學(xué)考試）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為．若，則（

）A．48 B．50 C．52 D．54【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)數(shù)列遞推公式寫出數(shù)列的項(xiàng)、數(shù)列求和的其他方法【分析】根據(jù)得到，，，，相加得到答案.【詳解】因?yàn)椋?，，，，所以故選：C2．（24-25高三上·山東濟(jì)寧·開學(xué)考試），利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前項(xiàng)和的公式的方法，可求得（

）A． B． C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】倒序相加法求和【分析】利用求解即可.【詳解】，故，故……，故.故選：D3．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）若數(shù)列的通項(xiàng)公式是其前n項(xiàng)和為，則等于（

）A．120 B．180 C．240 D．360【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】求等差數(shù)列前n項(xiàng)和、分組（并項(xiàng)）法求和【分析】利用并組求和、等差數(shù)列的求和公式可得答案.【詳解】由題意得．故選：C.4．（23-24高二下·江蘇南京·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，則該數(shù)列的前22項(xiàng)和為（

）A．69 B．88 C．89 D．96【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】分組（并項(xiàng)）法求和、由遞推數(shù)列研究數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值【分析】利用條件分奇偶討論的關(guān)系，利用分組求和法計(jì)算即可.【詳解】當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，所以故選：C5．（24-25高三上·廣東·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，前n項(xiàng)和為，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】由定義判定等比數(shù)列、求等比數(shù)列前n項(xiàng)和、分組（并項(xiàng)）法求和【分析】根據(jù)給定條件，求出，再利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式計(jì)算即得.【詳解】數(shù)列中，，由，得，，則有，因此數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以.故選：D6．（23-24高二下·河北張家口·開學(xué)考試）在數(shù)列中，，，則（

）A．380 B．800 C．880 D．40【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】分組（并項(xiàng)）法求和、求等差數(shù)列前n項(xiàng)和、由遞推關(guān)系證明數(shù)列是等差數(shù)列、利用定義求等差數(shù)列通項(xiàng)公式【分析】先根據(jù)遞推公式得出等差數(shù)列得出通項(xiàng)公式，再結(jié)合通項(xiàng)正負(fù)分組求和即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以.故選：B.7．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知某數(shù)列的通項(xiàng)，則（

）A．48 B．49 C．50 D．51【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】倒序相加法求和【分析】令函數(shù)，，所以，由倒序相加法求和即可.【詳解】令函數(shù)，則，所以．所以，令，則，則有，所以．故選：D．二、填空題8．（24-25高一上·陜西咸陽·開學(xué)考試）計(jì)算．【答案】5【知識(shí)點(diǎn)】裂項(xiàng)相消法求和【分析】運(yùn)用裂項(xiàng)相消求和即可.【詳解】此問題可以看作數(shù)列的前50項(xiàng)和.即.故答案為：5.三、解答題9．（24-25高三上·河北·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足.(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式.(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】(1)；(2)【知識(shí)點(diǎn)】利用定義求等差數(shù)列通項(xiàng)公式、求等比數(shù)列前n項(xiàng)和、分組（并項(xiàng)）法求和【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列定義即可得數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，并求出通項(xiàng)公式；（2）寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用分組求和的方法即可得出.【詳解】（1）根據(jù)題意由易知，即可得為定值，由此可得數(shù)列是以為首項(xiàng)，公差的等差數(shù)列，所以，可得；即數(shù)列的通項(xiàng)公式為；（2）由（1）可得；則數(shù)列的前n項(xiàng)和.即可得10．（23-24高三上·湖南·階段練習(xí)）已知遞增等差數(shù)列滿足：，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前2n項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】利用定義求等差數(shù)列通項(xiàng)公式、由遞推關(guān)系證明數(shù)列是等差數(shù)列、求等差數(shù)列前n項(xiàng)和、分組（并項(xiàng)）法求和【分析】（1）利用因式分解得，即，從而求解通項(xiàng)公式.（2）解法一：結(jié)合等差數(shù)列求和公式和等比數(shù)列求和公式，利用分組求和求解即可；解法二：利用并項(xiàng)求和法求和即可.【詳解】（1）設(shè)遞增等差數(shù)列an的公差為d，則，因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，，所以，所以，所以，故?shù)列an的通項(xiàng)公式為.（2）解法一：.解法二：.11．（23-24高二下·廣東珠?！るA段練習(xí)）已知數(shù)列an中，，．(1)求an(2)求和：【答案】(1)；(2)【知識(shí)點(diǎn)】寫出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、由遞推關(guān)系證明等比數(shù)列、求等比數(shù)列前n項(xiàng)和、錯(cuò)位相減法求和【分析】（1）由條件證明數(shù)列為等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，，則，利用錯(cuò)位相減法求和即可.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，又，所以?shù)列為首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，所以an的通項(xiàng)公式為.（2）設(shè)，，則，由（1）可得，所以，所以，所以，所以，所以所以.所以12．（24-25高三上·內(nèi)蒙古包頭·開學(xué)考試）已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前2n項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】利用an與sn關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)、分組（并項(xiàng)）法求和、裂項(xiàng)相消法求和【分析】（1）利用來求得an的通項(xiàng)公式.（2）利用分組求和法、裂項(xiàng)求和法等求和方法來求得數(shù)列bn的前2n項(xiàng)和．【詳解】（1）依題意，，，當(dāng)時(shí)，，解得，（舍去）.當(dāng)時(shí)，由得，兩式相減得，即，由于，所以，所以數(shù)列an是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以（也符合）.（2）由（1）得，所以.B能力提升1．（2024·福建泉州·二模）已知數(shù)列an和bn的各項(xiàng)均為正，且，bn是公比3的等比數(shù)列．?dāng)?shù)列an的前n項(xiàng)和滿足(1)求數(shù)列an，b(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)，(2)【知識(shí)點(diǎn)】裂項(xiàng)相消法求和、分組（并項(xiàng)）法求和、等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算、利用an與sn關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)【分析】（1）利用遞推公式可證得數(shù)列an是等差數(shù)列，可求出數(shù)列an的通項(xiàng)；利用等比數(shù)列的性質(zhì)，可求出（2）根據(jù)裂項(xiàng)相消和分組求和法求解即可；【詳解】（1）由題設(shè)，當(dāng)時(shí)或（舍），由，知，兩式相減得，（舍）或，即，∴數(shù)列an是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，．又．（2）則當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，．1．（23-24高二下·河南安陽·期中）在數(shù)列中，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前12項(xiàng)和，其中表示不超過的最大整數(shù)，如，.【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】由遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式、數(shù)列求和的其他方法【分析】（1）降次作差即可得到，最后驗(yàn)證即可；（2）求出前12項(xiàng)的每一項(xiàng)，最后求和即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，①，所以當(dāng)時(shí)，②，①②得，即也滿足該式，所以.（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，依次類推，可知.所以數(shù)列bn的前12項(xiàng)和為.2．（23-24高三下·上海浦東新·階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)列{an}滿足：，點(diǎn)（在曲線上．(1)當(dāng)且時(shí)，求實(shí)數(shù)列{an}(2)在（1）的條件下，若表示不超過實(shí)數(shù)t的最大整數(shù)，令，是數(shù)列bn的前n項(xiàng)和，求的值；(3)當(dāng)，時(shí)，若存在，且對恒成立，求證：．【答案】(1)；(2)；(3)證明見解析.【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)列的極限、數(shù)列不等式恒成立問題、數(shù)列求和的其他方法、構(gòu)造法求數(shù)列通項(xiàng)【分析】（1）根據(jù)題意，構(gòu)造等差數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求得；（2）根據(jù)（1）中所求，求得，結(jié)合“”的定義，即可求得結(jié)果；（3）由，結(jié)合遞推公式求得，根據(jù)其大小關(guān)系，以及數(shù)列的極限存在，求得的取值范圍，同時(shí)求得關(guān)于的表達(dá)式，結(jié)合作差法以及遞推公式，即可證明.【詳解】（1）由題可知：，故數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，又