2024高考數(shù)學(xué)統(tǒng)考一輪復(fù)習(xí)第六章不等式推理與證明第四節(jié)合情推理與演繹推理教師文檔教案文北師大版

PAGE第四節(jié)合情推理與演繹推理授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第112頁[基礎(chǔ)梳理]1．合情推理類型定義特征歸納推理由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理由部分到整體、由個別到一般類比推理由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理由特別到特別合情推理歸納推理和類比推理都是依據(jù)已有的事實(shí)，經(jīng)過視察、分析、比較、聯(lián)想，再進(jìn)行歸納、類比，然后提出猜想的推理2.演繹推理(1)定義：從一般性的原理動身，推出某個特別狀況下的結(jié)論，我們把這種推理稱為演繹推理．簡言之，演繹推理是由一般到特別的推理．(2)“三段論”是演繹推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所探討的特別狀況；③結(jié)論——依據(jù)一般原理，對特別狀況做出的推斷．1．類比推理的留意點(diǎn)在進(jìn)行類比推理時要盡量從本質(zhì)上去類比，不要被表面現(xiàn)象迷惑，假如只抓住一點(diǎn)表面現(xiàn)象的相像甚至假象就去類比，那么就會犯機(jī)械類比的錯誤．2．類比推理的幾個角度方法解讀適合題型類比定義在求解由某種熟識的定義產(chǎn)生的類比推理型試題時，可以借助原定義來解已知熟識定義類比新定義類比性質(zhì)從一個特別式子的性質(zhì)、一個特別圖形的性質(zhì)入手，提出類比推理型問題，求解時要仔細(xì)分析兩者之間的聯(lián)系與區(qū)分，深化思索兩者的轉(zhuǎn)化過程是求解的關(guān)鍵平面幾何與立體幾何；等差數(shù)列與等比數(shù)列類比方法有一些處理問題的方法具有類比性，我們可以把這種方法類比應(yīng)用到其他問題的求解中，留意學(xué)問的遷移已知熟識的處理方法類比未知問題的處理方法類比結(jié)構(gòu)有些是類比等式或不等式形式的推理，可以從結(jié)構(gòu)特點(diǎn)上類比，如兩項(xiàng)類比三項(xiàng)，長度類比面積，平方類比立方，面積類比體積，平面類比空間幾何問題的結(jié)論[四基自測]1．(基礎(chǔ)點(diǎn)：歸納推理)已知數(shù)列{an}中，a1＝1，n≥2時，an＝an－1＋2n－1，依次計(jì)算a2，a3，a4后，猜想an的表達(dá)式是()A．a(chǎn)n＝3n－1 B．a(chǎn)n＝4n－3C．a(chǎn)n＝n2 D．a(chǎn)n＝3n－1答案：C2．(基礎(chǔ)點(diǎn)：三段論)有一段“三段論”推理是這樣的：對于可導(dǎo)函數(shù)f(x)，若f′(x0)＝0，則x＝x0是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，因?yàn)閒(x)＝x3在x＝0處的導(dǎo)數(shù)值為0，所以x＝0是f(x)＝x3的極值點(diǎn)，以上推理()A．大前提錯誤 B．小前提錯誤C．推理形式錯誤 D．結(jié)論正確答案：A3．(基礎(chǔ)點(diǎn)：類比推理)在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝b，BC＝a，則△ABC外接圓半徑r＝eq\f(\r(a2＋b2),2).運(yùn)用類比方法，若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩相互垂直且長度分別為a，b，c，則其外接球的半徑R＝________．答案：eq\f(\r(a2＋b2＋c2),2)授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第113頁考點(diǎn)一歸納推理挖掘1與數(shù)字(數(shù)列)有關(guān)的推理/自主練透[例1](1)(2024·新鄉(xiāng)模擬)從1起先的自然數(shù)按如圖所示的規(guī)則排列，現(xiàn)有一個三角形框架在圖中上下或左右移動，使每次恰有九個數(shù)在此三角形內(nèi)，則這九個數(shù)的和可以為()A．2011 B．2012C．2013 D．2014[解析]依據(jù)題干圖所示的規(guī)則排列，設(shè)最上層的一個數(shù)為a，則其次層的三個數(shù)為a＋7，a＋8，a＋9，第三層的五個數(shù)為a＋14，a＋15，a＋16，a＋17，a＋18，這九個數(shù)之和為a＋3a＋24＋5a＋80＝9a＋104.由9a＋104＝2012，得a＝212，是自然數(shù)．[答案]B(2)(2024·湖北襄陽優(yōu)質(zhì)中學(xué)聯(lián)考)將三項(xiàng)式(x2＋x＋1)n綻開，當(dāng)n＝0，1，2，3，…時，得到以下等式：(x2＋x＋1)0＝1，(x2＋x＋1)1＝x2＋x＋1，(x2＋x＋1)2＝x4＋2x3＋3x2＋2x＋1，(x2＋x＋1)3＝x6＋3x5＋6x4＋7x3＋6x2＋3x＋1，……視察多項(xiàng)式系數(shù)之間的關(guān)系，可以依照楊輝三角構(gòu)造如圖所示的廣義楊輝三角，其構(gòu)造方法為：第0行為1，以下各行每個數(shù)是它正頭頂上與左右兩肩上3個數(shù)(不足3個數(shù)的，缺少的數(shù)記為0)的和，第k行共有(2k＋1)個數(shù)，若(x2＋x＋1)5(1＋ax)的綻開式中，x7項(xiàng)的系數(shù)為75，則實(shí)數(shù)a的值為________．[解析]依據(jù)題意可得廣義楊輝三角第5行的數(shù)為：1，5，15，30，45，51，45，30，15，5，1，故(1＋ax)(x2＋x＋1)5的綻開式中，x7項(xiàng)的系數(shù)為30＋45a＝75，得a＝1.[答案]1[破題技法]與數(shù)字有關(guān)的等式的歸納推理，視察數(shù)字特點(diǎn)，找出等式左右兩側(cè)的規(guī)律及符號可解．挖掘2與等式(不等式)有關(guān)的推理/互動探究[例2](1)視察下列等式：13＋23＝32，13＋23＋33＝62，13＋23＋33＋43＝102，…，依據(jù)上述規(guī)律，第五個等式為________．[解析]因?yàn)樗o等式左邊的底數(shù)依次分別為1，2；1，2，3；1，2，3，4；右邊的底數(shù)依次分別為1＋2＝3，1＋2＋3＝6，1＋2＋3＋4＝10，所以由底數(shù)內(nèi)在規(guī)律可知，第五個等式左邊的底數(shù)為1，2，3，4，5，6，右邊的底數(shù)為1＋2＋3＋4＋5＋6＝21，又左邊為立方和，右邊為平方的形式，故第五個等式為13＋23＋33＋43＋53＋63＝212.[答案]13＋23＋33＋43＋53＋63＝212(2)視察下列特別的不等式：eq\f(52－22,5－2)≥2×eq\f(7,2)，eq\f(45－35,42－32)≥eq\f(5,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)))eq\s\up12(3)，eq\f(98－28,93－23)≥eq\f(8,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,2)))eq\s\up12(5)，eq\f(910－510,95－55)≥2×75，……由以上特別不等式，可以揣測：當(dāng)a>b>0，s，r∈Z時，有eq\f(as－bs,ar－br)≥________．[解析]eq\f(52－22,5－2)≥2×eq\f(7,2)＝eq\f(2,1)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5＋2,2)))eq\s\up12(2－1)，eq\f(45－35,42－32)≥eq\f(5,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)))eq\s\up12(3)＝eq\f(5,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4＋3,2)))eq\s\up12(5－2)，eq\f(98－28,93－23)≥eq\f(8,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,2)))eq\s\up12(5)＝eq\f(8,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9＋2,2)))eq\s\up12(8－3)，eq\f(910－510,95－55)≥2×75＝eq\f(10,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9＋5,2)))eq\s\up12(10－5)，由以上特別不等式，可以揣測，當(dāng)a>b>0，s，r∈Z時，有eq\f(as－bs,ar－br)≥eq\f(s,r)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(s－r).[答案]eq\f(s,r)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(s－r)[破題技法]與式子有關(guān)的歸納推理(1)與不等式有關(guān)的歸納推理，視察每個不等式的特點(diǎn)，留意從縱向看，找到規(guī)律后可解．(2)與數(shù)列有關(guān)的歸納推理，通常是先求出幾個特別項(xiàng)，采納不完全歸納法，找出數(shù)列的項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的關(guān)系，列出即可求解．挖掘3與圖形有關(guān)的推理/互動探究[例3](1)下圖中①②③④為四個平面圖形．表中給出了各平面圖形中的頂點(diǎn)數(shù)、邊數(shù)以及區(qū)域數(shù)．平面圖形頂點(diǎn)數(shù)邊數(shù)區(qū)域數(shù)①332②8126③695④10157現(xiàn)已知某個平面圖形有1009個頂點(diǎn)，且圍成了1007個區(qū)域，試依據(jù)以上關(guān)系確定這個平面圖形的邊數(shù)為________．[解析]由表歸納各平面圖形的頂點(diǎn)數(shù)、邊數(shù)、區(qū)域數(shù)的關(guān)系如下表：平面圖形頂點(diǎn)數(shù)邊數(shù)區(qū)域數(shù)關(guān)系①3323＋2－3＝2②81268＋6－12＝2③6956＋5－9＝2④1015710＋7－15＝2VEFV＋F－E＝2其頂點(diǎn)數(shù)V、邊數(shù)E、區(qū)域數(shù)F滿意關(guān)系式V＋F－E＝2，故可猜想此平面圖形的邊數(shù)為1009＋1007－2＝2014.[答案]2014(2)如圖，第1個圖形由正三角形擴(kuò)展而成，共12個頂點(diǎn)．第n個圖形由正n＋2邊形擴(kuò)展而來，其中n∈N＋，則第n個圖形的頂點(diǎn)個數(shù)是()A．(2n＋1)(2n＋2) B．3(2n＋2)C．2n(5n＋1) D．(n＋2)(n＋3)[解析]由已知中的圖形可以得到：當(dāng)n＝1時，圖形的頂點(diǎn)個數(shù)為12＝3×4，當(dāng)n＝2時，圖形的頂點(diǎn)個數(shù)為20＝4×5，當(dāng)n＝3時，圖形的頂點(diǎn)個數(shù)為30＝5×6，當(dāng)n＝4時，圖形的頂點(diǎn)個數(shù)為42＝6×7，……由此可以推斷：第n個圖形的頂點(diǎn)個數(shù)為(n＋2)(n＋3)，故選D.[答案]D[破題技法]與圖形改變有關(guān)的歸納推理，合理利用特別圖形歸納推理得出結(jié)論，并用賦值檢驗(yàn)法驗(yàn)證其真?zhèn)涡裕键c(diǎn)二類比推理挖掘類比方法、類比結(jié)論、類比運(yùn)算/互動探究[例](1)我國古代稱直角三角形為勾股形，并且直角邊中較小者為勾，另始終角邊為股，斜邊為弦．若a，b，c為直角三角形的三邊，其中c為斜邊，則a2＋b2＝c2，稱這個定理為勾股定理．現(xiàn)將這肯定理推廣到立體幾何中：在四面體O-ABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝90°，S為頂點(diǎn)O所對面△ABC的面積，S1，S2，S3分別為側(cè)面△OAB，△OAC，△OBC的面積，則下列選項(xiàng)中對于S，S1，S2，S3滿意的關(guān)系描述正確的為()A．S2＝Seq\o\al(2,1)＋Seq\o\al(2,2)＋Seq\o\al(2,3) B．S2＝eq\f(1,Seq\o\al(2,1))＋eq\f(1,Seq\o\al(2,2))＋eq\f(1,Seq\o\al(2,3))C．S＝S1＋S2＋S3 D．S＝eq\f(1,S1)＋eq\f(1,S2)＋eq\f(1,S3)[解析]如圖，作OD⊥BC于點(diǎn)D，連接AD，則AD⊥BC，從而S2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)BC·AD))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,4)BC2·AD2＝eq\f(1,4)BC2·(OA2＋OD2)＝eq\f(1,4)(OB2＋OC2)·OA2＋eq\f(1,4)BC2·OD2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)OB·OA))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)OC·OA))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)BC·OD))eq\s\up12(2)＝Seq\o\al(2,1)＋Seq\o\al(2,2)＋Seq\o\al(2,3).[答案]A(2)若點(diǎn)P0(x0，y0)在橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)外，過點(diǎn)P0作該橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為P1，P2，則切點(diǎn)弦P1P2所在直線的方程為eq\f(x0x,a2)＋eq\f(y0y,b2)＝1.那么對于雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，類似地，可以得到一個正確的切點(diǎn)弦方程為______________．[解析]若點(diǎn)P0(x0，y0)在雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)外，過點(diǎn)P0作該雙曲線的兩條切線，切點(diǎn)分別為P1，P2(圖略)，則切點(diǎn)弦P1P2所在直線的方程為eq\f(x0x,a2)－eq\f(y0y,b2)＝1.[答案]eq\f(x0x,a2)－eq\f(y0y,b2)＝1[破題技法]類比推理是由一類事物的特別性推另一類事物的特別性，首先要找出兩類事物之間的聯(lián)系與不同，然后找出“特別性”是什么內(nèi)容，定義方面、性質(zhì)方面、方法方面、運(yùn)算方面等，從而推導(dǎo)結(jié)論．考點(diǎn)三演繹推理挖掘1簡潔的三段論/自主練透[例1](1)(2024·洛陽模擬)下列四個推導(dǎo)過程符合演繹推理三段論形式且推理正確的是()A．大前提：無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)；小前提：π是無理數(shù)；結(jié)論：π是無限不循環(huán)小數(shù)B．大前提：無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)；小前提：π是無限不循環(huán)小數(shù)；結(jié)論：π是無理數(shù)C．大前提：π是無限不循環(huán)小數(shù)；小前提：無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)；結(jié)論：π是無理數(shù)D．大前提：π是無限不循環(huán)小數(shù)；小前提：π是無理數(shù)；結(jié)論：無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)[解析]A中小前提不是大前提的特別狀況，不符合三段論的推理形式，故A錯誤；C，D都不是由一般性命題到特別性命題的推理，所以C，D都不正確，只有B正確．[答案]B(2)(2024·重慶檢測)演繹推理“因?yàn)閷?shù)函數(shù)y＝logax(a>0且a≠1)是增函數(shù)，而函數(shù)y＝logeq\s\do9(\f(1,2))x是對數(shù)函數(shù)，所以y＝logeq\s\do9(\f(1,2))x是增函數(shù)”所得結(jié)論．錯誤的緣由是()A．大前提錯誤 B．小前提錯誤C．推理形式錯誤 D．大前提和小前提都錯誤[解析]因?yàn)楫?dāng)a>1時，y＝logax在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，當(dāng)0<a<1時，y＝logax在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，所以大前提錯誤．故選A.[答案]A[破題技法]用演繹推理證明問題時，大前提往往是定義、定理或一些固定結(jié)論，小前提為問題的條件，一般大前提可省略，當(dāng)大前提、小前提及推理正確時，結(jié)論就正確．挖掘2演繹推理、合情推理的生活應(yīng)用/自主練透[例2](1)(2024·高考全國卷Ⅰ)古希臘時期，人們認(rèn)為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是eq\f(\r(5)－1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5)－1,2)≈0.618，稱為黃金分割比例))，聞名的“斷臂維納斯”便是如此．此外，最美人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是eq\f(\r(5)－1,2).若某人滿意上述兩個黃金分割比例，且腿長為105cm，頭頂至頸項(xiàng)下端的長度為26cm，則其身高可能是()A．165cm B．175cmC．185cm D．190cm[解析]設(shè)某人身高為mcm，頸項(xiàng)下端至肚臍的長度為ncm，則由腿長為105cm，可得eq\f(m－105