第08節(jié) 不等式的性質(zhì)、一元二次不等式與基本不等式（原卷版）

第8節(jié)不等式的性質(zhì)、一元二次不等式與基本不等式基礎(chǔ)知識(shí)要夯實(shí)1.實(shí)數(shù)的大小順序與運(yùn)算性質(zhì)的關(guān)系(1)a>b?a－b>0；(2)a＝b?a－b＝0；(3)a<b?a－b<0.2.不等式的性質(zhì)(1)對稱性：a＞b?b＜a；(2)傳遞性：a＞b，b＞c?a＞c；(3)可加性：a＞b?a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d?a＋c＞b＋d；(4)可乘性：a＞b，c＞0?ac＞bc；a>b，c<0?ac<bc；a＞b＞0，c＞d＞0?ac＞bd；(5)可乘方：a＞b＞0?an＞bn(n∈N，n≥1)；(6)可開方：a＞b＞0?＞(n∈N，n≥2).3.三個(gè)“二次”間的關(guān)系判別式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有兩相異實(shí)根x1，x2(x1＜x2)有兩相等實(shí)根x1＝x2＝－沒有實(shí)數(shù)根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集eq\f({x|x＞x2,或x＜x1})Rax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}??[微點(diǎn)提醒]1.有關(guān)分?jǐn)?shù)的性質(zhì)(1)若a>b>0，m>0，則；(b－m>0).(2)若ab>0，且a>b?.2.對于不等式ax2＋bx＋c>0，求解時(shí)不要忘記a＝0時(shí)的情形.3.當(dāng)Δ<0時(shí)，不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集為R還是?，要注意區(qū)別.4.基本不等式：≤(1)基本不等式成立的條件：a≥0，b≥0.(2)等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號.(3)其中稱為正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，稱為正數(shù)a，b的幾何平均數(shù).5.兩個(gè)重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號.(2)ab≤(a，b∈R)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號.6.利用基本不等式求最值已知x≥0，y≥0，則(1)如果積xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，x＋y有最小值是2(簡記：積定和最小).(2)如果和x＋y是定值s，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，xy有最大值是(簡記：和定積最大).[微點(diǎn)提醒]1.≥2(a，b同號)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號.2.ab≤≤.3.(a>0，b>0).典型例題剖析考點(diǎn)一不等式的性質(zhì)角度1比較大小及不等式性質(zhì)的簡單應(yīng)用【例1－1】(1)已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，則a，b，c的大小關(guān)系是()A.c≥b>a B.a>c≥bC.c>b>a D.a>c>b(2)(一題多解)若＜0，給出下列不等式：①；②|a|＋b＞0；③a－＞b－；④lna2＞lnb2.其中正確的不等式是()A.①④ B.②③ C.①③ D.②④角度2利用不等式變形求范圍【例1－2】(一題多解)設(shè)f(x)＝ax2＋bx，若1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，則f(－2)的取值范圍是________.規(guī)律方法1.比較兩個(gè)數(shù)(式)大小的兩種方法2.與充要條件相結(jié)合問題，用不等式的性質(zhì)分別判斷p?q和q?p是否正確，要注意特殊值法的應(yīng)用.3.與命題真假判斷相結(jié)合問題.解決此類問題除根據(jù)不等式的性質(zhì)求解外，還經(jīng)常采用特殊值驗(yàn)證的方法.4.在求式子的范圍時(shí)，如果多次使用不等式的可加性，式子中的等號不能同時(shí)取到，會(huì)導(dǎo)致范圍擴(kuò)大.【訓(xùn)練1】(1)(2022·東北三省四市模擬)設(shè)a，b均為實(shí)數(shù)，則“a>|b|”是“a3>b3”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件(2)(2022·天一測試)已知實(shí)數(shù)a∈(1，3)，b∈，則的取值范圍是________.考點(diǎn)二一元二次不等式的解法【例2－1】(1)(2022·河南中原名校聯(lián)考)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù).當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝x2－2x，則不等式f(x)>x的解集用區(qū)間表示為________.(2)已知不等式ax2－bx－1>0的解集是{x|－<x<－}，則不等式x2－bx－a≥0的解集是________.【例2－2】解關(guān)于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R).規(guī)律方法1.解一元二次不等式的一般方法和步驟(1)化：把不等式變形為二次項(xiàng)系數(shù)大于零的標(biāo)準(zhǔn)形式.(2)判：計(jì)算對應(yīng)方程的判別式，根據(jù)判別式判斷方程有沒有實(shí)根(無實(shí)根時(shí)，不等式解集為R或?).(3)求：求出對應(yīng)的一元二次方程的根.(4)寫：利用“大于取兩邊，小于取中間”寫出不等式的解集.2.含有參數(shù)的不等式的求解，首先需要對二次項(xiàng)系數(shù)討論，再比較(相應(yīng)方程)根的大小，注意分類討論思想的應(yīng)用.【訓(xùn)練2】(2022·清遠(yuǎn)一模)關(guān)于x的不等式ax－b<0的解集是(1，＋∞)，則關(guān)于x的不等式(ax＋b)(x－3)>0的解集是()A.(－∞，－1)∪(3，＋∞) B.(1，3)C.(－1，3) D.(－∞，1)∪(3，＋∞)考點(diǎn)三一元二次不等式恒成立問題角度1在實(shí)數(shù)R上恒成立【例3－1】(2018·大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)期中)對于任意實(shí)數(shù)x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4<0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.(－∞，2) B.(－∞，2]C.(－2，2) D.(－2，2]角度2在給定區(qū)間上恒成立【例3－2】(一題多解)設(shè)函數(shù)f(x)＝mx2－mx－1(m≠0)，若對于x∈[1，3]，f(x)＜－m＋5恒成立，則m的取值范圍是________.角度3給定參數(shù)范圍的恒成立問題【例3－3】已知a∈[－1，1]時(shí)不等式x2＋(a－4)x＋4－2a＞0恒成立，則x的取值范圍為()A.(－∞，2)∪(3，＋∞) B.(－∞，1)∪(2，＋∞)C.(－∞，1)∪(3，＋∞) D.(1，3)規(guī)律方法1.對于一元二次不等式恒成立問題，恒大于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸上方，恒小于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸下方.另外常轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值或用分離參數(shù)法求最值.2.解決恒成立問題一定要搞清誰是主元，誰是參數(shù)，一般地，知道誰的范圍，誰就是主元，求誰的范圍，誰就是參數(shù).【訓(xùn)練3】(2022·河南豫西南五校聯(lián)考)已知關(guān)于x的不等式kx2－6kx＋k＋8≥0對任意x∈R恒成立，則k的取值范圍是()A.[0，1] B.(0，1]C.(－∞，0)∪(1，＋∞) D.(－∞，0]∪[1，＋∞)[思維升華]1.比較法是不等式性質(zhì)證明的理論依據(jù)，是不等式證明的主要方法之一，比較法之一作差法的主要步驟為作差——變形——判斷正負(fù).2.判斷不等式是否成立，主要有利用不等式的性質(zhì)和特殊值驗(yàn)證兩種方法，特別是對于有一定條件限制的選擇題，用特殊值驗(yàn)證的方法更簡單.[易錯(cuò)防范]1.“三個(gè)二次”的關(guān)系是解一元二次不等式的理論基礎(chǔ)；一般可把a(bǔ)＜0的情況轉(zhuǎn)化為a＞0時(shí)的情形.2.含參數(shù)的不等式要注意選好分類標(biāo)準(zhǔn)，避免盲目討論.考點(diǎn)四利用基本不等式求最值多維探究角度1通過配湊法求最值【例4－1】(2022·樂山一中月考)設(shè)0<x<，則函數(shù)y＝4x(3－2x)的最大值為________.角度2通過常數(shù)代換法求最值【例4－2】(2019·濰坊調(diào)研)函數(shù)y＝a1－x(a>0，a≠1)的圖象恒過定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線mx＋ny－1＝0上，且m，n為正數(shù)，則的最小值為________.【規(guī)律方法】在利用基本不等式求最值時(shí)，要根據(jù)式子的特征靈活變形，配湊出積、和為常數(shù)的形式，主要有兩種思路：(1)對條件使用基本不等式，建立所求目標(biāo)函數(shù)的不等式求解.常用的方法有：折項(xiàng)法、變系數(shù)法、湊因子法、換元法、整體代換法等.(2)條件變形，進(jìn)行“1”的代換求目標(biāo)函數(shù)最值.【訓(xùn)練4】(1)(2022·濟(jì)南聯(lián)考)若a>0，b>0且2a＋b＝4，則的最小值為()A.2 B. C.4 D.(2)已知x<，則f(x)＝4x－2＋的最大值為______.考點(diǎn)五基本不等式在實(shí)際問題中的應(yīng)用【例5】運(yùn)貨卡車以每小時(shí)x千米的速度勻速行駛130千米，按交通法規(guī)限制50≤x≤100(單位：千米/時(shí)).假設(shè)汽油的價(jià)格是每升2元，而汽車每小時(shí)耗油升，司機(jī)的工資是每小時(shí)14元.(1)求這次行車總費(fèi)用y關(guān)于x的表達(dá)式；(2)當(dāng)x為何值時(shí)，這次行車的總費(fèi)用最低，并求出最低費(fèi)用的值.【規(guī)律方法】1.設(shè)變量時(shí)一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù).2.根據(jù)實(shí)際問題抽象出函數(shù)的解析式后，只需利用基本不等式求得函數(shù)的最值.3.在求函數(shù)的最值時(shí)，一定要在定義域(使實(shí)際問題有意義的自變量的取值范圍)內(nèi)求解.【訓(xùn)練5】網(wǎng)店和實(shí)體店各有利弊，兩者的結(jié)合將在未來一段時(shí)期內(nèi)，成為商業(yè)的一個(gè)主要發(fā)展方向.某品牌行車記錄儀支架銷售公司從2019年1月起開展網(wǎng)絡(luò)銷售與實(shí)體店體驗(yàn)安裝結(jié)合的銷售模式.根據(jù)幾個(gè)月運(yùn)營發(fā)現(xiàn)，產(chǎn)品的月銷量x萬件與投入實(shí)體店體驗(yàn)安裝的費(fèi)用t萬元之間滿足函數(shù)關(guān)系式x＝3－.已知網(wǎng)店每月固定的各種費(fèi)用支出為3萬元，產(chǎn)品每1萬件進(jìn)貨價(jià)格為32萬元，若每件產(chǎn)品的售價(jià)定為“進(jìn)貨價(jià)的150%”與“平均每件產(chǎn)品的實(shí)體店體驗(yàn)安裝費(fèi)用的一半”之和，則該公司最大月利潤是________萬元.考點(diǎn)六基本不等式的綜合應(yīng)用【例6】(1)(2019·河南八校測評)已知等差數(shù)列{an}中，a3＝7，a9＝19，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則的最小值為________.(2)(一題多解)(2018·江蘇卷)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D，且BD＝1，則4a＋c的最小值為________.【規(guī)律方法】基本不等式的應(yīng)用非常廣泛，它可以和數(shù)學(xué)的其他知識(shí)交匯考查，解決這類問題的策略是：1.先根據(jù)所交匯的知識(shí)進(jìn)行變形，通過換元、配湊、巧換“1”等手段把最值問題轉(zhuǎn)化為用基本不等式求解，這是難點(diǎn).2.要有利用基本不等式求最值的意識(shí)，善于把條件轉(zhuǎn)化為能利用基本不等式的形式.3.檢驗(yàn)等號是否成立，完成后續(xù)問題.【訓(xùn)練6】(2022·廈門模擬)已知f(x)＝32x－(k＋1)3x＋2，當(dāng)x∈R時(shí)，f(x)恒為正值，則k的取值范圍是()A.(－∞，－1) B.(－∞，2－1)C.(－1，2－1) D.(－2－1，2－1)[思維升華]1.基本不等式具有將“和式”轉(zhuǎn)化為“積式”和將“積式”轉(zhuǎn)化為“和式”的放縮功能，常常用于比較數(shù)(式)的大小或證明不等式，解決問題的關(guān)鍵是分析不等式兩邊的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，選擇好利用基本不等式的切入點(diǎn).2.對于基本不等式，不僅要記住原始形式，而且還要掌握它的幾種變形形式及公式的逆用等，同時(shí)還要注意不等式成立的條件和等號成立的條件.3.對使用基本不等式時(shí)等號取不到的情況，可考慮使用函數(shù)y＝x＋(m>0)的單調(diào)性.[易錯(cuò)防范]1.使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三個(gè)條件缺一不可.2.連續(xù)使用基本不等式求最值要求每次等號成立的條件一致.達(dá)標(biāo)檢測要扎實(shí)一、單選題1．關(guān)于的不等式的解集為，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．2．若0<m<1，則不等式(x－m)<0的解集為（

）A． B．或C．或 D．3．若不等式對一切實(shí)數(shù)都成立，則的取值范圍是A． B．C． D．4．下列不等式中成立的是（

）A．若則B．若則C．若則D．若則5．不等式的解集是A． B．C． D．6．已知關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的取值范圍為（

）A． B．或C．或 D．7．已知x＞0、y＞0，且1，若恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A．(1,9) B．(9,1)C．[9,1] D．(∞,1)∪(9,+∞)8．若，則（

）A． B． C． D．9．已知，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．10．已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．11．若，，且，，則，，，的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．12．不等式的解集為，那么不等式的解集為（

）A． B．或C． D．或二、填空題13．已知a＞0，b＞0，則p＝﹣a與q＝b﹣的大小關(guān)系是_____．14．若關(guān)于的不等式的解集不是空集，則的取值范圍是________.15．若命題“，”為真命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為________.16．某地每年銷售木材約20萬，每立方米的價(jià)格為2400元．為了減少木材消耗，決定按銷售收入的征收木材稅，這樣每年的木材銷售量減少萬，為了既減少了木材消耗又保證稅金收入每年不少于900萬元，則t的取值范圍是________．三、解答題17．已知集合.（1）若中有兩個(gè)元素，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若中至多有一個(gè)元