第11節(jié) 利用導數(shù)解決函數(shù)的極值最值（原卷版）

第11節(jié)利用導數(shù)解決函數(shù)的極值最值基礎知識要夯實1．函數(shù)的極值(1)函數(shù)的極小值：函數(shù)y＝f(x)在點x＝a的函數(shù)值f(a)比它在點x＝a附近其他點的函數(shù)值都小，f′(a)＝0；而且在點x＝a附近的左側f′(x)＜0，右側f′(x)＞0，則點a叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值點，f(a)叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值．(2)函數(shù)的極大值：函數(shù)y＝f(x)在點x＝b的函數(shù)值f(b)比它在點x＝b附近其他點的函數(shù)值都大，f′(b)＝0；而且在點x＝b附近的左側f′(x)＞0，右側f′(x)＜0，則點b叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值點，f(b)叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值．極小值點、極大值點統(tǒng)稱為極值點，極大值和極小值統(tǒng)稱為極值.①函數(shù)fx在x0處有極值的必要不充分條件是f′x0＝0，極值點是f′x＝0的根，但f′x＝0的根不都是極值點例如fx＝x3，f′0＝0，但x＝0不是極值點.②極值反映了函數(shù)在某一點附近的大小情況，刻畫的是函數(shù)的局部性質.極值點是函數(shù)在區(qū)間內部的點，不會是端點.2．函數(shù)的最值(1)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù)f(x)在[a，b]上必有最大值與最小值．(2)若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調遞增，則f(a)為函數(shù)的最小值，f(b)為函數(shù)的最大值；若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調遞減，則f(a)為函數(shù)的最大值，f(b)為函數(shù)的最小值．3常用結論1.對于可導函數(shù)f(x)，“f′(x0)＝0”是“函數(shù)f(x)在x＝x0處有極值”的必要不充分條件.2.求最值時，應注意極值點和所給區(qū)間的關系，關系不確定時，需要分類討論，不可想當然認為極值就是最值.3.函數(shù)最值是“整體”概念，而函數(shù)極值是“局部”概念，極大值與極小值之間沒有必然的大小關系.核心素養(yǎng)要做實考點一利用導數(shù)解決函數(shù)的極值問題考法(一)利用導數(shù)求函數(shù)的極值或極值點【例1】(2020·天津高考改編)設函數(shù)f(x)＝(x－t1)·(x－t2)(x－t3)，其中t1，t2，t3∈R，且t1，t2，t3是公差為d的等差數(shù)列．(1)若t2＝0，d＝1，求曲線y＝f(x)在點(0，f(0))處的切線方程；(2)若d＝3，求f(x)的極小值點及極大值．【方法技巧】求函數(shù)的極值或極值點的步驟(1)求導數(shù)f′(x)，不要忘記函數(shù)f(x)的定義域；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)檢查在方程的根的左右兩側f′(x)的符號，確定極值點或函數(shù)的極值．考法(二)已知函數(shù)極值點或極值求參數(shù)的值或范圍【例2】(2020·北京高考節(jié)選)設函數(shù)f(x)＝[ax2－(3a＋1)x＋3a＋2]ex，若f(x)在x＝1處取得極小值，求a的取值范圍．【方法技巧】已知函數(shù)極值點或極值求參數(shù)的2個要領列式根據極值點處導數(shù)為0和極值這兩個條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解驗證因為導數(shù)值等于零不是此點為極值點的充要條件，所以利用待定系數(shù)法求解后必須驗證根的合理性[題組訓練]1．設函數(shù)f(x)＝＋lnx，則()A．x＝為f(x)的極大值點B．x＝為f(x)的極小值點C．x＝2為f(x)的極大值點 D．x＝2為f(x)的極小值點2．(2020·廣州高中綜合測試)已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1處的極值為10，則數(shù)對(a，b)為()A．(－3,3) B．(－11,4)C．(4，－11) D．(－3,3)或(4，－11)3．設函數(shù)f(x)＝ax3－2x2＋x＋c(a>0)．(1)當a＝1，且函數(shù)f(x)的圖象過點(0,1)時，求函數(shù)f(x)的極小值；(2)若f(x)在(－∞，＋∞)上無極值點，求a的取值范圍．考點二利用導數(shù)解決函數(shù)的最值問題【例2】(2020·北京高考)已知函數(shù)f(x)＝excosx－x.(1)求曲線y＝f(x)在點(0，f(0))處的切線方程；(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值．[解題技法]導數(shù)法求給定區(qū)間上函數(shù)的最值問題的一般步驟(1)求函數(shù)f(x)的導數(shù)f′(x)；(2)求f(x)在給定區(qū)間上的單調性和極值；(3)求f(x)在給定區(qū)間上的端點值；(4)將f(x)的各極值與f(x)的端點值進行比較，確定f(x)的最大值與最小值；(5)反思回顧，查看關鍵點，易錯點和解題規(guī)范．【跟蹤訓練】1.(2020·珠海摸底)如圖，將一張16cm×10cm的長方形紙片剪下四個全等的小正方形，使得剩余部分經過折疊能糊成一個無蓋的長方體紙盒，則這個紙盒的最大容積是________cm3.2．已知函數(shù)f(x)＝lnx－.(1)若a>0，試判斷f(x)在定義域內的單調性；(2)若f(x)在[1，e]上的最小值為，求實數(shù)a的值．達標檢測要扎實一、單選題1．對任意，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）．A． B．C． D．2．已知函數(shù)，若不等式對恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．3．若兩曲線與存在公切線，則正實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．已知函數(shù)有兩個不同的極值點，，若不等式恒成立，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．已知函數(shù)有極值，則c的取值范圍為（

）A． B． C． D．6．若函數(shù)的極大值點與極大值分別為a，b，則（

）A． B．C． D．7．若對任意的實數(shù)恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)，則（

）A．在上為增函數(shù) B．在上為減函數(shù)C．在上有極大值 D．在上有極小值9．設函數(shù)，若的極小值為，則（

）A． B． C． D．210．已知若，則的最大值是(

)A． B． C． D．11．已知函數(shù)有兩個不同的極值點，且不等式恒成立，則實數(shù)t的取值范圍是（

）A． B． C． D．12．已知函數(shù)，則“”是“有極值”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件二、填空題13．已知，若存在極小值，則的取值范圍是_______________________．14．，則的最大值為_____________.15．已知函數(shù)的定義域為，它的導函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的極值點有______個.16．函數(shù)的最小值為______．三、解答題17．已知函數(shù)，.（1）求的單調區(qū)間，并求當時，的最大值；（2）若對任意的，恒成立，求的取值范圍.18．已知函數(shù)．（1）若存在極值，求實數(shù)的取值范圍；（2）若，當時，恒成立，且有且只有一個實數(shù)解，證明：．19．已知函數(shù)f（x）=2lnx+1．（1）若f（x）≤2x+c，求c的取值范圍；（2）設a>0時，討論函數(shù)g（x）=的單調性．20．已知函數(shù)在處的切線與