上海市華二附中2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末聯(lián)考試題含解析

上海市華二附中2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末聯(lián)考試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．世界上最早在理論上計(jì)算出“十二平均律”的是我國明代杰出的律學(xué)家朱載堉，他當(dāng)時稱這種律制為“新法密率”十二平均律將一個純八度音程分成十二份，依次得到十三個單音，從第二個單音起，每一個單音的頻率與它前一個單音的頻率的比都相等，且最后一個單音是第一個單音頻率的2倍.已知第十個單音的頻率，則與第四個單音的頻率最接近的是（）A.880 B.622C.311 D.2202．已知直線與垂直，則為（）A.2 B.C.-2 D.3．?dāng)?shù)列，，，，…的一個通項(xiàng)公式為（）A. B.C. D.4．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（）A.20 B.30C.40 D.505．已知一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程為，其中的單位為米，的單位為秒，則第1秒末的瞬時速度為（）A. B.C. D.6．已知奇函數(shù)，則的解集為（）A. B.C. D.7．已知平面，的法向量分別為，，且，則（）A. B.C. D.8．?dāng)?shù)列，，，，…，是其第（）項(xiàng)A.17 B.18C.19 D.209．已知點(diǎn)，是橢圓：的左、右焦點(diǎn)，是的左頂點(diǎn)，點(diǎn)在過且斜率為的直線上，為等腰三角形，且，則的離心率為（）A. B.C. D.10．已知是橢圓兩個焦點(diǎn)，P在橢圓上，，且當(dāng)時，的面積最大，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.11．在空間直角坐標(biāo)系中，，，平面的一個法向量為，則平面與平面夾角的正弦值為（）A. B.C. D.12．某中學(xué)的校友會為感謝學(xué)校的教育之恩，準(zhǔn)備在學(xué)校修建一座四角攢尖的思源亭如圖它的上半部分的輪廓可近似看作一個正四棱錐，已知此正四棱錐的側(cè)面與底面所成的二面角為30°，側(cè)棱長為米，則以下說法不正確（）A.底面邊長為6米 B.體積為立方米C.側(cè)面積為平方米 D.側(cè)棱與底面所成角的正弦值為二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知向量，，，若，則____________.14．如圖是一個無蓋的正方體盒子展開圖，A，B，C，D是展開圖上的四點(diǎn)，BD則在正方體盒子中，AD與平面ABC所成角的正弦值為___________.15．拋物線（）上的一點(diǎn)到其焦點(diǎn)F的距離______.16．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過F的直線l交拋物線C于AB兩點(diǎn)，且，則p的值為______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某校在全體同學(xué)中隨機(jī)抽取了100名同學(xué)，進(jìn)行體育鍛煉時間的專項(xiàng)調(diào)查．將調(diào)查數(shù)據(jù)按平均每天鍛煉時間的多少（單位：分鐘）分成五組：，，，，，得到如圖所示的頻率分布直方圖．將平均每天體育鍛煉時間不少于60分鐘的同學(xué)定義為鍛煉達(dá)標(biāo)，平均每天體育鍛煉時間少于60分鐘的同學(xué)定義為鍛煉不達(dá)標(biāo)（1）求a的值，并估計(jì)該校同學(xué)平均每天體育鍛煉時間的中位數(shù)；（2）在樣本中，對平均每天體育鍛煉時間不達(dá)標(biāo)的同學(xué)，按分層抽樣的方法抽取6名同學(xué)了解不達(dá)標(biāo)的原因，再從這6名同學(xué)中隨機(jī)抽取2名進(jìn)行調(diào)研，求這2名同學(xué)中至少有一名每天體育鍛煉時間（單位：分鐘）在內(nèi)的概率18．（12分）已知直線，圓.（1）證明：直線l與圓C相交；（2）設(shè)l與C的兩個交點(diǎn)分別為A、B，弦AB的中點(diǎn)為M，求點(diǎn)M的軌跡方程；（3）在（2）的條件下，設(shè)圓C在點(diǎn)A處的切線為，在點(diǎn)B處的切線為，與的交點(diǎn)為Q.試探究：當(dāng)m變化時，點(diǎn)Q是否恒在一條定直線上？若是，請求出這條直線的方程；若不是，說明理由.19．（12分）已知空間內(nèi)不重合的四點(diǎn)A，B，C，D的坐標(biāo)分別為，，，，且（1）求k，t的值；（2）求點(diǎn)B到直線CD的距離20．（12分）已知命題p：，命題q：.（1）若命題p為真命題，求實(shí)數(shù)x的取值范圍.（2）若p是q的充分條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；21．（12分）已知直線與雙曲線相交于、兩點(diǎn).（1）當(dāng)時，求；（2）是否存在實(shí)數(shù)，使以為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.22．（10分）已知公差不為零的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且，，成等比數(shù)列（1）求的通項(xiàng)公式；（2）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】依題意，每一個單音的頻率構(gòu)成一個等比數(shù)列，由，算出公比，結(jié)合，即可求出.【詳解】設(shè)第一個單音的頻率為，則最后一個單音的頻率為，由題意知，且每一個單音的頻率構(gòu)成一個等比數(shù)列，設(shè)公比為，則，解得：又，則與第四個單音的頻率最接近的是311,故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是分析題意將其轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列的知識，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.2、A【解析】利用一般式中直線垂直的系數(shù)關(guān)系列式求解.【詳解】因?yàn)橹本€與垂直，故選：A.3、B【解析】根據(jù)給定數(shù)列，結(jié)合選項(xiàng)提供通項(xiàng)公式，將n代入驗(yàn)證法判斷是否為通項(xiàng)公式.【詳解】A：時，排除；B：數(shù)列，，，，…滿足.C：時，排除；D：時，排除；故選：B4、B【解析】根據(jù)等比數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，所以成等比數(shù)列，即成等比數(shù)列，顯然，故選：B5、C【解析】求出即得解.【詳解】解：由題意得，故質(zhì)點(diǎn)在第1秒末的瞬時速度為.故選：C6、A【解析】先由求出的值，進(jìn)而可得的解析式，對求導(dǎo)，利用基本不等式可判斷恒成立，可判斷的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性脫掉，再解不等式即可.【詳解】的定義域?yàn)?，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，可得：，所以，經(jīng)檢驗(yàn)是奇函數(shù)，符合題意，所以，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，所以在上單調(diào)遞增，由可得，即，解得：或，所以的解集為，故選：A.7、D【解析】由題得，解方程即得解.【詳解】解：因?yàn)?，所以所以，所以，所?故選：D8、D【解析】根據(jù)題意，分析歸納可得該數(shù)列可以寫成，，，……，，可得該數(shù)列的通項(xiàng)公式，分析可得答案.【詳解】解：根據(jù)題意，數(shù)列，，，，…，，可寫成，，，……，，對于，即，為該數(shù)列的第20項(xiàng)；故選：D.【點(diǎn)睛】此題考查了由數(shù)列的項(xiàng)歸納出數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查歸納能力，屬于基礎(chǔ)題.9、D【解析】設(shè)，先求出點(diǎn)，得，化簡即得解【詳解】由題意可知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，如圖所示，設(shè)，則，∵為等腰三角形，且，∴.過作垂直軸于點(diǎn)，則，∴，，即點(diǎn).∵點(diǎn)在過點(diǎn)且斜率為的直線上，∴，解得，∴.故選：D【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求橢圓的離心率常用的方法有：（1）公式法（求出橢圓的代入離心率的公式即得解）；（2）方程法（通過已知找到關(guān)于離心率的方程解方程即得解）.10、A【解析】由題意知c＝3，當(dāng)△F1PF2的面積最大時，點(diǎn)P與橢圓在y軸上的頂點(diǎn)重合，即可解出【詳解】由題意知c＝3，當(dāng)△F1PF2的面積最大時，點(diǎn)P與橢圓在y軸上的頂點(diǎn)重合，∵時，△F1PF2的面積最大，∴a＝＝，b＝∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為故選：A11、A【解析】根據(jù)給定條件求出平面的法向量，再借助空間向量夾角公式即可計(jì)算作答.【詳解】設(shè)平面的法向量為，則，令，得，令平面與平面夾角為，則，，所以平面與平面夾角的正弦值為.故選：A12、D【解析】連接底面正方形的對角線交于點(diǎn)，連接，則為該正四棱錐的高，即平面，取的中點(diǎn)，連接，則的大小為側(cè)面與底面所成，設(shè)正方形的邊長為，求出該正四棱錐的底面邊長，斜高和高，然后對選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷即可.【詳解】連接底面正方形的對角線交于點(diǎn)，連接則為該正四棱錐的高，即平面取的中點(diǎn)，連接，由正四棱錐的性質(zhì)，可得由分別為的中點(diǎn)，所以，則所以為二面角的平面角，由條件可得設(shè)正方形的邊長為，則,又則,解得故選項(xiàng)A正確.所以,則該正四棱錐的體積為，故選項(xiàng)B正確.該正四棱錐的側(cè)面積為，故選項(xiàng)C正確.由題意為側(cè)棱與底面所成角，則，故選項(xiàng)D不正確.故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】首先求出的坐標(biāo)，再根據(jù)向量垂直得到，即可得到方程，解得即可；【詳解】解：因?yàn)橄蛄?，，，所以向量，因?yàn)?，所以，即，解得故答案為?4、##【解析】先復(fù)原正方體，再構(gòu)造線面角后可求正弦值.【詳解】復(fù)原后的正方體如圖所示，設(shè)所在面的正方形的余下的一個頂點(diǎn)為，連接，則平面，故為AD與平面ABC所成角，而，故為AD與平面ABC所成角的正弦值為.故答案為：.15、【解析】將點(diǎn)坐標(biāo)代入方程中可求得拋物線的方程，從而可得到焦點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可求出【詳解】解：為拋物線上一點(diǎn)，即有，，拋物線的方程為，焦點(diǎn)為，即有.故答案為：5.16、3【解析】根據(jù)拋物線焦點(diǎn)弦性質(zhì)求解，或聯(lián)立l與拋物線方程，表示出，求其最值即可.【詳解】已知，設(shè)，，，則，∵，所以，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)m=0時，取..故答案為：3.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），中位數(shù)為64；（2）.【解析】（1）由頻率和為1求參數(shù)a，根據(jù)中位數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合頻率直方圖求中位數(shù).（2）首先由分層抽樣求6名同學(xué)的分布情況，再應(yīng)用列舉法求概率.【詳解】（1）由題設(shè)，，可得，∴中位數(shù)應(yīng)在之間，令中位數(shù)為，則，解得.∴該校同學(xué)平均每天體育鍛煉時間的中位數(shù)為64.（2）由題設(shè)，抽取6名同學(xué)中1名在，2名在，3名在，若1名在為，2名在為，3名在為，∴隨機(jī)抽取2名的可能情況有共15種，其中至少有一名在內(nèi)的共12種，∴這2名同學(xué)中至少有一名每天體育鍛煉時間（單位：分鐘）在內(nèi)的概率為.18、（1）證明見解析；（2）；（3）點(diǎn)Q恒在直線上，理由見解析.【解析】（1）求出直線過定點(diǎn)，得到在圓內(nèi)部，故證明直線l與圓C相交；（2）設(shè)出點(diǎn)，利用垂直得到等量關(guān)系，整理后即為軌跡方程；（3）利用Q、A、B、C四點(diǎn)共圓，得到此圓方程，聯(lián)立，求出相交弦的方程，即直線的方程，根據(jù)直線過的定點(diǎn)，得到，從而得到點(diǎn)Q恒在直線上.【小問1詳解】證明：直線過定點(diǎn)，代入得：，故在圓內(nèi)，故直線l與圓C相交；【小問2詳解】圓的圓心為，設(shè)點(diǎn)，由垂徑定理得：，即，化簡得：，點(diǎn)M的軌跡方程為：【小問3詳解】設(shè)點(diǎn)，由題意得：Q、A、B、C四點(diǎn)共圓，且圓的方程為：，即，與圓C的方程聯(lián)立，消去二次項(xiàng)得：，即為直線的方程，因?yàn)橹本€過定點(diǎn)，所以，解得：，所以當(dāng)m變化時，點(diǎn)Q恒在直線上.【點(diǎn)睛】本題的第三問是稍有難度的，處理方法是根據(jù)四點(diǎn)共圓，直徑的端點(diǎn)坐標(biāo)，求出此圓的方程，與曲線聯(lián)立后得到相交弦的方程，是處理此類問題的關(guān)鍵.19、（1），（2）【解析】（1）由，可得存在唯一實(shí)數(shù)，使得，列出方程組，解之即可得解；（2）設(shè)直線與所成的角為，求出，再根據(jù)點(diǎn)B到直線CD的距離為即可得解【小問1詳解】解：，，因?yàn)椋源嬖谖ㄒ粚?shí)數(shù)，使得，所以，所以，解得，所以，；【小問2詳解】解：，則，設(shè)直線與所成的角為，則，所以點(diǎn)B到直線CD的距離為.20、（1）；（2）.【解析】（1）由一元二次不等式的解法求得的范圍；（2）由p是q的充分條件，轉(zhuǎn)化為集合的包含關(guān)系，從而可求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【詳解】（1）由p：為真，解得.（2）q：，若p是q的充分條件，則是的子集所以.即.21、（1）；（2）不存在，理由見解析.【解析】（1）當(dāng)時，將直線的方程與雙曲線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，利用弦長公式可求得；（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使以為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)、，將直線與雙曲線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，由已知可得出，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)