廣州市重點中學2025屆高二上數(shù)學期末質量跟蹤監(jiān)視模擬試題含解析

廣州市重點中學2025屆高二上數(shù)學期末質量跟蹤監(jiān)視模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若，則圖像上的點的切線的傾斜角滿足（）A.一定為銳角 B.一定為鈍角C.可能為 D.可能為直角2．已知數(shù)列的前項和滿足，記數(shù)列的前項和為，.則使得的值為（）A. B.C. D.3．正方體的表面積為，則正方體外接球的表面積為（

）A. B.C. D.4．點M在圓上，點N在直線上，則|MN|的最小值是（）A. B.C. D.15．若不等式在上有解，則的最小值是（）A.0 B.-2C. D.6．若函數(shù)在上為增函數(shù)，則a的取值范圍為（）A. B.C. D.7．曲線的離心率為（）A. B.C. D.8．黃金矩形是寬（）與長（）的比值為黃金分割比的矩形，如圖所示，把黃金矩形分割成一個正方形和一個黃金矩形，再把矩形分割出正方形．在矩形內任取一點，則該點取自正方形內的概率是A. B.C. D.9．現(xiàn)有4本不同的書全部分給甲、乙、丙3人，每人至少一本，則不同的分法有（）A.12種 B.24種C.36種 D.48種10．若方程表示焦點在y軸上的雙曲線，則實數(shù)m的取值范圍為（）A. B.C. D.且11．數(shù)列中，，，則（）A.32 B.62C.63 D.6412．已知圓：，點，則點到圓上點的最小距離為（）A.1 B.2C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知圓，圓，則兩圓的公切線條數(shù)是___________.14．已知斜率為1的直線經(jīng)過橢圓的左焦點，且與橢圓交于，兩點，若橢圓上存在點，使得的重心恰好是坐標原點，則橢圓的離心率______.15．設正方形的邊長是，在該正方形區(qū)域內隨機取一個點，則此點到點的距離大于的概率是_____16．直線與兩坐標軸相交于，兩點，則線段的垂直平分線的方程為___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓經(jīng)過點，且離心率為（1）求橢圓C的標準方程；（2）已知點A，B是橢圓C的上，下頂點，點P是直線上的動點，直線PA與橢圓C的另一交點為E，直線PB與橢圓C的另一交點為F．證明：直線EF過定點18．（12分）已知.（1）當，時，求中含項的系數(shù)；（2）用、表示，寫出推理過程19．（12分）已知數(shù)列滿足，，且成等比數(shù)列（1）求的值和的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前項和20．（12分）函數(shù)，.（1）討論函數(shù)的單調性；（2）若在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.21．（12分）已知圓，圓.（1）試判斷圓C與圓M的位置關系，并說明理由；（2）若過點的直線l與圓C相切，求直線l的方程.22．（10分）為了了解高二段1000名學生一周課外活動情況，隨機抽取了若干學生的一周課外活動時間，時間全部介于10分鐘與110分鐘之間，將課外活動時間按如下方式分成五組：第一組，第二組，…，第五組．按上述分組方法得到的頻率分布直方圖如圖所示，已知圖中從左到右前3個組的頻率之比為3∶8∶19，且第二組的頻數(shù)為8（1）求第一組數(shù)據(jù)的頻率并計算調查中隨機抽取了多少名學生的一周課外活動時間；（2）求這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】求出導函數(shù)，判斷導數(shù)的正負，從而得出結論【詳解】，時，，遞減，時，，遞增，而，所以切線斜率可能為正數(shù)，也可能為負數(shù)，還可以為0，則傾斜角可為銳角，也可為鈍角，還可以為，當時，斜率不存在，而存在，則不成立.故選：C2、B【解析】由，求得，得到，結合裂項法求和，即可求解.【詳解】數(shù)列的前項和滿足，當時，；當時，，當時，適合上式，所以，則，所以.故選：B.3、B【解析】由正方體表面積求得棱長，再求得正方體的對角線長，即為外接球的直徑，從而可得球表面積【詳解】設正方體棱長為，由得，正方體對角線長，所以其外接球半徑為，球表面積為故選：B4、C【解析】根據(jù)題意可知圓心，又由于線外一點到已知直線的垂線段最短，結合點到直線的距離公式，即可求出結果.【詳解】由題意可知，圓心，半徑為，所以圓心到的距離為，所以的最小值為.故選：C.5、D【解析】將題設條件轉化為在上有解,然后求出的最大值即可得解.【詳解】不等式在上有解,即為在上有解,設,則在上單調遞減,所以,所以,即,故選:D.【點睛】本題主要考查二次不等式能成立問題,可以選擇分離參數(shù)轉化為最值問題,也可以進行分情況討論.6、C【解析】求出函數(shù)的導數(shù)，要使函數(shù)在上為增函數(shù)，要保證導數(shù)在該區(qū)間上恒正即可，由此得到不等式,解得答案.詳解】由題意可知，若在遞增，則在恒成立，即有，則，故選：C.7、C【解析】由曲線方程直接求離心率即可.【詳解】由題設，，，∴離心率.故選：C.8、C【解析】設矩形的長，寬分別為,所以，把黃金矩形分割成一個正方形和一個黃金矩形,所以，設矩形的面積為,正方形的面積為,設在矩形內任取一點，則該點取自正方形內的概率是,則，故本題選C.【詳解】本題考查了幾何概型，考查了運算能力.9、C【解析】先把4本書按2，1，1分為3組，再全排列求解.【詳解】先把4本書按2，1，1分為3組，再全排列，則有種分法，故選：C10、A【解析】根據(jù)雙曲線定義，且焦點在y軸上，則可直接列出相關不等式.【詳解】若方程表示焦點在y軸上的雙曲線，則必有：，且解得：故選：11、C【解析】把化成，故可得為等比數(shù)列，從而得到的值.【詳解】數(shù)列中，，故，因為，故，故，所以，所以為等比數(shù)列，公比為，首項為.所以即，故，故選C.【點睛】給定數(shù)列的遞推關系，我們常需要對其做變形構建新數(shù)列（新數(shù)列的通項容易求得），常見的遞推關系和變形方法如下：（1），取倒數(shù)變形為；（2），變形為，也可以變形為；12、C【解析】寫出圓的圓心和半徑，求出距離的最小值，再結合圓外一點到圓上點的距離最小值的方法即可求解.【詳解】由圓：，得圓，半徑為，所以，所以點到圓上點的最小距離為.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】首先把圓的一般方程化為標準方程，進一步求出兩圓的位置關系，可得兩圓的公切線條數(shù).【詳解】解：由圓，可得：，可得其圓心為，半徑為；由，可得，可得其圓心為，半徑為2；所以可得其圓心距為：，可得：，故兩圓相交，其公切線條數(shù)為,故答案為：2.【點睛】本題主要考查兩圓的位置關系及兩圓公切線條數(shù)的判斷，屬于中檔題.14、【解析】設點，，坐標分別為，則根據(jù)題意有，分別將點，，的坐標代入橢圓方程得，然后聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達定理得到和的值，代入得到關于的齊次式，然后解出離心率.【詳解】設，，坐標分別為，因為的重心恰好是坐標原點，則，則，代入橢圓方程可得，其中，所以……①因為直線的斜率為，且過左焦點，則的方程為：，聯(lián)立方程消去可得：，所以，……②所以……③，將②③代入①得，從而.故答案為：【點睛】本題考查橢圓的離心率求解問題，難度較大.解答時,注意，，三點坐標之間的關系，注意韋達定理在解題中的運用.15、【解析】先求出正方形的面積，然后求出動點到點的距離所表示的平面區(qū)域的面積,最后根據(jù)幾何概型計算公式求出概率.【詳解】正方形的面積為，如下圖所示：陰影部分的面積為:，在正方形內，陰影外面部分的面積為，則在該正方形區(qū)域內隨機取一個點，則此點到點的距離大于的概率是.【點睛】本題考查了幾何概型的計算公式，正確求出陰影部分的面積是解題的關鍵.16、【解析】由直線的方程求出直線的斜率以及，兩點坐標，進而可得線段的垂直平分線的斜率以及線段的中點坐標，利用點斜式即可求解.【詳解】由直線可得，所以直線的斜率為，所以線段的垂直平分線的斜率為，令可得；令可得；即，，所以線段的中點坐標為，所以線段的垂直平分線的方程為，整理得.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）根據(jù)題意，列出的方程組，通過解方程組，即可求出答案.（2）法一：設，，；當時，根據(jù)點的坐標寫出直線PA的方程，與橢圓方程聯(lián)立，可求出點的坐標；同理可求出點的坐標，然后即可求出直線EF的方程，從而證明直線EF過定點.法二：首先根據(jù)時直線EF的方程為，可判斷出直線EF過的定點M必在y軸上，設為；然后同方法一，求出點，的坐標，根據(jù)，即可求出的值.【小問1詳解】由題意，知，解得，所以橢圓C的標準方程為【小問2詳解】法一：設，，，當時，直線PA的方程為，由，得解得，所以．所以同理可得所以直線EF的斜率為，所以直線EF的方程為，整理得，所以直線EF過定點當時，點E，F(xiàn)在y軸上，EF的方程為，顯然過點綜上，直線EF過定點法二：當點P在y軸上時，E，F(xiàn)分別與B，A重合，直線EF的方程為，若直線EF過定點M，則M必在y軸上，可設當點P不在y軸上時，設，，，則直線PA的方程為，由，得，解得，所以，所以，同理可得，所以，因為E，F(xiàn)，M三點共線，所以，所以，整理得，因為，所以，解得，即所以直線EF過定點18、（1）（2），過程見解析【解析】（1）寫出函數(shù)的解析式，利用二項式定理可求得函數(shù)中含項的系數(shù)；（2）利用錯位相減法化簡函數(shù)的解析式，求出解析式中含項的系數(shù)，再結合組合數(shù)公式化簡可得結果.【小問1詳解】解：當，時，，的展開式通項為，此時，函數(shù)中含項的系數(shù)之和為.【小問2詳解】解：因為，①則，②①②得，所以，，而為中含項的系數(shù)，而函數(shù)中含項的系數(shù)也可視為中含項的系數(shù)，故，且，故.19、（1）；；（2）【解析】（1）由于，所以可得，再由成等比數(shù)列，列方程可求出，從而可求出的通項公式；（2）由（1）可得，然后利用錯位相減法求【詳解】解：（1）數(shù)列{an}滿足，所以，所以a2+a3＝a1+a2+d，由于a1＝1，a2＝1，所以a2+a3＝2+d，a8+a9＝2+7d，且a1，a2+a3，a8+a9成等比數(shù)列，所以，整理得d＝1或2（1舍去）故an+2＝an+2，所以n奇數(shù)時，an＝n，n為偶數(shù)時，an＝n﹣1所以數(shù)列{an}的通項公式為（2）由于，所以所以T2n＝b1+b2+．．．+b2n＝﹣20×12+20×22﹣22×32+22×42+．．．+[﹣22n﹣2?（2n﹣1）2]+22n﹣2?（2n）2，＝20×（22﹣12）+22×（42﹣32）+．．．+22n﹣2?[（2n）2﹣（2n﹣1）2]＝20×3+22×7+．．．+22n﹣2?（4n﹣1）①，所以，②，①﹣②得：﹣3T2n＝20×3+22×4+．．．+22n﹣2×4﹣22n×（4n﹣1），＝3+4×﹣22n×（4n﹣1），＝，所以20、（1）答案見解析；（2）.【解析】（1）求出函數(shù)的定義域為，求得，分、、三種情況討論，分析導數(shù)的符號變化，由此可得出函數(shù)的單調遞增區(qū)間和遞減區(qū)間；（2）構造函數(shù)，由題意可知恒成立，對實數(shù)分和兩種情況討論，利用導數(shù)分析函數(shù)在區(qū)間上的單調性，驗證是否成立，由此可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，.（i）當時，，函數(shù)在上單調遞增；（ii）當時，令得.若，則；若，則.①當時，，函數(shù)在上單調遞增；②當時，，當時，，函數(shù)單調遞增；當時，，函數(shù)單調遞減；綜上，可得，當時，函數(shù)在上單調遞增；當時，函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減；（2）設，，則.當時，單調遞增，則.所以，函數(shù)在上單調遞增，且.當時，，于是，函數(shù)在上單調遞增，恒成立，符合題意；當時，由于，，，所以，存在，使得.當時，，函數(shù)單調遞減；當時，，函數(shù)單調遞增.故，不符合題意，綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.【點睛】本題考查利用導數(shù)求解函數(shù)的單調區(qū)間，同時也考查了利用導數(shù)研究函數(shù)不等式恒成立問題，考查分類討論思想的應用，屬于難題.21、（1）圓C與圓M相交，理由見解析（2）或【解析】（1）利用圓心距與半徑的關系即可判斷結果；（2）討論，當直線l的斜率不存在時則方程為，當直線l的斜率存在時，設其方程為，利用圓心到直線的距離等于半徑計算即可得出結果.【小問1詳解】把圓M的方程化成標準方程，得，圓心為，半徑.圓C的圓心為，半徑，因為，所以圓C與圓M相交，【小問2詳解】①當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為到圓心C距離為2，滿足題意