2024年上海復(fù)旦大學(xué)附中自主招生數(shù)學(xué)試卷真題（含答案詳解）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁復(fù)旦附中2023學(xué)年初三年級自招飛行考一、填空題1．實(shí)數(shù)滿足，則．2．已知，則．3．關(guān)于的不等式組有解，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是．4．若有整數(shù)解，則．5．不等式對于一切實(shí)數(shù)都成立，則的最大值為．6．已知四邊形為正方形，其中幾個(gè)陰影部分面積如圖所示，則四邊形的面積最大為．7．一個(gè)三角形的邊長為、、，另一個(gè)三角形的邊長分別為、、，其中，若兩個(gè)三角形的最小內(nèi)角相等，則．8．張撲克牌，將第一張扔掉，第二張放到最后，第三張扔掉，第四張放到最后，依次進(jìn)行下去，當(dāng)手中最后只剩下一張牌時(shí)，這張是最開始的撲克牌順序從上面數(shù)的第張．9．如圖，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A（2，0），B（0，2），點(diǎn)C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，BC＝1，點(diǎn)M為線段AC的中點(diǎn)，連接OM，則OM的最大值為．10．已知：不論k取什么實(shí)數(shù)，關(guān)于x的方程（a、b是常數(shù)）的根總是x＝1，試求a、b的值.11．正實(shí)數(shù)滿足，且，(1)求的值；(2)證明：．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁1．【分析】本題考查利用因式分解解一元二次方程的應(yīng)用，先用兩式相減計(jì)算，然后兩式相加得到再根據(jù)完全平方公式的變形得到，代入計(jì)算即可解題．【詳解】解：∵實(shí)數(shù)滿足，∴，即∵，∴，∴，解得∴，∴．2．【分析】本題考查分式的化簡求值，先根據(jù)方程得到，然后化簡分式為，代入計(jì)算即可．【詳解】解：∵，∴，，∴原式，故答案為：．3．或a>0【分析】本題主要考查其它不等式的解法，由題意分類討論的范圍，先判斷a>0時(shí)滿足條件，當(dāng)時(shí)，再根據(jù)，求出的范圍即可．【詳解】解：∵關(guān)于的不等式組的解集有解，，當(dāng)a>0時(shí)，滿足不等式組的解集有解；當(dāng)時(shí)，不等式組即，∵它有解集，，解得，綜上可得，的范圍為或a>0，故答案為：或a>0．4．4或【分析】本題考查了一元二次方程的整數(shù)解，將方程轉(zhuǎn)化為的形式，根據(jù)x、y均為整數(shù)可得，，由此可求解，將原方程變形處理是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，∴，∵x、y是整數(shù)，∴且，解得或，故答案為：4或．5．5【分析】本題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；由題意易得要使不等式對于一切實(shí)數(shù)都成立，則需滿足，進(jìn)而根據(jù)二次函數(shù)的最值問題可求解．【詳解】解：由題意得：，∵，∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值是當(dāng)時(shí)取得，即為9；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值是當(dāng)時(shí)取得，即為5；∴，∴，即a的最大值為5．6．24【分析】本題考查正方形的性質(zhì)，根據(jù)正方形的性質(zhì)以及三角形面積公式的圖形間的面積關(guān)系是解題關(guān)鍵．由正方形的性質(zhì)可得出，，即，等式兩邊減去和，即可得出，然后代入數(shù)據(jù)即可求出即可．【詳解】解：∵四邊形為正方形，∴．∵，∴．∵，∴．∴，即，∴，解得：．故答案為：24．7．【分析】本題考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是添加合適的輔助線，構(gòu)造直角三角形．在中，，，在中，，，．過點(diǎn)A作于點(diǎn)H，于點(diǎn)．設(shè)，利用勾股定理求出，再根據(jù)，推出，構(gòu)建關(guān)系式，即可得出答案．【詳解】解：如圖，在中，，，在中，，，．過點(diǎn)A作于點(diǎn)H，于點(diǎn)．設(shè)，，，，，，，，，解得：或（負(fù)值舍去）故答案為：8．【分析】此題主要考查了數(shù)字規(guī)律，第一次剩下能被整除的數(shù)，第二次剩下能被整除的數(shù)和，依次找出規(guī)律即可，讀懂題意，找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：根據(jù)題意可得：第一次剩下的卡片是：，，，，，，，，，，，；第二次剩下的卡片是：，，，，，，，，，，，，，，第三次剩下的卡片是：，，，，，，，第四次剩下的卡片是：，，，，第五次剩下的卡片是：，；第六次剩下的卡片是：，故答案為：．9．【分析】根據(jù)同圓的半徑相等可知：點(diǎn)C在半徑為1的⊙B上，通過畫圖可知，C在BD與圓B的交點(diǎn)時(shí)，OM最小，在DB的延長線上時(shí)，OM最大，根據(jù)三角形的中位線定理可得結(jié)論．【詳解】解：如圖，∵點(diǎn)C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，BC＝1，∴C在⊙B上，且半徑為1，取OD＝OA＝2，連接CD，∵AM＝CM，OD＝OA，∴OM是△ACD的中位線，∴OMCD，當(dāng)OM最大時(shí)，即CD最大，而D，B，C三點(diǎn)共線時(shí)，當(dāng)C在DB的延長線上時(shí)，OM最大，∵OB＝OD＝2，∠BOD＝90°，∴BD＝2，∴CD＝21，∴OMCD，即OM的最大值為；故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)和圖形的性質(zhì)，三角形的中位線定理等知識，確定OM為最大值時(shí)點(diǎn)C的位置是解題的關(guān)鍵，也是難點(diǎn)．10．，【分析】首先把根x=1代入原方程中得到一個(gè)關(guān)于k的方程，再根據(jù)方程與k無關(guān)的應(yīng)滿足的條件即可得a、b的值．【詳解】解：把x＝1代入原方程并整理得（b＋4）k＝7－2a要使等式（b＋4）k＝7－2a不論k取什么實(shí)數(shù)均成立，只有解之得a=,b=-4.故答案為:，【點(diǎn)睛】本題考查代入法、一元一次方程的解法，解題時(shí)要根據(jù)方程組的特點(diǎn)進(jìn)行有針對性的計(jì)算．11．(1)1(2)見解析【分析】本題考查了分式的加減法，單項(xiàng)式與多項(xiàng)式，多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算及提公因式，比較復(fù)雜，正確計(jì)算是關(guān)鍵．（1）先去分母