2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章解三角形1.1正弦定理學(xué)案含解析北師大版必修5

PAGE其次章解三角形§1正弦定理與余弦定理1.1正弦定理導(dǎo)思1.正弦定理的內(nèi)容是什么?2.正弦定理可以解決哪些問題?1.正弦定理公式表達(dá)語言描述QUOTE=QUOTE=QUOTE=2R.(R為△ABC的外接圓的半徑)在一個三角形中,各邊和它所對角的正弦的比相等(定值)【說明】(1)適用范圍:正弦定理對隨意的三角形都成立;(2)結(jié)構(gòu)形式:分子為三角形的邊長,分母為相應(yīng)邊所對角的正弦的連等式;(3)刻畫規(guī)律:正弦定理刻畫了三角形中邊與角的一種數(shù)量關(guān)系,可以實(shí)現(xiàn)三角形中邊角關(guān)系的互化.2.正弦定理的變形(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC(邊化角).

(2)sinA=QUOTE,sinB=QUOTE,sinC=QUOTE(角化邊).(3)a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC(邊角互化).

(4)QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE.(其中R是△ABC外接圓的半徑)(1)在△ABC中,假如已知邊a,邊b和角A,能否求出其他的角和邊?提示:利用QUOTE=QUOTE,可得sinB=QUOTEsinA,求出角B,再利用C=π-A-B求出角C,最終利用QUOTE=QUOTE,即c=QUOTE求出邊c.(2)在△ABC中,若a>b,如何得到sinA>sinB?提示:若a>b,則由a=2RsinA,b=2RsinB,可得2RsinA>2RsinB,即sinA>sinB.(R為△ABC的外接圓的半徑)3.三角形的面積公式S=QUOTEabsinC=QUOTEbcsinA=QUOTEacsinB=QUOTE.在△ABC中,已知邊a,c和角B,選擇哪個公式求△ABC的面積更好?提示:S=QUOTEacsinB.1.辨析記憶(對的打“√”,錯的打“×”).(1)正弦定理僅對于直角三角形成立. ()(2)在三角形中,相等的兩邊所對的角相等. ()(3)在△ABC中,若sinA=QUOTE,則A=QUOTE. ()(4)在△ABC中,若sin2A=sin2B,則△ABC為等腰三角形. ()提示:(1)×.正弦定理對于隨意三角形都成立.(2)√.在三角形中,若a=b,則2RsinA=2RsinB,得sinA=sinB,所以A=B或A=π-B(舍去).(3)×.A=QUOTE時,sinA=QUOTE也成立.(4)×.由sin2A=sin2B,可得2A=2B或2A+2B=π,即A=B或A+B=QUOTE,即三角形ABC為等腰三角形或直角三角形.2.在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,A=30°,B=45°,a=QUOTE,則b=()A.2 B.1 C.QUOTE D.QUOTE【解析】選A.由正弦定理QUOTE=QUOTE得b=QUOTE=QUOTE=QUOTE=2.3.(教材二次開發(fā):例題改編)在△ABC中,若a=2,b=3,B=60°,則sinA=________.

【解析】由正弦定理得sinA=QUOTE=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE關(guān)鍵實(shí)力·合作學(xué)習(xí)類型一利用正弦定理求解三角形的邊與角(邏輯推理)1.在△ABC中,a=15,b=10,A=60°,則cosB等于 ()A.-QUOTE B.QUOTEC.-QUOTE D.QUOTE2.在△ABC中,a=2QUOTE,b=2QUOTE,∠B=45°,則∠A為 ()A.30°或150° B.60°或120°C.60° D.30°3.在△ABC中,已知c=QUOTE,A=45°,a=2,求邊b.【解析】1.選D.由正弦定理得QUOTE=QUOTE,所以sinB=QUOTE=QUOTE=QUOTE.因?yàn)閍>b,所以A>B,又因?yàn)锳=60°,所以B為銳角,所以cosB=QUOTE=QUOTE=QUOTE.2.選B.由正弦定理得QUOTE=QUOTE,所以sinA=QUOTE=QUOTE=QUOTE.因?yàn)?°<A<135°,所以∠A=60°或120°.3.因?yàn)镼UOTE=QUOTE,所以sinC=QUOTE=QUOTE=QUOTE,因?yàn)?°<C<180°,所以C=60°或C=120°.當(dāng)C=60°時B=75°,b=QUOTE=QUOTE=QUOTE+1;當(dāng)C=120°時B=15°,b=QUOTE=QUOTE=QUOTE-1.所以b=QUOTE+1或b=QUOTE-1.1.正弦定理的表示形式QUOTE=QUOTE=QUOTE=2R,或a=ksinA,b=ksinB,c=ksinC(k>0).2.正弦定理的應(yīng)用范圍(1)已知兩角和任一邊,求其他兩邊和其余一角.(2)已知兩邊和其中一邊的對角,求另一邊和其余兩角.3.已知三角形兩邊和其中一邊的對角解三角形的方法(1)首先由正弦定理求出另一邊對角的正弦值.(2)假如已知的角為大邊所對的角,由三角形中大邊對大角、大角對大邊的法則能推斷另一邊所對的角為銳角,由正弦值可求唯一銳角.(3)假如已知的角為小邊所對的角,則不能推斷另一邊所對的角為銳角,這時由正弦值可求得兩個角,要分類探討.類型二推斷三角形的形態(tài)(直觀想象)【典例】在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,asin2B=bcosAcosB,則△ABC的形態(tài)是 ()A.銳角三角形 B.直角三角形C.鈍角三角形 D.不確定【思路導(dǎo)引】依據(jù)正弦定理得到sinAsin2B=sinBcosAcosB,化簡得到-sinBcos(A+B)=0,計(jì)算得到答案.【解析】選B.asin2B=bcosAcosB,所以sinAsin2B=sinBcosAcosB,所以sinB(sinAsinB-cosAcosB)=0,即-sinBcos(A+B)=0.因?yàn)?<A<π,0<B<π,所以A+B=QUOTE,故△ABC是直角三角形.推斷三角形形態(tài)的方法(1)推斷三角形的形態(tài),可以從三邊的關(guān)系入手,也可以從三個內(nèi)角的關(guān)系入手,從條件動身,利用正弦定理進(jìn)行代換、轉(zhuǎn)化,呈現(xiàn)出邊與邊的關(guān)系或角與角的關(guān)系,從而進(jìn)行推斷.(2)推斷三角形的形態(tài),主要看其是否為正三角形、等腰三角形、直角三角形、鈍角三角形、銳角三角形等,要特殊留意“等腰直角三角形”與“等腰或直角三角形”的區(qū)分.在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若bcosC+ccosB=asinA,則△ABC的形態(tài)為 ()A.銳角三角形 B.直角三角形C.鈍角三角形 D.不確定【解析】選B.因?yàn)閎cosC+ccosB=asinA,所以由正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB=sin2A,sin(B+C)=sin2A?sinA=sin2A,所以sinA=1,A=QUOTE,所以△ABC是直角三角形.【拓展延長】正弦定理的作用(1)解三角形(①已知兩角和任一邊,求其他兩邊和其余一角;②已知兩邊和其中一邊的對角,求另一邊和其余兩個角).(2)證明化簡過程中邊角互化.(3)求三角形外接圓半徑.【拓展訓(xùn)練】在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若△ABC的外接圓的半徑是3,a=3,則A= ()A.30° B.60°C.60°或120° D.30°或150°【解析】選D.依據(jù)正弦定理得QUOTE=2R,所以sinA=QUOTE=QUOTE=QUOTE,因?yàn)?°<A<180°,所以A=30°或150°.類型三三角形的面積問題(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例】(1)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若cosA=QUOTE,cosC=QUOTE,a=1,則△ABC的面積S=________.

(2)已知在△ABC中,邊a,b,c的對角分別為A,B,C,且a=QUOTE,c=QUOTE,C=QUOTE,則△ABC的面積S=________.

【思路導(dǎo)引】(1)可由余弦值,得出相應(yīng)的正弦值,再求出其中的一邊長,再利用面積公式求出三角形的面積.(2)由正弦定理求sinA從而求得∠A,∠B,再利用面積公式求出三角形的面積.【解析】(1)在△ABC中,由cosA=QUOTE,cosC=QUOTE,可得sinA=QUOTE,sinC=QUOTE,sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosA·sinC=QUOTE,又a=1,由正弦定理得b=QUOTE=QUOTE.所以S=QUOTEabsinC=QUOTE×1×QUOTE×QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE(2)由正弦定理知,sinA=QUOTEa=QUOTE·QUOTE=QUOTE.由a<c,得A<C,所以A∈QUOTE,所以A=QUOTE,所以B=π-A-C=QUOTE,所以S=QUOTEacsinB=QUOTE×QUOTE×QUOTE×sinQUOTE=QUOTE.答案:QUOTE在△ABC中,∠A=60°,AC=4,BC=2QUOTE,則△ABC的面積為 ()A.4QUOTE B.4 C.2QUOTE D.QUOTE【解析】選C.因?yàn)樵凇鰽BC中,∠A=60°,AC=4,BC=2QUOTE,由正弦定理得QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE,所以sinB=1,所以∠B=90°,∠C=30°,所以S△ABC=QUOTE×2QUOTE×4×sin30°=2QUOTE.1.利用正弦定理求三角形面積的步驟(1)依據(jù)已知條件,先確定應(yīng)當(dāng)求出哪個量.(2)選擇相應(yīng)的邊及相應(yīng)的角,利用正弦定理求出所須要的量.(3)利用面積公式求解.2.求三角形面積的兩點(diǎn)留意一是留意選擇哪類、哪個三角形面積公式;二是要留意三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用.1.在△ABC中,若a=3QUOTE,cosC=QUOTE,S△ABC=4QUOTE,則b=________.

【解析】因?yàn)閏osC=QUOTE,所以C∈QUOTE,所以sinC=QUOTE=QUOTE,又S△ABC=QUOTEabsinC=QUOTE·3QUOTE·b·QUOTE=4QUOTE,所以b=2QUOTE.答案:2QUOTE2.在△ABC中,AB=QUOTE,AC=1,B=30°,S△ABC=QUOTE,則C= ()A.60°或120° B.30°C.60° D.45°【解析】選C.在△ABC中,AB=QUOTE,AC=1,S△ABC=QUOTEAB·AC·sinA=QUOTE,可得sinA=1,所以A=90°,所以C=180°-A-B=180°-90°-30°=60°.備選類型三角形解的個數(shù)推斷(數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理)【典例】設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若a=3,b=QUOTE,A=QUOTE,則B=()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE或QUOTEπ D.QUOTE【思路導(dǎo)引】依據(jù)正弦定理求解可得sinB,然后依據(jù)a>b,可得B為銳角.【解析】選B.由正弦定理得QUOTE=QUOTE,所以sinB=QUOTE=QUOTE=QUOTE.又因?yàn)閎<a,所以B<A,故B=QUOTE.1.已知三角形的兩角和隨意一邊,求另兩邊和另一角,此時有唯一解,三角形被唯一確定.2.已知兩邊和其中一邊的對角,求其他的邊和角,此時可能出現(xiàn)一解、兩解或無解的狀況,三角形不能被唯一確定.在△ABC中,已知邊a,邊b和角A時,解的狀況如下:A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式①a=bsinA②a≥bbsinA<a<ba<bsinAa>ba≤b解的個數(shù)一解兩解無解一解無解△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若A=60°,b=10,則結(jié)合a的值解三角形有兩解的為 ()A.a=8 B.a=9 C.a=10 D.a=11【解析】選B.由正弦定理知sinB=QUOTE,由題意知,若a=b,則A=B=60°,只有一解;若a>b,則A>B,只有一解;從而要使a的值解三角形有兩解,則必有b>a,且0<sinB<1,即QUOTE=QUOTE<1,解得a>5QUOTE,即75<a2<100,因此只有B選項(xiàng)符合條件.課堂檢測·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1.在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知A=60°,a=4QUOTE,b=4QUOTE,則B= ()A.45° B.135°C.45°或135° D.以上都不對【解析】選A.由正弦定理得QUOTE=QUOTE,所以sinB=QUOTE=QUOTE=QUOTE,因?yàn)閍>b,所以A>B,所以B=45°.2.在△ABC中,A∶B∶C=1∶1∶4,則a∶b∶c等于 ()A.1∶1∶QUOTE B.2∶2∶QUOTEC.1∶1∶2 D.1∶1∶4【解析】選A.△ABC中,因?yàn)锳∶B∶C=1∶1∶4,所以三個內(nèi)角分別為30°,30°,120°,故a∶b∶c=sin30°∶sin30°∶sin120°=1∶1∶QUOTE.3.(教材二次開發(fā):練習(xí)改編)在△ABC中,角A,B,C所對邊分別是a,b,c,若b=QUOTE,c=3,且sinC=QUOTE,滿意題意的△ABC有 ()A.0個 B.1個 C.2個 D.不能確定【解析】選B.b=QUOTE