2021福建莆田高三數(shù)學高考模擬三模測試卷含答案解析

【下載后獲高清完整版-優(yōu)質文檔】

2021福建莆田高三數(shù)學高考模擬三模測試卷含答案解析

莆田市2021屆高中畢業(yè)班第三次教學質量檢測試卷

數(shù)學

注意事項：

?.答題前?考牛.務必將H己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.

2.叫答選擇題時，選出每小題答案后,用伊罐把答題卡上對應題目的答案標號涂

如?省改動?川橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在

答期卡L：?n在本試卷上無效.

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.

4.本試卷主要考試內(nèi)容:高考全部內(nèi)容。

一、選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符1

題目要求的.

1.巳知集合八=（762]-3〈工<5）,8=6加+1>0）,則人（18的元素個數(shù)為

A.0B.3C.4D.5

2.在aABC中，若AB=bAC=5,sin-AC=

A.3B.±3Q4D.±4

3.函數(shù)/⑺=cosZ一十的圖象的切線斜率可能為

A.―B.—2C.—1-D.-4

4.跑步是一項有僦運動，通過跑步，我們能提高肌力，同時提高體內(nèi)的基礎代謝水平，加速脂/

的燃燒，養(yǎng)成易瘦體質.小林最近給自己制定了一個200千米的跑步健身計劃，他第一天跑

8千米，以后每天比前一天多跑0.5千米,則他要完成該計劃至少需要

A.16天B.17夭C.18天D.19天

5.明朝的一個葡箱紋橢網(wǎng)盤如圖（1）所示,清朝的一個青花山水樓閣紋飾橢圓盤如圖（2）所示

北宋的一個汝窯例假I秋如圖（3）所示，這三個橢圓盤的外輪廓均為橢圓.已知圖（1）,（2）,G

中橢WI的長軸長與短軸長的比值分別為號，第，票,設圖⑴，⑵，⑶中橢圓的離心率分別:

?|，佻，々，則

d)

A.%?小

C.ei>e2>e3

【數(shù)學試運第1頁（共4頁）】

?21-0I-I0B

1/4

6,下列各項中?是（、/的展開式的項為

A,15R-20/C.15/D.-20/

7.某服裝店開張箝一網(wǎng)進店消費的人數(shù)儺天都在變化，設第*】47W7,JWN）大進店消費的

人數(shù)為.、,?且丫與里］（口］表示不大于，的最大整數(shù)）成正比，第1天有10人進店消費，則第4

天進店消費的人數(shù)為

A.74R76C.78D.80

&在三校柱ABC-ABCi中?D為俱棱CG的中點，從該三樓柱的九條極中做機選取兩條?則

這兩條校所在直線至少有一條與直線BD異面的榻率是

正告B.||C.看D-f

二、選擇圖:'本題共工'小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得5分,部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.若】?則

A?4&jr—}W8

B.丁費的最小值為10

C.—2&N-

D.的最小值為9

10.已知函數(shù)/（x）=tanx—sinxcos工.則

A./《”的最小正周期為工

氏/Gr）的圖象關于3,軸對稱

C/G）的圖象關于（:，0）對稱

D.八心的圖象關于Gr.O）對稱

）1.已知曲線（,的方程為￡^寸=!4?+2M,圓M：Q-5）'+9=/">0）,則

A.C表示一條直線

B.當，=4時?C與圓M有3個公共點

C.當7=2時.存在圓N,使得圓N與因M相切，且聞N與C有4個公共點

D.當C與國M的公共點出多時,，的取值范圍是（4,+8）

12.如圖.函數(shù)/"）的圖象由一條射線和拗物線的一部分構成“八H的零點為T，則

A.函數(shù)四口）=/"）一/（4）?lg§有3個零點r

K/<J-I）^log.lttlrfia\

C.南故&</）=1/（1”-華有4個零點

”?/口一?）-.小）恒成立

：

(HTiXMMnin4fl))OI-WIC*

2/4

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.

13.寫出一個虛數(shù)=,使得/+3為純虛數(shù)，則z=__A_

14.已知雙曲線C：M—W=l(a>0,6>0)的左、右焦點分別為為C左支上一點，N

ab

為線段MFn上一點，且|MM=|MBI,P為線段NB的中點.若|FEI=4|0P|(。為坐

標原點)，則C的漸近線方程為A.

15.2021年受疫情影響，國家鼓勵員工在工作地過年.某機構統(tǒng)計了某市5個地區(qū)的外來務工

人員數(shù)與他們選擇留在當?shù)剡^年的人數(shù)占比，得到如下的表格：

A區(qū)B區(qū)C區(qū)DKE區(qū)

外來務工人員數(shù)50004000350030002500

留在當?shù)氐娜藬?shù)占比80%90%80%80%84%

根據(jù)這5個地區(qū)的數(shù)據(jù)求得留在當?shù)剡^年人員數(shù)y與外來務工人員數(shù)h的線性回歸方程為$=

0.8135x+a.該市對外來務工人員選擇留在當?shù)剡^年的每人補貼1000元，該市F區(qū)有10000.名外

來務工人員，根據(jù)線性回歸方程估計F區(qū)需要給外來務工人員中留在當?shù)剡^年的人員的補貼總

額為A萬元(參考數(shù)據(jù):取0.8135X36=29.29)

16.如圖，正四棱錐P-ABCD的每個頂點都在球M的球面上，側面

PAB是等邊三角形.若半球。的球心為四棱錐的底面中心，且半球

與四個側面均相切，則半球O的體積與球M的體積的比值為

四、解答題:本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(10分)

△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知a=73,6=2.

(1)若A=冬，求cos2Bi

(2)若c=3,求△ABC的面積.

18.(12分)

某社區(qū)為豐富居民的業(yè)余文化生活，打算在周一到周五連續(xù)為該社區(qū)居民舉行“社區(qū)音樂

會”，每晚舉行一場，但若遇到風雨天氣，則雷停舉行,根據(jù)氣象部門的天氣預報得知,在周一

到周五這五天的晚上，前三天每天出現(xiàn)風雨天氣的概率均為Px，后兩天每天出現(xiàn)風雨天氣

的概率均為生，每天晚上是否出現(xiàn)風雨天氣相互獨立.已知前兩天的晚上均出現(xiàn)風雨天氣

的概率為十，且這五天至少有一天晚上出現(xiàn)風雨天氣的概率為譙.

(1)求該社區(qū)能舉行4場音樂會的概率；

(2)求該社區(qū)舉行音樂會場數(shù)X的數(shù)學期望.

【數(shù)學試題第3頁(共4頁)】

,21-04-401C?

3/4

T/IU

19.(12分)

在數(shù)列｛a“｝中.4=2,(n'+l)a”+i=2[(n—IT+Ija”

(1)求｛a“｝的通項公式,

(2)在下列兩個問題中任選一個作答，如果兩個都作答，則按第一個解答計分.

①設。”=，產(chǎn)a.,數(shù)列｛幾)的前n項和為7“,證明：—2.

②設4=6,-2nZ+2n)a”,求數(shù)列仍”｝的前n項和T”

20.(12分)

如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD為平行四邊形，以BC為直徑的圓。(O為圓

心)過點A,且AO=AC=AP=2,PAJL底面ABCD,M為PC的中點.

(D證明：平面OAM_L平面PCD.

(2)求二面角。一MD-C的余弦值.

21.(12分)

已知函數(shù)/(H)=mGr+l尸一l-21nz

(D討論/(工)的單調(diào)性；

(2)當了6口，2：]時,/(工)40,求m的取值范圍.

22.(12分)

巳知F為拋物線C：H2=2"(Q>0)的焦點，直線/d=2工+1與C交于A,B兩點，且|AF|

+|BF|=20.

(1)求C的方程.

⑵若直線m：、=2H+“eRD與C交于M,N兩點，且AM與BN相交于點T,證明：點T

在定直線上.

I數(shù)學斌JS第4頁(共4頁”?21-04-401C-

4/4

莆田市2021屆高中畢業(yè)班第三次教學質量檢測試卷

數(shù)學參考答案

1.D【解析】本題考查集合的交集，考查運算求解能力.

因為4=（-2,—1,0,1,2,3,4},8=61>0>一：1},所以人口8={0」,2,3,4}.

2.D【解析】本題考查平面向量的數(shù)量積，考查推理論證能力.

在ZkABC中，因為sinA=［■，所以8sA=±~|?，所以卷?荏=3|?lACIcosA=±4.

3.A【解析】本題考查導數(shù)的幾何意義,考查運算求解能力.

因為f（x）=-sinx+p->—sin1,所以切線的斜率可能為一!?，不可能為-2,-1-?—4.

4.B【解析】本題考查等差數(shù)列的應用，考查數(shù)學建模與邏輯推理的核心素養(yǎng).

依題意可得，他從第一天開始每天跑步的路程（單位:千米）依次成等差數(shù)列，且首項為8,公差為0.5,設經(jīng)過

九天后他完成健身計劃，則8中丐罷X3》200,整理得H?4-31H-800>0.

因為函數(shù)人力="+31工一800在［1,+8）上為增函數(shù)，且f（16）V0,f（17）>0,所以417.

5.A【解析】本題考查橢圓的離心率與中國古代數(shù)學文化，考查數(shù)據(jù)處理能力與推理論證能力.

因為橢圓的離心率—所以長軸長與短軸長的比值越大，離心率越大.因為號仁

1.44筏24,￥21.43,所以&>0>a.

6.C【解析】本題考查二項式定理，考查運算求解能力與推理論證能力.

（々一力，的展開式中第3項為凌（行）氣一多占15「

7.C【解析體題考查函數(shù)模型的應用，考查應用意識與數(shù)學建模的核心素養(yǎng).

依題意可設尸當x=l時,y=5A=10,解得42,故當x=4時，

y=2X［今］.因為今=39.1,所以［=39,所以y=2X［3］=78.

8.B【解析】本題考查異面直線的判定、排列組合的應用、古典概型,考查直觀想象、推G

理論證的核心素養(yǎng).

如困，這九條棱中，與BD共面的是30,88］，?,8】6，例,共五條,故所求概率「L

9./A譚B【解析】本題考查不等式的性質與基本不等式的應用，考查推理論證能力.4Iy4

因為1&X<3?5,所以44z+y<8,—44Z—y<0.因為x十3十=］+

*y

5+>>+半>2+2?/16^=10,

當且僅當x=l,y=i時，等號成立，所以H+y+^+q的最小值為1。

因為GH?十）（>+$=工>?噎+5》2A+5=9,當且僅當初=2時，等號成立，但1?3?5,巧取

不到2,所以（工+°）（y+=）的最小值不是9.

10.ACD【解析】本題考查三角函數(shù)的對稱性與周期，考查邏輯推理的核心素養(yǎng).

【數(shù)學試題?參考答案第1頁（共6頁）】?2104401C?

1/6

因為,=由工與、=，E<183%的最小正周期均為it,所以fCz)的最小正周期為n.

因為八一分=一八工)力/(力，所以人%)是奇函數(shù),其明象不關于y軸對稱.

因為/(K—x)="tanx+sinxcos工=一/(工),所以fCz)的圖象關于(},0)對稱.

因為/(2x—x)=—tan工+sinxcos工=一代力,所以fCz)的圖象關于(x,0)對稱.

11.BC【解析】本題考查直線與圓的位置關系，考查直觀想象與邏輯推理的核心素養(yǎng).

由/x—y1=|x4-2y|,得x*+y*=|x4-2y|,=j?4-4xy4-4y,,BPy(4z+3y)=0,

則c表示兩條直線，其方程分別為y=0與4x+3y=0.因為M(5,0)到直線4x+3y=0的距離d=§=4,

所以當，=4時，直線4x+3>=0與圓M相切，易知直線y=0與圓M相交,C與圓M有3個公共點.當r=

2時,存在圓N,使得圓M內(nèi)切于圓N,且圓N與這兩條直線都相交，即與C有4個公共點.C與圓M的公

共點的個數(shù)的最大值為4,當r=5時，公共點的個數(shù)為3.

12.BCD【解析】本題考查函數(shù)與不等式的綜合應用，考查化歸與轉化的數(shù)學思想.

由題可知射線經(jīng)過點(一年,0),(1,2),則射線的方程為尸母工+著(工41).由圖可知〃|工|)>"0)=

■|?.當心1時，設“H)=m(H-2A+lGn>0),因為/(D=m+1=2,所以m=l.由此得/⑷=5,又

51g■!■=■翁VI,所以gG)只有1個零點.因為零=_|_￡52),所以“工)有4個零點.

令"G="14(<2),則詼方程的解為與=亞產(chǎn)，4=2-,4=2+QT,

x>-xi=2+yFT令TF3!=K?ZC1),

則4一%=2+2-幽平^=一:“一紂+1|<卷故八工+||)〉/(工)恒成立.

13.1+2K答案不唯一，只要x的實部與虛部的平方差為一3,且實部、虛部均不為0即可得分)

【解析】本題考查發(fā)數(shù)的概念，考查推理論證能力與運算求解能力.

設z=a+bi(a,beR,b^O)，則?+3=o,-/+3+2疝，因為?+3為純虛數(shù)，所以<?一”=一3且a原0.

14.y=±V3z(Jfi73x±y=0)[解析】本題考查雙曲線的性質與定義的應用，考查數(shù)形結合的數(shù)學思想.

因為IBF,|=4lOP|,所以|QP|="1?，所以INF?l=2|OP|=c，又|峭|一|班|=川61=24,所以<:=%，

所以，+"C的漸近線方程為y=±V3x,

a

15.818.6【解析】本題考查線性回歸方程的應用，考查數(shù)據(jù)處理能力.

工=幽土酗.+3R0+3000+25竺=3600.依題意可得A,B,C,D,E五個地區(qū)的外來務工人員中，留在當

地的人數(shù)分別為4000,3600,2800,2400,2100,則y=4000+3600+20+2400+2100=2980因為、=

0.813sz+2,所以代入數(shù)據(jù),得2=2980—0.8135X3600=2980-100X29.29=51.當x=10000時；=

0.8135X10000+51=8186,故補貼總額約為8186X1000=818.6萬元.

/P

16.慕【解析】本題考查四棱錐的外接球與內(nèi)切球，考查空間想象能力與運算求解/張

能力，

如圖，連接PO,BD,取8的中點E,連接PEQE,過。作OHJLPE于H,易知/春&方海?°

POJL底面ABCD,設AB=4,則BD=/BA'+BC8=4信BO=JBD=20￡..?：：：二：：：*/^

2BC

PO==2V?.設球M的半徑為R,半球。的半徑為R。,則R=242.易知R>=OH,則食=器

，

【數(shù)學試題?參考答案第2頁(共6頁)]-218401C

2/6

=Q^=_1-故匕噂B=N____?—=工(員)3=遮

PE存'政入途2(R)18,

17?解，⑴由正弦定理急=各哈白，...............................................2分

2

解得sinB=亨，...............................................................................

所以cos2B=1-2sin'B="1'...........................................................................................................5分

(2)由余弦定理得8sA=小安里=年........................................................

則sin................................................................................................................................8分

故AABC的面積S=*fcsinA=空?.........................................................

評分細則：

【1】第⑴問解析第TT未寫急=表不扣分，得出sinB=§,直接寫cos田=母，沒有寫倍角公式扣1分.

【2】第(2)向中，未單獨求sinA的值,但得到$=+加5必4=岑不扣分.

18.解式1)因為前兩天的晚上均為風雨天氣的概率為1?，所以0，則加=3?................................1分

]oq

因為這五天至少有一天出現(xiàn)風雨天氣的概率為鬃，

所以]_<1_科)'(1_的>=黑，...........................................................分

又初=-1?，所以/>?=母.......................................................................

設“該社區(qū)能舉行4場音樂食?為事件A,

JUP(A)-Q4-X(I—|-)*ax4(i—............................................5分

CiQUVWJ77

(2)X的可能取值為0,1,2,3,4,5.....................................................................................................6分

「。=0)=號>(卷>=,，..................................................................

p(x=D=a<4-),x-5-x(4)t+<4->*Q4x-r=^>...................................................................分

L43L0040

P(X=2)=(3-|-a—|-),(-|-),+Cl(-1-),(l—1-)C|-|x-1-+(y>>(l—.................9分

p(x=3)=a-4)'??+aQ-4xa4x4'+a(4')，(i一等"i一卷/=懸，……】。分

40L6U04匕。

P(X=°=懸,P(X=5)=1-翳表......................................................................................11分

所以EQO=1X會+2X懸+3X舞+4X懸+5X袤=器................................12分

評分細則：

口】第⑴問中，只要得到必=方即得1分，得到力=等即得2分.

【2】第(2)問中,E(X)的最后結果寫為1.9不扣分.

【數(shù)學試題?參考答案第3頁(共6頁)】?2104401C?

3/6

19.解：⑴因為("+D<Md=2[(n-D'+l]a-，且m=2,

所以數(shù)列｛[(n-D'+ljA.)是首項為2,公比為2的等比數(shù)列，..............................2分

Hlj[(?-1)?+1K=2",......................................................................................................................4分

所以+1=T-Xi+2....................................................................................................§分

(2)選①

因為4=；7^，且......................................................8分

所以4=了套產(chǎn)，...................................................................9分

因此兀＞2+22+…+2"=駕三科=21rH-2,即兀321rH-2......................................................12分

選②

因為A=5'-27?+271)4=71?2",....................................................................................................6分

所以0=2+2X22+…2%........................................................................................................7分

M2X.=2,+2X2,+-+n-r*1,...................................................................................................8分

則一，=2+2'+2*+???+2--7i-rH............................................................................................9分

=(1-H)?21rM-2,...........................................................................................................................11分

故T；=Gr-D-21rH+2...............................................................................................................12分

評分細則；

(1]第(D問指出數(shù)列位b一是首項為2,公比為2的等比數(shù)列，首項如果錯了而公比正確，本題

只給1分.

【2】第(2)問中的兩個條件要二選一，如果都作答，則按第一個條件解答計分.

20.(1)證明：由題意點A為圓。上一點，則AB_LAC..........................................................................1分

由PAJ_底面ABCD,知PA_LAR又PAf)AC=A，因此AB,平面PAC,......................................2分

則ABJLAM,又AB〃CD,則AMJLCD.............................................................................................3分

因為AC=AP,M為PC的中點，所以AMJ_PC...............................................................................4分

又CDnPC=C,所以AM_L平面PCD.............................................................................................5分

因為AMZ平面QAM,所以平面QAMJL平面PCD...........................................................................6分

(2)解:如圖，以A為原點，⑥的方向為工軸的正方向建立空間直

角坐標系A

JliJC(0,2,0),D(-2V3,2,0),M(0,l,l),CXV3,l,0),

avi=(-/3,O,l),dD=(-3i/3,l,O).............................7分

設u=(工，的外為平面QMD的法向量，

(n?QiCi=0,f—J3x+x=o,

則汴盡乂廠....................8分

In?。。=0,I—3V3x4-y=0.

令工=1,得見=(1,3，渡)?..............................................................9分

由(D可知,AM,平面PCD,則平面CDM的一個法向量........................10分

所以向=1音商=嘴^........................................................11分

由圖可知二面角0-MD-C為銳角，故二面角O-MD-C的余弦值為注警.................12分

【教學試題?參考答案第4頁(共6頁”?2104401C?

4/6

評分細則：

口】第（1）問嚴格按步驟給分.

【2】第（2）問中，平面OMD的一個法向量只要與”=（1,3右/力共線即可得分.

21.解:⑴八力二/工+》一看=？0"11：7"1—。,？〉。.....................................1分

①當m40時，顯然fGOVO,此時人工）在（0,+8）上單調(diào)遞減...............................2分

②當m>0時，令人力<0,得0<1<烏王而一當令外工）>0,得工>烏十如一亮.....3分

所以人工）在（。,"尸一多）上單調(diào)遞減，在（，啜沖一等,+8）上單調(diào)遞增.............4分

￡>m44mt>

（2）由于對一切工6口,2工人工）40恒成立，所以蕓群.......................5分

14*.-7—41nx

構造函數(shù)F8=母群,工€口崗,則F3=展+1"................................6分

再令g（H）=^-41nH,工￡［1,2］,所以/（工）=一/心<0道（工）在口,2：|上單調(diào)遞減...........7分

因為g（l）=2>0,g（2）=l-41n2V0,所以存在唯一的為《（1,2）,使g（a）=0,...............8分

且當H?1,H）時,g（H>>0;當工€5,21時,g（H）V0,所以尸（工）在［1血）上單調(diào)遞增，在5,2：］上單調(diào)

遞減....................................................................................9分

因為5=lne?<ln3SVln2*=81n2,....................................................10分

所以F（2）—則F（H）4=F（D=：,..................................11分

004

從而mW—■，即m的取值范圍是（-8,............................................12分

評分細則，

【1】第Q）問中,未寫定義域或未說明工>0,但求導正確不扣分.

【2】第（2）問中,解法二如下：

由于對一切工6口,2」,八1）40值成立,所以八1）=4s-140,得》<十.......................6分

下面證明當時,/（工）《。對一切工6口,2］恒成立.

要證此結論成立，只需證明當?時,義工）W0對一切工任［1,2］恒成立，......................7分

此時人工）=/（工+1>-1-2111工,/7工）=丐尹.令人工）=0,得工二e（i，2）,且人工）在

口,烏二b上單調(diào)遞減，在（瑪二L2J上單調(diào)遞增..........................................8分

因為5=lne$<ln3s<ln2,=8ta2,....................................................9分

所以=■—21n2<0.............................................................10分

又八1）=0,所以當?時，結論成立....................................................11分

綜上,m的取值范圍是（一8,毋］................................................................

22.（1）解:設AGci,xbBG：,》