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文檔簡介
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2021福建莆田高三數(shù)學高考模擬三模測試卷含答案解析
莆田市2021屆高中畢業(yè)班第三次教學質量檢測試卷
數(shù)學
注意事項:
?.答題前?考牛.務必將H己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.
2.叫答選擇題時,選出每小題答案后,用伊罐把答題卡上對應題目的答案標號涂
如?省改動?川橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標號.回答非選擇題時,將答案寫在
答期卡L:?n在本試卷上無效.
3.考試結束后,將本試卷和答題卡一并交回.
4.本試卷主要考試內(nèi)容:高考全部內(nèi)容。
一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符1
題目要求的.
1.巳知集合八=(762]-3〈工<5),8=6加+1>0),則人(18的元素個數(shù)為
A.0B.3C.4D.5
2.在aABC中,若AB=bAC=5,sin-AC=
A.3B.±3Q4D.±4
3.函數(shù)/⑺=cosZ一十的圖象的切線斜率可能為
A.―B.—2C.—1-D.-4
4.跑步是一項有僦運動,通過跑步,我們能提高肌力,同時提高體內(nèi)的基礎代謝水平,加速脂/
的燃燒,養(yǎng)成易瘦體質.小林最近給自己制定了一個200千米的跑步健身計劃,他第一天跑
8千米,以后每天比前一天多跑0.5千米,則他要完成該計劃至少需要
A.16天B.17夭C.18天D.19天
5.明朝的一個葡箱紋橢網(wǎng)盤如圖(1)所示,清朝的一個青花山水樓閣紋飾橢圓盤如圖(2)所示
北宋的一個汝窯例假I秋如圖(3)所示,這三個橢圓盤的外輪廓均為橢圓.已知圖(1),(2),G
中橢WI的長軸長與短軸長的比值分別為號,第,票,設圖⑴,⑵,⑶中橢圓的離心率分別:
?|,佻,々,則
d)
A.%?小
C.ei>e2>e3
【數(shù)學試運第1頁(共4頁)】
?21-0I-I0B
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6,下列各項中?是(、/的展開式的項為
A,15R-20/C.15/D.-20/
7.某服裝店開張箝一網(wǎng)進店消費的人數(shù)儺天都在變化,設第*】47W7,JWN)大進店消費的
人數(shù)為.、,?且丫與里](口]表示不大于,的最大整數(shù))成正比,第1天有10人進店消費,則第4
天進店消費的人數(shù)為
A.74R76C.78D.80
&在三校柱ABC-ABCi中?D為俱棱CG的中點,從該三樓柱的九條極中做機選取兩條?則
這兩條校所在直線至少有一條與直線BD異面的榻率是
正告B.||C.看D-f
二、選擇圖:'本題共工'小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的四個選項中,有多項符合題目
要求.全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分.
9.若】?則
A?4&jr—}W8
B.丁費的最小值為10
C.—2&N-
D.的最小值為9
10.已知函數(shù)/(x)=tanx—sinxcos工.則
A./《”的最小正周期為工
氏/Gr)的圖象關于3,軸對稱
C/G)的圖象關于(:,0)對稱
D.八心的圖象關于Gr.O)對稱
)1.已知曲線(,的方程為£^寸=!4?+2M,圓M:Q-5)'+9=/">0),則
A.C表示一條直線
B.當,=4時?C與圓M有3個公共點
C.當7=2時.存在圓N,使得圓N與因M相切,且聞N與C有4個公共點
D.當C與國M的公共點出多時,,的取值范圍是(4,+8)
12.如圖.函數(shù)/")的圖象由一條射線和拗物線的一部分構成“八H的零點為T,則
A.函數(shù)四口)=/")一/(4)?lg§有3個零點r
K/<J-I)^log.lttlrfia\
C.南故&</)=1/(1”-華有4個零點
”?/口一?)-.小)恒成立
:
(HTiXMMnin4fl))OI-WIC*
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三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.
13.寫出一個虛數(shù)=,使得/+3為純虛數(shù),則z=__A_
14.已知雙曲線C:M—W=l(a>0,6>0)的左、右焦點分別為為C左支上一點,N
ab
為線段MFn上一點,且|MM=|MBI,P為線段NB的中點.若|FEI=4|0P|(。為坐
標原點),則C的漸近線方程為A.
15.2021年受疫情影響,國家鼓勵員工在工作地過年.某機構統(tǒng)計了某市5個地區(qū)的外來務工
人員數(shù)與他們選擇留在當?shù)剡^年的人數(shù)占比,得到如下的表格:
A區(qū)B區(qū)C區(qū)DKE區(qū)
外來務工人員數(shù)50004000350030002500
留在當?shù)氐娜藬?shù)占比80%90%80%80%84%
根據(jù)這5個地區(qū)的數(shù)據(jù)求得留在當?shù)剡^年人員數(shù)y與外來務工人員數(shù)h的線性回歸方程為$=
0.8135x+a.該市對外來務工人員選擇留在當?shù)剡^年的每人補貼1000元,該市F區(qū)有10000.名外
來務工人員,根據(jù)線性回歸方程估計F區(qū)需要給外來務工人員中留在當?shù)剡^年的人員的補貼總
額為A萬元(參考數(shù)據(jù):取0.8135X36=29.29)
16.如圖,正四棱錐P-ABCD的每個頂點都在球M的球面上,側面
PAB是等邊三角形.若半球。的球心為四棱錐的底面中心,且半球
與四個側面均相切,則半球O的體積與球M的體積的比值為
四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17.(10分)
△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知a=73,6=2.
(1)若A=冬,求cos2Bi
(2)若c=3,求△ABC的面積.
18.(12分)
某社區(qū)為豐富居民的業(yè)余文化生活,打算在周一到周五連續(xù)為該社區(qū)居民舉行“社區(qū)音樂
會”,每晚舉行一場,但若遇到風雨天氣,則雷停舉行,根據(jù)氣象部門的天氣預報得知,在周一
到周五這五天的晚上,前三天每天出現(xiàn)風雨天氣的概率均為Px,后兩天每天出現(xiàn)風雨天氣
的概率均為生,每天晚上是否出現(xiàn)風雨天氣相互獨立.已知前兩天的晚上均出現(xiàn)風雨天氣
的概率為十,且這五天至少有一天晚上出現(xiàn)風雨天氣的概率為譙.
(1)求該社區(qū)能舉行4場音樂會的概率;
(2)求該社區(qū)舉行音樂會場數(shù)X的數(shù)學期望.
【數(shù)學試題第3頁(共4頁)】
,21-04-401C?
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T/IU
19.(12分)
在數(shù)列{a“}中.4=2,(n'+l)a”+i=2[(n—IT+Ija”
(1)求{a“}的通項公式,
(2)在下列兩個問題中任選一個作答,如果兩個都作答,則按第一個解答計分.
①設。”=,產(chǎn)a.,數(shù)列{幾)的前n項和為7“,證明:—2.
②設4=6,-2nZ+2n)a”,求數(shù)列仍”}的前n項和T”
20.(12分)
如圖,在四棱錐P-ABCD中,四邊形ABCD為平行四邊形,以BC為直徑的圓。(O為圓
心)過點A,且AO=AC=AP=2,PAJL底面ABCD,M為PC的中點.
(D證明:平面OAM_L平面PCD.
(2)求二面角。一MD-C的余弦值.
21.(12分)
已知函數(shù)/(H)=mGr+l尸一l-21nz
(D討論/(工)的單調(diào)性;
(2)當了6口,2:]時,/(工)40,求m的取值范圍.
22.(12分)
巳知F為拋物線C:H2=2"(Q>0)的焦點,直線/d=2工+1與C交于A,B兩點,且|AF|
+|BF|=20.
(1)求C的方程.
⑵若直線m:、=2H+“eRD與C交于M,N兩點,且AM與BN相交于點T,證明:點T
在定直線上.
I數(shù)學斌JS第4頁(共4頁”?21-04-401C-
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莆田市2021屆高中畢業(yè)班第三次教學質量檢測試卷
數(shù)學參考答案
1.D【解析】本題考查集合的交集,考查運算求解能力.
因為4=(-2,—1,0,1,2,3,4},8=61>0>一:1},所以人口8={0」,2,3,4}.
2.D【解析】本題考查平面向量的數(shù)量積,考查推理論證能力.
在ZkABC中,因為sinA=[■,所以8sA=±~|?,所以卷?荏=3|?lACIcosA=±4.
3.A【解析】本題考查導數(shù)的幾何意義,考查運算求解能力.
因為f(x)=-sinx+p->—sin1,所以切線的斜率可能為一!?,不可能為-2,-1-?—4.
4.B【解析】本題考查等差數(shù)列的應用,考查數(shù)學建模與邏輯推理的核心素養(yǎng).
依題意可得,他從第一天開始每天跑步的路程(單位:千米)依次成等差數(shù)列,且首項為8,公差為0.5,設經(jīng)過
九天后他完成健身計劃,則8中丐罷X3》200,整理得H?4-31H-800>0.
因為函數(shù)人力="+31工一800在[1,+8)上為增函數(shù),且f(16)V0,f(17)>0,所以417.
5.A【解析】本題考查橢圓的離心率與中國古代數(shù)學文化,考查數(shù)據(jù)處理能力與推理論證能力.
因為橢圓的離心率—所以長軸長與短軸長的比值越大,離心率越大.因為號仁
1.44筏24,¥21.43,所以&>0>a.
6.C【解析】本題考查二項式定理,考查運算求解能力與推理論證能力.
(々一力,的展開式中第3項為凌(行)氣一多占15「
7.C【解析體題考查函數(shù)模型的應用,考查應用意識與數(shù)學建模的核心素養(yǎng).
依題意可設尸當x=l時,y=5A=10,解得42,故當x=4時,
y=2X[今].因為今=39.1,所以[=39,所以y=2X[3]=78.
8.B【解析】本題考查異面直線的判定、排列組合的應用、古典概型,考查直觀想象、推G
理論證的核心素養(yǎng).
如困,這九條棱中,與BD共面的是30,88],?,8】6,例,共五條,故所求概率「L
9./A譚B【解析】本題考查不等式的性質與基本不等式的應用,考查推理論證能力.4Iy4
因為1&X<3?5,所以44z+y<8,—44Z—y<0.因為x十3十=]+
*y
5+>>+半>2+2?/16^=10,
當且僅當x=l,y=i時,等號成立,所以H+y+^+q的最小值為1。
因為GH?十)(>+$=工>?噎+5》2A+5=9,當且僅當初=2時,等號成立,但1?3?5,巧取
不到2,所以(工+°)(y+=)的最小值不是9.
10.ACD【解析】本題考查三角函數(shù)的對稱性與周期,考查邏輯推理的核心素養(yǎng).
【數(shù)學試題?參考答案第1頁(共6頁)】?2104401C?
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因為,=由工與、=,E<183%的最小正周期均為it,所以fCz)的最小正周期為n.
因為八一分=一八工)力/(力,所以人%)是奇函數(shù),其明象不關于y軸對稱.
因為/(K—x)="tanx+sinxcos工=一/(工),所以fCz)的圖象關于(},0)對稱.
因為/(2x—x)=—tan工+sinxcos工=一代力,所以fCz)的圖象關于(x,0)對稱.
11.BC【解析】本題考查直線與圓的位置關系,考查直觀想象與邏輯推理的核心素養(yǎng).
由/x—y1=|x4-2y|,得x*+y*=|x4-2y|,=j?4-4xy4-4y,,BPy(4z+3y)=0,
則c表示兩條直線,其方程分別為y=0與4x+3y=0.因為M(5,0)到直線4x+3y=0的距離d=§=4,
所以當,=4時,直線4x+3>=0與圓M相切,易知直線y=0與圓M相交,C與圓M有3個公共點.當r=
2時,存在圓N,使得圓M內(nèi)切于圓N,且圓N與這兩條直線都相交,即與C有4個公共點.C與圓M的公
共點的個數(shù)的最大值為4,當r=5時,公共點的個數(shù)為3.
12.BCD【解析】本題考查函數(shù)與不等式的綜合應用,考查化歸與轉化的數(shù)學思想.
由題可知射線經(jīng)過點(一年,0),(1,2),則射線的方程為尸母工+著(工41).由圖可知〃|工|)>"0)=
■|?.當心1時,設“H)=m(H-2A+lGn>0),因為/(D=m+1=2,所以m=l.由此得/⑷=5,又
51g■!■=■翁VI,所以gG)只有1個零點.因為零=_|_£52),所以“工)有4個零點.
令"G="14(<2),則詼方程的解為與=亞產(chǎn),4=2-,4=2+QT,
x>-xi=2+yFT令TF3!=K?ZC1),
則4一%=2+2-幽平^=一:“一紂+1|<卷故八工+||)〉/(工)恒成立.
13.1+2K答案不唯一,只要x的實部與虛部的平方差為一3,且實部、虛部均不為0即可得分)
【解析】本題考查發(fā)數(shù)的概念,考查推理論證能力與運算求解能力.
設z=a+bi(a,beR,b^O),則?+3=o,-/+3+2疝,因為?+3為純虛數(shù),所以<?一”=一3且a原0.
14.y=±V3z(Jfi73x±y=0)[解析】本題考查雙曲線的性質與定義的應用,考查數(shù)形結合的數(shù)學思想.
因為IBF,|=4lOP|,所以|QP|="1?,所以INF?l=2|OP|=c,又|峭|一|班|=川61=24,所以<:=%,
所以,+"C的漸近線方程為y=±V3x,
a
15.818.6【解析】本題考查線性回歸方程的應用,考查數(shù)據(jù)處理能力.
工=幽土酗.+3R0+3000+25竺=3600.依題意可得A,B,C,D,E五個地區(qū)的外來務工人員中,留在當
地的人數(shù)分別為4000,3600,2800,2400,2100,則y=4000+3600+20+2400+2100=2980因為、=
0.813sz+2,所以代入數(shù)據(jù),得2=2980—0.8135X3600=2980-100X29.29=51.當x=10000時;=
0.8135X10000+51=8186,故補貼總額約為8186X1000=818.6萬元.
/P
16.慕【解析】本題考查四棱錐的外接球與內(nèi)切球,考查空間想象能力與運算求解/張
能力,
如圖,連接PO,BD,取8的中點E,連接PEQE,過。作OHJLPE于H,易知/春&方海?°
POJL底面ABCD,設AB=4,則BD=/BA'+BC8=4信BO=JBD=20£..?:::二:::*/^
2BC
PO==2V?.設球M的半徑為R,半球。的半徑為R。,則R=242.易知R>=OH,則食=器
,
【數(shù)學試題?參考答案第2頁(共6頁)]-218401C
2/6
=Q^=_1-故匕噂B=N____?—=工(員)3=遮
PE存'政入途2(R)18,
17?解,⑴由正弦定理急=各哈白,...............................................2分
2
解得sinB=亨,...............................................................................
所以cos2B=1-2sin'B="1'...........................................................................................................5分
(2)由余弦定理得8sA=小安里=年........................................................
則sin................................................................................................................................8分
故AABC的面積S=*fcsinA=空?.........................................................
評分細則:
【1】第⑴問解析第TT未寫急=表不扣分,得出sinB=§,直接寫cos田=母,沒有寫倍角公式扣1分.
【2】第(2)向中,未單獨求sinA的值,但得到$=+加5必4=岑不扣分.
18.解式1)因為前兩天的晚上均為風雨天氣的概率為1?,所以0,則加=3?................................1分
]oq
因為這五天至少有一天出現(xiàn)風雨天氣的概率為鬃,
所以]_<1_科)'(1_的>=黑,...........................................................分
又初=-1?,所以/>?=母.......................................................................
設“該社區(qū)能舉行4場音樂食?為事件A,
JUP(A)-Q4-X(I—|-)*ax4(i—............................................5分
CiQUVWJ77
(2)X的可能取值為0,1,2,3,4,5.....................................................................................................6分
「。=0)=號>(卷>=,,..................................................................
p(x=D=a<4-),x-5-x(4)t+<4->*Q4x-r=^>...................................................................分
L43L0040
P(X=2)=(3-|-a—|-),(-|-),+Cl(-1-),(l—1-)C|-|x-1-+(y>>(l—.................9分
p(x=3)=a-4)'??+aQ-4xa4x4'+a(4'),(i一等"i一卷/=懸,……】。分
40L6U04匕。
P(X=°=懸,P(X=5)=1-翳表......................................................................................11分
所以EQO=1X會+2X懸+3X舞+4X懸+5X袤=器................................12分
評分細則:
口】第⑴問中,只要得到必=方即得1分,得到力=等即得2分.
【2】第(2)問中,E(X)的最后結果寫為1.9不扣分.
【數(shù)學試題?參考答案第3頁(共6頁)】?2104401C?
3/6
19.解:⑴因為("+D<Md=2[(n-D'+l]a-,且m=2,
所以數(shù)列{[(n-D'+ljA.)是首項為2,公比為2的等比數(shù)列,..............................2分
Hlj[(?-1)?+1K=2",......................................................................................................................4分
所以+1=T-Xi+2....................................................................................................§分
(2)選①
因為4=;7^,且......................................................8分
所以4=了套產(chǎn),...................................................................9分
因此兀>2+22+…+2"=駕三科=21rH-2,即兀321rH-2......................................................12分
選②
因為A=5'-27?+271)4=71?2",....................................................................................................6分
所以0=2+2X22+…2%........................................................................................................7分
M2X.=2,+2X2,+-+n-r*1,...................................................................................................8分
則一,=2+2'+2*+???+2--7i-rH............................................................................................9分
=(1-H)?21rM-2,...........................................................................................................................11分
故T;=Gr-D-21rH+2...............................................................................................................12分
評分細則;
(1]第(D問指出數(shù)列位b一是首項為2,公比為2的等比數(shù)列,首項如果錯了而公比正確,本題
只給1分.
【2】第(2)問中的兩個條件要二選一,如果都作答,則按第一個條件解答計分.
20.(1)證明:由題意點A為圓。上一點,則AB_LAC..........................................................................1分
由PAJ_底面ABCD,知PA_LAR又PAf)AC=A,因此AB,平面PAC,......................................2分
則ABJLAM,又AB〃CD,則AMJLCD.............................................................................................3分
因為AC=AP,M為PC的中點,所以AMJ_PC...............................................................................4分
又CDnPC=C,所以AM_L平面PCD.............................................................................................5分
因為AMZ平面QAM,所以平面QAMJL平面PCD...........................................................................6分
(2)解:如圖,以A為原點,⑥的方向為工軸的正方向建立空間直
角坐標系A
JliJC(0,2,0),D(-2V3,2,0),M(0,l,l),CXV3,l,0),
avi=(-/3,O,l),dD=(-3i/3,l,O).............................7分
設u=(工,的外為平面QMD的法向量,
(n?QiCi=0,f—J3x+x=o,
則汴盡乂廠....................8分
In?。。=0,I—3V3x4-y=0.
令工=1,得見=(1,3,渡)?..............................................................9分
由(D可知,AM,平面PCD,則平面CDM的一個法向量........................10分
所以向=1音商=嘴^........................................................11分
由圖可知二面角0-MD-C為銳角,故二面角O-MD-C的余弦值為注警.................12分
【教學試題?參考答案第4頁(共6頁”?2104401C?
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評分細則:
口】第(1)問嚴格按步驟給分.
【2】第(2)問中,平面OMD的一個法向量只要與”=(1,3右/力共線即可得分.
21.解:⑴八力二/工+》一看=?0"11:7"1—。,?〉。.....................................1分
①當m40時,顯然fGOVO,此時人工)在(0,+8)上單調(diào)遞減...............................2分
②當m>0時,令人力<0,得0<1<烏王而一當令外工)>0,得工>烏十如一亮.....3分
所以人工)在(。,"尸一多)上單調(diào)遞減,在(,啜沖一等,+8)上單調(diào)遞增.............4分
£>m44mt>
(2)由于對一切工6口,2工人工)40恒成立,所以蕓群.......................5分
14*.-7—41nx
構造函數(shù)F8=母群,工€口崗,則F3=展+1"................................6分
再令g(H)=^-41nH,工£[1,2],所以/(工)=一/心<0道(工)在口,2:|上單調(diào)遞減...........7分
因為g(l)=2>0,g(2)=l-41n2V0,所以存在唯一的為《(1,2),使g(a)=0,...............8分
且當H?1,H)時,g(H>>0;當工€5,21時,g(H)V0,所以尸(工)在[1血)上單調(diào)遞增,在5,2:]上單調(diào)
遞減....................................................................................9分
因為5=lne?<ln3SVln2*=81n2,....................................................10分
所以F(2)—則F(H)4=F(D=:,..................................11分
004
從而mW—■,即m的取值范圍是(-8,............................................12分
評分細則,
【1】第Q)問中,未寫定義域或未說明工>0,但求導正確不扣分.
【2】第(2)問中,解法二如下:
由于對一切工6口,2」,八1)40值成立,所以八1)=4s-140,得》<十.......................6分
下面證明當時,/(工)《。對一切工6口,2]恒成立.
要證此結論成立,只需證明當?時,義工)W0對一切工任[1,2]恒成立,......................7分
此時人工)=/(工+1>-1-2111工,/7工)=丐尹.令人工)=0,得工二e(i,2),且人工)在
口,烏二b上單調(diào)遞減,在(瑪二L2J上單調(diào)遞增..........................................8分
因為5=lne$<ln3s<ln2,=8ta2,....................................................9分
所以=■—21n2<0.............................................................10分
又八1)=0,所以當?時,結論成立....................................................11分
綜上,m的取值范圍是(一8,毋]................................................................
22.(1)解:設AGci,xbBG:,》
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