2025屆福建省廈門市第一中學數學高一上期末考試試題含解析

2025屆福建省廈門市第一中學數學高一上期末考試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．下列命題中是真命題的個數為（）①函數的對稱軸方程是；②函數的一個對稱軸方程是；③函數的圖象關于點對稱；④函數的值域為A1 B.2C.3 D.42．已知，則（）A.－3 B.－1C.1 D.33．已知角的頂點為坐標原點，始邊與軸的非負半軸重合，終邊上一點，則A. B.C. D.4．過原點和直線與的交點的直線的方程為（）A. B.C. D.5．函數在單調遞減，且為奇函數.若，則滿足的的取值范圍是（）.A. B.C. D.6．若，，，，則，，的大小關系是A. B.C. D.7．已知二次函數在區(qū)間(2，3)內是單調函數，則實數的取值范圍是（）A.或 B.C.或 D.8．函數的最小正周期為（）A. B.C. D.9．定義在上的偶函數滿足，且在上是減函數，若，是銳角三角形的兩個內角，則下列各式一定成立的是（）A. B.C. D.10．下列函數中，既是奇函數又在區(qū)間上是增函數的是（）A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．如圖，矩形是平面圖形斜二測畫法的直觀圖，且該直觀圖的面積為，則平面圖形的面積為______.12．已知甲運動員的投籃命中率為0.7，乙運動員的投籃命中率為0.8，若甲、乙各投籃一次，則恰有一人命中的概率是___________13．已知，則___________14．若函數的圖象關于直線對稱，則的最小值是________.15．已知在區(qū)間上單調遞減，則實數的取值范圍是____________.16．某商廈去年1月份的營業(yè)額為100萬元.如果該商廈營業(yè)額的月增長率為1%，則商廈的月營業(yè)額首次突破110萬元是在去年的___________月份.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知，是方程的兩根.（1）求實數的值；（2）求的值；（3）求的值.18．設向量（Ⅰ）若與垂直，求的值；（Ⅱ）求的最小值.19．食品安全問題越來越引起人們的重視，農藥、化肥的濫用給人民群眾的健康帶來了一定的危害．為了給消費者帶來放心的蔬菜，某農村合作社每年投入資金萬元，搭建甲、乙兩個無公害蔬菜大棚，每個大棚至少要投入資金萬元，其中甲大棚種西紅柿，乙大棚種黃瓜．根據以往的種菜經驗，發(fā)現種西紅柿的年收入、種黃瓜的年收入與各自的資金投入（單位：萬元）滿足，．設甲大棚的資金投入為（單位：萬元），每年兩個大棚的總收入為（單位：萬元）（1）求的值；（2）試問如何安排甲、乙兩個大棚的資金投入，才能使總收入最大20．已知函數在一個周期內的圖象如圖所示（1）求的解析式；（2）直接寫出在區(qū)間上的單調區(qū)間；（3）已知，都成立，直接寫出一個滿足題意的值21．某種商品的市場需求量（萬件）、市場供應量（萬件）與市場價格（元/件）分別近似地滿足下列關系：，．當時的市場價格稱為市場平衡價格，此時的需求量稱為平衡需求量（1）求平衡價格和平衡需求量；（2）若該商品的市場銷售量（萬件）是市場需求量和市場供應量兩者中的較小者，該商品的市場銷售額（萬元）等于市場銷售量與市場價格的乘積①當市場價格取何值時，市場銷售額取得最大值；②當市場銷售額取得最大值時，為了使得此時市場價格恰好是新的市場平衡價格，則政府應該對每件商品征稅多少元？

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】根據二次函數的性質、三角函數的性質以及圖象，對每個選項進行逐一分析，即可判斷和選擇.【詳解】對①：函數的對稱軸方程是，故①是假命題；對②：函數的對稱軸方程是：，當時，其一條對稱軸是，故②正確；對函數，其函數圖象如下所示：對③：數形結合可知，該函數的圖象不關于對稱，故③是假命題；對④：數形結合可知，該函數值域為，故④為真命題.綜上所述，是真命題的有2個.故選：.2、D【解析】利用同角三角函數基本關系式中的技巧弦化切求解.【詳解】.故選：D【點睛】本題考查了同角三角函數基本關系中的弦化切技巧，屬于容易題.3、A【解析】由三角函數定義得tan再利用同角三角函數基本關系求解即可【詳解】由三角函數定義得tan，即,得3cos解得或（舍去）故選A【點睛】本題考查三角函數定義及同角三角函數基本關系式，熟記公式，準確計算是關鍵，是基礎題4、C【解析】先求出兩直線的交點，從而可得所求的直線方程.【詳解】由可得，故過原點和交點的直線為即，故選：C.5、D【解析】由已知中函數的單調性及奇偶性，可將不等式化為，解得答案【詳解】解：由函數為奇函數，得，不等式即為，又單調遞減，所以得，即，故選：D.6、D【解析】分析：利用指數函數與對數函數及冪函數的行賄可得到，再構造函數，通過分析和的圖象與性質，即可得到結論.詳解：由題意在上單調遞減，所以，在上單調遞則，所以，在上單調遞則，所以，令，則其為單調遞增函數，顯然在上一一對應，則，所以，在坐標系中結合和的圖象與性質，量曲線分別相交于在和處，可見，在時，小于；在時，大于；在時，小于，所以，所以，即，綜上可知，故選D.點睛：本題主要考查了指數式、對數式和冪式的比較大小問題，本題的難點在于的大小比較，通過構造指數函數與一次函數的圖象與性質分析解決問題是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，試題有一定難度，屬于中檔試題.7、A【解析】根據開口方向和對稱軸及二次函數f（x）=x2-2ax+1的單調區(qū)間求參數的取值范圍即可.【詳解】根據題意二次函數f（x）=x2-2ax+1開口向上，單調遞增區(qū)間為，單調減區(qū)間，因此當二次函數f（x）=x2-2ax+1在區(qū)間（2，3）內為單調增函數時a≤2，當二次函數f（x）=x2-2ax+1在區(qū)間（2，3）內為單調減函數時a≥3，綜上可得a≤2或a≥3.故選：A.8、C【解析】根據正弦型函數周期的求法即可得到答案.【詳解】故選：C.9、A【解析】根據題意，先得到是周期為的函數，再由函數單調性和奇偶性，得出在區(qū)間上是增函數；根據三角形是銳角三角，得到，得出，從而可得出結果.【詳解】因為偶函數滿足，所以函數是周期為的函數，又在區(qū)間上是減函數，所以在區(qū)間上是減函數，因為偶函數關于軸對稱，所以在區(qū)間上是增函數；又，是銳角三角形的兩個內角，所以，即，因此，即，所以.故選：A.【點睛】本題主要考查由函數的基本性質比較大小，涉及正弦函數的單調性，屬于中檔題.10、B【解析】先由函數定義域，排除A；再由函數奇偶性排除D，最后根據函數單調性，即可得出B正確，C錯誤.【詳解】A選項，的定義域為，故A不滿足題意；D選項，余弦函數偶函數，故D不滿足題意；B選項，正切函數是奇函數，且在上單調遞增，故在區(qū)間是增函數，即B正確；C選項，正弦函數是奇函數，且在上單調遞增，所以在區(qū)間是增函數；因此是奇函數，且在上單調遞減，故C不滿足題意.故選：B.【點睛】本題主要考查三角函數性質的應用，熟記三角函數的奇偶性與單調性即可，屬于基礎題型.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】由題意可知，該幾何體的直觀圖面積，可通過，帶入即可求解出該平面圖形的面積.【詳解】解：由題意，直觀圖的面積為，因為直觀圖和原圖面積之間的關系為，所以原圖形的面積是故答案為：.12、38##【解析】利用相互獨立事件概率乘法公式及互斥事件概率計算公式即求.【詳解】∵甲運動員的投籃命中率為0.7，乙運動員的投籃命中率為0.8，∴甲、乙各投籃一次，則恰有一人命中的概率是.故答案為：0.38.13、2【解析】將齊次式弦化切即可求解.【詳解】解：因為，所以，故答案為：2.14、【解析】根據正弦函數圖象的對稱性求解．【詳解】依題意可知，得，所以，故當時，取得最小值.故答案為：．【點睛】本題考查三角函數的對稱性．正弦函數的對稱軸方程是，對稱中心是15、【解析】根據復合函數單調性的判斷方法,結合對數函數的定義域,即可求得的取值范圍.【詳解】在區(qū)間上單調遞減由對數部分為單調遞減,且整個函數單調遞減可知在上單調遞增,且滿足所以,解不等式組可得即滿足條件的取值范圍為故答案為:【點睛】本題考查了復合函數單調性的應用,二次函數的單調性,對數函數的性質,屬于中檔題.16、11【解析】根據指數函數模型求解【詳解】設第月首次突破110萬元，則，，，因此11月份首次突破110萬元故答案為：11三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）；（3）【解析】（1）根據方程的根與系數關系可求，，然后結合同角平方關系可求，（2）結合（1）可求，，結合同角基本關系即可求，（3）利用將式子化為齊次式，再利用同角三角函數的基本關系，將弦化切，代入可求【詳解】解：（1）由題意可知，，，∴，∴，∴，（2）方程的兩根分別為，，∵，∴，∴，，則，（3）【點睛】本題主要考查了同角三角函數關系式和萬能公式的應用，屬于基本知識的考查18、(Ⅰ)2；(Ⅱ).【解析】(Ⅰ)先由條件得到的坐標，根據與垂直可得，整理得，從而得到．(Ⅱ)由得到，故當時，取得最小值為試題解析：（Ⅰ）由條件可得，因為與垂直，所以，即，所以，所以.（Ⅱ）由得，所以當時，取得最小值，所以的最小值為.19、（1）；（2）當甲大棚投入資金為128萬元，乙大棚投入資金為72萬元時，總收益最大.【解析】（1）根據題意，可分別求得甲、乙兩個大棚的資金投入值，代入解析式即可求得總收益.（2）表示出總收益的表達式，并求得自變量取值范圍，利用換元法轉化為二次函數形式，即可確定最大值.【詳解】（1）當甲大棚的資金投入為50萬元時，乙大棚資金投入為150萬元，則由足，可得總收益為萬元；（2）根據題意，可知總收益為滿足，解得，令，所以，因為，所以當即時總收益最大，最大收益為萬元，所以當甲大棚投入資金為128萬元，乙大棚投入資金為72萬元時，總收益最大，最大收益為282萬元.【點睛】本題考查了函數在實際問題中的應用，分段函數模型的應用，二次函數型求最值的應用，屬于基礎題.20、（1）（2）增區(qū)間為，減區(qū)間為（3）【解析】（1）根據圖象確定周期可得出，再由圖象過點求出即可得出解析式；（2）根據圖象觀察直接寫出即可；（3）由知函數圖象關于對稱，由圖象直接寫即可.【小問1詳解】由圖可知，所以因，且，所以因為圖象過點，所以所以所以所以因為，所以所以【小問2詳解】在區(qū)間上，函數的增區(qū)間為，減區(qū)間為，【小問3詳解】因為恒成立，所以函數圖象關于對稱，由圖可知適合題意，（答案不唯一）21、（1）平衡價格是30元，平衡需求量是40萬件．（2）①市場價格是35元時，市場總銷售額取得最大值．②政府應該對每件商品征7.5元【解析】（1）令，得，可得，此時，從而可得結果；（2）①先求出，從而得，根據二次函數的性質分別求出兩段函數的最值再比較大小即可的結果；②政府應該對每件商品征稅元，則供應商的實際價格是每件元，根據可得結果.試題解析：（1）令，得，故，此時答：平衡價格是30元，平衡需求量是40萬件（2）①由，，得，由題意可知：故當時，，即時，；當時，，即時，，綜述：當時，時，答：市場價格是35元時，市場總銷售額取得最大值②設政府應該對每件