安徽省級(jí)示范高中培優(yōu)聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期春季聯(lián)賽數(shù)學(xué)試題2

安徽省示范高中培優(yōu)聯(lián)盟2024年春季聯(lián)賽（高一）數(shù)學(xué)本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，選擇題第1至第3頁(yè)，非選擇題第4至第6頁(yè).全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.考生注意事項(xiàng)：1.答題前、務(wù)必在試題卷、答題卡規(guī)定的地方填寫自己的姓名、座位號(hào)，并認(rèn)真核對(duì)答題卡上所粘貼的條形碼中姓名、座位號(hào)與本人姓名、座位號(hào)是否一致.2.答選擇題時(shí)，每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).3.答非選擇題時(shí)，必須使用0.5毫米的黑色墨水簽字筆在答題卡上書寫，要求字體工整、筆跡清晰.作圖題可先用鉛筆在答題卡規(guī)定的位置繪出，確認(rèn)后再用0.5毫米的黑色墨水簽字筆描清楚.必須在題號(hào)所指示的答題區(qū)域作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效，在試題卷、草稿紙上答題無(wú)效.4.考試結(jié)束，務(wù)必將試題卷和答題卡一并上交.一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.若集合，，則（）A. B. C. D.2.不等式的解集為（）A.或 B. C.或 D.3.我國(guó)著名數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》中提出了“三斜求積”，如圖所示，作“大斜”上的高，則，現(xiàn)已知中，“小斜”，“中斜”，“大斜”，則“高”=（）A. B. C. D.4.設(shè)與是兩個(gè)向量，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5.已知，，，則（）A. B. C. D.6.定義在上的滿足對(duì)，關(guān)于的方程有7個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.7.設(shè)向量，，若，則（）A. B. C. D.8.已知函數(shù)的反函數(shù)為，那么在上的最大值與最小值之和為（）A.4 B.2 C.1 D.0二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.）9.以下運(yùn)算中正確的有（）A. B.C. D.10.下面結(jié)論正確的有（）A.若，為銳角三角形的兩內(nèi)角，則有B.C.，D.，11.若函數(shù)的部分圖象如圖所示，將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的倍，得到函數(shù)的圖象，則下列四個(gè)命題正確的是（）A.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，B.直線是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸C.若當(dāng)時(shí)，，則D.若在上恰有3個(gè)零點(diǎn)，則考生注意事項(xiàng)：請(qǐng)用0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上作答，在試題卷上答題無(wú)效.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.第14題為選考題，請(qǐng)考生任選一題作答，若兩題都答，則以所做的第一題計(jì)分.）12.已知實(shí)數(shù)x滿足，則______.13.在邊長(zhǎng)為2的正中，動(dòng)點(diǎn)P在以C為圓心且與AB邊相切的圓上，滿足.則的取值范圍是______.14.在四面體ABCD中，，面BCD，底面三角形BCD為直角三角形，.若該四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的表面上，M，N分別是AB和BC的中點(diǎn)，過(guò)M、N兩點(diǎn)作球O的截面，則面積的最小值為______.15.某超市舉行有獎(jiǎng)答題活動(dòng)，參加活動(dòng)顧客依次回答三個(gè)問(wèn)題.不管答對(duì)或者答錯(cuò)，三題答完活動(dòng)結(jié)束.規(guī)定每位顧客只能參加一次活動(dòng).已知每位顧客第一題答對(duì)的概率為，第二題答對(duì)的概率為，第三題答對(duì)的概率為，若答對(duì)兩題，則可獲得價(jià)值100元的獎(jiǎng)品，若答對(duì)三題，則可獲得價(jià)值200元的獎(jiǎng)品，若答對(duì)的題數(shù)不夠2題，則不能獲獎(jiǎng).假設(shè)顧客是否通過(guò)每一關(guān)相互獨(dú)立.現(xiàn)有甲，乙兩名顧客參加該活動(dòng)，則兩人最后獲得獎(jiǎng)品價(jià)值總和為300元獎(jiǎng)品的概率為______.四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）16.如圖所示，在單位圓中，，已知角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，作，垂足為點(diǎn)M，作交角的終邊于點(diǎn)T.（1）請(qǐng)根據(jù)正弦和余弦的二倍角公式推導(dǎo)正弦的三倍角公式（僅用含的式子表示）；（2）請(qǐng)根據(jù)三角形面積公式及扇形面積公式證明17.在銳角中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知：，（1）求b和角B；（2）求取值范圍.18.如圖，在矩形中，，，，，直線與垂直，垂足點(diǎn).（1）求的值；（2）若，將用基底線性表示，并求出的最大值.（選考題）（17分）（請(qǐng)考生從181，182兩題中任選一題作答，若兩題都答，則以所做的第一題計(jì)分.）【選考人教版——立體幾何】19.如下左圖，矩形中，，，.過(guò)頂點(diǎn)作對(duì)角線的垂線，交對(duì)角線于點(diǎn)，交邊于點(diǎn)，現(xiàn)將沿翻折，形成四面體，如下右圖.（1）求四面體外接球體積；（2）求證：平面平面；（3）若點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，請(qǐng)判斷在將沿翻折過(guò)程中，直線能否平行于面.若能請(qǐng)求出此時(shí)的二面角的大小；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.【選考北師大版——統(tǒng)計(jì)和概率】20.在我們的生活中扮演著越來(lái)越重要的角色，但過(guò)度使用會(huì)對(duì)我們的身心健康造成諸多危害.一城市的某愛心機(jī)構(gòu)建議市民應(yīng)合理使用，可以嘗試設(shè)定使用時(shí)間限制，多參加戶外活動(dòng)，與人面對(duì)面交流，讓生活更加豐富多彩.為了更好地做好該項(xiàng)宣傳工作，做到宣傳的全面有效，該機(jī)構(gòu)隨機(jī)選擇了100位市民進(jìn)行宣傳，這些市民年齡的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖如下：（1）請(qǐng)估計(jì)這100位市民的平均年齡，結(jié)果請(qǐng)保留整數(shù)（同組數(shù)據(jù)用區(qū)間的中點(diǎn)值代替）；（2）請(qǐng)估計(jì)該市市民中的一位市民年齡位于區(qū)間的概率；（3）現(xiàn)在要從和兩組中用分層抽樣的方法抽取6人，再?gòu)倪@6人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行回訪，若抽取的2人的年齡差大于10，則代表該機(jī)構(gòu)宣傳工作做得全面，獲得好評(píng).方案一：從6人中按照不放回抽樣抽取2人，獲得好評(píng)的概率為；方案二：從6人中按照有放回抽樣抽取2人，獲得好評(píng)的概率為；假設(shè)獲得好評(píng)的概率大的