中考數(shù)學知識點總結(jié)2

中者檄學總復習資科

代檄局都

第一*..實撤

根底學問點：

一、實數(shù)的分類：

^f［正整數(shù)、

整數(shù)零

有理數(shù)［負整數(shù)有限小數(shù)或無限循環(huán)〃數(shù)

實數(shù)正分數(shù)

分數(shù)

負分數(shù)

'正無理數(shù)

無理數(shù)無限不循環(huán)小數(shù)

.負無理數(shù).

1、有理數(shù)：任何一個有理數(shù)總可以寫成K的形式，其中p、q是互質(zhì)的整

數(shù)，這是有理數(shù)的重要特征。

2、無理數(shù)：初中遇到的無理數(shù)有三種：開不盡的方根，如母、V4；特

定構(gòu)造的不限環(huán)無限小數(shù)，如1.1001……；特定意義的數(shù)，如“、sin45°

等。

3、推斷一個實數(shù)的數(shù)性不能僅憑外表上的感覺，往往要經(jīng)過整理化簡后才

下結(jié)論。

二、實數(shù)中的幾個概念

1、相反數(shù)：只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)。

(1)實數(shù)a的相反數(shù)是-a；(2)a和b互為相反數(shù)Oa+b=0

2、倒數(shù)：

(1)實數(shù)a(a￥0)的倒數(shù)是L；(2)a和b互為倒數(shù)Oah=1；(3)

留意0沒有倒數(shù)

3、確定值：

(1)一個數(shù)a確實定值有以下三種狀況:

a,a>0

|?|-<0,a-0

—a,aY0

（2）實數(shù)確實定值是一個非負數(shù)，從數(shù)軸上看，一個實數(shù)確實定值，就是

數(shù)軸上表示這個數(shù)的點到原點的間隔。

（3）去掉確定值符號（化簡）必需要對確定值符號里面的實數(shù)進展數(shù)性（正、

負）確認，再去掉確定值符號。

4、n次方根

（1）平方根，算術(shù)平方根：設a20,稱土〃'叫a的平方根，而叫a的

算術(shù)平方根。

（2）正數(shù)的平方根有兩個，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；負數(shù)沒有

平方根。

（3）立方根：必叫實數(shù)a的立方根。

（4）一個正數(shù)有一個正的立方根；0的立方根是0；一個負數(shù)有一個負的

立方根。

三、實數(shù)與數(shù)軸

1、數(shù)軸：規(guī)定了原點、正方向、單位長度的直線稱為數(shù)軸。原點、正方向、

單位長度是數(shù)軸的三要素。

2、數(shù)軸上的點和實數(shù)的對應關(guān)系：數(shù)軸上的每一個點都表示一個實數(shù)，而

每一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上的唯一的點來表示。實數(shù)和數(shù)軸上的點是一一

對應的關(guān)系。

四、實數(shù)大小的比擬

1、在數(shù)軸上表示兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。

2、正數(shù)大于0；負數(shù)小于0；正數(shù)大于一切負數(shù)；兩個負數(shù)確定值大的反

而小。

五、實數(shù)的運算

1、加法：

（1）同號兩數(shù)相加，取原來的符號，并把它們確實定值相加；

（2）異號兩數(shù)相加，取確定值大的加數(shù)的符號，并用較大確實定值減去較

小確實定值?？蛇\用加法交換律、結(jié)合律。

2、減法：

減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)。

3、乘法：

（1）兩數(shù)相乘，同號取正，異號取負，并把確定值相乘。

(2)n個實數(shù)相乘，有一個因數(shù)為0,積就為0；若n個非0的實數(shù)相乘,

積的符號由負因數(shù)的個數(shù)確定，當負因數(shù)有偶數(shù)個時，積為正；當負因數(shù)

為奇數(shù)個時，積為負。

(3)乘法可運用乘法交換律、乘法結(jié)合律、乘法安排律。

4、除法：

(1)兩數(shù)相除，同號得正，異號得負，并把確定值相除。

(2)除以一個數(shù)等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)。

(3)0除以任何數(shù)都等于0,0不能做被除數(shù)。

5、乘方與開方：乘方與開方互為逆運算。

6、實數(shù)的運算依次：乘方、開方為三級運算，乘、除為二級運算，力口、減

是一級運算，假如沒有括號，在同一級運算中要從左到右依次運算，不同

級的運算，先算高級的運算再算低級的運算，有括號的先算括號里的運算。

無論何種運算，都要留意先定符號后運算。

六、有效數(shù)字和科學記數(shù)法

1、科學記數(shù)法：設N>0,則N=aX10"(其中l(wèi)Wa<10,n為整數(shù))。

2、有效數(shù)字：一個近似數(shù)，從左邊第一個不是0的數(shù)，到準確到的數(shù)位為

止，全部的數(shù)字，叫做這個數(shù)的有效數(shù)字。準確度的形式有兩種：(1)準

確到那一位；(2)保存幾個有效數(shù)字。

例題：

例1、已知實數(shù)a、b在數(shù)軸上的對應點的位置如圖所示，且同下網(wǎng)。

化簡：同_|。+._區(qū)一。|

分析：從數(shù)軸上a、b兩點的位置可以看到：a<0,b>0且同>網(wǎng)

所以可得：

解：原式=-a+a+b—h+a=a

例2、若a=(—()-3,0=—($3,c=g)-3,比擬a、b、C的大小。

3

分析：a=-(1)-1;1且。Y0；c>0；所以簡潔得出:

a<b<Co

解：略

例3、若卜一2|與|b+2|互為相反數(shù)，求a+b的值

分析：由確定值非負特性，可知,―2|20,|6+2|20,又由題意可知:

,―2|+2+2|=0

所以只能是：a-2=0,b+2=0,即a=2,b=-2,所以a+b=O

解:略

例4、已知a與b互為相反數(shù)，c與d互為倒數(shù)，m確實定值是1,求

漢心一〃+加2的值。

m

解：原式=0-1+1=0

例5、計算：(1)8l994x0.1251994

解：(1)原式=(8x0.125)|珈=1網(wǎng)=1

代旅局都

第二*「代敏K

根底學問點：

一、代數(shù)式

1、代數(shù)式：用運算符號把數(shù)或表示數(shù)的字母連結(jié)而成的式子，叫代數(shù)

式。單獨一個數(shù)或者一個字母也是代數(shù)式。

2、代數(shù)式的值：用數(shù)值代替代數(shù)里的字母，計算后得到的結(jié)果叫做代

數(shù)式的值。

3、代數(shù)式的分類：

單項式

整式?

有理式多項式

代數(shù)式

分式

.無理式

二、整式的有關(guān)概念及運算

1、概念

（1）單項式：像X、7、2/y,這種數(shù)與字母的積叫做單項式。單獨

一個數(shù)或字母也是單項式。

單項式的次數(shù)：一個單項式中，全部字母的指數(shù)叫做這個單項式的次

單項式的系數(shù)：單項式中的數(shù)字因數(shù)叫單項式的系數(shù)。

（2）多項式：幾個單項式的和叫做多項式。

多項式的項：多項式中每一個單項式都叫多項式的項。一個多項式含

有幾項，就叫幾項式。

多項式的次數(shù)：多項式里，次數(shù)最高的項的次數(shù)，就是這個多項式的

次數(shù)。不含字母的項叫常數(shù)項。

升（降）幕排列：把一個多項式按某一個字母的指數(shù)從小（大）到大

（?。┑囊来闻帕衅饋?，叫做把多項式按這個字母升（降）暴排列。

（3）同類項：所含字母一樣，并且一樣字母的指數(shù)也分別一樣的項叫

做同類項。

2、運算

（1）整式的加減：

合并同類項：把同類項的系數(shù)相加，所得結(jié)果作為系數(shù)，字母及字母

的指數(shù)不變。

去括號法則：括號前面是“+”號，把括號和它前面的“+”號去掉，

括號里各項都不變；括號前面是號，把括號和它前面的號去掉,

括號里的各項都變號。

添括號法則：括號前面是“+”號，括到括號里的各項都不變；括號

前面是“-”號，括到括號里的各項都變號。

整式的加減事實上就是合并同類項，在運算時，假如遇到括號，先去

括號，再合并同類項。

（2）整式的乘除：

累的運算法則：其中m、n都是正整數(shù)

mnmn

同底數(shù)幕相乘:a*a"="""；同底數(shù)幕相除：a^a=a-t

幕的乘方積的乘方：=a"b"?

單項式乘以單項式：用它們系數(shù)的積作為積的系數(shù)，對于一樣的字母,

用它們的指數(shù)的和作為這個字母的指數(shù)；對于只在一個單項式里含有的字

母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式。

單項式乘以多項式：就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的

積相加。

多項式乘以多項式：先用一個多項式的每一項乘以另一個多項式的每

一項，再把所得的積相加。

單項除單項式：把系數(shù)，同底數(shù)幕分別相除，作為商的因式，對于只

在被除式里含有字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個因式。

多項式除以單項式：把這個多項式的每一項除以這個單項，再把所得

的商相加。

乘法公式：

平方差公式：(。+6)(。一加=。2-。2；

完全平方公式：(a+b)2+2"+〃，(a-b)2=a2-2ab+b2

三、因式分解

1、因式分解概念：把一個多項式化成幾個整式的積的形式，叫因式分

解。

2、常用的因式分解方法：

(1)提取公因式法：〃篦+〃?。+機。=〃2(a+0+c)

(2)運用公式法：

平方差公式：?2-b2=(a+bKa-b)；完全平方公式：

a2+2ab+b2=(a+h)2

(3)十字相乘法：x2+(a+b)x+ab-(x+a)(x+b~)

(4)分組分解法：將多項式的項適當分組后能提公因式或運用公式分

解。

(5)運用求根公式法：若a?+bx+c=0(。中0)的兩個根是、x2,

則有:

ax'+bx+c=a(x-x,)(x-x2)

3、因式分解的一般步驟：

(1)假如多項式的各項有公因式，那么先提公因式；

(2)提出公因式或無公因式可提，再考慮可否運用公式或十字相乘法;

(3)對二次三項式，應先嘗試用十字相乘法分解，不行的再用求根公

式法。

(4)最終考慮用分組分解法.

四、分式

A

1、分式定義：形如一的式子叫分式，其中A、B是整式，且B中含

B

有字母。

(1)分式無意義：B=0時，分式無意義；BWO時，分式有意義。

(2)分式的值為0：A=0,BW0時，分式的值等于0。

(3)分式的約分：把一個分式的分子與分母的公因式約去叫做分式的

約分。方法是把分子、分母因式分解，再約去公因式。

(4)最簡分式：一個分式的分子與分母沒有公因式時，叫做最簡分式。

分式運算的最終結(jié)果若是分式，確定要化為最簡分式。

(5)通分：把幾個異分母的分式分別化成與原來分式相等的同分母分

式的過程，叫做分式的通分。

(6)最簡公分母：各分式的分母全部因式的最高次累的積。

(7)有理式：整式和分式統(tǒng)稱有理式。

2、分式的根本性質(zhì)：

(1)4=""(M是W0的整式)；(2)

BBM

2=是NO的整式)

BB+M

(3)分式的變號法則：分式的分子，分母與分式本身的符號，變更其

中任何兩個，分式的值不變。

3、分式的運算：

(1)力口、減：同分母的分式相加減，分母不變，分子相加減；異分母

的分式相加減，先把它們通分成同分母的分式再相加減。

(2)乘：先對各分式的分子、分母因式分解，約分后再分子乘以分子,

分母乘以分母。

(3)除：除以一個分式等于乘上它的倒數(shù)式。

(4)乘方：分式的乘方就是把分子、分母分別乘方。

五、二次根式

1、二次根式的概念：式子JZ(a20)叫做二次根式。

(1)最簡二次根式：被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式，被開方數(shù)

中不含能開得盡方的因式的二次根式叫最簡二次根式。

(2)同類二次根式：化為最簡二次根式之后，被開方數(shù)一樣的二次根

式，叫做同類二次根式。

(3)分母有理化：把分母中的根號化去叫做分母有理化。

(4)有理化因式：把兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，假如它們的積

不含有二次根式，我們就說這兩個代數(shù)式互為有理化因式(常用的有理化

因式有：八與&；ay[b+c4da4b-c4d)

2、二次根式的性質(zhì)：

(1)(V^)2=a(aNO)；(2)-Ja2=同=?()；(3)

[-a(a<0)

-Tab=4a-y[b(a20,b20)；(4)'=親心0,…)

3、運算：

(1)二次根式的加減：將各二次根式化為最簡二次根式后，合并同類

二次根式。

(2)二次根式的乘法：4a-4b=4ab(a20,b20)。

(3)二次根式的除法：脂

^(a>Q,b>Q)

二次根式運算的最終結(jié)果假如是根式，要化成最簡二次根式。

例題：

一、因式分解：

1、提公因式法：

例1、24](x-y)+6b2(y—x)

分析：先提公因式，后用平方差公式

解：略

[規(guī)律總結(jié)]因式分解本著先提取，后公式等，但應把第一個因式都分

解到不能再分解為止，往往需要對分解后的每一個因式進展最終的審查，

假如還能分解，應接著分解。

2、十字相乘法：

例2、(1)X，-5廠一36；(2)(x+y)~—4(x+y)—12

分析：可看成是和(x+y)的二次三項式，先用十字相乘法，初步分

解。

解：略

［規(guī)律總結(jié)］應用十字相乘法時，留意某一項可是單項的一字母，也可

是某個多項式或整式，有時還需要連續(xù)用十字相乘法。

3、分組分解法：

例3、+2x--x-2

分析：先分組，第一項和第二項一組，第三、第四項一組，后提取，

再公式。

解:略

［規(guī)律總結(jié)］對多項式適當分組轉(zhuǎn)化成根本方法因式分組，分組的目的

是為了用提公因式，十字相乘法或公式法解題。

4、求根公式法：

例4、x2+5x+5

解：略

二、式的運算

巧用公式

1,1,

例5、計?算：(1---------)2—(1+——)2

a-ba-b

分析：運用平方差公式因式分解，使分式運算簡潔化。

解：略

［規(guī)律總結(jié)］抓住三個乘法公式的特征，敏捷運用，特殊要駕馭公式的

幾種變形，公式的逆用，駕馭運用公式的技巧，使運算簡便準確。

2、化簡求值：

例6、先化簡，再求值：5x2-(3x2+5x2)+(4y2+Ixy),其中x二—

1y=1—V2

解：略

［規(guī)律總結(jié)］確定要先化到最簡再代入求值，留意去括號的法則。

3、分式的計算：

例7、化簡上^+（*-—。一3）

2a-6a-3

a2-9

分析：-a—3可看成一--

a—3

解：略

［規(guī)律總結(jié)］分式計算過程中：（1）除法轉(zhuǎn)化為乘法時，要倒轉(zhuǎn)分子、

分母；（2）留意負號

4、根式計算

例8、已知最簡二次根式后TT和J口是同類二次根式，求b的

值。

分析：根據(jù)同類二次根式定義可得：2b+l=7-b。

解：略

［規(guī)律總結(jié)］二次根式的性質(zhì)和運算是中考必考內(nèi)容，特殊是二次根式

的化簡、求值及性質(zhì)的運用是中考的主要考察內(nèi)容。

然檄局都

第三才，方程和方程位

根底學問點：

一、方程有關(guān)概念

1、方程：含有未知數(shù)的等式叫做方程。

2、方程的解：使方程左右兩邊的值相等的未知數(shù)的值叫方程的解，含

有一個未知數(shù)的方程的解也叫做方程的根。

3、解方程：求方程的解或方推斷方程無解的過程叫做解方程。

4、方程的增根：在方程變形時，產(chǎn)生的不合適原方程的根叫做原方程

的增根。

二、一元方程

1、一元一次方程

（1）一元一次方程的標準形式：ax+b=O（其中x是未知數(shù)，a、b是

已知數(shù)，aWO)

(2)一玩一次方程的最簡形式：ax=b(其中x是未知數(shù)，a、b是已

知數(shù)，aWO)

(3)解一元一次方程的一般步驟：去分母、去括號、移項、合并同類

項和系數(shù)化為1。

(4)一元一次方程有唯一的一個解。

2、一元二次方程

(1)一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=Q(其中x是未知數(shù),

a、b、c是已知數(shù)，aWO)

(2)一元二次方程的解法：干脆開平方法、配方法、公式法、因式

分解法

(3)一元二次方程解法的選擇依次是：先特殊后一般，假如沒有要求,

一般不用配方法。

(4)一元二次方程的根的判別式：△=/—4ac

當△>0時o方程有兩個不相等的實數(shù)根；

當A=0時O方程有兩個相等的實數(shù)根；

當A<0時O方程沒有實數(shù)根，無解；

當A時O方程有兩個實數(shù)根

(5)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：

若不，%2是一元二次方程62+"+c=0的兩個根，那么：

bc

$+/=——，X,"X,=—

aa

(6)以兩個數(shù)再，聲為根的一元二次方程(二次項系數(shù)為1)是：

2

X-(X]+x2)x+xtx2-0

三、分式方程

(1)定義：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程。

(2)分式方程的解法：

一般解法：去分母法，方程兩邊都乘以最簡公分母。

特殊方法：換元法。

(3)檢驗方法：一般把求得的未知數(shù)的值代入最簡公分母，使最簡公

分母不為0的就是原方程的根;使得最簡公分母為0的就是原方程的增根,

增根必需舍去，也可以把求得的未知數(shù)的值代入原方程檢驗。

四、方程組

1、方程組的解：方程組中各方程的公共解叫做方程組的解。

2、解方程組：求方程組的解或推斷方程組無解的過程叫做解方程組

3、一次方程組：

(1)二元一次方程組：

a,x+b.y=c.

一般形式：＜(勾,心,仇,仇2，＜?2不全為0)

a2x+b2y=c2

解法：代入消遠法和加減消元法

解的個數(shù)：有唯一的解，或無解，當兩個方程一樣時有多數(shù)的解。

(2)三元一次方程組：

解法：代入消元法和加減消元法

4、二元二次方程組：

(1)定義：由一個二元一次方程和一個二元二次方程組成的方程組以

及由兩個二元二次方程組成的方程組叫做二元二次方程組。

(2)解法：消元，轉(zhuǎn)化為解一元二次方程，或者降次，轉(zhuǎn)化為二元一

次方程組。

考點與命題趨向分析

例題：

一、一元二次方程的解法

例1、解下列方程：

(1)；(X+3)2=2；(2)2/+3X=1；(3)4(X+3)2=25(x—2產(chǎn)

分析：(1)用干脆開方法解；(2)用公式法；(3)用因式分解法

解：略

［規(guī)律總結(jié)］假如一元二次方程形如(x+m)2=〃(〃20),就可以用干脆開

方法來解；利用公式法可以解任何一個有解的一元二次方程，運用公式法

解一元二次方程時，確定要把方程化成一般形式。

例2、解下列方程：

(1)/-a(3x-2a+。)=0(x為未知數(shù))；(2)x2+2ax-8a2=0

分析：(1)先化為一般形式，再用公式法解；(2)干脆可以十字相乘法因

式分解后可求解。

解：略

［規(guī)律總結(jié)］對于帶字母系數(shù)的方程解法和一般的方程沒有什么區(qū)分，在用

公式法時要留意推斷△的正負。

二、分式方程的解法：

例3、解下列方程：

,、21，/、X:+26x.

(2)7=-----1；(2)-----+——=5

1一X'x+1xx~+2

分析：(1)用去分母的方法；(2)用換元法

解：略

［規(guī)律總結(jié)］一般的分式方程用去分母法來解，一些具有特殊關(guān)系如：有平

方關(guān)系，倒數(shù)關(guān)系等的分式方程，可采納換元法來解。

三、根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系

例4、已知關(guān)于x的方程：(2-1)/+22彳+°+3=0有兩個相等的實數(shù)

根，求p的值。

分析：由題意可得△=(),把各系數(shù)代入△=()中就可求出p,但要先化為一

般形式。

解：略

［規(guī)律總結(jié)］對于根的判別式的三種狀況要很嫻熟，還有要特殊留意二次項

系數(shù)不能為0

例5、已知a、b是方程Y—Jix-l=O的兩個根，求下列各式的值：

,,11

(1)a~+b~；(2)-+-

ab

分析：先算出a+b和ab的值，再代入把(1)(2)變形后的式子就可求出

解。

［規(guī)律總結(jié)］此類題目都是先算出兩根之和和兩根之積，再把要求的式子變

形成含有兩根之和和兩根之積的形式，再代入計算。但要留意檢驗一下方

程是否有解。

例6、求作一個一元二次方程，使它的兩個根分別比方程/一%一5=0的

兩個根小3

分析：先出求原方程的兩根之和玉+%2和兩根之積龍1彳2再代入求出

(%-3)+32-2)和(再-3)(%-3)的值,所求的方程也就簡潔寫出來。

解：略

［規(guī)律總結(jié)］此類題目可以先解出第一方程的兩個解，但有時這樣又太困難,

用根與系數(shù)的關(guān)系就比擬簡潔。

三、方程組

例7、解下列方程組:

x+y-2z-1

2x+3y=3

（1）V(2)<2x-y-z-5

x-2y-5

x+y+3z=4

分析：（1）用加減消元法消x較簡潔；（2）應當先用加減消元法消去y,

變成二元一次方程組，較易求解。

解：略

［規(guī)律總結(jié)］加減消元法是最常用的消元方法，消元時那個未知數(shù)的系數(shù)最

簡潔就先消那個未知數(shù)。

例8、解下列方程組：

⑴4x+,y=73x2-xy-4y2-3x+4y=0

xy-12x2+y2-25

分析：（1）可用代入消遠法，也可用根與系數(shù)的關(guān)系來求解；（2）要先把

第一個方程因式分解化成兩個二元一次方程，再與第二個方程分別組成兩

個方程組來解。

解：略

［規(guī)律總結(jié)］對于一個二元一次方程和一個二元二次方程組成的方程組一般

用代入消元法，對于兩個二元二次方程組成的方程組，確定要先把其中一

個方程因式分解化為兩個一次方程再和第二個方程組成兩個方程組來求

解。

代秋局都

第四幸，村方程（做）解成用發(fā)

學問點：

一、列方程（組）解應用題的一般步驟

1、審題：

2、設未知數(shù)；

3、找出相等關(guān)系，列方程（組）；

4、解方程（組）：

5、檢驗，作答；

二、列方程（組）解應用題常見類型題及其等量關(guān)系；

1、工程問題

（1）根本工作量的關(guān)系：工作量=工作效率X工作時間

（2）常見的等量關(guān)系：甲的工作量+乙的工作量=甲、乙合作的工作

總量

（3）留意：工程問題常把總工程看作“1”，水池注水問題屬于工程問

題

2、行程問題

（1）根本量之間的關(guān)系：路程=速度X時間

（2）常見等量關(guān)系：

相遇問題：甲走的路程+乙走的路程=全路程

追及問題（設甲速度快）：

同時不同地：甲的時間=乙的時間；甲走的路程-乙走的路程=原來甲、

乙相距路程

同地不同時：甲的時間=乙的時間-時間差；甲的路程=乙的路程

3、水中航行問題：

順流速度=船在靜水中的速度+水流速度：

逆流速度=船在靜水中的速度-水流速度

4、增長率問題：

常見等量關(guān)系：增長后的量=原來的量+增長的量；增長的量=原來的

量X（1+增長率）；

5、數(shù)字問題：

根本量之間的關(guān)系：三位數(shù)=個位上的數(shù)+十位上的數(shù)X10+百位上的

數(shù)X100

三、列方程解應用題的常用方法

1、譯式法：就是將題目中的關(guān)鍵性語言或數(shù)量及各數(shù)量間的關(guān)系譯成

代數(shù)式，然后根據(jù)代數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)絡找出等量關(guān)系。

2、線示法：就是用同始終線上的線段表示應用題中的數(shù)量關(guān)系，然后

根據(jù)線段長度的內(nèi)在聯(lián)絡，找出等量關(guān)系。

3、列表法：就是把已知條件和所求的未知量納入表格，從而找出各種

量之間的關(guān)系。

4、圖示法：就是利用圖表示題中的數(shù)量關(guān)系，它可以使量與量之間的

關(guān)系更為直觀，這種方法能扶植我們更好地理解題意。

例題：

例1、甲、乙兩組工人合作完成一項工程，合作5天后，甲組另

有任務，由乙組再單獨工作1天就可完成，若單獨完成這項工程乙組比甲

組多用2天，求甲、乙兩組單獨完成這項工程各需幾天？

分析：設工作總量為1,設甲組單獨完成工程需要x天，則乙組完成

工程需要(x+2)天，等量關(guān)系是甲組5天的工作量+乙組6天的工作量=工作

總量

解：略

例2、某部隊奉命派甲連跑步前往90千米外的A地，1小時45分后，

因任務需要,又增派乙連乘車前往支援，已知乙連比甲連每小時快28千米,

恰好在全程的,處追上甲連。求乙連的行進速度及追上甲連的時間

3

分析：設乙連的速度為v千米/小時，追上甲連的時間為t小時，則甲

連的速度為(v-28)千米/小時，這時乙連行了(/+」)小時，其等量關(guān)系

4

為：甲走的路程=乙走的路程=30

解：略

例3、某工廠原安排在規(guī)定期限內(nèi)消費通訊設備60臺支援抗洪，由于

改良了操作技術(shù)；每天消費的臺數(shù)比原安排多50%,結(jié)果提早2天完成任

務，求改良操作技術(shù)后每天消費通訊設備多少臺？

分析：設原安排每天消費通訊設備x臺，則改良操作技術(shù)后每天消費

x(1+0.5)臺，等量關(guān)系為：原安排所用時間-改良技術(shù)后所用時間=2天

解：略

例4、某商廈今年一月份銷售額為60萬元，二月份由于種種緣由，經(jīng)

營不善，銷售額下降10%,以后經(jīng)加強管理，又使月銷售額上升，到四月

份銷售額增加到96萬元，求三、四月份平均每月增長的百分率是多少？

分析：設三、四月份平均每月增長率為X%,二月份的銷售額為60

(1-10%)萬元，三月份的銷售額為二月份的(1+x)倍，四月份的銷售額

又是三月份的(1+x)倍，所以四月份的銷售額為二月份的(1+x)2倍，

等量關(guān)系為：四月份銷售額為=96萬元。

解：略

例5、一年期定期儲蓄年利率為2.25%,所得利息要交納20%的利息

稅，例如存入一年期100元，到期儲戶納稅后所得到利息的計算公式為：

稅后利息

-100x2.25%-100x2.25%x20%=100x2.25%(1-20%)

已知某儲戶存下一筆一年期定期儲蓄到期納稅后得到利息是450元，

問該儲戶存入了多少本金？

分析：設存入x元本金，則一年期定期儲蓄到期納稅后利息為

2.25%(l-20%)x元，方程簡潔得出。

例6、某商場銷售一批名牌襯衫，平均每天售出20件，每件盈利40

元，為了擴大銷售，增加盈利，削減庫存，商場確定實行適當?shù)慕档捅惧X

措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)覺，假如每件襯衫每降價1元，商場平均每天可多售出2

件。若商場平均每天要盈利1200元，每件襯衫應降價多少元？

分析：設每件襯衫應當降價x元，則每件襯衫的利潤為(40-x)元，

平均每天的銷售量為(20+2x)件，由關(guān)系式：

總利潤=每件的利潤X售出商品的叫量，可列出方程

解：略

代檄局部

第4#；系等K4不等蚊短

學問點：

一、不等式與不等式的性質(zhì)

1、不等式：表示不等關(guān)系的式子。(表示不等關(guān)系的常用符號：w,

<,>)?

2、不等式的性質(zhì)：

(1)不等式的兩邊都加上(或減去)同一個數(shù)，不等號方向不變更，

如a>b.c為實數(shù)=>a+c>b+c

(2)不等式兩邊都乘以(或除以)同一個正數(shù)，不等號方向不變，如

a>b,c>0=>ac>bc?

(3)不等式兩邊都乘以(或除以)同一個負數(shù)，不等號方向變更，如

a>b,c<0=ac〈bc.

注：在不等式的兩邊都乘以(或除以)一個實數(shù)時，確定要養(yǎng)成好的

習慣、就是先確定該數(shù)的數(shù)性(正數(shù)，零，負數(shù))再確定不等號方向是否

變更，不能像應用等式的性質(zhì)那樣隨意，以防出錯。

3、隨意兩個實數(shù)a,b的大小關(guān)系(三種)：

(1)a-b>0Oa>b

(2)a-b=0<=>a=b

(3)a-b<0Oa<b

4、(1)a>b>0<=>4a>4b

(2)a>b>0<=>a2<b2

二、不等式(組)的解、解集、解不等式

1、能使一個不等式（組）成立的未知數(shù)的一個值叫做這個不等式（組）

的一個解。

不等式的全部解的集合，叫做這個不等式的解集。

不等式組中各個不等式的解集的公共局部叫做不等式組的解集。

2.求不等式（組）的解集的過程叫做解不等式（組）。

三、不等式（組）的類型及解法

1、一元一次不等式：

（1）概念：含有一個未知數(shù)并且含未知數(shù)的項的次數(shù)是一次的不等式,

叫做一元一次不等式。

（2）解法：與解一元一次方程類似，但要特殊留意當不等式的兩邊同

乘以（或除以）一個負數(shù)時，不等號方向要變更。

2、一元一次不等式組：

（1）概念：含有一樣未知數(shù)的幾個一元一次不等式所組成的不等式組,

叫做一元一次不等式組。

（2）解法：先求出各不等式的解集，再確定解集的公共局部。

注：求不等式組的解集一般借助數(shù)軸求解較便利。

例題：

方法1：利用不等式的根本性質(zhì)

1、推斷正誤：

（1）若a>b,c為實數(shù)，貝1」。。2>兒2；

（2）ac~>be1,則a>b

分析：在⑴中，若c=0,貝Uac2=bc2；在（2）中，因為">"，

所以。CWO,否則應有敬2=4？故a>b

解:略

［規(guī)律總結(jié)］將不等式正確變形的關(guān)鍵是牢記不等式的三條根本性質(zhì)，

不等式的兩邊都乘以或除以含有字母的式子時，要對字母進展探討。

方法2：特殊值法

例2、若a<b<0,那么下列各式成立的是（）

11aa

A、一<一B、ab〈OC、一<1D、一>1

abbb

分析?：運用干脆解法解答經(jīng)常費時間，又因為答案在一般狀況下成立,

當然特殊狀況也成立，因此采納特殊值法。

解：根據(jù)a<b〈O的條件，可取a=-2,b=-1,代入檢驗，易知”>1,

b

所以選D

［規(guī)律總結(jié)］此種方法常用于解選擇題，學生學問有限，不能干脆解答

時運用特殊值法，既快，又能找到符合條件的答案。

方法3：類比法

例3、解下列一元一次不等式，并把解集在數(shù)軸上表示出來。

X—1X—1

(I)8-2(x+2)<4x-2；(2)1----->2------

23

分析：解一元一次不等式的步驟與解一元一次方程類似，主要步驟有

去分母，去括號、移項、合并同類項，把系數(shù)化成1,需要留意的是，不

等式的兩邊同時乘以或除以同一個負數(shù)，不等號要變更方向。

解：略

［規(guī)律總結(jié)］解一元一次不等式與解一元一次方程的步驟類似，但要留

意當不等式的兩邊都乘以或除以同一個負數(shù)時，不等號的方向必需變更，

類比法解題，使學生簡潔理解新學問和駕馭新學問。

方法4：數(shù)形結(jié)合法

-2(x+8)<10-4(x-3)

例4、求不等式組：［x+］6X+7的非負整數(shù)解

-----------<1

I23

分析：要求一個不等式組的非負整數(shù)解，就應先求出不等式組的解集,

再從解集中找出其中的非負整數(shù)解。

解：略

方法5：逆向思索法

例5、已知關(guān)于x的不等式(a-2)x>10—a的解集是x>3,求a的

值。

分析：因為關(guān)于x的不等式的解集為x>3,與原不等式的不等號同向，

所以有a-2>0,即原不等式的解集為12Z@=3解此方程求

(1一2a—2

出a的值。

解：略

［規(guī)律總結(jié)］此題先解字母不等式，后著眼已知的解集，探求成立的條

件，此種類型題都采納逆向思索法來解。

代檄局部

第幺*/匹裁冬像

學問點：

一、平面直角坐標系

1、平面內(nèi)有公共原點且相互垂直的兩條數(shù)軸，構(gòu)成平面直角坐標系。

在平面直角坐標系內(nèi)的點和有序?qū)崝?shù)對之間建立了一一對應的關(guān)系。

2、不同位置點的坐標的特征：

(1)各象限內(nèi)點的坐標有如下特征：

點P(x,y)在第一象限Ox>0,y>0；

點P(x,y)在第二象限Ox<0,y>0；

點P(x,y)在第三象限。x<0,y<0；

點P(x,y)在第四象限Ox>0,y<0o

(2)坐標軸上的點有如下特征：

點P(x,y)在x軸上Oy為0,x為隨意實數(shù)。

點P(X,y)在y軸上Ox為0,y為隨意實數(shù)。

3.點P(x,y)坐標的幾何意義：

(1)點P(x,y)到x軸的間隔是|y|；

(2)點P(x.y)到y(tǒng)袖的間隔是|x|；

(3)點P(x,y)到原點的間隔是Jx?

4.關(guān)于坐標軸、原點對稱的點的坐標的特征：

(I)點P(a,b)關(guān)于x軸的對稱點是片(a,一切；

(2)點P(a,b)關(guān)于x軸的對稱點是￡(—。/)；

(3)點P(a,b)關(guān)于原點的對稱點是鳥(一。,一切；

二、函數(shù)的概念

1、常量和變量：在某一變更過程中可以取不同數(shù)值的量叫做變量；保

持數(shù)值不變的量叫做常量。

2、函數(shù)：一般地，設在某一變更過程中有兩個變量x和y,假如對于

x的每一個值，y都有唯一的值與它對應，那么就說x是自變量，y是x的

函數(shù)。

(1)自變量取值范圍確實是：

①解析式是只含有一個自變量的整式的函數(shù)，自變量取值范圍是全體

實數(shù)。

②解析式是只含有一個自變量的分式的函數(shù)，自變量取值范圍是使分

母不為0的實數(shù)。

③解析式是只含有一個自變量的偶次根式的函數(shù)，自變量取值范圍是

使被開方數(shù)非負的實數(shù)。

留意：在確定函數(shù)中自變量的取值范圍時，假如遇到實際問題，還必

需使實際問題有意義。

(2)函數(shù)值:給自變量在取值范圍內(nèi)的一個值所求得的函數(shù)的對應值。

(3)函數(shù)的表示方法：①解析法；②列表法；③圖像法

(4)由函數(shù)的解析式作函數(shù)的圖像，一般步驟是：①列表；②描點；

③連線

三、兒種特殊的函數(shù)

1、一次函數(shù)

自變量的

函數(shù)解析式國像性質(zhì)

取值范圍

正比例y=kx全體

函數(shù)(k#0)實數(shù)

①當

k>0時y

隨X的增大而

增

大

②

當kV0時y

隨X的增大而

減

小

y=kx

一次全體

+b

函數(shù)實數(shù)

(ka0)

直線位置與k,b的關(guān)系：

(1)k>0直線向上的方向與x軸的正方向所形成的夾角為銳角;

(2)k<0直線向上的方向與x軸的正方向所形成的夾角為鈍角;

(3)b>0直線與y軸交點在x軸的上方；

(4)b=0直線過原點；

(5)b<0直線與y軸交點在x軸的下方；

2、二次函數(shù)

自變量的

函數(shù)解析式圖像(拋物線)

取值范國

?r

*

(1)一般式:y=M+bx+c

(ar0)

⑵頂點式:y=a(x-m)2+n全體

二次

數(shù)

頂點為(m,n)實

函數(shù)

(3)兩根式：2a

y=a(xf)(x-X2)與

X軸兩交點：(X],O)(X2,O)a>0a<0

：>0-<o

-2-2a

拋物線位置與a,b,c的關(guān)系:

。〉00開口向上

(1)a確定拋物線的開口方向《

a<0o開口向下

(2)c確定拋物線與y軸交點的位置：

c>0O圖像與y軸交點在x軸上方；c=0O圖像過原點；c<OU>圖像

與y軸交點在x軸下方；

(3)a,b確定拋物線對稱軸的位置：a,b同號，對稱軸在y軸左側(cè)；

b=0,對稱軸是y軸；a,b異號。對稱軸在y軸右側(cè)；

3、反比例函數(shù)：

函數(shù)解析式歌器圖像(雙曲線)性質(zhì)

①k>0時，困像的兩個分

分別在一、三象限，在每

象限內(nèi)，隨的增大而

反比x40yX

??；

例y=T的

時，圖像的兩個分

函數(shù)(k40)實數(shù)②k<0

分別在二、四象限，在每

象限內(nèi)，y隨x的增大而

大

k<0

4、正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的比照表:

函數(shù)正比例函數(shù)反比例函數(shù)

解析式y(tǒng)=kx(k^O)

圖像直線，經(jīng)過原點雙曲線，與坐標軸沒有交點

自變量取值范圍全體實數(shù)xr0的一切實數(shù)

圖像的位置當人>0時，在一、三象限；當A>0時，在一、三象限；

當人<0時，在二、四象限。當A<0時，在二、四象限。

性質(zhì)當人>0時,y隨比增大而增大；當A>0時,y隨x增大而減??；

當人<0時,y施力的增大而減小。當A<O*,y施*增大而增支。

例題：

例1、正比例函數(shù)圖象與反比例函數(shù)圖象都經(jīng)過點P(m,4),已知點P

至Ijx軸的間隔是到y(tǒng)軸的間隔2倍.

⑴求點P的坐標.；

⑵求正比例函數(shù)、反比例函數(shù)的解析式。

分析：由點P到x軸的間隔是到y(tǒng)軸的間隔2倍可知：2：m|=4,易

求出點P的坐標，再利用待定系數(shù)法可求出這正、反比例函數(shù)的解析式。

解：略

例2、已知a,b是常數(shù)，且y+b與x+a成正比例.求證：y是x的一次

函數(shù).

分析：應寫出y+b與x+a成正比例的表達式，然后推斷所得結(jié)果是否符

合一次函數(shù)定義.

證明：由已知，有y+b=k(x+a),其中k#0.

整理，得y=kx+(ka—b).①

因為kWO且ka—b是常數(shù)，故y=kx+(ka—b)是x的一次函數(shù)式.

例3、填空：假如直線方程ax+by+c=O中，a<0,b<0且bc<0,則此

直線經(jīng)過第象限.

nC

分析：先把ax+by+c=O化為---X---,因為aVO,b<0,所以

bb

->0,--<0,又bc<0,即￡<0,故一￡>0.相當于在一次函數(shù)y=kx+l

bbbb

中，k=--<o,l=-->o,此直線與y軸的交點(0,一￡)在X軸上方.

bbb

且此直線的向上方向與x軸正方向所成角是鈍角，所以此宜線過第一、二、

四象限.

例4、把反比例函數(shù)y=七與二次函數(shù)y=kx“kWO)畫在同■—個坐標系

x

里，正確的是().

答：選(D).這兩個函數(shù)式中的k的正、負號應一樣(圖13—110).

圖13-110

例5、畫出二次函數(shù)y=x^6x+7的圖象，根據(jù)圖象答復下列問題：

(1)當x=-l,1,3時y的值是多少？

(2)當y=2時，對應的x值是多少？

(3)當x>3時，隨x值的增大y的值怎樣變更？

(4)當x的值由3增加1時，對應的y值增加多少？

分析：要畫出這個二次函數(shù)的圖象，首先用配方法把y=x?-6x+7變形

為y=(x-3)J2,確定拋物線的開口方向、對稱軸、頂點坐標，然后列表、

描點、畫圖.

解：圖象略.

例6、拖拉機開場工作時，油箱有油45升，假如每小時耗油6升.

(1)求油箱中的余油量Q(升)與工作時間t(時)之間的函數(shù)關(guān)系

式；

(2)畫出函數(shù)的圖象.

答：(1)Q=45-6t.

(2)圖象略.留意：這是實際問題，圖象只能由自變量t的取值范

圍0WtW7.5確定是一條線段，而不是直線.

代破局都

第七本,,統(tǒng)計初步

學問點：

一、總體和樣本：

在統(tǒng)計時，我們把所要考察的對象的全體叫做總體，其中每一考察對

象叫做個體。從總體中抽取的一局部個體叫做總體的一個樣本，樣本中個

體的數(shù)目叫做樣本容量。

二、反映數(shù)據(jù)集中趨勢的特征數(shù)

1、平均數(shù)

-1

(1)項，工2，工3,…，X”的平均數(shù)，X=—(X]+%2+…+%)

n

(2)加權(quán)平均數(shù)：假如n個數(shù)據(jù)中，天出現(xiàn)力次，/出現(xiàn)人次，……，

匕出現(xiàn)/次(這里工+△+…+/=〃)，則

—1

X=-(Xlfl+x2f2+…+x")

n

(3)平均數(shù)的簡化計算：

當一組數(shù)據(jù)項,￡,七,…,X“中各數(shù)據(jù)的數(shù)值較大，并且都與常數(shù)a接

近時，設X|-。,/一。,彳3一。，…，居的平均數(shù)為了'則：x=x'+a。

2、中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)接從小到大的依次排列，處在最中間位置上的

數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，假如數(shù)據(jù)的個數(shù)為偶數(shù)中位數(shù)就是處在中間

位置上兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)。

3、眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)。

一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)可能不止一個。

三、反映數(shù)據(jù)波動大小的特征數(shù)：

1、方差：

(1)x1,x2,x3,???,X?的方差，

2

c2(^1-xy+(x2-X)H----|-(x-X)*

3=----------------------------------