人教A版(新教材)高中數(shù)學選擇性必修第三冊課時作業(yè)4：7 4 2 超幾何分布練習

人教A版(新教材)高中數(shù)學選擇性必修第三冊PAGEPAGE17.4.2超幾何分布1．盒中有4個白球，5個紅球，從中任取3個球，則取出1個白球和2個紅球的概率是()A.eq\f(37,42)B.eq\f(17,42)C.eq\f(10,21)D.eq\f(17,21)〖答案〗C〖解析〗根據(jù)題意，得P＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(2,5),C\o\al(3,9))＝eq\f(10,21).2．一個盒子里裝有大小相同的10個黑球，12個紅球，4個白球，從中任取2個，其中白球的個數(shù)記為X，則下列概率等于eq\f(C\o\al(1,22)C\o\al(1,4)＋C\o\al(2,22),C\o\al(2,26))的是()A．P(0<X≤2) B．P(X≤1)C．P(X＝1) D．P(X＝2)〖答案〗B〖解析〗本題相當于求至多取出1個白球的概率，即取到1個白球或沒有取到白球的概率．3．有N件產品，其中有M件次品，從中不放回地抽n件產品，抽到的次品數(shù)的均值是()A．n B.eq\f(n－1M,N)C.eq\f(nM,N) D.eq\f(n＋1M,N)〖答案〗C〖解析〗設抽到的次品數(shù)為X，則有N件產品，其中有M件次品，從中不放回地抽n件產品，抽到的次品數(shù)X服從超幾何分布，∴抽到的次品數(shù)的均值E(X)＝eq\f(nM,N).4．在10個排球中有6個正品，4個次品，從中抽取4個，則正品數(shù)比次品數(shù)少的概率為()A.eq\f(5,42)B.eq\f(4,35)C.eq\f(19,42)D.eq\f(8,21)〖答案〗A〖解析〗正品數(shù)比次品數(shù)少，有兩種情況：0個正品4個次品，1個正品3個次品，由超幾何分布的概率公式可知，當0個正品4個次品時，P＝eq\f(C\o\al(4,4),C\o\al(4,10))＝eq\f(1,210)，當1個正品3個次品時，P＝eq\f(C\o\al(1,6)C\o\al(3,4),C\o\al(4,10))＝eq\f(24,210)＝eq\f(4,35)，所以正品數(shù)比次品數(shù)少的概率為eq\f(1,210)＋eq\f(4,35)＝eq\f(5,42).故選A.5．一批產品共50件，其中5件次品，45件正品，從這批產品中任意抽2件，則出現(xiàn)2件次品的概率為()A.eq\f(2,245)B.eq\f(9,49)C.eq\f(47,245)D．以上都不對〖答案〗A〖解析〗設抽到的次品數(shù)為X，則X服從超幾何分布，其中N＝50，M＝5，n＝2.于是出現(xiàn)2件次品的概率為P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,5)C\o\al(2－2,45),C\o\al(2,50))＝eq\f(2,245).6．某手機經銷商從已購買某品牌手機的市民中抽取20人參加宣傳活動，這20人中年齡低于30歲的有5人．現(xiàn)從這20人中隨機選取2人各贈送一部手機，記X為選取的年齡低于30歲的人數(shù)，則P(X＝1)＝________.〖答案〗eq\f(15,38)〖解析〗易知P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,5)C\o\al(1,15),C\o\al(2,20))＝eq\f(15,38).7．有10件產品，其中3件是次品，從中任取兩件，若X表示取得次品的個數(shù)，則P(X<2)＝________，隨機變量X的均值E(X)＝________.〖答案〗eq\f(14,15)0.6〖解析〗X表示取得次品的個數(shù)，則X服從超幾何分布，所以P(X<2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(0,3)C\o\al(2,7),C\o\al(2,10))＋eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,7),C\o\al(2,10))＝eq\f(7,15)＋eq\f(7,15)＝eq\f(14,15)，E(X)＝eq\f(2×3,10)＝0.6.8．數(shù)學教師從6道習題中隨機抽3道讓同學檢測，規(guī)定至少要解答正確2道題才能及格．某同學只能求解其中的4道題，則他能及格的概率是________．〖答案〗eq\f(4,5)〖解析〗設X表示解答正確的題的個數(shù)，由超幾何分布的概率公式可得，他能及格的概率是P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(1,2),C\o\al(3,6))＋eq\f(C\o\al(3,4)C\o\al(0,2),C\o\al(3,6))＝eq\f(4,5).9．從4的人數(shù)．(1)求ξ的分布列；(2)求“所選3人中女生人數(shù)ξ≤1”的概率．解(1)ξ可能取的值為0,1,2，服從超幾何分布，P(ξ＝k)＝eq\f(C\o\al(k,2)·C\o\al(3－k,4),C\o\al(3,6))，k＝0,1,2.所以，P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(0,2)C\o\al(3,4),C\o\al(3,6))＝eq\f(1,5)，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(2,4),C\o\al(3,6))＝eq\f(3,5)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(1,4),C\o\al(3,6))＝eq\f(1,5).所以，ξ的分布列為ξ012Peq\f(1,5)eq\f(3,5)eq\f(1,5)(2)由(1)知，“所選3人中女生人數(shù)ξ≤1”的概率為P(ξ≤1)＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＝eq\f(4,5).10．從某批產品中，有放回地抽取產品二次，每次隨機抽取1件，假設事件A“取出的2件產品都是二等品”的概率P(A)＝0.04.(1)求從該批產品中任取1件是二等品的概率；(2)若該批產品共10件，從中任意抽取2件，X表示取出的2件產品中二等品的件數(shù)，求X的分布列．解(1)設任取一件產品是二等品的概率為p，依題意有P(A)＝p2＝0.04，解得p1＝0.2，p2＝－0.2(舍去)，故從該批產品中任取1件是二等品的概率為0.2.(2)若該批產品共10件，由(1)知其二等品有10×0.2＝2(件)，故X的可能取值為0,1,2.P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(2,8),C\o\al(2,10))＝eq\f(28,45)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,8)C\o\al(1,2),C\o\al(2,10))＝eq\f(16,45)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,10))＝eq\f(1,45).所以X的分布列為X012Peq\f(28,45)eq\f(16,45)eq\f(1,45)11．(多選)10名同學中有a名女生，若從中抽取2個人作為學生代表，恰抽取1名女生的概率為eq\f(16,45)，則a等于()A．1B．2C．4D．8〖答案〗BD〖解析〗由題意知，eq\f(16,45)＝eq\f(C\o\al(1,10－a)C\o\al(1,a),C\o\al(2,10))，整理，得a2－10a＋16＝0，解得a＝2或8.12．盒中有10個螺絲釘，其中有3個是壞的，現(xiàn)從盒中隨機地抽取4個，則概率是eq\f(3,10)的事件為()A．恰有1個是壞的 B．4個全是好的C．恰有2個是好的 D．至多有2個是壞的〖答案〗C〖解析〗設“X＝k”表示“取出的螺絲釘恰有k個是好的”，則P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,7)C\o\al(4－k,3),C\o\al(4,10))(k＝1,2,3,4)．所以P(X＝1)＝eq\f(1,30)，P(X＝2)＝eq\f(3,10)，P(X＝3)＝eq\f(1,2)，P(X＝4)＝eq\f(1,6)，故選C.13．一只袋內裝有m個白球，(n－m)個黑球，所有的球除顏色外完全相同，連續(xù)不放回地從袋中取球，直到取出黑球為止，設此時取出了X個白球，則下列概率等于eq\f(n－mA\o\al(2,m),A\o\al(3,n))的是()A．P(X＝3) B．P(X≥2)C．P(X≤3) D．P(X＝2)〖答案〗D〖解析〗當X＝2時，即前2個拿出的是白球，第3個是黑球，前2個拿出白球，有Aeq\o\al(2,m)種取法，再任意拿出1個黑球即可，有Ceq\o\al(1,n－m)種取法，而在這3次拿球中可以認為按順序排列，此排列順序即可認為是依次拿出的球的順序，即Aeq\o\al(3,n)，P(X＝2)＝eq\f(A\o\al(2,m)C\o\al(1,n－m),A\o\al(3,n))＝eq\f(n－mA\o\al(2,m),A\o\al(3,n)).故選D.14．某學校實行自主招生，參加自主招生的學生從8個試題中隨機挑選4個進行作答，至少答對3個才能通過初試，已知在這8個試題中甲能答對6個，則甲通過自主招生初試的概率為________，記甲答對試題的個數(shù)為X，則X的均值E(X)＝________.〖答案〗eq\f(11,14)3〖解析〗依題意，甲能通過的概率為P(X＝3)＋P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(3,6),C\o\al(4,8))＋eq\f(C\o\al(0,2)C\o\al(4,6),C\o\al(4,8))＝eq\f(8,14)＋eq\f(3,14)＝eq\f(11,14).由于P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(2,6),C\o\al(4,8))＝eq\f(3,14)，方法一故E(X)＝2×eq\f(3,14)＋3×eq\f(8,14)＋4×eq\f(3,14)＝3.方法二E(X)＝eq\f(4×6,8)＝3.15．50張彩票中只有2張中獎票，今從中任取n張，為了使這n張彩票里至少有一張中獎的概率大于0.5，n至少為________．〖答案〗15〖解析〗用X表示中獎票數(shù)，P(X≥1)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(n－1,48),C\o\al(n,50))＋eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(n－2,48),C\o\al(n,50))>0.5，解得n≥15.16．求：(1)取出的3件產品中一等品件數(shù)為X的分布列；(2)取出的3件產品中一等品件數(shù)多于二等品件數(shù)的概率．解(1)由于從10件產品中任取3件的結果數(shù)為Ceq\o\al(3,10)，從10件產品中任取3件，其中恰有k件一等品的結果數(shù)為Ceq\o\al(k,3)Ceq\o\al(3－k,7)，那么從10件產品中任取3件，其中恰有k件一等品的概率為P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,3)C\o\al(3－k,7),C\o\al(3,10))，k＝0,1,2,3.∴隨機變量X的分布列為X0123Peq\f(7,24)eq\f(21,40)eq\f(7,40)eq\f(1,120)(2)設“取出的3件產品中一等品件數(shù)多于二等品件數(shù)”為事件A，“恰好取出1件一等品和2件三等品”為事件A1，“恰好取出2件一等品”為事件A2，“恰好取出3件一等品”