湖北省宜昌市協(xié)作體2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題 含解析

宜昌市協(xié)作體高二期中考試數(shù)學(xué)考生注意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分．滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清楚．3.考生作答時(shí)，請將答案答在答題卡上．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效．4.本卷命題范圍：人教A版必修第二冊第十章，選擇性必修第一冊第一章~第二章第3節(jié)．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.直線和直線的位置關(guān)系為（）A.垂直 B.平行 C.重合 D.相交但不垂直【答案】A【解析】【分析】求得兩條直線的斜率，從而判斷出兩條直線的位置關(guān)系.【詳解】直線和直線的斜率分別為，，因?yàn)椋?故選：A2.已知向量，，且，則（）A. B. C.1 D.0【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量垂直列方程，由此求得的值.【詳解】因?yàn)?，故，?故選：C3.已知直線l的一個方向向量為，則直線l的傾斜角為（）A.0 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用方向向量求出直線斜率即可求出傾斜角.【詳解】因?yàn)橹本€l的一個方向向量為，所以l的斜率，又，所以，因?yàn)椋?故選：D.4.袋子中有一些大小質(zhì)地完全相同的紅球、白球和黑球，從中任意摸出一球，摸出的球是紅球或白球的概率為0.56，摸出的球是紅球或黑球的概率為0.68，則摸出的球是白球或黑球的概率為（）A.0.64 B.0.72 C.0.76 D.0.82【答案】C【解析】【分析】根據(jù)互斥事件的概率公式即可求解.【詳解】設(shè)摸出紅球的概率為，摸出白球的概率為，摸出黑球的概率為，所以，，且，所以，，所以，即摸出的球是白球或黑球的概率為0.76．故選C．5.如圖，已知是邊長為1的小正方形網(wǎng)格上不共線的三個格點(diǎn)，點(diǎn)P為平面ABC外一點(diǎn)，且，，若，則（）A. B. C.6 D.【答案】B【解析】【分析】由向量的線性運(yùn)算用表示出，再用模長公式計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，則，所以.故選：B.6.已知向量，，則向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)投影向量的定義求解即可.【詳解】因?yàn)?，，所以，，則向量在向量上的投影向量為：.故選：D.7.若平面內(nèi)兩條平行線：與：間的距離為，則實(shí)數(shù)（）A.-1 B.2 C.-l或2 D.-2或l【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，利用分類討論思想，結(jié)合平行直線的性質(zhì)以及距離公式，可得答案.【詳解】①當(dāng)時(shí)，可得，，由，則此時(shí)不符合題意；②當(dāng)時(shí)，可得直線的斜率，直線的斜率，由，整理可得，則，解得或，當(dāng)時(shí)，可得，，整理方程可得，由兩平行直線之間的距離，所以此時(shí)不符合題意；當(dāng)時(shí)，可得，，整理的方程可得，由兩平行直線之間的距離，所以此時(shí)符合題意.綜上可得.故選：A.8.在正三棱錐P-ABC中，，且該三棱錐的各個頂點(diǎn)均在以O(shè)為球心的球面上，設(shè)點(diǎn)O到平面PAB的距離為m，到平面ABC的距離為n，則（）A. B. C. D.3【答案】B【解析】【分析】根據(jù)長度關(guān)系先證明出兩兩垂直，然后通過補(bǔ)形法求解出的值，再通過向量法求解出的值，則結(jié)果可知.【詳解】在正三棱錐中，，又，，所以，所以，同理可得，，即兩兩垂直，把該三棱錐補(bǔ)成一個正方體，則三棱錐的外接球就是正方體的外接球，正方體的體對角線就是外接球的直徑，易得，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則A1,0,0，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以，則點(diǎn)到平面的距離，所以，故選B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵點(diǎn)有兩個，一方面是能通過給定的長度關(guān)系確定出位置關(guān)系，同時(shí)能利用補(bǔ)形法完成計(jì)算，另一方面是能利用向量方法求解出點(diǎn)到面的距離.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知直線，則（）A.不過原點(diǎn) B.在x軸上的截距為C.的斜率為 D.與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為【答案】ACD【解析】【分析】將代入直線方程不成立，可判斷A，根據(jù)截距定義可判斷B，將直線化為斜截式方程，可判斷C，化為截距式可得D.【詳解】因?yàn)椋圆贿^原點(diǎn)，所以A正確；令，得，所以在軸上的截距為，所以B錯誤；把化為，所以的斜率為，所以C正確；把化為，所以直線l與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，所以D正確.故選：ACD.10.甲、乙兩個口袋中裝有除了編號不同外其余完全相同的號簽.其中甲袋中有編號為1，2，3的三個號簽；乙袋中有編號為1，2，3，4，5，6的六個號簽.現(xiàn)從甲、乙兩袋中各抽取1個號簽，從甲、乙兩袋抽取號簽的過程互不影響.記事件A：從甲袋中抽取號簽1；事件B：從乙袋中抽取號簽5；事件C：抽取的兩個號簽和為4；事件D：抽取的兩個號簽編號不同，則下列說法正確的是（）A. B.C.事件C與D互斥 D.事件A與事件D相互獨(dú)立【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)古典概型可判斷A，B選項(xiàng).，利用互斥事件的定義，相互獨(dú)立事件的定義及概率乘法公式判斷C，D選項(xiàng)，【詳解】對于A，樣本點(diǎn)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，共18種可能的結(jié)果，則，，A正確；對于B，事件C包含的樣本點(diǎn)有(1,3)，(3,1)，(2,2)，共3種可能的結(jié)果，則，故B正確；對于C，事件D包含的樣本點(diǎn)有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，共15種可能的結(jié)果，故事件C與D不互斥，C錯誤：對于D，，由，得A，D相互獨(dú)立，D正確.故選：ABD.11.如圖，在棱長為的正方體中，，，，分別是，，，的中點(diǎn)，則下列說法正確的有（）A.，，，四點(diǎn)共面B.與所成角的大小為C.在線段上存在點(diǎn)，使得平面D.在線段上任取一點(diǎn)，三棱錐的體積為定值【答案】AD【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的共面定理可判斷A選項(xiàng)，利用坐標(biāo)法求異面直線夾角可直接判斷B選項(xiàng)，假設(shè)在線段上存在點(diǎn)，設(shè)，，利用坐標(biāo)法驗(yàn)證線面垂直，可判斷C選項(xiàng)；分別證明與上的所有點(diǎn)到平面的距離為定值，即可判斷D選項(xiàng).【詳解】以為原點(diǎn)，以，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，，，設(shè)，則，所以，解得，故，即，，，四點(diǎn)共面，故A正確；因?yàn)?，，所以，所以與所成角的大小為，故B錯誤；假設(shè)在線段上存在點(diǎn)，符合題意，設(shè)（），則，若平面，則，,因?yàn)?，，所以，此方程組無解，所以在線段上不存在點(diǎn)，使得平面，故C錯誤；因?yàn)椋裕制矫?，平面，所以平面，故上的所有點(diǎn)到平面的距離即為到平面的距離，是定值，又的面積是定值，所以在線段上任取一點(diǎn)，三棱錐的體積為定值，故D正確；故選：AD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知直線的方程為，則坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為______.【答案】##【解析】【分析】利用點(diǎn)到直線距離公式代入計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】將直線化為一般方程可得，由點(diǎn)到直線距離公式可得坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為.故答案為：13.在長方體ABCD-A1B1C1D1中，若，則直線BD1與CD之間的距離為________.【答案】【解析】【分析】求得與，都垂直的一個向量，利用可求直線與之間的距離.【詳解】以為軸，為軸，為軸建立空間直線坐標(biāo)系，則，，，設(shè)與，都垂直的一個向量，則，取，則，，所以與BD1，CD都垂直的一個向量，所以直線與之間的距離為.故答案為：14.九宮格數(shù)獨(dú)游戲是一種訓(xùn)練推理能力數(shù)字謎題游戲.九宮格分為九個小宮格，某小九宮格如圖所示，小明需要在9個小格子中填上1~9中不重復(fù)的整數(shù)，小明通過推理已經(jīng)得到了4個小格子中的準(zhǔn)確數(shù)字，a，b，c，d，e這5個數(shù)字未知，且b，d為偶數(shù)，則的概率為________.9a7bcd4e6【答案】##【解析】【分析】將試驗(yàn)結(jié)果表示出來，然后用符合要求的試驗(yàn)數(shù)除以試驗(yàn)總數(shù)可求得結(jié)果.【詳解】這個試驗(yàn)的等可能結(jié)果用下表表示：a113355113355b222222888888c355113355113d888888222222e531531531531共有種等可能的結(jié)果，其中的結(jié)果有種，所以的概率為，故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點(diǎn)，，，關(guān)于原點(diǎn)O對稱.（1）求邊上的高所在直線的一般式方程；（2）已知過點(diǎn)B的直線l平分△ABC的面積，求直線l的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求得的斜率，從而得到邊上高所在直線的斜率，進(jìn)而求得邊上的高所在直線的方程.（2）先判斷出直線l經(jīng)過邊AC的中點(diǎn)，進(jìn)而求得直線的方程.【小問1詳解】因?yàn)锽，C關(guān)于原點(diǎn)O對稱，所以，，所以邊上高所在直線的斜率為，因?yàn)?，所以BC邊上高所在直線的方程為，所以BC邊上高所在直線的一般式方程為.【小問2詳解】因?yàn)檫^點(diǎn)的直線平分的面積，所以直線l經(jīng)過邊AC的中點(diǎn)12,1又，所以直線l的方程16.如圖，在三棱柱中，，，，點(diǎn)滿足.（1）用表示；（2）若三棱錐的所有棱長均為，求及.【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）根據(jù)，可表示出；（2）先確定的模長以及兩兩之間的夾角，然后根據(jù)計(jì)算出，再根據(jù)展開計(jì)算求得結(jié)果.【小問1詳解】因?yàn)?，所以，所以【小?詳解】因?yàn)槿忮F的所有棱長均為，所以，所以，所以，所以，所以.17.在荾形中，，，將菱形沿著翻折，得到三棱錐如圖所示，此時(shí)．（1）求證：平面平面；（2）若點(diǎn)是的中點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)，由已知得到和的長，由勾股定理的逆定理得到，再結(jié)合證明平面，由此證明平面平面；（2）以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，分別寫出直線的方向向量和平面的法向量，利用空間坐標(biāo)求出角的正弦值.【小問1詳解】證明：因?yàn)樗倪呅问橇庑危?，所以與均為正三角形，取的中點(diǎn)，連結(jié)，，則，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，又，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面；【小?詳解】由（1）可知，，，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，所以，，，設(shè)為平面的一個法向量，則令，得，，所以，設(shè)直線與平面所成角為，所以，所以直線與平面所成角的正弦值為.18.為培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)，協(xié)同發(fā)展學(xué)科綜合能力，促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展，某校數(shù)學(xué)組舉行了數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)大賽，素養(yǎng)大賽采用回答問題闖關(guān)形式．現(xiàn)有甲、乙兩人參加數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)大賽，甲、乙兩人能正確回答問題的概率分別是和．假設(shè)兩人是否回答出問題，相互之間沒有影響；每次回答是否正確，也沒有影響．（1）若乙回答了4個問題，求乙至少有1個回答正確的概率；（2）若甲、乙兩人各回答了3個問題，求甲回答正確的個數(shù)比乙回答正確的個數(shù)恰好多2個的概率；（3）假設(shè)某人連續(xù)2次未回答正確，則退出比賽，求甲恰好回答5次被退出比賽的概率．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由事件的相互獨(dú)立性的乘法公式和對立事件可求出答案。（2）記“甲答對i個問題”為事件，“乙答對i個問題”為事件，則甲回答正確的個數(shù)比乙回答正確的個數(shù)恰好多2個為事件由事件的相互獨(dú)立性的乘法公式代入即可得答案。（3）記“甲答對第i個問題”為事件，則甲恰好回答5次被退出比賽為事件，由事件的相互獨(dú)立性的乘法公式代入即可得答案。【小問1詳解】記“乙至少有1個回答正確”為事件，所以，即乙至少有1個回答正確的概率是．【小問2詳解】記“甲答對i個問題”為事件，“乙答對i個問題”為事件，則甲回答正確的個數(shù)比乙回答正確的個數(shù)恰好多2個為事件所以，即甲回答正確個數(shù)比乙回答正確的個數(shù)恰好多2個的概率是．【小問3詳解】記“甲答對第i個問題”為事件，則甲恰好回答5次被退出比賽為事件，所以，即甲恰好回答5次被退出比賽的概率是．19.在空間直角坐標(biāo)系中，定義：過點(diǎn)，且方向向量為的直線的點(diǎn)方向式方程為；過點(diǎn)，且法向量為的平面的點(diǎn)法向式方程為，將其整理為一般式方程為，其中．（1）求經(jīng)過的直線的點(diǎn)方向式方程；（2）已知平面，平面，平面，若，證明：；（3）已知斜三棱柱中，側(cè)面所在平面經(jīng)過三點(diǎn)，，側(cè)面所在平面的一般式方程為，側(cè)面所在平面的一般式方程為，求平面與平面的夾角大?。敬鸢浮浚?）（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）先求直線的方向向量，結(jié)合題意即可得直線方程；（2）根據(jù)題意可得平面、、的法向量，進(jìn)而可求交線的方向向量