常微分方程初值問題數(shù)值解法

常微分方程初值問題數(shù)值解法9.1引言9.2簡單的數(shù)值方法與基本概念9.3龍格－庫塔方法9.4單步法的收斂性與穩(wěn)定性9.5線性多步法9.6方程組和高階方程9.1

引言

本章討論一階常微分方程的初值問題：只要函數(shù)適當(dāng)光滑—如滿足利普希茨條件：理論上就能保證初值問題的解存在并且唯一。所謂數(shù)值解法，就是尋求解在一系列離散點(diǎn)上的近似值，相鄰兩個點(diǎn)間的距離稱為步長。一般情況下我們?nèi)槌?shù)，這是節(jié)點(diǎn)為：9.1

引言

初值問題的求解有一個基本特點(diǎn)，它們都是采取“步進(jìn)式”求解的，即，一步一步地求函數(shù)的值。求解的主要方法是：先對方程進(jìn)行離散化，建立求數(shù)值解的遞推公式，一類在計(jì)算時只用到前面一步的，稱為單步法。另一類在計(jì)算時除了用到理論上就能保證初值問題的解存在并且唯一。

所謂數(shù)值解法，就是尋求解在一系列離散點(diǎn)上的近似值，相鄰兩個點(diǎn)間的距離稱為步長。一般情況下我們?nèi)槌?shù)，這是節(jié)點(diǎn)為：

初值問題的求解有一個基本特點(diǎn)，它們都是采取“步進(jìn)式”求解的，即，一步一步地求函數(shù)的值。求解的主要方法是：先對方程進(jìn)行離散化，建立求數(shù)值解的遞推公式，一類在計(jì)算時只用到前面一步的，稱為單步法。另一類在計(jì)算時除了用到前利用前面一步的，還要用到前面的等，這種方稱為多步法。其次，要研究公式的局部截斷誤差和階。數(shù)值解和精確解的誤差估計(jì)和收斂性，還有遞推迭代公式的數(shù)值穩(wěn)定性問題。顯式歐拉法在平面上，微分方程初值問題的解稱作方程的積分曲線。積分曲線上每一點(diǎn)的斜率等于該點(diǎn)的函數(shù)值。如果按函數(shù)在平面上建立一個方向場，那么，積分曲線上每一點(diǎn)的切線方向均與方向場在該點(diǎn)的方向一致。方稱為多步法。其次，要研究公式的局部截斷誤差和階。數(shù)值解和精確解的誤差估計(jì)和收斂性，還有遞推迭代公式的數(shù)值穩(wěn)定性問題。9.2

簡單的數(shù)值方法與基本概念顯式歐拉法在平面上，微分方程初值問題的解稱作方程的積分曲線。積分曲線上每一點(diǎn)的斜率等于該點(diǎn)的函數(shù)值。如果按函數(shù)在平面上建立一個方向場，那么，積分曲線上每一點(diǎn)的切線方向均與方向場在該點(diǎn)的方向一致?；谏厦娴膸缀谓忉?，我們從初始點(diǎn)出發(fā)，先依方向場在該點(diǎn)的方向推進(jìn)到上一點(diǎn)，然后再從依方向場的方向推進(jìn)到上一點(diǎn)，循此前進(jìn)做出一條折線。9.2

簡單的數(shù)值方法與基本概念

一般地，設(shè)已做出該折線上的頂點(diǎn)，過依方向場的方向再推進(jìn)到，顯然兩個頂點(diǎn)的坐標(biāo)有如下關(guān)系即

基于上面的幾何解釋，我們從初始點(diǎn)出發(fā)，先依方向場在該點(diǎn)的方向推進(jìn)到上一點(diǎn)，然后再從依方向場的方向推進(jìn)到上一點(diǎn)，循此前進(jìn)做出一條折線。

一般地，設(shè)已做出該折線上的頂點(diǎn)，過依方向場的方向再推進(jìn)到，顯然兩個頂點(diǎn)的坐標(biāo)有如下關(guān)系即這就是著名的歐拉公式。若初值已知，則依該公式可逐步算出：

例1求解初值問題：(其解為)解：根據(jù)歐拉方法，得到：這就是著名的歐拉公式。若初值已知，則依該公式可逐步算出：

例1求解初值問題：(其解為)解：根據(jù)歐拉方法，得到：取步長，計(jì)算得到如下結(jié)果：0.11.10001.09540.61.50901.48320.21.19181.18320.71.58031.54920.31.27741.26490.81.64981.61250.41.35821.34160.91.71781.67330.51.43151.41421.01.78481.7321隱式歐拉法在前面的討論中，近似計(jì)算公式可以看成是由在區(qū)間上積分得到，而右邊的積分是利用左矩形公式近似，再以代替得到，現(xiàn)在右端的積分用右矩形公式，則得到：取步長，計(jì)算得到如下結(jié)果：0.11.10001.09540.61.50901.48320.21.19181.18320.71.58031.54920.31.27741.26490.81.64981.61250.41.35821.34160.91.71781.67330.51.43151.41421.01.78481.7321隱式歐拉法在前面的討論中，近似計(jì)算公式可以看成是由在區(qū)間上積分得到，而右邊的積分是利用左矩形公式近似，再以代替得到，現(xiàn)在右端的積分用右矩形公式，則得到：此式的右端包含，是一種隱式的單步法，稱為隱式歐拉方法。利用此法，每一步都要把該式作為的方程來求解。從數(shù)值積分的誤差來分析，很難期望隱式歐拉方法比顯式歐拉方法精確。為了得到更精確的方法，我們用梯形公式來近似前面的積分，得到梯形方法：它也是一種隱式單步法。改進(jìn)的歐拉法從梯形法的推導(dǎo)，可望它比歐拉法更精確，但它計(jì)算量較大，在實(shí)際計(jì)算中，可取歐拉法的結(jié)果為迭代計(jì)算的初值，然后再用梯形公式計(jì)算一次，得到：歐拉方法。利用此法，每一步都要把該式作為的方程來求解。從數(shù)值積分的誤差來分析，很難期望隱式歐拉方法比顯式歐拉方法精確。為了得到更精確的方法，我們用梯形公式來近似前面的積分，得到梯形方法：它也是一種隱式單步法。改進(jìn)的歐拉法從梯形法的推導(dǎo)，可望它比歐拉法更精確，但它計(jì)算量較大，在實(shí)際計(jì)算中，可取歐拉法的結(jié)果為迭代計(jì)算的初值，然后再用梯形公式計(jì)算一次，得到：或?qū)懗桑焊倪M(jìn)的歐拉法是一種顯式單步法，有時為了計(jì)算方便，也用下面的公式：其中：單步法的截斷誤差與階初值問題的單步法可用一般形式表示為：其中多元函數(shù)與有關(guān)，當(dāng)含有時，方法是隱式的，不含時則為顯式的，所以顯式單步法可表示為：稱為增量函數(shù)，對于歐拉法，或?qū)懗桑焊倪M(jìn)的歐拉法是一種顯式單步法，有時為了計(jì)算方便，也用下面的公式：其中：單步法的截斷誤差與階初值問題的單步法可用一般形式表示為：其中多元函數(shù)與有關(guān)，當(dāng)含有時，方法是隱式的，不含時則為顯式的，所以顯式單步法可表示為：稱為增量函數(shù)，對于歐拉法，為了分析其截斷誤差，我們將在處作泰勒展開，得到：假設(shè)是精確的，于是可得歐拉法計(jì)算公式的誤差為：

定義1設(shè)是初值問題的準(zhǔn)確解，稱為顯式單步法的局部截斷誤差。之所以稱為局部的，是假設(shè)在前各步?jīng)]有誤差，當(dāng)時，計(jì)算一步，則有開，得到：假設(shè)是精確的，于是可得歐拉法計(jì)算公式的誤差為：

定義1設(shè)是初值問題的準(zhǔn)確解，稱為顯式單步法的局部截斷誤差。之所以稱為局部的，是假設(shè)在前各步?jīng)]有誤差，當(dāng)時，計(jì)算一步，則有所以，局部截斷誤差可以理解為用計(jì)算的方法計(jì)算一步的誤差，這樣，歐拉法的局部截斷誤差為：這里稱為局部截斷誤差主項(xiàng)，顯然一般情況下的定義如下：

定義2設(shè)是初值問題的準(zhǔn)確解，若存在最大整數(shù)使顯式單步法的局部誤差滿足則稱該方法具有階精度。若將上式展開成則稱為局部截斷誤差主項(xiàng)。所以，局部截斷誤差可以理解為用計(jì)算的方法計(jì)算一步的誤差，這樣，歐拉法的局部截斷誤差為：這里稱為局部截斷誤差主項(xiàng)，顯然一般情況下的定義如下：

定義2設(shè)是初值問題的準(zhǔn)確解，若存在最大整數(shù)使顯式單步法的局部誤差滿足則稱該方法具有階精度。若將上式展開成則稱為局部截斷誤差主項(xiàng)。以上定義對隱式單步法也適用，如對后退歐拉法，其局部截斷誤差為：這里，是1階方法，局部截斷誤差主項(xiàng)為同樣，對梯形方法有：所以梯形方法是2階的，其局部誤差主項(xiàng)為：

以上定義對隱式單步法也適用，如對后退歐拉法，其局部截斷誤差為：這里，是1階方法，局部截斷誤差主項(xiàng)為

同樣，對梯形方法有：所以梯形方法是2階的，其局部誤差主項(xiàng)為：改進(jìn)歐拉法的例梯形法精度得到提高，但算法復(fù)雜，計(jì)算量大。為了控制計(jì)算量，通常只迭代一兩次就轉(zhuǎn)入下一步的計(jì)算，這樣就可以簡化計(jì)算。具體做法：先用歐拉公式求一個初值，稱為預(yù)測值，再用梯形公式校正一次，這樣建立的公式通常稱為改進(jìn)的歐拉公式：預(yù)測：校正：或表示為：所以梯形方法是2階的，其局部誤差主項(xiàng)為：改進(jìn)歐拉法的例梯形法精度得到提高，但算法復(fù)雜，計(jì)算量大。為了控制計(jì)算量，通常只迭代一兩次就轉(zhuǎn)入下一步的計(jì)算，這樣就可以簡化計(jì)算。具體做法：先用歐拉公式求一個初值，稱為預(yù)測值，再用梯形公式校正一次，這樣建立的公式通常稱為改進(jìn)的歐拉公式：預(yù)測：校正：或表示為：例：用改進(jìn)的歐拉方法求解初值問題：解：仍取，計(jì)算結(jié)果如表0.11.09591.09540.61.48601.48320.21.18411.18320.71.55251.54920.31.26621.26490.81.61531.61250.41.34341.34160.91.67821.67330.51.41641.41421.01.73791.7321顯式龍格－庫塔法的一般形式歐拉法的局部截斷誤差為，是1階的方法對于改進(jìn)的歐拉法，它可表示為：此時增量函數(shù)例：用改進(jìn)的歐拉方法求解初值問題：解：仍取，計(jì)算結(jié)果如表0.11.09591.09540.61.48601.48320.21.18411.18320.71.55251.54920.31.26621.26490.81.61531.61250.41.34341.34160.91.67821.67330.51.41641.41421.01.73791.73219.3

龍格－庫塔方法顯式龍格－庫塔法的一般形式歐拉法的局部截斷誤差為，是1階的方法對于改進(jìn)的歐拉法，它可表示為：此時增量函數(shù)它比歐拉法的多計(jì)算了一個函數(shù)值，可望，若要使得到的公式階數(shù)更大，就必須包含更多的值，實(shí)際上從方程等價的積分形式，即

(*)9.3

龍格－庫塔方法要使公式的階數(shù)提高，就必須使右端積分的數(shù)值求積公式精度提高，它必然要增加求積節(jié)點(diǎn)，為此可將(*)的右端用求積公式表示為：一般來說，點(diǎn)數(shù)越多，精度越高，上式右端相當(dāng)于增量函數(shù)，為得到便于計(jì)算的顯式方法，可它比歐拉法的多計(jì)算了一個函數(shù)值，可望，若要使得到的公式階數(shù)更大，就必須包含更多的值，實(shí)際上從方程等價的積分形式，即

(*)要使公式的階數(shù)提高，就必須使右端積分的數(shù)值求積公式精度提高，它必然要增加求積節(jié)點(diǎn)，為此可將(*)的右端用求積公式表示為：一般來說，點(diǎn)數(shù)越多，精度越高，上式右端相當(dāng)于增量函數(shù)，為得到便于計(jì)算的顯式方法，可類似于改進(jìn)歐拉法，將公式表示為：其中這里均為常數(shù)，方法稱為級顯式R-K方法

當(dāng)時，就是歐拉法，此時當(dāng)時，改進(jìn)歐拉法就是其中的一種，下面證明，要使公式有更高的階，就要增加點(diǎn)數(shù)。下面我們僅就推導(dǎo)R-K方法，并給出時的常用公式，其推導(dǎo)方法與時類似，只是計(jì)算較為復(fù)雜。增量函數(shù)，為得到便于計(jì)算的顯式方法，可類似于改進(jìn)歐拉法，將公式表示為：其中這里均為常數(shù)，方法稱為級顯式R-K方法

當(dāng)時，就是歐拉法，此時當(dāng)時，改進(jìn)歐拉法就是其中的一種，下面證明，要使公式有更高的階，就要增加點(diǎn)數(shù)。下面我們僅就推導(dǎo)R-K方法，并給出時的常用公式，其推導(dǎo)方法與時類似，只是計(jì)算較為復(fù)雜。二階顯式R-K方法對于的R-K方法，可以得到如下的計(jì)算公式：這里均為待定常數(shù)，我們希望適當(dāng)選取這些系數(shù)，使公式階數(shù)盡量高。根據(jù)局部截斷誤差的定義，上式的局部截斷誤差為：

這里為得到的階，要將上式各項(xiàng)在處做泰勒展開，由于是二元函數(shù)，故要用到二元泰勒展開，各項(xiàng)展開為：二階顯式R-K方法對于的R-K方法，可以得到如下的計(jì)算公式：這里均為待定常數(shù)，我們希望適當(dāng)選取這些系數(shù)，使公式階數(shù)盡量高。根據(jù)局部截斷誤差的定義，上式的局部截斷誤差為：這里為得到的階，要將上式各項(xiàng)在處做泰勒展開，由于是二元函數(shù)，故要用到二元泰勒展開，各項(xiàng)展開為：其中將以上結(jié)果代入：得到：其中將以上結(jié)果代入：得到：要使公式成為2階的，必須有：即：上式的解不唯一，可以令，則得這樣得到的公式稱為二階R-K方法，如取，則，這就是改進(jìn)的歐拉法。若取，則，得到：要使公式成為2階的，必須有：即：上式的解不唯一，可以令，則得這樣得到的公式稱為二階R-K方法，如取，則，這就是改進(jìn)的歐拉法。若取，則，得到：稱為中點(diǎn)公式，相當(dāng)于數(shù)值積分的中矩形公式，也即

對的R-K公式能否使局部誤差提高到？為此需要把多展開一項(xiàng)，通過分析可以得到不可能的結(jié)論。因此時只能得到2階的公式。三階與四階顯式R-K方法要得到三階的顯式R-K方法，必須，此時計(jì)算若取，則，得到：稱為中點(diǎn)公式，相當(dāng)于數(shù)值積分的中矩形公式，也即

對的R-K公式能否使局部誤差提高到？為此需要把多展開一項(xiàng)，通過分析可以得到不可能的結(jié)論。因此時只能得到2階的公式。三階與四階顯式R-K方法要得到三階的顯式R-K方法，必須，此時計(jì)算公式為：其中及均為待定參數(shù)，誤差為只要將按二元函數(shù)的泰勒公式展開，使可得待定參數(shù)需滿足的方程為：

要得到三階的顯式R-K方法，必須，此時計(jì)算公式為：其中及均為待定參數(shù)，誤差為只要將按二元函數(shù)的泰勒公式展開，使可得待定參數(shù)需滿足的方程為：這里為8個未知數(shù)，6個方程，解也是不唯一的，可以得到很多公式，下面是其中稱為庫塔的公式這里為8個未知數(shù)，6個方程，解也是不唯一的，可以得到很多公式，下面是其中稱為庫塔的公式繼續(xù)上述過程，經(jīng)過較復(fù)雜的演算，可以導(dǎo)出各種四階龍格－庫塔公式，下面是常用的經(jīng)典公式：例3：用四階龍格－庫塔方法求解定解問題：取步長，從到。解：寫出具體的四階龍格－庫塔的具體格式為：繼續(xù)上述過程，經(jīng)過較復(fù)雜的演算，可以導(dǎo)出各種四階龍格－庫塔公式，下面是常用的經(jīng)典公式：例3：用四階龍格－庫塔方法求解定解問題：取步長，從到。解：寫出具體的四階龍格－庫塔的具體格式為：

列出計(jì)算結(jié)果如下表：0.21.18321.18320.41.34171.34160.61.48331.48320.81.61251.61251.01.73211.7321列出計(jì)算結(jié)果如下表：可見計(jì)算精度較以前大為提高。變步長的龍格－庫塔方法單從每一步看，步長越小，截斷誤差就越小，但隨著步長的縮小，在求解區(qū)間內(nèi)的步數(shù)就增加了，這在增加計(jì)算量的同時也增加了計(jì)算的舍入誤差，因此也有一個選擇步長的問題。0.21.18321.18320.41.34171.34160.61.48331.48320.81.61251.61251.01.73211.7321選擇步長需要考慮的兩個問題：怎樣衡量和檢驗(yàn)計(jì)算結(jié)果的精度？如何依據(jù)所獲得的精度處理步長？我們考慮經(jīng)典的四階龍格－庫塔公式，從節(jié)點(diǎn)出發(fā)，先以為步長求出一個近似值，記為，由于公式的局部截斷誤差為，故變步長的龍格－庫塔方法單從每一步看，步長越小，截斷誤差就越小，但隨著步長的縮小，在求解區(qū)間內(nèi)的步數(shù)就增加了，這在增加計(jì)算量的同時也增加了計(jì)算的舍入誤差，因此也有一個選擇步長的問題。選擇步長需要考慮的兩個問題：怎樣衡量和檢驗(yàn)計(jì)算結(jié)果的精度？如何依據(jù)所獲得的精度處理步長？我們考慮經(jīng)典的四階龍格－庫塔公式，從節(jié)點(diǎn)出發(fā)，先以為步長求出一個近似值，記為，由于公式的局部截斷誤差為，故然后將步長折半，即取為步長，從跨兩步到再來求得一個近似值，每一步的截斷誤差是因此有比較前后兩式，我們得到，步長折半后，誤差大約減少到，即有由此易得下列事后估計(jì)式：這樣，我們可以通過檢查步長，折半前后兩次計(jì)算結(jié)果的偏差來判定所選的步長是否合適，公式的局部截斷誤差為，故然后將步長折半，即取為步長，從跨兩步到再來求得一個近似值，每一步的截斷誤差是因此有

比較前后兩式，我們得到，步長折半后，誤差大約減少到，即有由此易得下列事后估計(jì)式：這樣，我們可以通過檢查步長，折半前后兩次計(jì)算結(jié)果的偏差來判定所選的步長是否合適，分下列兩種情況處理，稱為變步長方法：

1)對于給定的精度，如果，我們反復(fù)將步長折半進(jìn)行計(jì)算，直到為止，這時取最終得到的作為結(jié)果；

2)如果，我們將反復(fù)將步長加倍，直到為止，這時再將步長折半一次，得到結(jié)果。9.4

單步法的收斂性與穩(wěn)定性收斂性與相容性數(shù)值解法的基本思想是通過離散將微分方程轉(zhuǎn)化為差分方程，如單步法

(1)它在處的解為，而初值問題的解為，記分下列兩種情況處理，稱為變步長方法：

1)對于給定的精度，如果，我們反復(fù)將步長折半進(jìn)行計(jì)算，直到為止，這時取最終得到的作為結(jié)果；

2)如果，我們將反復(fù)將步長加倍，直到為止，這時再將步長折半一次，得到結(jié)果。9.4

單步法的收斂性與穩(wěn)定性收斂性與相容性數(shù)值解法的基本思想是通過離散將微分方程轉(zhuǎn)化為差分方程，如單步法

(1)它在處的解為，而初值問題的解為，記，稱為整體截斷誤差，收斂性就是討論當(dāng)固定，且時的問題。定義3若一種數(shù)值方法對于固定的，當(dāng)時有，則稱該方法是收斂的。顯然，數(shù)值方法收斂是指，對單步法(1)有下述收斂性定理：9.4

單步法的收斂性與穩(wěn)定性

定理1假設(shè)單步法(1)具有階精度，且增量函數(shù)關(guān)于滿足利普希茨條件

(2)又設(shè)初值準(zhǔn)確，即，則其整體截斷誤差為

(3)證明：設(shè)以表示取用公式(1)求得的結(jié)果,

固定，且時的問題。定義3若一種數(shù)值方法對于固定的，當(dāng)時有，則稱該方法是收斂的。顯然，數(shù)值方法收斂是指，對單步法(1)有下述收斂性定理：

定理1假設(shè)單步法(1)具有階精度，且增量函數(shù)關(guān)于滿足利普希茨條件

(2)又設(shè)初值準(zhǔn)確，即，則其整體截斷誤差為

(3)證明：設(shè)以表示取用公式(1)求得的結(jié)果,即(4)則為局部截斷誤差，由于所給的方法具有階精度，按定義2，存在定數(shù)，使又由(4)和(1)，有利用條件(2)，有：從而有即對整體截斷誤差成立下列遞推關(guān)系：反復(fù)遞推，可得：證明：設(shè)以表示取用公式(1)求得的結(jié)果,即(4)則為局部截斷誤差，由于所給的方法具有階精度，按定義2，存在定數(shù)，使又由(4)和(1)，有利用條件(2)，有：從而有即對整體截斷誤差成立下列遞推關(guān)系：反復(fù)遞推，可得：再注意到當(dāng)時，，最終得到下列估計(jì)式：由此可以斷定，如果初值是準(zhǔn)確的，則(3)成立。

推論：對于一個階的顯式單步法，若微分方程的右端函數(shù)關(guān)于滿足利普希茨條件，且初值是精確的，則顯式歐拉法，改進(jìn)歐拉法和龍格－庫塔方法是收斂的。定理1表明，時單步法收斂，并且當(dāng)是初值問題的解，且具有階精度時，有展開式：再注意到當(dāng)時，，最終得到下列估計(jì)式：由此可以斷定，如果初值是準(zhǔn)確的，則(3)成立。

推論：對于一個階的顯式單步法，若微分方程的右端函數(shù)關(guān)于滿足利普希茨條件，且初值是精確的，則顯式歐拉法，改進(jìn)歐拉法和龍格－庫塔方法是收斂的。定理1表明，時單步法收斂，并且當(dāng)是初值問題的解，且具有階精度時，有展開式：所以的充要條件是，而，于是可給出如下的定義：定義4單步法的增量函數(shù)稱為該單步法與初值問題相容。

以上討論表明階方法當(dāng)與初值問題相容，反之，相容的方法至少是一階的。于是，由定理1可知，線性單步方法收斂的充分必要條件是該方法是相容的。絕對穩(wěn)定性與絕對穩(wěn)定域

所以的充要條件是，而，于是可給出如下的定義：定義4單步法的增量函數(shù)稱為該單步法與初值問題相容。

以上討論表明階方法當(dāng)與初值問題相容，反之，相容的方法至少是一階的。于是，由定理1可知，線性單步方法收斂的充分必要條件是該方法是相容的。絕對穩(wěn)定性與絕對穩(wěn)定域定義5若一種數(shù)值方法在節(jié)點(diǎn)值上有大小為的擾動，而于以后各節(jié)點(diǎn)上產(chǎn)生的偏差均不超過，則稱該方法是穩(wěn)定的。例4考察初值問題其準(zhǔn)確解是一個按指數(shù)曲線衰減的很快的函數(shù)，如圖：絕對穩(wěn)定性與絕對穩(wěn)定域

定義5若一種數(shù)值方法在節(jié)點(diǎn)值上有大小為的擾動，而于以后各節(jié)點(diǎn)上產(chǎn)生的偏差均不超過，則稱該方法是穩(wěn)定的。例4考察初值問題其準(zhǔn)確解是一個按指數(shù)曲線衰減的很快的函數(shù)，如圖：

用歐拉方法解該方程，得到：若取，則歐拉法的具體形式為：若取，則歐拉法的具體形式為：顯然，前一形式計(jì)算不穩(wěn)定，后一形式計(jì)算穩(wěn)定。再考察后退歐拉方法，可以得到，當(dāng)時，計(jì)算是穩(wěn)定的。具體數(shù)據(jù)見書上356頁表9－4。例題表明：穩(wěn)定性不但與方法有關(guān)，也與步長有關(guān)。當(dāng)然也與有關(guān)，為了只考察數(shù)值方法本身，通常只檢驗(yàn)將數(shù)值方法用于解模型方程的穩(wěn)定性，模型方程為：，其中為復(fù)數(shù)。

對于一般的方程，將方程中的在解域內(nèi)某點(diǎn)作泰勒展開并局部線性化：忽略高階項(xiàng)，令和對上式顯然，前一形式計(jì)算不穩(wěn)定，后一形式計(jì)算穩(wěn)定。再考察后退歐拉方法，可以得到，當(dāng)時，計(jì)算是穩(wěn)定的。具體數(shù)據(jù)見書上356頁表9－4。例題表明：穩(wěn)定性不但與方法有關(guān)，也與步長有關(guān)。當(dāng)然也與有關(guān)，為了只考察數(shù)值方法本身，通常只檢驗(yàn)將數(shù)值方法用于解模型方程的穩(wěn)定性，模型方程為：，其中為復(fù)數(shù)。

對于一般的方程，將方程中的在解域內(nèi)某點(diǎn)作泰勒展開并局部線性化：忽略高階項(xiàng)，令和對上式作變量代換，得到：

這就是模型方程。首先研究歐拉方程的穩(wěn)定性。模型方程的歐拉公式為：假設(shè)在節(jié)點(diǎn)上有一擾動，它的傳播使節(jié)點(diǎn)值產(chǎn)生大小為的擾動值，假設(shè)用按歐拉公式得出的計(jì)算過程不再有新的誤差，則擾動值滿足可見擾動值滿足原來的差分方程，這樣如果差分方程的解是不增長的，即有：

這就是模型方程。首先研究歐拉方程的穩(wěn)定性。模型方程的歐拉公式為：假設(shè)在節(jié)點(diǎn)上有一擾動，它的傳播使節(jié)點(diǎn)值產(chǎn)生大小為的擾動值，假設(shè)用按歐拉公式得出的計(jì)算過程不再有新的誤差，則擾動值滿足可見擾動值滿足原來的差分方程，這樣如果差分方程的解是不增長的，即有：則它就是穩(wěn)定的。這一結(jié)論對于以下研究的其它方法也適用。顯然，為了保證，只要，這在的復(fù)平面上是一個以(-1,0)為圓心，1為半徑的單位圓我們稱其為歐拉法的絕對穩(wěn)定域，一般情形可有如下的定義。

定義6單步法用于模型，若得到的解，