廣西聯(lián)盟2024-2025學年高二年級上冊入學考試數(shù)學試題

2024年秋季學期高二入學檢測卷

數(shù)學

注意事項：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需改

動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本

試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

4.本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版必修第二冊，選擇性必修第一冊第一章L1—1.2.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)（2-i）i對應(yīng)的點位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.若｛流瓦可是空間的一個基底，則下列向量不共面的為（）

A.a,b,a+2bB.a,a+b,a+c

C.a,a-c,cD.b+c,a+c,a+b+2c

3.已知一組數(shù)據(jù)為-2,0,1,3,5,5,則該組數(shù)據(jù)的方差為（）

4.已知AABC的三個頂點分別為A（1,2）,3（3,1）,C（5,加），且/ABC=],則機=（）

A.2B.3C.4D.5

5.在正四棱柱ABC?！?，43=2,招=4,設(shè)荏=第礪=方，福=—則0k+B+C）=

（）

A.2B.2V2C.4D.8

6.在AABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若tanB=—6"/=J荻，則=（）

ac

A.6B.4C.3D.2

r\

7.已知向量落B的夾角為T，且同=5，M=4,則方在B方向上的投影向量為（）

A.--Z3?-B.-5--bc.5--bD.」7-b

8888

8.現(xiàn)有7張分別標有1,2,3,4,5,6,7的卡片，甲一次性從中隨機抽取5張卡片，抽到的卡片數(shù)字之和為。，

剩下的2張卡片數(shù)字之和為〃，則a.3b的概率為()

5243

A.—B.—C.—D.一

7777

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.若空間幾何體A的頂點數(shù)和空間幾何體B的頂點數(shù)之和為12,則A和8可能分別是()

A.三棱錐和四棱柱B.四棱錐和三棱柱

C.四棱錐和四棱柱D.五棱錐和三棱柱

10.已知復(fù)數(shù)z=——，貝IJ()

1-i

A.z=3-3iB.|z|=30

C.z的虛部為3D.zi=z

11.拋擲質(zhì)地均勻的骰子兩次，事件A="第一次出現(xiàn)偶數(shù)點"，事件6=”第二次出現(xiàn)奇數(shù)點”，事件

C="兩次都出現(xiàn)偶數(shù)點”，則()

A.A包含CB.A與8相互獨立

C.5與C互為對立事件D.6與C互斥但不對立

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.若復(fù)數(shù)(6—l)+(a+l)i為純虛數(shù)，則實數(shù)a=.

13.《易經(jīng)》是中國傳統(tǒng)文化中的精髓，易經(jīng)八卦分別為乾、坤、巽、震、坎、離、艮、兌，現(xiàn)將乾、坤、巽三卦按

任意次序排成一排，則乾、坤相鄰的概率為.

14.在四棱錐P—A5CD中，底面A3CD為菱形，AB=BD=2,點P到AD,的距離均為2,則四棱

錐尸-ABCD的體積為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(13分)

某校為了增強學生的身體素質(zhì)，積極開展體育鍛煉，并給學生的鍛煉情況進行測評打分.現(xiàn)從中隨機選出

100名學生的成績(滿分為100分)，按分數(shù)分為[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],

共6組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）求機的值，并求這100名學生成績的中位數(shù)（保留一位小數(shù)）；

（2）若認定評分在［80,90）內(nèi)的學生為“運動愛好者”，評分在［90,100］內(nèi)的學生為“運動達人”，現(xiàn)采

用分層抽樣的方式從不低于80分的學生中隨機抽取6名學生參加運動交流會，大會上需要從這6名學生

中隨機抽取2名學生進行經(jīng)驗交流發(fā)言，求抽取的2名發(fā)言者中恰好“運動愛好者”和“運動達人”各1

人的概率.

16.（15分）

在棱長為2的正方體ABC?！?4GA中，石為AG的中點.

（1）求異面直線AE與用。所成角的余弦值；

（2）求三棱錐A-4CE的體積.

17.（15分）

在△ABC中，角的對邊分別是a,Z?,c,已知sinCbosB=（a-l）cosCsinB,>>l.

（1）證明：cosC=—.

b

（2）若a=20A8C的面積為1,求c.

18.（17分）

已知不透明的盒子中裝有標號為1,2,3的小球各2個（小球除顏色、標號外均相同）.

（1）若一次取出3個小球，求取出的3個小球上標號均不相同的概率；

（2）若有放回地先后取出2個小球，求取出的2個小球上標號不相同的概率.

19.（17分）

如圖，圓臺的上底面直徑A。=4,下底面直徑3C=8,母線A5=4.

(1)求圓臺的表面積與體積；

(2)若圓臺內(nèi)放入一個圓錐AQ和一個球o,其中0在圓臺下底面內(nèi)，當圓錐AQ的體積最大時，求

球。體積的最大值.

2024年秋季學期高二入學檢測卷

數(shù)學參考答案

1.A因為（2—i）i=l+2i,所以其對應(yīng)的點位于第一象限.

2.B因為G=（萬+25）—25,所以。出為+25共面；｛流瓦可是空間的一個基底，假設(shè)++C共

面，則存在不全為零的實數(shù)SJ,使得H=s（a+方）+《萬+可，即M=（s+f）G+sB+笈，貝|

s+/=l,s=r=0,無解，故。,日+瓦彳+｝不共面；因為4=僅一乙）+｝,所以。，少一己]共面；因為

a+b+2c=^b+c^+（^a+c^,所以B+乙1+工萬+5+2｝共面.

-2+0+1+3+5+5

3.A因為平均數(shù)為二2,

6

所以方差為(―2—2『+(0—2)2+(l—2)?+(3—2『+(5—24+(5—2)2=20

6_3.

4.D因為麗=(—2,1),撫=(2,m—1),麗J_方心，所以麗?反=-4+(m—1)=0,解得機=5.

5.Ca-^a+b+c^=a-a+a-b+a-c.

2兀

6.B因為taaB=—石，所以5=—,由余弦定理可得/=+c2-laccosB=a2+c2+ac=3ac，

即（a+c）2=4ac,故絲土生=4.

ac

7.B因為同=5,忖=4,d與B的夾角為所以GZM@|Wcosg=5x4x]-g]=io,故4在萬方

-*7*<

向上的投影向量為2彳啰=-7"5.

\b\28

8.D由題意得0+6=1+2+3+4+5+6+7=28,即。=28—6，由a.3b,得女,7.設(shè)事件人=

“b?7”，則樣本空間可記為Q=｛（1,2）,（1,3）,（1,4）,（1,5）,（1,6）,（1,7）,（2,3）,（2,4）,（2,

5）,（2,6）,（2,7）,（3,4）,（3,5）,（3,6）,（3,7）,（4,5）,（4,6）,（4,7）,（5,6）,（5,7）,（6,7））,共包含21個樣本

點，其中4={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4)},共包含9個樣本點,所以

3

7

9.AD三棱錐和四棱柱、五棱錐和三棱柱的頂點數(shù)之和均為12,四棱錐和三棱柱的頂點數(shù)之和為11,四棱

錐和四棱柱的頂點數(shù)之和為13.

_6i（l+i）

10.BCD因為z=2-=—3+3i,所以N=—3—3i,|z|=30,

1-i"-2~

z的虛部為3,21=（—3+3。1=一31—3=乞.

31311

11.ABD由題意得A包含C,A正確.因為P（A）=—=—,P（B）=—=—,P（AB）=P（A）。P（5）=—,

62624

所以A與5相互獨立，B正確.因為3與C不可能同時發(fā)生，且不是必然事件，所以5與C互斥但

不對立，C錯誤，D正確.

a—1=0,

12.1由＜得a=1.

a+1w0,

13.-乾、坤、巽三卦按任意次序排成一排，共有6種排法，其中乾、坤相鄰的排法有4種，故乾、坤相鄰的

3

一42

概率為——一?

63

14.圾如圖，因為人3=應(yīng)＞=2且底面A3CD為菱形，所以△A8D為

3

等邊三角形.

過點P作底面A58的垂線，與底面交于點。，作。分別垂直于

因為所以E/_LA￡>.又ADLPO,瓦cOP=。,

所以AD,平面PEF，則AD'PEBC'Pb,即PE=PF=2,OE=工EF=也,

22

PO=《PE?—OE2=巫.故四棱錐P—A5co的體積為L>2x2xsin巴>巫=叵.

23323

15.解:（1）由直方圖知（0.005+0.015+0.020+0.030+m+0.005）x10=1,

則功=0.025.

因為分數(shù)在[40,50),[50,60),[60,70),[70,80)內(nèi)的頻率分別為0.05,0.15,0.2,0.3,

0.5-0.05-0.15-0.2

所以這100名學生的成績的中位數(shù)為70+士73.3分.

0.03

(2)因為分數(shù)在[80,90),[90,100]內(nèi)的頻率分別為0.25,0.05,

所以用分層抽樣方法抽取的6名學生中“運動愛好者”有5人，“運動達人”有1人.

設(shè)抽取的2名發(fā)言者中恰好“運動愛好者”和“運動達人”各1人為事件A,

記這5名“運動愛好者”分別為a,0,c,d,e,lg“運動達人”為M，

則從這6名學生中抽取2名學生進行經(jīng)驗交流發(fā)言有(a,》),(a,c),(a,d),(a,e),0,c),

共15個基本事件,

而事件A包含了5個基本事件，所以P(A)=5=g,

故抽取的2名發(fā)言者中恰好“運動愛好者”和“運動達人”各1人的概率為工

3

16.解：(1)連接A。，則a?！?c.

連接A，，記AD]CAD=。，則。為A。1的中點.

連接QE,取0E的中點尸，連接。尸，則O尸是AQAE的中位線,

所以O(shè)R〃AE，所以為所求的角.

連接4/，在44。/中，。4=后,0/=手，4/=羋，

所以cos/AOF=4廣=B,故異面直線AE與耳。所成角的余弦值為昱.

,2。410b66

(2)因為EG〃平面A3CD,所以匕.BQE=%—A6c,

因為正方體的棱長為2,所以％_方0=3*；X2乂2乂2=

44

院所以匕「83=耳

12

法二：因為匕見鶴ngS"明?AA=§,

T7_XCCC——

%G明_§陰?y^一耳，

_1_4__

By-ABC~§^AABC，~~AABC,與=4,

4

=

且^ABrCE^\BXCX-ABC-^4^期-VcCiEB]~^BV-ABC，所以以lB]CE-3

17.(1)證明：HsinCbosB=(a-1)cosCsinB,

所以sinCbosB+cosCsinB=acosCsinB,即acosCsinB=sin(C+B).

根據(jù)5+。=兀-4,得sin(C+5)=sinA,所以acosCsinB=sinA,

由正弦定理得abcosC=a,所以灰x）sC=l,從而cos。二

b

(2)解：由(1)可得sinC=」i—1=也二1~

\b2b

因為AABC的面積為1,

亞-1

所以^absinC=b-=yjb2—1=1,解得b=A/2,COSC=

2b

又a=2,所以由余弦定理得°=力2+。2—2a》cosC=<4+2-2x2x7^

2

18.解：⑴一次取出3個小球，取出小球的編號為（1,1,2）的有2種，（1,1,3）的有2種，（1,2,2）的有2

種，（1,3,3）的有2種，（2,2,3）的有2種,（2,3,3）的有2種,

（1,2,3）的有8種,共20種,

而3個小球上標號均不相同的情況為（1,2,3）,共8種,

Q2

所以取出的3個小球上標號均不相同的概率為——=—.

205

（2）記6個小球的標號分別為1”16,2”26,3°,3”則有放回地先后取出2個小球的情況有

（Ij），￡，m），（i/），（2a2）,（2〃2）,⑵2）,⑵2）,

（3”,31（3”,3〃）,（九,3）（43）,￡,2）￡2）,&2）02）,

（2J）,（2J）,（2J）,（2J）,（L3）￡3）&,3）（1&3）,

（3J）,（3J）,（34）,（35）,（2a，3）（2a，3j,⑵,3）⑵3）,

（二幺“）,?！?？〃）,?！?4）,。