2025版新教材高考數(shù)學一輪復習第八章平面解析幾何8.5第1課時橢圓及幾何性質學案新人教A版

8.5橢圓第1課時橢圓及幾何性質必備學問預案自診學問梳理1.橢圓的定義平面內(nèi)與兩個定點F1,F2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓.這兩個定點叫做橢圓的焦點,兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距.已知集合P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中a>0,c>0,且a,c為常數(shù).(1)若ac,則點M的軌跡為橢圓;

(2)若ac,則點M的軌跡為線段;

(3)若ac,則點M不存在.

2.橢圓的標準方程及性質標準方程x2a2+y2a2+圖形性質范圍-a≤x≤a,-b≤y≤b-b≤x≤b,-a≤y≤a對稱性對稱軸:坐標軸,對稱中心:點(0,0)頂點A1(-a,0),A2(a,0)B1(0,-b),B2(0,b)A1(0,-a),A2(0,a)B1(-b,0),B2(b,0)焦點F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)軸長軸A1A2的長為2a;短軸B1B2的長為2b離心率e=ca,且e∈a,b,c的關系c2=a2-b2焦點三角形:橢圓上的點P(x0,y0)與兩焦點構成的△PF1F2叫做焦點三角形.r1=|PF1|,r2=|PF2|,∠F1PF2=θ,△PF1F2的面積為S,則在橢圓x2a2+y2(1)當r1=r2,即點P為短軸端點時,θ最大;(2)S=b2tanθ2=c|y0|,當|y0|=b,即點P為短軸端點時,S取最大值,最大值為bc考點自診1.推斷下列結論是否正確,正確的畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)平面內(nèi)與兩個定點F1,F2的距離的和等于常數(shù)的點的軌跡是橢圓.()(2)橢圓的離心率e越大,橢圓就越圓.()(3)關于x,y的方程mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)表示的曲線是橢圓.()(4)橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)與橢圓y2a(5)橢圓上一點P與兩個焦點F1,F2構成的△PF1F2的周長為2a+2c(其中a為橢圓的長半軸長,c為橢圓的半焦距).()2.已知橢圓x24+y23=1的兩個焦點F1,F2,M是橢圓上一點,且|MF1|-|MF2|=1,則△MF1A.鈍角三角形 B.直角三角形C.銳角三角形 D.等邊三角形3.如圖所示,某瓷器菜盤的外輪廓線是橢圓,依據(jù)圖中數(shù)據(jù)可知該橢圓的離心率為()A.25 B.35 C.234.如圖,圓O的半徑是定長r,A是圓O內(nèi)一個定點(不與圓心O重合),P是圓上隨意一點,線段AP的垂直平分線l與半徑OP相交于點Q,當點P在圓上運動時,點Q的軌跡是()A.橢圓 B.雙曲線C.拋物線 D.圓5.“0<m<2”是“方程x2m+y22-m=1表示橢圓”的條件(填“充分不必要”“必要不充分關鍵實力學案突破考點橢圓的定義及應用【例1】(1)已知F1,F2分別是橢圓E:x225+y29=1的左、右焦點,P為橢圓E上一點,直線l為∠F1PF2的外角平分線,過點F2作l的垂線,交F1P的延長線于點M,則A.10 B.8C.6 D.4(2)已知橢圓x28+y22=1的左、右焦點分別為F1,F2,過F1的直線l交橢圓于A,B兩點,則|AF2|+|BFA.32 B.42C.62 D.72解題心得常利用橢圓的定義求解的問題(1)求解問題的結論中含有橢圓上動點到焦點的距離;(2)求解問題的條件中含有橢圓上動點到焦點的距離.對點訓練1(1)(2024廣東惠州調(diào)研)設F1,F2為橢圓x29+y25=1的兩個焦點,點P在橢圓上,若線段PF1的中點在y軸上,A.514 B.C.49 D.(2)已知F是橢圓5x2+9y2=45的左焦點,P是此橢圓上的一動點,A(1,1)是肯定點,則|PA|+|PF|的最大值為,最小值為.

考點橢圓的標準方程及應用【例2】(1)橢圓的離心率為22,F為橢圓的一個焦點,若橢圓上存在一點與F關于直線y=x+4對稱,則橢圓的方程為.(2)已知橢圓的中心在原點,以坐標軸為對稱軸,且經(jīng)過兩點P1(6,1),P2(3,2),則橢圓的方程為(3)與橢圓x24+y23=1有相同離心率且經(jīng)過點P(2,-(4)已知方程x2|m|-1+y22-m=解題心得1.求橢圓標準方程的基本方法是待定系數(shù)法,詳細過程是先定形,再定量,即首先確定焦點所在位置,然后依據(jù)條件建立關于a,b的方程組.2.若橢圓的焦點位置不確定,則要分焦點在x軸上或在y軸上兩種狀況求解,有時為了解題便利,也可把橢圓方程設為mx2+ny2=1(m>0,n>0且m≠n)的形式,避開探討.3.橢圓的標準方程的兩個應用:(1)橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)與橢圓x2a(2)與橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)共焦點的橢圓系方程為x2a2+k4.用待定系數(shù)法求橢圓標準方程的一般步驟.(1)作推斷:依據(jù)條件推斷橢圓的焦點在x軸上,還是在y軸上,還是兩個坐標軸都有可能;(2)設方程:依據(jù)上述推斷設橢圓標準方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0)或y2a2+x2b2=1(a>b>0);(3)找關系:依據(jù)已知條件對點訓練2(1)如圖,已知橢圓C的中心為原點O,F(-5,0)為橢圓C的左焦點,P為橢圓C上一點,滿意|OP|=|OF|且|PF|=6,則橢圓C的方程為()A.x236+y216=C.x249+y224=(2)(2024湖南郴州二模)已知橢圓E的中心為原點,焦點在x軸上,橢圓上一點到焦點的最小距離為22-2,離心率為22,則橢圓E的方程為.考點橢圓的幾何性質及應用(多考向探究)考向1橢圓的長軸、短軸、焦距【例3】(2024河南洛陽一模)已知橢圓x211-m+y2m-3=1的長軸在yA.5 B.6 C.9 D.10解題心得利用橢圓幾何性質的留意點及技巧(1)留意橢圓幾何性質中的不等關系在求與橢圓有關的一些范圍問題時,常常用到x,y的范圍、離心率的范圍等不等關系.(2)利用橢圓幾何性質的技巧求解與橢圓幾何性質有關的問題時,要理清頂點、焦點、長軸、短軸、焦距等基本量的內(nèi)在聯(lián)系.對點訓練3(1)(2024陜西漢中高三模擬)已知橢圓x2m+y24=1(m>0)的焦距為2,A.5 B.5或3C.3 D.8(2)已知橢圓的中心在坐標原點,長軸長是8,離心率是34,則此橢圓的標準方程是(A.x216B.x216+y27C.x216D.x216+y225考向2求橢圓的離心率【例4】(多選)已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一點A關于原點的對稱點為B,F為其右焦點,若AF⊥BF,設∠ABF=α,且α∈A.22 B.33 C.63 D.解題心得1.求橢圓離心率或其范圍的方法(1)求a,b,c的值,由e2=c2a2=a2-(2)列出含有a,b,c的方程(組)或不等式(組),借助b2=a2-c2消去b,轉化為關于e的方程(組)或不等式(組)求解.2.當離心率e=ca越接近1時,橢圓的短半軸長b=a2-c2越小,橢圓就越“扁”,當e越接近0時,b=a2-c對點訓練4已知F1,F2為橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點,A為橢圓C的左頂點,點P在過點A且斜率為36的直線上,△PF1F2為等腰三角形,∠F1F2P=A.23 B.12 C.13考向3依據(jù)橢圓的性質求參數(shù)【例5】(1)(2024年1月8省適應測試)橢圓x2m2+1+y2m2=1(m>0)的焦點為F1,F2,上頂點為A,若∠F1AFA.1 B.2 C.3 D.2(2)已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,且|F1F2|=2c,若橢圓上存在點M使得在△MF1F2A.(0,2-1) B.22C.0,22 D.(對點訓練5已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>c>0)的左、右焦點分別為F1,F2,若以F2為圓心,b-c為半徑作圓F2,過橢圓上一點P作此圓的切線,切點為T,且|PT|的最小值不小于328.5橢圓第1課時橢圓及幾何性質必備學問·預案自診學問梳理1.(1)>(2)=(3)<考點自診1.(1)×(2)×(3)√(4)√(5)√2.B由題意可知|解得|MF1|=52所以|F所以△MF1F2為直角三角形.故選B.3.B由題意,得2b=16.4,2a=20.5,則ba=45,故離心率e=14.A連接QA.由已知得|QA|=|QP|.所以|QO|+|QA|=|QO|+|QP|=|OP|=r.又點A在圓O內(nèi),且不與圓心O重合,所以0<|OA|<r.依據(jù)橢圓的定義,點Q的軌跡是以O,A為焦點,r為長軸長的橢圓.5.必要不充分方程x2m+y22-m=1表示橢圓,即m>0,2-m>0,m≠2-m,解得關鍵實力·學案突破例1(1)A(2)D(1)如圖,由直線l為∠F1PF2的外角平分線,l⊥F2M,可得|PM|=|PF2|.而在橢圓E:x225+y29=1中,a=5,2a=|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PM|=|F1(2)由已知得|AB|+|AF2|+|BF2|=4a=4×22=82.所以|AF2|+|BF2|=82-|AB|,當AB⊥x軸時,|AB|最小,|AF2|+|BF2|最大.|AB|min=2b2a=2×222=2,所以|AF2|+|BF2對點訓練1(1)D(2)6+26-2(1)如圖,設線段PF1的中點為M,因為O為F1F2的中點,所以OM∥PF2,由題意可得PF2⊥x軸,易得|PF2|=53,|PF1|=2a-|PF2|=133,|(2)如圖,設橢圓右焦點為F1,則|PF|+|PF1|=6,F1(2,0).所以|PA|+|PF|=|PA|-|PF1|+6.因為-|AF1|≤|PA|-|PF1|≤|AF1|(當P,A,F1共線時等號成立).又|AF1|=2.所以|PA|+|PF|≤6+2,|PA|+|PF|≥6-2.故|PA|+|PF|的最大值為6+2,最小值為6-2.例2(1)x218+y29=1或y218+x29=1(2)x29+y23=1(3)x28+y26=1或y2253+x2254=1(4)m|m<-1或1<m<32(1)由題意知ca=22,得a2=2b2=2c2.當焦點在x軸上時,設橢圓的方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0),在橢圓上任取一點P(x0,y0),取焦點F(-c,0),則PF的中點M為x0-c(2)設橢圓方程為mx2+ny2=1(m>0,n>0,且m≠n).橢圓經(jīng)過點P1,P2,故點P1,P2的坐標適合橢圓方程,則6m+所求橢圓的方程為x29+(3)若焦點在x軸上,則設所求橢圓方程為x24+y23=t(t>0),將點P(2,-3)的坐標代入,得t=2.故所求橢圓方程為x28+y26=1.若焦點在y軸上,則設所求橢圓方程為y24+x23=λ(λ>0),將點P(2,-3)的坐標代入,得(4)由x2|m|-1+y22-m=1表示焦點在y軸上的橢圓,得2-m>|m|-對點訓練2(1)C(2)x28+y24=1(1)由題意可得c=5,設右焦點為F',連接PF',由|OP|=|OF|=|OF'|知,∠PFF'=∠FPO,∠OF'P=∠OPF',所以∠PFF'+∠OF'P=∠FPO+∠OPF',所以∠FPO+∠OPF'=90°在Rt△PFF'中,由勾股定理,得|PF'|=|FF'由橢圓的定義,得|PF|+|PF'|=2a=6+8=14,則a=7,a2=49,所以b2=a2-c2=49-52=24,所以橢圓C的方程為x249+y224(2)因為橢圓上一點到焦點的最小距離為a-c,所以a-c=22-2,因為離心率e=22,所以c解得a=22,c=2,則b2=a2-c2=4,所以橢圓E的方程為x28+例3C由橢圓x211-m+y2m-3=1的長軸在y軸上,且焦距為4,可得對點訓練3(1)B(2)B(1)焦距2c=2,所以c=1.當m>4時,m-4=1,m=5;當0<m<4時,4-m=1,m=3.綜上所述,m=5或m=3.故選B.(2)因為a=4,e=34,所以c=3,所以b2=a2-c2=16-9=7.因為焦點的位置不確定,所以橢圓的標準方程是x216+y27例4AD由題意知,點B和點A關于原點對稱,則點B也在橢圓上.設橢圓的左焦點為F',原點為O,則依據(jù)橢圓定義,有|AF|+|AF'|=2a.依據(jù)橢圓的對稱性可知|AF'|=|BF|,因此|AF|+|BF|=2a.①因為AF⊥BF,且在Rt△ABF中,O為斜邊的中點,所以|AB|=2|OF|=2c,所以|AF|=2csinα,②|BF|=2ccosα.③將②③代入①,得2a=2ccosα+2csinα,所以e=2c2a=1sinα+cosα=12sinα+π4.因為α∈π6,π4對點訓練4D∵∠F1F2P=120°,△PF1F2為等腰三角形,∴|PF2|=|F1F2|=2c.過點P作PE⊥x軸于點E,∴∠PF2E=60°.∴|F2E|=c,|PE|=3c,∴P(2c,3c).∵kPA=36,∴PA所在直線方程為y=36(x+a∴3c=36(2c+a).∴e=c例5(1)C(2)D(2)由正弦定理,可得|M