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文檔簡介
專題34圓錐曲線存在性問題的探究【方法技巧與總結(jié)】解決存在性問題的技巧:(1)特殊值(點(diǎn))法:對于一些復(fù)雜的題目,可通過其中的特殊情況,解得所求要素的必要條件,然后再證明求得的要素也使得其他情況均成立.(2)假設(shè)法:先假設(shè)存在,推證滿足條件的結(jié)論.若結(jié)論正確,則存在;若結(jié)論不正確,則不存在.【題型歸納目錄】題型一:存在點(diǎn)使向量數(shù)量積為定值題型二:存在點(diǎn)使斜率之和或之積為定值題型三:存在點(diǎn)使兩角度相等題型四:存在點(diǎn)使等式恒成立題型五:存在點(diǎn)使線段關(guān)系式為定值【典例例題】題型一:存在點(diǎn)使向量數(shù)量積為定值例1.已知橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,橢圓長軸兩個(gè)端點(diǎn)間的距離與兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離的差為,且橢圓的離心率為.(1)求橢圓的方程;(2)過點(diǎn)作直線交于、兩點(diǎn),試問:在軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn),使為定值?若存在,求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.【解析】解:(1),可得,,,所求橢圓的方程為:.(2)當(dāng)直線不與軸重合時(shí),可設(shè)直線的方程為:,聯(lián)立,把消去可得整理得:,設(shè),、,,,,假設(shè)存在定點(diǎn),使得為定值,.當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),(為定值).這時(shí),再驗(yàn)證當(dāng)直線的傾斜角時(shí)的情形,此時(shí)取,,,存在定點(diǎn)使得對于經(jīng)過點(diǎn)的任意一條直線均有(恒為定值).例2.已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,其左、右焦點(diǎn)分別為,,短軸長為.點(diǎn)在橢圓上,且滿足△的周長為6.(Ⅰ)求橢圓的方程;(Ⅱ)設(shè)過點(diǎn)的直線與橢圓相交于,兩點(diǎn),試問在軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn),使得恒為定值?若存在,求出該定值及點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.【解析】解:由題意知:,解得,橢圓方程為:設(shè),,,,.設(shè)直線的方程為:存在)聯(lián)立,得:,則又而為定值.只需,解得:,從而.當(dāng)不存在時(shí),此時(shí),當(dāng)時(shí),故:存在,使得.例3.已知橢圓的離心率為,橢圓經(jīng)過點(diǎn).(1)求橢圓的方程;(2)過點(diǎn)作直線交于,兩點(diǎn),試問:在軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn),使為定值?若存在,求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.【解析】解:(1)由題意得,即,又橢圓經(jīng)過點(diǎn),可得,解得,,所以橢圓的方程為;(2)假設(shè)存在符合條件的點(diǎn),設(shè),,,,則,,,,,①當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)直線的方程為,由,得,可得△成立,且,,,,對于任意的值,上式為定值,故,解得:,此時(shí),為定值;②當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),直線,,,,由,得為定值,綜合①②知,符合條件的點(diǎn)存在,其坐標(biāo)為,.變式1.已知橢圓的離心率,過右焦點(diǎn)的直線與橢圓交于,兩點(diǎn),在第一象限,且.(1)求橢圓的方程;(2)在軸上是否存在點(diǎn),滿足對于過點(diǎn)的任一直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn),,都有為定值?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,說明理由.【解析】解:(1)直線的傾斜角為,且,點(diǎn),,解得:,橢圓的方程為:.(2)設(shè),直線的方程為:,,,,,聯(lián)立方程,消去得:,,,,,,,令為定值,則,解得:,此時(shí)為定值,也為定值,所以存在,,使得為定值.變式2.已知,,點(diǎn)滿足,記點(diǎn)的軌跡為,(1)求軌跡的方程;(2)若直線過點(diǎn)且法向量為,直線與軌跡交于、兩點(diǎn).①過、作軸的垂線、,垂足分別為、,記,試確定的取值范圍;②在軸上是否存在定點(diǎn),無論直線繞點(diǎn)怎樣轉(zhuǎn)動(dòng),使恒成立?如果存在,求出定點(diǎn);如果不存在,請說明理由.【解析】解:(1)由知,點(diǎn)的軌跡是以,為焦點(diǎn)的雙曲線的右支.軌跡方程為.(2)直線的方程為,由得,設(shè),,,,由條件得解得即.①,由條件,故,,因?yàn)?,因此.②設(shè)存在點(diǎn)滿足條件,由,得對任意恒成立,所以,解得,因此存在定點(diǎn)滿足條件.變式3.已知雙曲線的焦距為4,以原點(diǎn)為圓心,實(shí)半軸長為半徑的圓和直線相切.(Ⅰ)求雙曲線的方程;(Ⅱ)已知點(diǎn)為雙曲線的左焦點(diǎn),試問在軸上是否存在一定點(diǎn),過點(diǎn)任意作一條直線交雙曲線于,兩點(diǎn),使為定值?若存在,求出此定值和所有的定點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.【解析】解:(Ⅰ)原點(diǎn)到直線的距離,,,雙曲線的方程為;(Ⅱ)解法一:假設(shè)存在點(diǎn)滿足條件,①當(dāng)直線方程為時(shí),則,;②當(dāng)直線方程不是時(shí),可設(shè)直線,代入整理得,由△得,設(shè)方程的兩個(gè)根為,,滿足,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),為定值1,解得,不滿足對任意,△,不合題意,舍去.而且滿足△;綜上得:過定點(diǎn)任意作一條直線交雙曲線于,兩點(diǎn),使為定值1.解法二:前同解法一,得,由,解得,下同解法一.解法三:當(dāng)直線不垂直軸時(shí),設(shè),代入整理得,由△得,設(shè)方程的兩個(gè)根為,,滿足,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),為定值1,解得,不滿足對任意,△,不合題意,舍去,而且滿足△;當(dāng)直線軸時(shí),代入得,;(9分)綜上得:(結(jié)論同解法一)題型二:存在點(diǎn)使斜率之和或之積為定值例4.已知橢圓的離心率為,,分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),是橢圓上一點(diǎn),且△的周長是6,.(Ⅰ)求橢圓的方程;(Ⅱ)設(shè)直線經(jīng)過橢圓的左焦點(diǎn)且與橢圓交于不同的兩點(diǎn),,試問:直線與直線的斜率的和是否為定值?若是,請求出此定值;若不是,請說明理由.【解析】解:(Ⅰ)由橢圓的定義知△的周長為,所以.又因?yàn)闄E圓的離心率,所以,聯(lián)立解得,,所以,因此橢圓方程為.(Ⅱ)設(shè),,,,直線方程為,聯(lián)立,消去,得,則,,因?yàn)?,所以為定值,這個(gè)定值為0,當(dāng)直線與軸重合時(shí),也有,所以直線與直線的斜率的和為定值0.(2)設(shè),,,,當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)直線方程為,聯(lián)立,消去得,則,,因?yàn)?,?dāng)直線與軸垂直時(shí),有,所以直線與直線的斜率的和為定值0.例5.已知橢圓的離心率為,設(shè)直線過橢圓的上頂點(diǎn)和右頂點(diǎn),坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為.(Ⅰ)求橢圓的方程.(Ⅱ)過點(diǎn)且斜率不為零的直線交橢圓于,兩點(diǎn),在軸的正半軸上是否存在定點(diǎn),使得直線,的斜率之積為非零的常數(shù)?若存在,求出定點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.【解析】解:(Ⅰ)設(shè)橢圓半焦距為.根據(jù)題意得,橢圓離心率,即,所以.①因?yàn)橹本€過橢圓的上頂點(diǎn)和右頂點(diǎn),所以設(shè)直線的方程為,即,又由點(diǎn)到直線的距離為,得.②聯(lián)立①②解得,,所以橢圓的方程為;(Ⅱ)依題意可設(shè)直線的方程為,,,,,聯(lián)立,消去,得.所以△,所以,所以,,則,,假設(shè)存在定點(diǎn),,使得直線,的斜率之積為非零常數(shù),所以,要使為非零常數(shù),當(dāng)且僅當(dāng),解得(負(fù)值舍去).當(dāng)時(shí),常數(shù)為,所以軸的正半軸上存在定點(diǎn),使得直線,的斜率之積為常數(shù).例6.已知橢圓的離心率為,設(shè)直線過橢圓的上頂點(diǎn)和右焦點(diǎn),坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為2.(1)求橢圓的方程.(2)過點(diǎn)且斜率不為零的直線交橢圓于,兩點(diǎn),在軸的正半軸上是否存在定點(diǎn),使得直線,的斜率之積為非零的常數(shù)?若存在,求出定點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.【解析】解:(1)設(shè)橢圓的半焦距為,根據(jù)題意,得.因?yàn)檫^橢圓的上頂點(diǎn)和右頂點(diǎn),所以的方程為,即.又由點(diǎn)到直線的距離為2,得,所以.設(shè),,則,解得,從而,所以橢圓的方程為.(2)依題意設(shè)直線的方程為,,,,.聯(lián)立方程組消去得,△,所以,,,.假設(shè)存在定點(diǎn),,使得直線,的斜率之積為非零常數(shù),則.要使為非零常數(shù),當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)成立,此時(shí),,所以軸的正半軸上存在定點(diǎn),使得直線,的斜率之積為常數(shù).變式4.已知橢圓,四點(diǎn),,,中恰有三點(diǎn)在橢圓上.(1)求橢圓的方程;(2)過點(diǎn)且斜率不為0的直線交橢圓于,兩點(diǎn),在軸上是否存在定點(diǎn),使得直線的斜率與直線的斜率之積為定值?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.【解析】解:(1)由于,兩點(diǎn)關(guān)于軸對稱,故由題設(shè)可知經(jīng)過,兩點(diǎn),則圖象不經(jīng)過點(diǎn),故在橢圓上,,解得,,故橢圓的方程為,(2)由題設(shè)知,直線不能與軸重合,故可設(shè)直線的方程為,設(shè),、,,,直線的斜率為,直線的斜率為,由,得,則△則,,,當(dāng)時(shí),即時(shí),為定值,或,此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為.變式5.設(shè)橢圓的離心率是,過點(diǎn)的動(dòng)直線于橢圓相交于,兩點(diǎn),當(dāng)直線平行于軸時(shí),直線被橢圓截得弦長為.(Ⅰ)求的方程;(Ⅱ)在上是否存在與點(diǎn)不同的定點(diǎn),使得直線和的傾斜角互補(bǔ)?若存在,求的坐標(biāo);若不存在,說明理由.【解析】解(Ⅰ)由已知可得,橢圓經(jīng)過點(diǎn),因此,解得,所以橢圓方程為;(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,當(dāng)直線與軸垂直時(shí),直線與的傾斜角均為,滿足題意,此時(shí),且;當(dāng)直線的斜率存在時(shí),可設(shè)直線的方程為,,,,,聯(lián)立,得,其判別式△,,,直線和直線的傾斜角互補(bǔ),,,即,整理得,把,代入得,,,即,綜上所述存在與點(diǎn)不同的定點(diǎn)滿足題意.題型三:存在點(diǎn)使兩角度相等例7.已知,是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),是橢圓上一點(diǎn),當(dāng)時(shí),有.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)過橢圓右焦點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓交于,兩點(diǎn),試問在軸上是否存在與不重合的定點(diǎn),使得恒成立?若存在,求出定點(diǎn)的坐標(biāo),若不存在,請說明理由.【解析】解:(1)由題意,.故.可設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為,則,解得,即.,解得.,.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)由題意,假設(shè)存在與不重合的定點(diǎn),使得恒成立,設(shè),,且,,,,,則,.,,即.整理,得.設(shè)直線.聯(lián)立,消去,整理得.,...存在與不重合的定點(diǎn),使得恒成立,且點(diǎn)坐標(biāo)為.例8.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),橢圓,離心率為,右焦點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離為2,直線過右焦點(diǎn)且與橢圓交于、兩點(diǎn).(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若直線與軸垂直,為橢圓上的動(dòng)點(diǎn),求的取值范圍;(3)若動(dòng)直線與軸不重合,在軸上是否存在定點(diǎn),使得始終平分?若存在,請求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.【解析】解:(1)由題意得:,得,,(2分),,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:.(4分)(2)當(dāng)直線與軸垂直時(shí),,,設(shè)點(diǎn),,則,又點(diǎn)在橢圓上,,消去得,,得取值范圍為,.(8分)(3)假設(shè)在軸上存在點(diǎn)滿足題意,不妨設(shè),設(shè),,,,設(shè)直線的方程為:,聯(lián)列,消去得,則,,(12分)由平分知:,(13分)又,又,,得,即,得,所以存在點(diǎn)滿足題意.(16分)例9.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、,點(diǎn)滿足:,且.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)過點(diǎn)的直線與交于,,,不同的兩點(diǎn),且,問在軸上是否存在定點(diǎn),使得直線,與軸圍成的三角形始終為底邊在軸上的等腰三角形.若存在,求定點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.【解析】解:(1)因?yàn)?,所以點(diǎn)在橢圓上,將代入,得①,設(shè)橢圓焦距為,則,所以,又②,由①②解得,,所以橢圓的方程為;(2)顯然直線的斜率存在且不為0,設(shè)直線,聯(lián)立消去整理得:,由△,得,則,,假設(shè)存在點(diǎn),因?yàn)橹本€,與軸圍成的三角形始終為底邊在軸上的等腰三角形,所以,設(shè),則,即,所以,解得.故在軸上存在定點(diǎn),使得直線,與軸圍成的三角形始終在底邊為軸上的等腰三角形.變式6.已知橢圓的離心率為,左、右焦點(diǎn)分別為,,為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)在橢圓上,且滿足,.(Ⅰ)求橢圓的方程;(Ⅱ)已知過點(diǎn)且不與軸重合的直線與橢圓交于,兩點(diǎn),在軸上是否存在定點(diǎn),使得.若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,說明理由.【解析】解:(Ⅰ)由知,在△中,,,解得,,,所以橢圓;(6分)(Ⅱ)假設(shè)存在點(diǎn)滿足條件,設(shè)直線方程為,,,,,,消去有,,.因?yàn)椋?,即,解得.所以存在使得.?2分)題型四:存在點(diǎn)使等式恒成立例10.已知橢圓的右焦點(diǎn)為,橢圓上異于頂點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)滿足直線與的斜率之積為.(1)求橢圓的方程.(2)過點(diǎn)的直線與橢圓交于,,,兩點(diǎn),其中,點(diǎn)與不重合)在軸上,直線,分別與軸交于,,是否存在定點(diǎn),使得恒成立?若存在,求出定點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.【解析】解:(1)設(shè),,則①由,得,即②結(jié)合①②得.又由右焦點(diǎn),得,所以,,所以橢圓的方程為.(2)設(shè)存在定點(diǎn),使得恒成立.顯然直線的斜率不為0,故設(shè)直線,消去得,△,即由題意可知,存在且不為0,則.要使恒成立,只需,即,故.所以在軸上存在定點(diǎn),使得恒成立.例11.已知橢圓的右頂點(diǎn)為,離心率為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)過橢圓的左焦點(diǎn)且斜率為的直線交橢圓于,兩點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),問橢圓上是否存在點(diǎn),使得?若存在,求出直線的方程;若不存在,請說明理由.【解析】解:(1)由題意可知,又離心率為,,,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:.(2)設(shè)點(diǎn),,,,,,設(shè)直線的方程為,聯(lián)立方程,消去得:,△,,則,,則點(diǎn),又點(diǎn)在橢圓上,,整理得:,解得,橢圓上存在點(diǎn),使得,此時(shí)直線的方程為.例12.設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),,直線過且垂直于軸,交橢圓于、兩點(diǎn),連接、、,所組成的三角形為等邊三角形.(Ⅰ)求橢圓的方程;(Ⅱ)過右焦點(diǎn)的直線與橢圓相交于、兩點(diǎn),試問:橢圓上是否存在點(diǎn),使成立?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,說明理由.【解析】(本小題滿分14分)(Ⅰ)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),,由可得,(1分)等邊三角形中:,,(3分)則,得,(4分)又,,(5分)則橢圓;(6分)(Ⅱ)設(shè),、,,則由題意知的斜率為一定不為0,故不妨設(shè),代入橢圓的方程中,整理得,(8分)由題意得△.由韋達(dá)定理有:,①(9分)且②(10分)假設(shè)存在點(diǎn),使成立,則其充要條件為:點(diǎn),,(11分)點(diǎn)在橢圓上,即.整理得(12分)又、在橢圓上,即,,由①②代入:,解得,(13分)(14分)變式7.已知橢圓過點(diǎn),且橢圓的短軸長為.(Ⅰ)求橢圓的方程;(Ⅱ)已知?jiǎng)又本€過右焦點(diǎn),且與橢圓分別交于,兩點(diǎn).試問軸上是否存在定點(diǎn),使得恒成立?若存在求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,說明理由.【解析】解:(Ⅰ)由題意知,,解得,,橢圓的方程為.(Ⅱ)設(shè)存在點(diǎn)滿足題意,點(diǎn)為,當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),則,,,,,解得或.當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)其方程為,,,,,聯(lián)立,得,則,,,,,,,化簡整理得,,且,解得.綜上所述,軸上存在定點(diǎn),使得恒成立,點(diǎn)的坐標(biāo)為,.變式8.已知橢圓的右焦點(diǎn)為,且點(diǎn)在橢圓上.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)已知?jiǎng)又本€過點(diǎn),且與橢圓交于,兩點(diǎn),試問軸上是否存在定點(diǎn),使得恒成立?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo),若不存在,請說明理由.【解析】解:(1)由題意,點(diǎn)在橢圓上,根據(jù)橢圓的定義可得:,,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為;(2)假設(shè)軸上存在點(diǎn),使得恒成立當(dāng)直線的斜率為0時(shí),,,,,則,,①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),,,則,或②由①②可得.下面證明時(shí),恒成立當(dāng)直線的斜率為0時(shí),結(jié)論成立;當(dāng)直線的斜率不為0時(shí),設(shè)直線的方程為,,,,直線方程代入橢圓方程,整理可得,,,,綜上,軸上存在點(diǎn),,使得恒成立.變式9.已知橢圓的右焦點(diǎn)為,離心率.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)已知?jiǎng)又本€過點(diǎn),且與橢圓交于,兩點(diǎn),試問軸上是否存在定點(diǎn),使得恒成立?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo),若不存在,請說明理由.【解析】解:(1),,,,橢圓方程為.(2)假設(shè)軸上存在點(diǎn),使得,①當(dāng)直線的斜率為0時(shí),,,則,解得.②當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),,,則,解得,.由①②可得.下面證明時(shí),恒成立.直線斜率存在時(shí),設(shè)直線方程為,,.由消整理得:,,,,所以,,,綜上,軸上存在點(diǎn),使得恒成立.變式10.已知橢圓,過右焦點(diǎn)的直線交橢圓于,兩點(diǎn).(1)若,求直線的方程;(2)若直線的斜率存在,在線段上是否存在點(diǎn),使得,若存在,求出的范圍,若不存在,請說明理由.【解析】解:(1)當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),,,不符合題意;當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè),,,,直線的方程為,①又橢圓的方程為,②由①②可得,,,,,解得,,即直線的方程為或.(2)由(1)可知,設(shè)的中點(diǎn)為,即,假設(shè)存在點(diǎn),使得,則,解得,當(dāng)時(shí),,為橢圓長軸的兩個(gè)端點(diǎn),則點(diǎn)與原點(diǎn)重合,當(dāng)時(shí),,綜上所述,存在點(diǎn)且.變式11.設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為,右頂點(diǎn)為,已知,其中為坐標(biāo)原點(diǎn),為橢圓的離心率.(1)求橢圓的方程;(2)是否存在斜率為2的直線,使得當(dāng)直線與橢圓有兩個(gè)不同交點(diǎn),時(shí),能在直線上找到一點(diǎn),在橢圓上找到一點(diǎn),滿足?若存在,求出直線的方程;若不存在,說明理由.【解析】解:(1)橢圓的右焦點(diǎn)為,右頂點(diǎn)為,,可得,又因?yàn)?,,解得,故橢圓的方程為;(2)橢圓上不存在這樣的點(diǎn).事實(shí)上,設(shè)直線的方程為,聯(lián)立橢圓方程,得,△,得.設(shè),,,,則,,由知為平行四邊形,而為的中點(diǎn),也是的中點(diǎn),于是設(shè),,,,則,即,可得,因?yàn)?,所以,若,在橢圓上,則,矛盾.因此,不存在滿足條件的點(diǎn),.變式12.設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為,左頂點(diǎn)為,已知,其中為坐標(biāo)原點(diǎn),為橢圓的離心率.(1)求橢圓的方程;(2)是否存在斜率為的直線,使得當(dāng)直線與橢圓有兩個(gè)不同交點(diǎn),時(shí),能在直線上找到一點(diǎn),在橢圓上找到一點(diǎn),滿足?若存在,求出直線的方程;若不存在,說明理由.【解析】解:(1)由題意知:,又因?yàn)?,,解得故橢圓的方程為,(2)橢圓上不存在這樣的點(diǎn).設(shè)直線的方程為,聯(lián)立,得,△,得.設(shè),,,,則,,由知為平行四邊形,而為的中點(diǎn),也是的中點(diǎn).于是設(shè),,,則,即,可得.因?yàn)?,所以.若,在橢圓上,則,矛盾.因此,不存在滿足條件的點(diǎn),.題型五:存在點(diǎn)使線段關(guān)系式為定值例13.已知橢圓的焦距為2,且經(jīng)過點(diǎn).(1)求橢圓的方程;(2)經(jīng)過橢圓右焦點(diǎn)且斜率為的動(dòng)直線與橢圓交于、兩點(diǎn),試問軸上是否存在異于點(diǎn)的定點(diǎn),使恒成立?若存在,求出點(diǎn)坐標(biāo),若不存在,說明理由.【解析】解:由橢圓的焦距為2,故,則,又由橢圓經(jīng)過點(diǎn),代入得,得,,所以橢圓的方程為:.(2)根據(jù)題意,直線的斜率顯然不為零,令由橢圓右焦點(diǎn),故可設(shè)直線的方程為,與聯(lián)立得,,則△,設(shè),設(shè)存在點(diǎn),設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為,由,得,又因?yàn)?,所以,,所以直線和關(guān)于軸對稱,其傾斜角互補(bǔ),即有,則:,所以,所以,,即,即,解得,符合題意,即存在點(diǎn)滿足題意.例14.橢圓經(jīng)過兩點(diǎn),,,過點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交于,兩點(diǎn).(1)求橢圓的方程;(2)若橢圓的右焦點(diǎn)是,其右準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn),直線的斜率為,直線的斜率為,求證:;(3)設(shè)點(diǎn)是橢圓的長軸上某一點(diǎn)(不為長軸頂點(diǎn)及坐標(biāo)原點(diǎn)),是否存
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