專題34圓錐曲線存在性問題的探究

專題34圓錐曲線存在性問題的探究【方法技巧與總結(jié)】解決存在性問題的技巧：（1）特殊值（點(diǎn)）法：對于一些復(fù)雜的題目，可通過其中的特殊情況，解得所求要素的必要條件，然后再證明求得的要素也使得其他情況均成立．（2）假設(shè)法：先假設(shè)存在，推證滿足條件的結(jié)論．若結(jié)論正確，則存在；若結(jié)論不正確，則不存在．【題型歸納目錄】題型一：存在點(diǎn)使向量數(shù)量積為定值題型二：存在點(diǎn)使斜率之和或之積為定值題型三：存在點(diǎn)使兩角度相等題型四：存在點(diǎn)使等式恒成立題型五：存在點(diǎn)使線段關(guān)系式為定值【典例例題】題型一：存在點(diǎn)使向量數(shù)量積為定值例1．已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，橢圓長軸兩個(gè)端點(diǎn)間的距離與兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離的差為，且橢圓的離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）過點(diǎn)作直線交于、兩點(diǎn)，試問：在軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)，使為定值？若存在，求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【解析】解：（1），可得，，，所求橢圓的方程為：．（2）當(dāng)直線不與軸重合時(shí)，可設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立，把消去可得整理得：，設(shè)，、，，，，假設(shè)存在定點(diǎn)，使得為定值，．當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，（為定值）．這時(shí)，再驗(yàn)證當(dāng)直線的傾斜角時(shí)的情形，此時(shí)取，，，存在定點(diǎn)使得對于經(jīng)過點(diǎn)的任意一條直線均有（恒為定值）．例2．已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，其左、右焦點(diǎn)分別為，，短軸長為．點(diǎn)在橢圓上，且滿足△的周長為6．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，試問在軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)，使得恒為定值？若存在，求出該定值及點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【解析】解：由題意知：，解得，橢圓方程為：設(shè)，，，，．設(shè)直線的方程為：存在）聯(lián)立，得：，則又而為定值．只需，解得：，從而．當(dāng)不存在時(shí)，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，故：存在，使得．例3．已知橢圓的離心率為，橢圓經(jīng)過點(diǎn)．（1）求橢圓的方程；（2）過點(diǎn)作直線交于，兩點(diǎn)，試問：在軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)，使為定值？若存在，求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【解析】解：（1）由題意得，即，又橢圓經(jīng)過點(diǎn)，可得，解得，，所以橢圓的方程為；（2）假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)，設(shè)，，，，則，，，，，①當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，由，得，可得△成立，且，，，，對于任意的值，上式為定值，故，解得：，此時(shí)，為定值；②當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線，，，，由，得為定值，綜合①②知，符合條件的點(diǎn)存在，其坐標(biāo)為，．變式1．已知橢圓的離心率，過右焦點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，在第一象限，且．（1）求橢圓的方程；（2）在軸上是否存在點(diǎn)，滿足對于過點(diǎn)的任一直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)，，都有為定值？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．【解析】解：（1）直線的傾斜角為，且，點(diǎn)，，解得：，橢圓的方程為：．（2）設(shè)，直線的方程為：，，，，，聯(lián)立方程，消去得：，，，，，，，令為定值，則，解得：，此時(shí)為定值，也為定值，所以存在，，使得為定值．變式2．已知，，點(diǎn)滿足，記點(diǎn)的軌跡為，（1）求軌跡的方程；（2）若直線過點(diǎn)且法向量為，直線與軌跡交于、兩點(diǎn)．①過、作軸的垂線、，垂足分別為、，記，試確定的取值范圍；②在軸上是否存在定點(diǎn)，無論直線繞點(diǎn)怎樣轉(zhuǎn)動(dòng)，使恒成立？如果存在，求出定點(diǎn)；如果不存在，請說明理由．【解析】解：（1）由知，點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的雙曲線的右支．軌跡方程為．（2）直線的方程為，由得，設(shè)，，，，由條件得解得即．①，由條件，故，，因?yàn)?，因此．②設(shè)存在點(diǎn)滿足條件，由，得對任意恒成立，所以，解得，因此存在定點(diǎn)滿足條件．變式3．已知雙曲線的焦距為4，以原點(diǎn)為圓心，實(shí)半軸長為半徑的圓和直線相切．（Ⅰ）求雙曲線的方程；（Ⅱ）已知點(diǎn)為雙曲線的左焦點(diǎn)，試問在軸上是否存在一定點(diǎn)，過點(diǎn)任意作一條直線交雙曲線于，兩點(diǎn)，使為定值？若存在，求出此定值和所有的定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【解析】解：（Ⅰ）原點(diǎn)到直線的距離，，，雙曲線的方程為；（Ⅱ）解法一：假設(shè)存在點(diǎn)滿足條件，①當(dāng)直線方程為時(shí)，則，；②當(dāng)直線方程不是時(shí)，可設(shè)直線，代入整理得，由△得，設(shè)方程的兩個(gè)根為，，滿足，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，為定值1，解得，不滿足對任意，△，不合題意，舍去．而且滿足△；綜上得：過定點(diǎn)任意作一條直線交雙曲線于，兩點(diǎn)，使為定值1．解法二：前同解法一，得，由，解得，下同解法一．解法三：當(dāng)直線不垂直軸時(shí)，設(shè)，代入整理得，由△得，設(shè)方程的兩個(gè)根為，，滿足，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，為定值1，解得，不滿足對任意，△，不合題意，舍去，而且滿足△；當(dāng)直線軸時(shí)，代入得，；（9分）綜上得：（結(jié)論同解法一）題型二：存在點(diǎn)使斜率之和或之積為定值例4．已知橢圓的離心率為，，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，且△的周長是6，．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)直線經(jīng)過橢圓的左焦點(diǎn)且與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，試問：直線與直線的斜率的和是否為定值？若是，請求出此定值；若不是，請說明理由．【解析】解：（Ⅰ）由橢圓的定義知△的周長為，所以．又因?yàn)闄E圓的離心率，所以，聯(lián)立解得，，所以，因此橢圓方程為．（Ⅱ）設(shè)，，，，直線方程為，聯(lián)立，消去，得，則，，因?yàn)?，所以為定值，這個(gè)定值為0，當(dāng)直線與軸重合時(shí)，也有，所以直線與直線的斜率的和為定值0．（2）設(shè)，，，，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，聯(lián)立，消去得，則，，因?yàn)?，?dāng)直線與軸垂直時(shí)，有，所以直線與直線的斜率的和為定值0．例5．已知橢圓的離心率為，設(shè)直線過橢圓的上頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為．（Ⅰ）求橢圓的方程．（Ⅱ）過點(diǎn)且斜率不為零的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，在軸的正半軸上是否存在定點(diǎn)，使得直線，的斜率之積為非零的常數(shù)？若存在，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【解析】解：（Ⅰ）設(shè)橢圓半焦距為．根據(jù)題意得，橢圓離心率，即，所以．①因?yàn)橹本€過橢圓的上頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)，所以設(shè)直線的方程為，即，又由點(diǎn)到直線的距離為，得．②聯(lián)立①②解得，，所以橢圓的方程為；（Ⅱ）依題意可設(shè)直線的方程為，，，，，聯(lián)立，消去，得．所以△，所以，所以，，則，，假設(shè)存在定點(diǎn)，，使得直線，的斜率之積為非零常數(shù)，所以，要使為非零常數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)，解得（負(fù)值舍去）．當(dāng)時(shí)，常數(shù)為，所以軸的正半軸上存在定點(diǎn)，使得直線，的斜率之積為常數(shù)．例6．已知橢圓的離心率為，設(shè)直線過橢圓的上頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為2．（1）求橢圓的方程．（2）過點(diǎn)且斜率不為零的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，在軸的正半軸上是否存在定點(diǎn)，使得直線，的斜率之積為非零的常數(shù)？若存在，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【解析】解：（1）設(shè)橢圓的半焦距為，根據(jù)題意，得．因?yàn)檫^橢圓的上頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)，所以的方程為，即．又由點(diǎn)到直線的距離為2，得，所以．設(shè)，，則，解得，從而，所以橢圓的方程為．（2）依題意設(shè)直線的方程為，，，，．聯(lián)立方程組消去得，△，所以，，，．假設(shè)存在定點(diǎn)，，使得直線，的斜率之積為非零常數(shù)，則．要使為非零常數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)成立，此時(shí)，，所以軸的正半軸上存在定點(diǎn)，使得直線，的斜率之積為常數(shù)．變式4．已知橢圓，四點(diǎn)，，，中恰有三點(diǎn)在橢圓上．（1）求橢圓的方程；（2）過點(diǎn)且斜率不為0的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，在軸上是否存在定點(diǎn)，使得直線的斜率與直線的斜率之積為定值？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【解析】解：（1）由于，兩點(diǎn)關(guān)于軸對稱，故由題設(shè)可知經(jīng)過，兩點(diǎn)，則圖象不經(jīng)過點(diǎn)，故在橢圓上，，解得，，故橢圓的方程為，（2）由題設(shè)知，直線不能與軸重合，故可設(shè)直線的方程為，設(shè)，、，，，直線的斜率為，直線的斜率為，由，得，則△則，，，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，為定值，或，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為．變式5．設(shè)橢圓的離心率是，過點(diǎn)的動(dòng)直線于橢圓相交于，兩點(diǎn)，當(dāng)直線平行于軸時(shí)，直線被橢圓截得弦長為．（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）在上是否存在與點(diǎn)不同的定點(diǎn)，使得直線和的傾斜角互補(bǔ)？若存在，求的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．【解析】解（Ⅰ）由已知可得，橢圓經(jīng)過點(diǎn)，因此，解得，所以橢圓方程為；（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，直線與的傾斜角均為，滿足題意，此時(shí)，且；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線的方程為，，，，，聯(lián)立，得，其判別式△，，，直線和直線的傾斜角互補(bǔ)，，，即，整理得，把，代入得，，，即，綜上所述存在與點(diǎn)不同的定點(diǎn)滿足題意．題型三：存在點(diǎn)使兩角度相等例7．已知，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，有．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)過橢圓右焦點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，試問在軸上是否存在與不重合的定點(diǎn)，使得恒成立？若存在，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．【解析】解：（1）由題意，．故．可設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則，解得，即．，解得．，．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）由題意，假設(shè)存在與不重合的定點(diǎn)，使得恒成立，設(shè)，，且，，，，，則，．，，即．整理，得．設(shè)直線．聯(lián)立，消去，整理得．，．．．存在與不重合的定點(diǎn)，使得恒成立，且點(diǎn)坐標(biāo)為．例8．在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，橢圓，離心率為，右焦點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離為2，直線過右焦點(diǎn)且與橢圓交于、兩點(diǎn)．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線與軸垂直，為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求的取值范圍；（3）若動(dòng)直線與軸不重合，在軸上是否存在定點(diǎn)，使得始終平分？若存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【解析】解：（1）由題意得：，得，，（2分），，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：．（4分）（2）當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，，，設(shè)點(diǎn)，，則，又點(diǎn)在橢圓上，，消去得，，得取值范圍為，．（8分）（3）假設(shè)在軸上存在點(diǎn)滿足題意，不妨設(shè)，設(shè)，，，，設(shè)直線的方程為：，聯(lián)列，消去得，則，，（12分）由平分知：，（13分）又，又，，得，即，得，所以存在點(diǎn)滿足題意．（16分）例9．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)滿足：，且．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)的直線與交于，，，不同的兩點(diǎn)，且，問在軸上是否存在定點(diǎn)，使得直線，與軸圍成的三角形始終為底邊在軸上的等腰三角形．若存在，求定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【解析】解：（1）因?yàn)?，所以點(diǎn)在橢圓上，將代入，得①，設(shè)橢圓焦距為，則，所以，又②，由①②解得，，所以橢圓的方程為；（2）顯然直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線，聯(lián)立消去整理得：，由△，得，則，，假設(shè)存在點(diǎn)，因?yàn)橹本€，與軸圍成的三角形始終為底邊在軸上的等腰三角形，所以，設(shè)，則，即，所以，解得．故在軸上存在定點(diǎn)，使得直線，與軸圍成的三角形始終在底邊為軸上的等腰三角形．變式6．已知橢圓的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，且滿足，．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）已知過點(diǎn)且不與軸重合的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，在軸上是否存在定點(diǎn)，使得．若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．【解析】解：（Ⅰ）由知，在△中，，，解得，，，所以橢圓；（6分）（Ⅱ）假設(shè)存在點(diǎn)滿足條件，設(shè)直線方程為，，，，，，消去有，，．因?yàn)椋?，即，解得．所以存在使得．?2分）題型四：存在點(diǎn)使等式恒成立例10．已知橢圓的右焦點(diǎn)為，橢圓上異于頂點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)滿足直線與的斜率之積為．（1）求橢圓的方程．（2）過點(diǎn)的直線與橢圓交于，，，兩點(diǎn)，其中，點(diǎn)與不重合）在軸上，直線，分別與軸交于，，是否存在定點(diǎn)，使得恒成立？若存在，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【解析】解：（1）設(shè)，，則①由，得，即②結(jié)合①②得．又由右焦點(diǎn)，得，所以，，所以橢圓的方程為．（2）設(shè)存在定點(diǎn)，使得恒成立．顯然直線的斜率不為0，故設(shè)直線，消去得，△，即由題意可知，存在且不為0，則．要使恒成立，只需，即，故．所以在軸上存在定點(diǎn)，使得恒成立．例11．已知橢圓的右頂點(diǎn)為，離心率為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過橢圓的左焦點(diǎn)且斜率為的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，問橢圓上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．【解析】解：（1）由題意可知，又離心率為，，，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：．（2）設(shè)點(diǎn)，，，，，，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程，消去得：，△，，則，，則點(diǎn)，又點(diǎn)在橢圓上，，整理得：，解得，橢圓上存在點(diǎn)，使得，此時(shí)直線的方程為．例12．設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，，直線過且垂直于軸，交橢圓于、兩點(diǎn)，連接、、，所組成的三角形為等邊三角形．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）過右焦點(diǎn)的直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，試問：橢圓上是否存在點(diǎn)，使成立？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．【解析】（本小題滿分14分）（Ⅰ）、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，，由可得，（1分）等邊三角形中：，，（3分）則，得，（4分）又，，（5分）則橢圓；（6分）（Ⅱ）設(shè)，、，，則由題意知的斜率為一定不為0，故不妨設(shè)，代入橢圓的方程中，整理得，（8分）由題意得△．由韋達(dá)定理有：，①（9分）且②（10分）假設(shè)存在點(diǎn)，使成立，則其充要條件為：點(diǎn)，，（11分）點(diǎn)在橢圓上，即．整理得（12分）又、在橢圓上，即，，由①②代入：，解得，（13分）（14分）變式7．已知橢圓過點(diǎn)，且橢圓的短軸長為．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）已知?jiǎng)又本€過右焦點(diǎn)，且與橢圓分別交于，兩點(diǎn)．試問軸上是否存在定點(diǎn)，使得恒成立？若存在求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．【解析】解：（Ⅰ）由題意知，，解得，，橢圓的方程為．（Ⅱ）設(shè)存在點(diǎn)滿足題意，點(diǎn)為，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，則，，，，，解得或．當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，，，，，聯(lián)立，得，則，，，，，，，化簡整理得，，且，解得．綜上所述，軸上存在定點(diǎn)，使得恒成立，點(diǎn)的坐標(biāo)為，．變式8．已知橢圓的右焦點(diǎn)為，且點(diǎn)在橢圓上．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知?jiǎng)又本€過點(diǎn)，且與橢圓交于，兩點(diǎn)，試問軸上是否存在定點(diǎn)，使得恒成立？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．【解析】解：（1）由題意，點(diǎn)在橢圓上，根據(jù)橢圓的定義可得：，，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）假設(shè)軸上存在點(diǎn)，使得恒成立當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，，，，，則，，①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，，則，或②由①②可得．下面證明時(shí)，恒成立當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，結(jié)論成立；當(dāng)直線的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為，，，，直線方程代入橢圓方程，整理可得，，，，綜上，軸上存在點(diǎn)，，使得恒成立．變式9．已知橢圓的右焦點(diǎn)為，離心率．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知?jiǎng)又本€過點(diǎn)，且與橢圓交于，兩點(diǎn)，試問軸上是否存在定點(diǎn)，使得恒成立？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．【解析】解：（1），，，，橢圓方程為．（2）假設(shè)軸上存在點(diǎn)，使得，①當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，，，則，解得．②當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，，則，解得，．由①②可得．下面證明時(shí)，恒成立．直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，，．由消整理得：，，，，所以，，，綜上，軸上存在點(diǎn)，使得恒成立．變式10．已知橢圓，過右焦點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)．（1）若，求直線的方程；（2）若直線的斜率存在，在線段上是否存在點(diǎn)，使得，若存在，求出的范圍，若不存在，請說明理由．【解析】解：（1）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，，不符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)，，，，直線的方程為，①又橢圓的方程為，②由①②可得，，，，，解得，，即直線的方程為或．（2）由（1）可知，設(shè)的中點(diǎn)為，即，假設(shè)存在點(diǎn)，使得，則，解得，當(dāng)時(shí)，，為橢圓長軸的兩個(gè)端點(diǎn)，則點(diǎn)與原點(diǎn)重合，當(dāng)時(shí)，，綜上所述，存在點(diǎn)且．變式11．設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，已知，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，為橢圓的離心率．（1）求橢圓的方程；（2）是否存在斜率為2的直線，使得當(dāng)直線與橢圓有兩個(gè)不同交點(diǎn)，時(shí)，能在直線上找到一點(diǎn)，在橢圓上找到一點(diǎn)，滿足？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由．【解析】解：（1）橢圓的右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，，可得，又因?yàn)?，，解得，故橢圓的方程為；（2）橢圓上不存在這樣的點(diǎn)．事實(shí)上，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程，得，△，得．設(shè)，，，，則，，由知為平行四邊形，而為的中點(diǎn)，也是的中點(diǎn)，于是設(shè)，，，，則，即，可得，因?yàn)?，所以，若，在橢圓上，則，矛盾．因此，不存在滿足條件的點(diǎn)，．變式12．設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，左頂點(diǎn)為，已知，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，為橢圓的離心率．（1）求橢圓的方程；（2）是否存在斜率為的直線，使得當(dāng)直線與橢圓有兩個(gè)不同交點(diǎn)，時(shí)，能在直線上找到一點(diǎn)，在橢圓上找到一點(diǎn)，滿足？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由．【解析】解：（1）由題意知：，又因?yàn)?，，解得故橢圓的方程為，（2）橢圓上不存在這樣的點(diǎn)．設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得，△，得．設(shè)，，，，則，，由知為平行四邊形，而為的中點(diǎn)，也是的中點(diǎn)．于是設(shè)，，，則，即，可得．因?yàn)?，所以．若，在橢圓上，則，矛盾．因此，不存在滿足條件的點(diǎn)，．題型五：存在點(diǎn)使線段關(guān)系式為定值例13．已知橢圓的焦距為2，且經(jīng)過點(diǎn)．（1）求橢圓的方程；（2）經(jīng)過橢圓右焦點(diǎn)且斜率為的動(dòng)直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，試問軸上是否存在異于點(diǎn)的定點(diǎn)，使恒成立？若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，說明理由．【解析】解：由橢圓的焦距為2，故，則，又由橢圓經(jīng)過點(diǎn)，代入得，得，，所以橢圓的方程為：．（2）根據(jù)題意，直線的斜率顯然不為零，令由橢圓右焦點(diǎn)，故可設(shè)直線的方程為，與聯(lián)立得，，則△，設(shè)，設(shè)存在點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，由，得，又因?yàn)?，所以，，所以直線和關(guān)于軸對稱，其傾斜角互補(bǔ)，即有，則：，所以，所以，，即，即，解得，符合題意，即存在點(diǎn)滿足題意．例14．橢圓經(jīng)過兩點(diǎn)，，，過點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)．（1）求橢圓的方程；（2）若橢圓的右焦點(diǎn)是，其右準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，直線的斜率為，直線的斜率為，求證：；（3）設(shè)點(diǎn)是橢圓的長軸上某一點(diǎn)（不為長軸頂點(diǎn)及坐標(biāo)原點(diǎn)），是否存