第四章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)單元綜合測(cè)試卷

第四章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)單元綜合測(cè)試卷第Ⅰ卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．下列函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】對(duì)于A,是冪函數(shù)，對(duì)于B，系數(shù)不為1，不是指數(shù)函數(shù)，對(duì)于C,是底數(shù)為的指數(shù)函數(shù)，對(duì)于D,底數(shù)不滿足大于0且不為1，故不是指數(shù)函數(shù)，故選：C2．方程的根所在的區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】令，顯然單調(diào)遞增，又因?yàn)椋?，由零點(diǎn)存在性定理可知：的零點(diǎn)所在區(qū)間為，所以的根所在區(qū)間為.故選：B3．已知函數(shù)，則的（

）A．圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且在上是增函數(shù)B．圖象關(guān)于軸對(duì)稱，且在上是增函數(shù)C．圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且在上是減函數(shù)D．圖象關(guān)于軸對(duì)稱，且在上是減函數(shù)【答案】A【解析】定義域?yàn)?，，為奇函?shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，為減函數(shù)，為增函數(shù).故選：A.4．若，，，則，，的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，，，故.故選：B5．函數(shù)的圖象大致是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，，排除A，所以，故函數(shù)是偶函數(shù)，圖象關(guān)于對(duì)稱，排除B，當(dāng)時(shí)，，排除D，故選：C6．若關(guān)于的方程在內(nèi)有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意在內(nèi)有解，，時(shí)，，時(shí)，，所以．故選：A．7．已知函數(shù)，若函數(shù)有四個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由得：或，因函數(shù)，由解得，因此函數(shù)有四個(gè)不同的零點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)方程有三個(gè)不同的根，函數(shù)在上遞減，函數(shù)值集合為，在上遞增，函數(shù)值集合為，函數(shù)在上遞減，函數(shù)值集合為，在上遞增，函數(shù)值集合為，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出直線與函數(shù)的圖象，如圖，方程有3個(gè)不同的根，當(dāng)且僅當(dāng)直線與函數(shù)的圖象有3個(gè)公共點(diǎn)，觀察圖象知，當(dāng)或，即或時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有3個(gè)公共點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A8．存在兩個(gè)常數(shù)和，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，則稱函數(shù)在上有界.下列函數(shù)中在其定義域上有界的個(gè)數(shù)為（

）①②；③A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】對(duì)于①，，又因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等；所以.對(duì)于②，，，，所以對(duì)于③，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以時(shí)，，，，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以時(shí)，，所以.故在其定義域上有界的函數(shù)為①.故選：B.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9．（多選）下列函數(shù)不存在零點(diǎn)的是（）A． B．C． D．【答案】BD【解析】A選項(xiàng)中，令，解得，故和1是函數(shù)的零點(diǎn)；B選項(xiàng)中，令，則，因?yàn)?，所以該方程無(wú)解，所以函數(shù)無(wú)零點(diǎn)；C選項(xiàng)中，令，解得，故1和1是函數(shù)的零點(diǎn)；D選項(xiàng)中，令，方程無(wú)解，故函數(shù)無(wú)零點(diǎn)．故選：BD．10．下列說(shuō)法中正確的是（

）A．函數(shù)的值域?yàn)锽．函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為C．函數(shù)與互為反函數(shù)D．函數(shù)與函數(shù)為同一函數(shù)【答案】ABC【解析】A選項(xiàng)：函數(shù)，當(dāng)時(shí)，取最小值為，所以函數(shù)的值域?yàn)椋籅選項(xiàng)：因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)至多有一個(gè)零點(diǎn)，且，，所以其零點(diǎn)所在區(qū)間為，B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)：，即，可得，所以函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)：函數(shù)與函數(shù)的定義域均為，，，不為同一函數(shù)，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：ABC.11．已知實(shí)數(shù)滿足，下列選項(xiàng)中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】，故選項(xiàng)A正確；，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；，故選項(xiàng)C正確；,,故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：AC．12．已知函數(shù)，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．，恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是B．，恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是C．，，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是D．，，【答案】AC【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，，恒成立，即，為減函數(shù)，所以，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，，恒成立，即，所以，B選項(xiàng)不正確；對(duì)于C選項(xiàng)，，，即，的圖像為開(kāi)口向上的拋物線，所以在對(duì)稱軸處取最小值，在離對(duì)稱軸最遠(yuǎn)處取最大值，所以，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，，，，即要求的值域是值域的子集，而的值域?yàn)?，值域?yàn)?，不滿足要求，D選項(xiàng)不正確；故選：AC.第Ⅱ卷三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)__________．【答案】【解析】要使函數(shù)有意義，則，解得或，所以函數(shù)的定義域?yàn)椋蚀鸢笧椋海?4．酒駕是嚴(yán)重危害交通安全的違法行為，為了保障交通安全，根據(jù)國(guó)家有關(guān)規(guī)定：血液中酒精含量達(dá)到的駕駛員即為酒后駕車，及以上定義為醉酒駕車．假設(shè)某駕駛員喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升了．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量會(huì)以每小時(shí)30%的速度減少，那么他至少經(jīng)過(guò)___________個(gè)小時(shí)才能駕駛．（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)）【答案】5【解析】設(shè)個(gè)小時(shí)后血液中酒精含量為，則，即，當(dāng)，可得，所以該駕駛員至少經(jīng)過(guò)個(gè)小時(shí)才能駕駛．故答案為：5.15．寫出一個(gè)滿足函數(shù)在上單調(diào)遞增的值_____________.【答案】（答案不唯一）【解析】因?yàn)?，?dāng)時(shí)在定義域上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，畫(huà)出，的圖象如下所示：要使函數(shù)在上單調(diào)遞增，由圖可知當(dāng)時(shí)均可滿足函數(shù)在上單調(diào)遞增；故答案為：（答案不唯一）16．已知函數(shù)，若，，則________．【答案】【解析】因?yàn)?，所以，所以，所以函?shù)的定義域?yàn)?，又因?yàn)?，，，所以，所以，故答案為：．四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步棸。17．（10分）化簡(jiǎn)或計(jì)算下列各式：(1)；(2)【解析】（1）.（2）.18．（12分）冰雪裝備器材產(chǎn)業(yè)是冰雪產(chǎn)業(yè)的重要組成部分，加快發(fā)展冰雪裝備器材產(chǎn)業(yè)，對(duì)籌辦2022年冬奧會(huì)、殘奧會(huì)，帶動(dòng)我國(guó)近3億人參與冰雪運(yùn)動(dòng)有重要支撐作用.東北某家生產(chǎn)企業(yè)，生產(chǎn)某種冰雪產(chǎn)品的年固定成本為100萬(wàn)元，每生產(chǎn)千件需投入，當(dāng)年產(chǎn)量不足80千件時(shí)（萬(wàn)元），當(dāng)年產(chǎn)量不小于80千件時(shí)，（萬(wàn)元）.每件產(chǎn)品售價(jià)為500元.經(jīng)市場(chǎng)分析，該企業(yè)產(chǎn)品可以全部售完；(1)寫出年利潤(rùn)（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量（千件）的函數(shù)解析式；(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少千件時(shí)，該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少?【解析】(1)每件產(chǎn)品售價(jià)500元，則千件銷售額為萬(wàn)元，由題可知當(dāng)時(shí)：，當(dāng)時(shí)：；(2)當(dāng)時(shí)，，此時(shí)當(dāng)時(shí)（萬(wàn)元），當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)“”即“”時(shí)“＝”成立，所以當(dāng)年產(chǎn)量為30千件時(shí)獲利最大，最大利潤(rùn)350萬(wàn)元.19．（12分）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在軸左側(cè)的圖象如圖所示．(1)求函數(shù)的解析式；(2)若關(guān)于的方程有個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】（1）由圖象知：，即，解得：，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，，為上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，；綜上所述：；（2）為偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對(duì)稱，可得圖象如下圖所示，有個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，等價(jià)于與有個(gè)不同的交點(diǎn)，由圖象可知：，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.20．（12分）已知函數(shù)且在上最大值和最小值的和為12，令．(1)求實(shí)數(shù)的值.(2)并探究是否為定值，若是定值，寫出證明過(guò)程；若不是定值，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)解不等式：．【解析】（1）因?yàn)楹瘮?shù)且在上為單調(diào)函數(shù)，所以，解得或．因?yàn)榍?，所以；?）由（1）得，，所以；（3）由（2）得，，且，所以，所以，所以，整理得，，解得，所以原不等式的解集為．21．（12分）已知函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)．(1)求函數(shù)和的解析式；(2)設(shè)，若對(duì)于任意，都有，求m的取值范圍．【解析】（1）因?yàn)楹瘮?shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，所以，解得，所以．（2）因?yàn)榍?，所以且，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞增所以的最大值是或．因?yàn)椋?，若，只需，即，則，設(shè)，任取且，則，因?yàn)椋?，，即，所以，所以，即，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，且，所以，即，所以，所以m的取值范圍是．22．（12分）已知函數(shù)(1)設(shè)函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，求函數(shù)的解析式；(2)已知集合①求集合；②