高中數(shù)學(xué)湘教版（2019）選擇性必修第一冊(cè) 2.7　用坐標(biāo)方法解決幾何問(wèn)題

2.7用坐標(biāo)方法解決幾何問(wèn)題新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀核心素養(yǎng)1.理解坐標(biāo)法的意義,并會(huì)用坐標(biāo)法和“數(shù)形結(jié)合”數(shù)學(xué)思想解決幾何問(wèn)題邏輯推理、直觀想象2.通過(guò)建立平面直角坐標(biāo)系,運(yùn)用坐標(biāo)法和直線與圓的有關(guān)知識(shí),解決一些與幾何有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算01題型突破·析典例?題型一用坐標(biāo)法證明幾何問(wèn)題【例1】

用坐標(biāo)法證明:若四邊形的一組對(duì)邊的平方和等于另一組對(duì)邊的平方和,則該四邊形的對(duì)角線互相垂直.證明

如圖所示,以AC所在直線為x軸,過(guò)點(diǎn)B垂直于AC的直線為y軸建立直角坐標(biāo)系,設(shè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(a,0),B(0,b),C(c,0),D(x,y).化簡(jiǎn)得(a-c)x＝0,因?yàn)閍-c≠0,所以x＝0,所以D點(diǎn)在y軸上,所以AC⊥BD,所以若四邊形的一組對(duì)邊的平方和等于另一組對(duì)邊的平方和,則該四邊形的對(duì)角線互相垂直.因?yàn)椋麬B｜2＋｜CD｜2＝｜BC｜2＋｜AD｜2,所以a2＋b2＋(x-c)2＋y2＝b2＋c2＋(x-a)2＋y2,通性通法坐標(biāo)法建立直角坐標(biāo)系的原則(1)若有兩條相互垂直的直線,一般以它們分別為x軸和y軸;(2)充分利用圖形的對(duì)稱性;(3)讓盡可能多的點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上,或關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱;(4)關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)易求得.?

如圖所示,Rt△ABC的斜邊長(zhǎng)為定值2m,以斜邊的中點(diǎn)O為圓心作半徑為n的圓,直線BC交圓于P,Q兩點(diǎn),求證:｜AP｜2＋｜AQ｜2＋｜PQ｜2為定值.證明:如圖所示,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),以直線BC為x軸,建立平面直角坐標(biāo)系,于是有B(-m,0),C(m,0),P(-n,0),Q(n,0).設(shè)A(x,y),由已知,點(diǎn)A在圓x2＋y2＝m2上,故｜AP｜2＋｜AQ｜2＋｜PQ｜2＝(x＋n)2＋y2＋(x-n)2＋y2＋4n2＝2x2＋2y2＋6n2＝2m2＋6n2(定值).題型二與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題【例2】

已知點(diǎn)A(2,0)是圓x2＋y2＝4上的定點(diǎn),點(diǎn)B(1,1)是圓內(nèi)一點(diǎn),P,Q為圓上的動(dòng)點(diǎn).(1)求線段AP的中點(diǎn)M的軌跡方程;解

(1)設(shè)線段AP的中點(diǎn)為M(x,y)(x≠2),由中點(diǎn)公式,得點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2x-2,2y).∵點(diǎn)P在圓x2＋y2＝4上,∴(2x-2)2＋(2y)2＝4,故線段AP的中點(diǎn)M的軌跡方程為(x-1)2＋y2＝1(x≠2).(2)若∠PBQ＝90°,求線段PQ的中點(diǎn)N的軌跡方程.解

(2)設(shè)線段PQ的中點(diǎn)為N(x,y),在Rt△PBQ中,｜PN｜＝｜BN｜.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),連接ON(圖略),則ON⊥PQ,∴｜OP｜2＝｜ON｜2＋｜PN｜2＝｜ON｜2＋｜BN｜2,∴x2＋y2＋(x-1)2＋(y-1)2＝4,故線段PQ的中點(diǎn)N的軌跡方程為x2＋y2-x-y-1＝0.?1.(變?cè)O(shè)問(wèn))在本例條件不變的情況下,求過(guò)點(diǎn)B的弦的中點(diǎn)T的軌跡方程.

2.(變?cè)O(shè)問(wèn))本例條件不變,求BP的中點(diǎn)E的軌跡方程.

通性通法與圓有關(guān)的軌跡方程的求法(1)直接法:直接根據(jù)題目提供的條件列出方程;(2)定義法:根據(jù)圓、直線等定義列方程;(3)代入法:找到要求點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系,代入已知點(diǎn)滿足的關(guān)系式等.?

已知△ABC的頂點(diǎn)A(0,0),B(4,0),且AC邊上的中線BD的長(zhǎng)為3,則頂點(diǎn)C的軌跡方程是

?.

答案:(x-8)2＋y2＝36(y≠0)題型三利用坐標(biāo)法解決實(shí)際問(wèn)題角度一:圓的方程的實(shí)際應(yīng)用【例3】

如圖為一座圓拱橋的截面圖,當(dāng)水面在某位置時(shí),拱頂離水面2m,水面寬12m,當(dāng)水面下降1m后,水面寬為

?m.

角度二:直線與圓的方程的實(shí)際應(yīng)用

(1)求圓C的方程;

(2)若圓C區(qū)域內(nèi)有未知暗礁,現(xiàn)有一船D在O島的南偏西30°方向距O島40千米處,正沿著北偏東45°方向行駛,若不改變方向,試問(wèn)該船有沒(méi)有觸礁的危險(xiǎn)?

通性通法解決直線與圓的實(shí)際應(yīng)用題的步驟(1)審題:從題目中抽象出幾何模型,明確已知和未知;(2)建系:建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系,用坐標(biāo)和方程表示幾何模型中的基本元素;(3)求解:利用直線與圓的有關(guān)知識(shí)求出未知;(4)還原:將運(yùn)算結(jié)果還原到實(shí)際問(wèn)題中去.?

?1.y＝｜x｜的圖象和圓x2＋y2＝4在x軸上方所圍成的圖形的面積是(

)D.π

3.設(shè)某村莊外圍成圓形,其所在曲線的方程可用(x-2)2＋(y＋3)2＝4表示,村外一小路方程可用x-y＋2＝0表示,則從村莊外圍到小路的最短距離是

?.

4.一艘輪船在沿直線返回港口的途中,接到氣象臺(tái)的臺(tái)風(fēng)預(yù)報(bào):臺(tái)風(fēng)中心位于輪船正西70km處,受影響的范圍是半徑長(zhǎng)為30km的圓形區(qū)域.已知港口位于臺(tái)風(fēng)中心正北40km處,如果這艘輪船不改變航線,那么它

?(填“會(huì)”“不會(huì)”)受到臺(tái)風(fēng)的影響.

答案:不會(huì)02知能演練·扣課標(biāo)?1.如圖,圓弧形拱橋的跨度｜AB｜＝12米,拱高｜CD｜＝4米,則拱橋的直徑為(

)A.15米B.13米C.9米D.6.5米

2.已知點(diǎn)A(-1,1)和圓C:(x-5)2＋(y-7)2＝4,一束光線從點(diǎn)A經(jīng)x軸反射到圓C上的最短路程是(

)B.8D.10

3.為了適應(yīng)市場(chǎng)需要,某地準(zhǔn)備建一個(gè)圓形生豬儲(chǔ)備基地(如圖),它的附近有一條公路,從基地中心O處向東走1km是儲(chǔ)備基地的邊界上的點(diǎn)A,接著向東再走7km到達(dá)公路上的點(diǎn)B;從基地中心O向正北走8km到達(dá)公路的另一點(diǎn)C.現(xiàn)準(zhǔn)備在儲(chǔ)備基地的邊界上選一點(diǎn)D,修建一條由D通往公路BC的專用線DE,則DE的最短距離為(

)A.6kmD.4km

4.設(shè)某公園外圍成圓形,其所在曲線的方程可用x2＋y2-2x＝0表示,在公園外兩點(diǎn)A(-2,0),B(0,2)與公園邊上任意一點(diǎn)修建一處舞臺(tái),則舞臺(tái)面積的最小值為(

)

5.(多選)從點(diǎn)A(-3,3)發(fā)出的光線l射到x軸上被x軸反射后,照射到圓C:x2＋y2-4x-4y＋7＝0上,則下列結(jié)論正確的是(

)A.若反射光線與圓C相切,則切線方程為3x-4y-3＝0B.若反射光線穿過(guò)圓C的圓心,則反射光線方程為x-y＝0

6.設(shè)A為圓(x-1)2＋y2＝1上的動(dòng)點(diǎn),PA是圓的切線且｜PA｜＝1,則P點(diǎn)的軌跡方程是

?.

解析:設(shè)P(x,y)是軌跡上任一點(diǎn),圓(x-1)2＋y2＝1的圓心為B(1,0),則｜PA｜2＋1＝｜PB｜2,∴(x-1)2＋y2＝2.答案:(x-1)2＋y2＝27.已知兩定點(diǎn)A(-2,0),B(1,0),如果動(dòng)點(diǎn)P滿足｜PA｜＝2｜PB｜,則點(diǎn)P的軌跡所圍成的圖形的面積為

?.

答案:4π8.唐代詩(shī)人李頎的詩(shī)《古從軍行》開(kāi)頭兩句說(shuō):“白日登山望烽火,黃昏飲馬傍交河.”詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題——“將軍飲馬”問(wèn)題,即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā),先到河邊飲馬后再回軍營(yíng),怎樣走才能使總路程最短?在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)軍營(yíng)所在區(qū)域?yàn)閤2＋y2≤5,若將軍從點(diǎn)A(3,1)處出發(fā),河岸線所在直線方程為x＋y＝5,并假定將軍只要到達(dá)軍營(yíng)所在區(qū)域即回到軍營(yíng),則“將軍飲馬”的最短總路程為

?.

9.如圖,已知線段AB的中點(diǎn)C的坐標(biāo)是(4,3),端點(diǎn)A在圓(x＋1)2＋y2＝4上運(yùn)動(dòng),求線段AB的端點(diǎn)B的軌跡方程.

10.△ABD和△BCE是邊AB,BC在直線AC上且位于直線AC同側(cè)的兩個(gè)等邊三角形,用坐標(biāo)法證明:｜AE｜＝｜CD｜.證明:如圖,以B點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),取AC所在直線為x軸,建立直角坐標(biāo)系.設(shè)△ABD和△BCE的邊長(zhǎng)分別為a,c,

所以｜AE｜＝｜CD｜.?

A.6秒B.8秒

C.10秒D.16秒12.某圓拱橋的示意圖如圖所示,該圓拱的跨度AB是36m,拱高OP是6m,在建造時(shí),每隔3m需用一個(gè)支柱支撐,則支柱A2P2的長(zhǎng)為(

)D.不確定

答案:(-1,1)14.如圖,已知一艘海監(jiān)船O上配有雷達(dá),其監(jiān)測(cè)范圍是半徑為25km的圓形區(qū)域,一艘外籍輪船從位于海監(jiān)船正東40km的A處出發(fā),徑直駛向位于海監(jiān)船正北30km的B處島嶼,速度為28km/h.問(wèn):這艘外籍輪船能否被海監(jiān)船監(jiān)測(cè)到?若能,持續(xù)時(shí)間多長(zhǎng)?(用坐標(biāo)法求解)解:如圖,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),東西方向?yàn)閤軸建立平面直角坐標(biāo)系,則A(40,0),B(0,30),圓O的方程為x2＋y2＝252.

即3x＋4y-120＝0.設(shè)點(diǎn)O到直線AB的距離為d,

所以外籍輪船能被海監(jiān)船監(jiān)測(cè)到.

?15.如圖是一公路隧道截面圖,下方ABCD是矩形,且AB＝4m,BC＝8m,隧道頂APD是一圓弧,拱高OP＝2m,隧道有兩車道EF和FG,每車道寬3.5m,車道兩邊留有0.5m人行道BE和GC,為了行駛安全,車頂與隧道頂端至少有0.6m的間隙,則此隧道允許通行車輛的限高是

?m.(精確到0.01m)

解析:建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系xOy,設(shè)弧APD所在圓的圓心坐標(biāo)為O1(0,b),半徑為r,則其方程為x2＋(y-b)2＝r2.將P(0,2),D(4,0)的坐標(biāo)代入以上方程,解得b＝-3,r＝5,故圓O1的方程為x2＋(y＋3)2＝25.過(guò)點(diǎn)E作AD的垂線交AD于點(diǎn)M,延