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學必求其心得,業(yè)必貴于專精學必求其心得,業(yè)必貴于專精學必求其心得,業(yè)必貴于專精課堂導學三點剖析1。兩角差的余弦公式【例1】已知sinα=,cosβ=,求cos(α-β)的值。思路分析:根據(jù)兩角差的余弦公式知,還須求cosα、sinβ.由條件可知,只要對α、β所處的象限進行討論即可.解:∵sinα=>0,∴α為第一、二象限角。當α為第一象限角時,cosα=;當α為第二象限角時,cosα=—?!遚osβ=>0,∴β為第一、四象限角.當β為第一象限角時,sinβ=;當β為第四象限角時,sinβ=—?!遚os(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ,∴當α、β均為第一角限角時,cos(α—β)=×+×=;當α為第一象限角,β為第四象限角時,cos(α—β)=×+×(-)=;當α為第二象限角,β為第一象限角時,cos(α-β)=(-)×+×=—;當α為第二象限角,β為第四象限角時,cos(α-β)=(—)×+×(-)=-.溫馨提示(1)解題時,由結(jié)論出發(fā)分析題目作了哪些條件準備,還需再求什么,明確理解題的目標。(2)已知條件中給出某個角的三角函數(shù)值,但并未指出角α所在的象限時,一般要進行分類討論。2.靈活應(yīng)用兩角差的余弦公式【例2】已知cos(α-)=—,sin(—β)=,且α∈(,π),β∈(0,π2),求cos的值.思路分析:本題是給值求值的問題,若不考慮條件,盲目地看cos無法求.為此尋求已知條件中角α—、-β與欲求式中角的關(guān)系,不難發(fā)現(xiàn)=(α—)-(-β),這樣將cos的值轉(zhuǎn)化為cos[(α-)—(-β)]的值,可利用兩角差的余弦公式求得。解:∵<α<π,0<β<,∴<<,0<<,<α+β<?!啵鸡?<π,—<—β<,<α+<.又cos(α—)=-,sin(—β)=,∴sin(α-)=,cos(-β)=?!郼osα+=cos[(α—)-(—β)]=cos(α-)cos(—β)+sin(α—)sin(-β)=(-)×+×=—.溫馨提示像這類給值求值問題,關(guān)鍵是抓住已知條件中的角與所求式中角的聯(lián)系,即想辦法利用已知條件中角表示所求式中的角,這個過程我們稱作“角的變換”,同學們應(yīng)注意總結(jié),積累經(jīng)驗。3。兩角差的余弦公式的理解與變形是疑點【例3】以下命題:①cos(α-β)=cosαcosβ-sinαsinβ;②對任意角cos(α—β)=cosαcosβ+sinαsinβ都成立;③cos(α—β)=cosα—cosβ;④cos70°cos10°+sin70°sin10°=。其中正確命題為________________.思路分析:①式錯誤;②式正確。③式錯誤,④式正確,逆用兩角差的余弦公式即可.答案:②④各個擊破類題演練1已知sinα=,cosβ=-,α、β均為第二象限角,求cos(α-β).解:由sinα=,α為第二象限角,∴cosα=。又由cosβ=—,β為第二象限角,∴sinβ=∴cos(α—β)=cosαcosβ+sinαsinβ=(-)×(—)+×=。變式提升1(1)已知tanθ=,θ∈(0,),求cos(—θ)。解:∵tanθ==,且sin2θ+cos2θ=1,θ∈(0,),sinθ>0,cosθ>0,解得:sinθ=,cosθ=,∴cos(-θ)=cos·cosθ+sin·sinθ=.(2)若將條件θ∈(0,)去掉,結(jié)果如何.解:由tanθ=,θ在第一或第三象限.若θ在第一象限,同(1),若θ在第三象限,則sinθ=—,cosθ=—?!郼os(—θ)=-×(—)+×(-)=類題演練2已知α、β為銳角,cosα=,sin(α+β)=,求cosβ。解:∵α為銳角且cosα=,∴sinα=.又β為銳角,∴α+β∈(0,π).又sin(α+β)=<sinα,∴α+β∈(,π)。∴cos(α+β)==∴cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=()×+。變式提升2已知:cos(α+β)=,cos(α—β)=—,<α+β<2π,<α—β<π,求cos2β.解:∵<α+β<2π,cos(α+β)=,∴sin(α+β)=-,又∵<α-β<π,cos(α-β)=-,∴sin(α—β)=.cos2β=cos[(α+β)-(α—β)]=cos(α+β)cos(α—β)+sin(α+β)sin(α—β)=—1。類題演練3下列說法中錯誤的是()A。存在這樣的α和β使cos(α-β)=cosαcosβ-sinαsinβB.不存在無窮多個α和β使得cos(α-β)=cosαcosβ—sinαsinβC.對于任意的α和β,都有cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβD。不存在α和β,使得c
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