第02講 等差數(shù)列及其前n項和（學生版）-2025版高中數(shù)學一輪復(fù)習考點幫

Page第02講等差數(shù)列及其前n項和（10類核心考點精講精練）1.5年真題考點分布5年考情考題示例考點分析關(guān)聯(lián)考點2024年新I卷，第19題,17分等差數(shù)列通項公式的基本量計算數(shù)列新定義2024年新Ⅱ卷，第12題,5分等差數(shù)列通項公式的基本量計算求等差數(shù)列前n項和無2024年全國甲卷，第4題,5分等差數(shù)列通項公式的基本量計算利用等差數(shù)列的性質(zhì)計算等差數(shù)列前n項和的基本量計算無2023年新I卷，第7題,5分由遞推關(guān)系證明數(shù)列是等差數(shù)列等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)充分條件與必要條件的判定2023年新I卷，第20題,12分等差數(shù)列通項公式的基本量計算利用等差數(shù)列的性質(zhì)計算等差數(shù)列前n項和的基本量計算無2023年新Ⅱ卷，第18題,12分利用定義求等差數(shù)列通項公式等差數(shù)列通項公式的基本量計算求等差數(shù)列前n項和分組(并項)-奇偶項求和2022年新I卷，第17題,10分利用等差數(shù)列通項公式求數(shù)列中的項利用與關(guān)系求通項或項累乘法求數(shù)列通項裂項相消法求和2022年新Ⅱ卷，第3題,5分等差數(shù)列通項公式的基本量計算數(shù)學新文化已知斜率求參數(shù)2022年新Ⅱ卷，第17題,10分等差數(shù)列通項公式的基本量計算等比數(shù)列通項公式的基本量計算數(shù)列不等式能成立(有解)問題2021年新I卷，第17題,10分利用定義求等差數(shù)列通項公式求等差數(shù)列前n項和由遞推數(shù)列研究數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)分組(并項)-奇偶項求和2021年新Ⅱ卷，第17題,10分等差數(shù)列通項公式的基本量計算求等差數(shù)列前n項和解不含參數(shù)的一元二次不等式2020年新I卷，第14題,5分求等差數(shù)列前n項和無2020年新Ⅱ卷，第15題,5分求等差數(shù)列前n項和無2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度中等，小題分值為5-6分，大題13-17分【備考策略】1.理解等差數(shù)列的概念2掌握等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式3.能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關(guān)系并能用等差數(shù)列的有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題4.理解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系及等差數(shù)列通項公式與前n項和的關(guān)系5.熟練掌握等差數(shù)列通項公式與前n項和的性質(zhì)【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，一般給出數(shù)列為等差數(shù)列，或通過構(gòu)造為等差數(shù)列，求通項公式及前n項和。需綜合復(fù)習知識講解等差數(shù)列的定義從第二項開始，后一項與前一項的差為同一個常數(shù)，這個數(shù)列是等差數(shù)列，這個常數(shù)是等差數(shù)列的公差，用表示數(shù)學表達式通項公式，，，等差數(shù)列通項公式與函數(shù)關(guān)系令，，等差數(shù)列為一次函數(shù)等差中項若，，三個數(shù)成等差數(shù)列，則，其中叫做，的等差中項等差數(shù)列通項公式的性質(zhì)（1）若，或（2）若，為等差數(shù)列，則，仍為等差數(shù)列等差數(shù)列前n項和或等差數(shù)列前n項和與函數(shù)關(guān)系令，，等差數(shù)列前項和公式是無常數(shù)項的二次函數(shù)等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)，，……仍成等差數(shù)列為等差數(shù)列推導過程：（一次函數(shù)）為等差數(shù)列證明數(shù)列為等差數(shù)列的方法（1）（為常數(shù)）為等差數(shù)列（2）通項公式：（一次函數(shù)），前項和：（無常數(shù)項的二次函數(shù)）（3）若，則，，三個數(shù)成等差數(shù)列考點一、等差數(shù)列的項、公差及通項公式的求解1．（2024·安徽池州·模擬預(yù)測）在等差數(shù)列中，，則（

）A．4 B．5 C．6 D．82．（2022·河南南陽·三模）已知數(shù)列為等差數(shù)列，，，則該數(shù)列的公差為.3．（2024·江蘇徐州·模擬預(yù)測）若等差數(shù)列滿足，則（

）A．3 B． C．1 D．4．（2024·山東·二模）已知數(shù)列．求：(1)數(shù)列的通項公式；(2)數(shù)列的前項和的最大值．1．（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列滿足，且，則首項（

）A．1 B．2 C．3 D．42．（2024·四川雅安·三模）在等差數(shù)列中，若，則（

）A．21 B．24 C．27 D．293．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）在公差為的等差數(shù)列中，，則（

）A．1或2 B．1 C． D．4．（2024高三·全國·專題練習）已知是遞增的等差數(shù)列，，是方程的根.(1)求的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和．考點二、等差中項的應(yīng)用1．（23-24高二下·北京懷柔·期中）若，，成等差數(shù)列，則的值為（

）A． B． C． D．2．（重慶·高考真題）在等差數(shù)列中，若=4，=2，則=A．-1 B．0 C．1 D．61．（23-24高二上·上海寶山·期末）與的等差中項為．2．（24-25高二上·上?！ふn前預(yù)習）等差數(shù)列的前三項依次為，，，則x的值為．3．（江西·高考真題）設(shè)數(shù)列{an}，{bn}都是等差數(shù)列，若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，則a5＋b5＝．考點三、等差數(shù)列的性質(zhì)1．（江西·高考真題）已知等差數(shù)列，若，則.2．（北京·高考真題）在等差數(shù)列中，已知，那么等于（

）A．4 B．5 C．6 D．73．（2024·河南鄭州·一模）已知數(shù)列為等差數(shù)列，，則（

）A．19 B．22 C．25 D．271．（2024·廣西柳州·模擬預(yù)測）在等差數(shù)列中，若，則（

）．A．7 B．12 C．16 D．242．（2023·廣西南寧·模擬預(yù)測）在等差數(shù)列中，若，則.3．（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列的前項和為，且，則.考點四、等差數(shù)列前項和的求解1．（2024·全國·高考真題）記為等差數(shù)列的前n項和，若，，則.2．（2024·全國·高考真題）記為等差數(shù)列的前項和，已知，，則（

）A． B． C． D．3．（2023·全國·高考真題）記為等差數(shù)列的前項和．若，則（

）A．25 B．22 C．20 D．154．（2023·全國·高考真題）記為等差數(shù)列的前項和，已知．(1)求的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和．5．（2021·全國·高考真題）記是公差不為0的等差數(shù)列的前n項和，若．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求使成立的n的最小值．1．（2024·湖南衡陽·模擬預(yù)測）在等差數(shù)列中，公差，為其前項和，若，則（

）A． B．0 C． D．2．（2024·遼寧·模擬預(yù)測）等差數(shù)列的前項和記為，若，，則（

）A．51 B．102 C．119 D．2383．（23-24高三上·陜西漢中·期末）設(shè)等差數(shù)列的前項和為，，．(1)求的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列的前項和為，求．4．（2024·吉林·模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列的前項和為，且，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求的最小值．5．（2024·貴州六盤水·三模）已知為等差數(shù)列，且，．(1)求的通項公式；(2)若恒成立，求實數(shù)λ的取值范圍．考點五、等差數(shù)列前項和的性質(zhì)1．（遼寧·高考真題）設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若，，則（

）A．63 B．36 C．45 D．272．（全國·高考真題）等差數(shù)列前項的和為，前項的和為，則它的前項的和為（

）A．130 B．170 C．210 D．2603．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）設(shè)是等差數(shù)列的前n項和，若，則．4．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列的前項和分別為，且，則（

）A． B． C． D．5．（2024·河北衡水·三模）已知數(shù)列均為等差數(shù)列，其前項和分別為，滿足，則（

）A．2 B．3 C．5 D．61．（陜西·高考真題）等差數(shù)列的前項和為，若則等于A．12 B．18 C．24 D．422．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列的前項和為，，，，則的值為（

）A．16 B．12 C．10 D．83．（2024·陜西咸陽·二模）已知等差數(shù)列的前項和為，若，，則（

）A．30 B．58 C．60 D．904．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列和的前n項和分別為和，且，則．5．（2024·廣東佛山·模擬預(yù)測）設(shè)等差數(shù)列，的前項和分別為，，若對任意正整數(shù)都有，則（

）A． B． C． D． E．均不是考點六、等差數(shù)列通項公式與前項和的關(guān)系1．（全國·高考真題）設(shè)等差數(shù)列的公差是d，如果它的前n項和，那么（

）A．， B．，C．， D．，2．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）記為數(shù)列的前項和，設(shè)甲：為等差數(shù)列；乙：為等差數(shù)列，則（

）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件3．（2023·重慶沙坪壩·重慶八中?？级＃┮阎黜椌鶠檎龜?shù)的數(shù)列的前項和為，且為等差數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若為正整數(shù)，記集合的元素個數(shù)為，求數(shù)列的前50項和.1．（2023·四川達州·統(tǒng)考二模）已知是數(shù)列前n項和，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，記，分別為數(shù)列的前n項和與前n項積，求．2．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知是數(shù)列的前項和，，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和．3．（湖南·高考真題）已知數(shù)列的前項和.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和．考點七、等差數(shù)列通項公式與前項和的最值1．（2024·山東泰安·三模）已知為等差數(shù)列的前項和，，，則的最小值為（

）A． B． C． D．2．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知為等差數(shù)列的前項和，若，，則當取最小值時，（

）A．9 B．10 C．10或11 D．113．（2024·海南?？凇つM預(yù)測）已知首項為正數(shù)的等差數(shù)列的前項和為，若，則（

）A．B．C．當時，取最大值D．當時，的最小值為274．（2024·黑龍江吉林·二模）已知數(shù)列是公差為d的等差數(shù)列，是其前n項的和，若，，則（

）A． B． C． D．5．（2022·全國·高考真題）記為數(shù)列的前n項和．已知．(1)證明：是等差數(shù)列；(2)若成等比數(shù)列，求的最小值．1．（2024·遼寧葫蘆島·二模）等差數(shù)列中，，，則使得前n項的和最大的n值為（

）A．7 B．8 C．9 D．102．（上海·高考真題）設(shè)數(shù)列為等差數(shù)列，是其前n項和，且，則下列結(jié)論不正確的是（

）A． B． C． D．與均為的最大值3．（2024·遼寧·二模）設(shè)是等差數(shù)列，是其前n項的和.且，，則下面結(jié)論正確的是（

）A． B．C．與均為的最大值 D．滿足的n的最小值為144．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）等差數(shù)列中，，，若，，則（

）A．有最小值，無最小值 B．有最小值，無最大值C．無最小值，有最小值 D．無最大值，有最大值5．（全國·高考真題）記為等差數(shù)列的前項和，已知，．

（1）求的通項公式；

（2）求，并求的最小值．16．考點八、等差數(shù)列中的數(shù)學文化1．（2024·遼寧·三模）我國古代數(shù)學名著《算法統(tǒng)宗》中說：九百九十六斤棉，贈分八子做盤纏；次第每人多十七，要將第八數(shù)來言；務(wù)要分明依次第，孝和休惹外人傳.說的是，有996斤棉花要贈送給8個子女做旅費，從第1個孩子開始，以后每人依次多17斤，直到第8個孩子為止……，根據(jù)這些信息第三個孩子分得（

）斤棉花？A．99 B．116 C．133 D．1502．（2024·北京延慶·一模）北京天壇的圜丘壇分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石)，環(huán)繞天心石砌塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加塊，下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多塊，向外每環(huán)依次也增加塊．已知每層環(huán)數(shù)相同，且三層共有扇面形石板(不含天心石)塊，則上層有扇形石板塊．3．（2024·內(nèi)蒙古·三模）假設(shè)在某種細菌培養(yǎng)過程中，正常細菌每小時分裂1次（1個正常細菌分裂成2個正常細菌和1個非正常細菌），非正常細菌每小時分裂1次（1個非正常細菌分裂成2個非正常細菌）.若1個正常細菌經(jīng)過14小時的培養(yǎng)，則可分裂成的細菌的個數(shù)為.1．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）“孫子定理”又稱“中國剩余定理”，最早可見于我國南北朝時期的數(shù)學著作《孫子算經(jīng)》，該定理是中國古代求解一次同余式組的方法，它凝聚著中國古代數(shù)學家的智慧，在加密?秘密共享等方面有著重要的應(yīng)用.已知數(shù)列單調(diào)遞增，且由被2除余數(shù)為1的所有正整數(shù)構(gòu)成，現(xiàn)將的末位數(shù)按從小到大排序作為加密編號，則該加密編號為（

）A．1157 B．1177 C．1155 D．11222．（2024·全國·模擬預(yù)測）（多選）《算學啟蒙》是元代著名數(shù)學家朱世杰的代表作之一．《算學啟蒙》中涉及一些“堆垛”問題，可以利用“堆垛”研究數(shù)列以及數(shù)列的求和問題．現(xiàn)有143根相同的圓形小木棍，小軍模仿“堆垛”問題，將它們?nèi)慷逊懦煽v斷面為等腰梯形的“垛”，要求層數(shù)不小于2，且從最下面一層開始，每一層比它上一層多1根，則該“等腰梯形垛”應(yīng)堆放的層數(shù)可以是（

）A．2 B．9 C．11 D．133．（2024·湖北襄陽·模擬預(yù)測）蚊香具有悠久的歷史，我國蚊香的發(fā)明與古人端午節(jié)的習俗有關(guān)，如圖為某校數(shù)學社團用數(shù)學軟件制作的“蚊香”.畫法如下：在水平直線上收長度為1的線段，作一個等邊三角形，然后以點為圓心，為半徑逆時針畫圓弧交線段的延長線于點（第一段圓?。?，再以點為圓心，為半徑逆時針畫圓弧交線段的延長線于點，再以點為圓心，為半徑逆時針畫圓弧……以此類推，當?shù)玫降摹拔孟恪鼻『糜?5段圓弧時，“蚊香”的長度為.

考點九、等差數(shù)列奇偶項的和1．（21-22高二上·上海徐匯·期末）設(shè)等差數(shù)列的項數(shù)為奇數(shù)，則其奇數(shù)項之和與偶數(shù)項之和的比為（

）A． B． C． D．2．（23-24高二下·江西·階段練習）已知等差數(shù)列共有項，奇數(shù)項之和為60，偶數(shù)項之和為54，則．3．（2023·重慶·二模）已知等差數(shù)列的前30項中奇數(shù)項的和為，偶數(shù)項的和為，且，，則（

）A． B． C． D．4．（23-24高二上·江蘇連云港·期末）已知數(shù)列的前項和為，且，，，則（

）A． B．C． D．為奇數(shù)時，5．（2023·山東威?！ひ荒＃┮阎獢?shù)列的各項均為正數(shù)，記為的前n項和，且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)記，求數(shù)列的前n項和.1．（22-23高一下·四川·階段練習）已知等差數(shù)列共有項，其中奇數(shù)項之和為290，偶數(shù)項之和為261，則的值為（

）．A．30 B．29 C．28 D．272．（2021·山東濟南·二模）已知等差數(shù)列的項數(shù)為奇數(shù)，其中所有奇數(shù)項之和為，所有偶數(shù)項之和為，則該數(shù)列的中間項為（

）A． B． C． D．3．（2024高三·全國·專題練習）已知數(shù)列滿足，，則的前40項和為.4．（22-23高二上·陜西咸陽·階段練習）已知數(shù)列滿足，且當時，有.(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)令，求數(shù)列的前項和.5．（21-22高三上·湖北·期中）已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，其前項和為，且.(1)求，；(2)設(shè)，求數(shù)列的前8項和.考點十、等差數(shù)列的證明1．（2021·全國·高考真題）記為數(shù)列的前n項和，已知，且數(shù)列是等差數(shù)列，證明：是等差數(shù)列.2．（2021·全國·高考真題）記為數(shù)列的前n項和，為數(shù)列的前n項積，已知．（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列;（2）求的通項公式．1．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足.(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)設(shè)，求的前n項和.2．（2024·江蘇連云港·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前n項和為，且．(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)數(shù)列的每一項均為正數(shù)，，數(shù)列的前n項和為，當時，求n的最小值．2024．2024．一、單選題1．（2024·山西運城·三模）已知數(shù)列是等差數(shù)列，，則（

）A．4 B． C． D．2．（2024·山東菏澤·模擬預(yù)測）在等差數(shù)列中，，則（

）A．130 B．260 C．320 D．520二、多選題3．（2024·云南·二模）記數(shù)列的前項和為為常數(shù).下列選項正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．存在常數(shù)A、B，使數(shù)列是等比數(shù)列 D．對任意常數(shù)A、B，數(shù)列都是等差數(shù)列三、填空題4．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·二模）在等差數(shù)列中，，則的前19項和．5．（2024·河南開封·三模）記為等差數(shù)列的前n項和，若，，則．四、解答題6．（2024·浙江·三模）已知等差數(shù)列的公差不為零，成等比數(shù)列，且.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)求.7．（2024·山西·三模）已知等差數(shù)列的公差，前項和為，且，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和.8．（2024·湖南·模擬預(yù)測）已知公差不為0的等差數(shù)列滿足，且.(1)求的通項公式；(2)記是數(shù)列的前項和，證明:.9．（2024·湖南衡陽·模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列的前n項和為，且也是等差數(shù)列．(1)求數(shù)列的公差；(2)若，求數(shù)列的前n項和．10．（2024·黑龍江·三模）已知等差數(shù)列的公差，與的等差中項為5，且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)求數(shù)列的前20項和.一、單選題1．（2024·江蘇泰州·模擬預(yù)測）等差數(shù)列中，其前n項和為，則“”是“為遞減數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件2．（2024·浙江·三模）已知等差數(shù)列的前n項和為，“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件二、多選題3．（2024·山西呂梁·三模）已知等差數(shù)列的首項為，公差為，前項和為，若，則下列說法正確的是（

）A．當最大B．使得成立的最小自然數(shù)C．D．中最小項為三、填空題4．（2024·四川內(nèi)江·模擬預(yù)測）數(shù)列滿足，，若數(shù)列的前項的和為，則的的最小值為．5．（2024·江西宜春·模擬預(yù)測）已知數(shù)列是等差數(shù)列，，記，分別為，的前項和，若，，則．四、解答題6．（2024·河北衡水·模擬預(yù)測）記各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，已知是與的等差中項.(1)求的通項公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項和為，證明：.7．（2024·福建廈門·三模）設(shè)為數(shù)列的前項和，已知，且為等差數(shù)列.(1)求的通項公式；(2)若，求的前項和.8．（2024·江蘇宿遷·三模）在數(shù)列中，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)已知數(shù)列滿足；①求證：數(shù)列是等差數(shù)列；②若，設(shè)數(shù)列的前n項和為，求證：．9．（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，且對任意均有．(1)設(shè)，證明為等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項公式；(3)已知，求．10．（2024·廣西來賓·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足：，，其中為數(shù)列的前n項和．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)m為正整數(shù)，若存在首項為1且公比為正數(shù)的等比數(shù)列（），對任意正整數(shù)k，當時，都有成立，求m的最大值．1．（2024·全國·高考真題）已知等差數(shù)列的前項和為，若，則（

）A． B． C．1 D．2．（2023·全國·高考真題）已知等差數(shù)列的公差為，集合，若，則（

）A．－1 B． C．0 D．3．（2023·全國·高考真題）記為數(shù)列的前項和，設(shè)甲：為等差數(shù)列；乙：為等差數(shù)列，則（

）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件4．（2023·天津·高考真題）已知是等差數(shù)列，．(1)求的通項公式和．(2)設(shè)是等比數(shù)列，且對任意的，當時，則，（Ⅰ）當時，求證：；（Ⅱ）求的通項公式及前項和．5．（2023·全國·高考真題）已知為等差數(shù)列，，記，分別為數(shù)列，的前n項和，，．(1)求的通項公式；(2)證明：當時，．6．（2022·全國·高考真題）圖1是中國古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)，是桁，相鄰桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉，圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖．其中是舉，是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為．已知成公差為0.1的等差數(shù)列，且直線的斜率為0.725，則（

）