《工程力學(xué) 》課件第16章

第16章動(dòng)能定理16.1功

16.2動(dòng)能16.3動(dòng)能定理

16.4功率和效率

思考題

習(xí)題

16.1功

的概念

16.1.1常力的功設(shè)有一大小和方向都不變的常力F作用于質(zhì)點(diǎn)上，使其沿直線由M1運(yùn)動(dòng)到M2，如圖16-1所示。若力與位移方向夾角為α，力的作用點(diǎn)移動(dòng)的距離為s，則定義常力在這一段路程上所做的功為此力在運(yùn)動(dòng)方向的投影與該力作用點(diǎn)移動(dòng)的路程的乘積，

用W表示，

即

（16-1）由上式可見，力的功無方向意義，是代數(shù)量。當(dāng)α<90°時(shí)，功為正值，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)效果增強(qiáng)；當(dāng)α>90°時(shí)，功為負(fù)值，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)效果減弱；當(dāng)α=90°時(shí)，力與質(zhì)點(diǎn)的位移方向垂直，力不做功。在國(guó)際單位制中，功的單位是牛·米（N·m），也稱焦［耳］（J），即1J=1N·m。圖16-116.1.2變力的功所謂變力,就是作用于質(zhì)點(diǎn)上的力的大小和方向均隨作用點(diǎn)位置的移動(dòng)而變化的力。設(shè)質(zhì)點(diǎn)M在變力F作用下沿曲線運(yùn)動(dòng)，如圖16-2所示。在曲線上取一微小弧段ds，在微小弧段上的力F可視為常力，同時(shí)微小弧段ds也可視為直線段，力F在ds上所做的功稱為元功，

即

式中，α是力F與曲線上點(diǎn)M處切線方向的夾角，F(xiàn)τ是力F在切線方向的投影。這樣，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)M從M1運(yùn)動(dòng)到M2時(shí)，力F所做的總功為（16-2）

圖16-2即變力在某一曲線路程上所做的功，等于這個(gè)力的切向分量沿這段曲線路程的積分。式（16-2）可用直角坐標(biāo)系的解析式來表達(dá)，

即

（16-3）

16.1.3幾種常見力的功

1.重力的功重為G的質(zhì)點(diǎn)，沿任意軌跡曲線由M1點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到M2點(diǎn)（圖16-3），重力G在其路程上所做的功為（16-4）

式中h=z1-z2，即為質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中重心位置的高度差。上式表明，重力所做的功等于質(zhì)點(diǎn)的重量與其重心始末位置高度差的乘積，而與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑無關(guān)。若質(zhì)點(diǎn)下降，重力做正功；

若質(zhì)點(diǎn)上升，

重力做負(fù)功。

圖16-3

2.彈性力的功設(shè)彈簧一端固定，另一端與質(zhì)點(diǎn)M相連，彈簧原長(zhǎng)為l0，如圖16-4所示。取彈簧原長(zhǎng)位置O為坐標(biāo)原點(diǎn)，彈簧中心線為軸x，其正方向指向彈簧伸長(zhǎng)方向。彈簧的剛度系數(shù)為k（其單位是N/m），在彈性極限范圍內(nèi)，彈性力與彈簧的變形成正比，即

F=-kx式中負(fù)號(hào)說明彈性力F的方向與變形的方向相反。當(dāng)質(zhì)點(diǎn)M有一微小位移dx時(shí)，彈性力的元功為

因此，質(zhì)點(diǎn)M由M1點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到M2點(diǎn)的過程中，彈性力所做的功為

（16-5）

式中δ1和δ2分別為彈簧在位置M1和M2的變形量。上式表明，彈性力的功等于彈簧的剛度系數(shù)與其始末位置變形的平方之差乘積的一半，與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)所經(jīng)過的路徑無關(guān)。當(dāng)初變形δ1大于末變形δ2時(shí)，

彈性力的功為正;反之為負(fù)。

圖16-4

3.定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上作用力的功設(shè)有一力F

作用于繞軸Oz轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體的點(diǎn)M上，如圖16-5所示?，F(xiàn)將力F分解為Fτ、Fr、Fz，可見軸向力Fz和徑向力Fr不做功，只有切向力Fτ做功。設(shè)力F的作用點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸的距離為r，當(dāng)剛體轉(zhuǎn)過微轉(zhuǎn)角dφ時(shí)，力F的作用點(diǎn)走過的微弧長(zhǎng)ds=rdφ，力F的元功為由力對(duì)軸之矩知Fτr=Mz，當(dāng)剛體從轉(zhuǎn)角φ1到φ2時(shí)，力F所做的功為（16-6）

若力矩Mz為常量，則

（16-7）

上式表明，作用于定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上常力矩的功，等于力矩與轉(zhuǎn)角大小的乘積。當(dāng)力矩與轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)向一致時(shí)，功取正值；反之取負(fù)值。

圖16-5

4.合力的功設(shè)質(zhì)點(diǎn)M受n個(gè)力F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)n作用，其合力為FR。質(zhì)點(diǎn)M沿曲線從點(diǎn)M1運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)M2，由合力投影定理，各力在自然軸系的軸Mτ上的投影有將上式兩端同乘以路程微段ds，再進(jìn)行積分可得

即

例16-1

原長(zhǎng)為，剛度系數(shù)為k的彈簧，與長(zhǎng)為l，質(zhì)量為m的均質(zhì)體OA連接，直立于鉛垂面內(nèi)，如圖16-6所示。當(dāng)OA桿受到常力矩M作用，求桿由鉛直位置繞軸O轉(zhuǎn)到水平位置時(shí)，各力所做的功及合力的功。

解

桿受重力、彈性力及力矩作用，各力所做的功分別為

圖16-6解桿受重力、

彈性力及力矩作用，

各力所做的功分別為

合力的功為

例16-2

帶輪兩側(cè)的拉力分別為FT1=1.6kN和FT2=0.8kN，如圖16-7所示。已知帶輪的直徑D=0.5m，試求帶輪兩側(cè)的拉力在輪子轉(zhuǎn)過兩圈所做的功。解：作用于帶輪上的轉(zhuǎn)矩為

當(dāng)帶輪轉(zhuǎn)過兩圈時(shí)，其轉(zhuǎn)角為

因此帶輪兩側(cè)的拉力所做的功為

圖16-716.2動(dòng)

能

16.2.1質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能設(shè)質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，某瞬時(shí)的速度為v，則質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量與其速度平方乘積的一半，稱為質(zhì)點(diǎn)在該瞬時(shí)的動(dòng)能，以T表示，即

（16-8）

動(dòng)能是標(biāo)量，恒為正值，且與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的方向無關(guān)。在國(guó)際單位制中，其單位與功的單位相同，

也為焦［耳］（J）。

16.2.2質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能的總和稱為質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能。設(shè)質(zhì)點(diǎn)系中任意一質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為mi，某瞬時(shí)速度為vi，則質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能為（16-9）

16.2.3剛體的動(dòng)能

1.平動(dòng)剛體的動(dòng)能剛體在平動(dòng)時(shí)，同一瞬時(shí)各點(diǎn)的速度相同并等于質(zhì)心速度vC，故平動(dòng)剛體的動(dòng)能為（16-10）

式中，M=∑mi,是剛體的質(zhì)量。上式表明，剛體平動(dòng)的動(dòng)能等于剛體的質(zhì)量與其質(zhì)心速度平方乘積的一半。圖16-8

2.定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能

設(shè)剛體繞固定軸z轉(zhuǎn)動(dòng)，某瞬時(shí)角速度為ω，如圖16-8所示。剛體內(nèi)任一質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為mi，離z軸的距離為ri，速度為vi=riω，則剛體的動(dòng)能為（16-11）

式中，Jz=∑miri2,是剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸z的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。上式表明，定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能等于剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角速度平方乘積的一半。16.3動(dòng)能定理

16.3.1質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理設(shè)一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)M，在力F的作用下沿曲線由點(diǎn)M1運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)M2，它的速度由v1變?yōu)関2（圖16-9）。質(zhì)點(diǎn)沿切線方向的微分方程為在上式兩邊分別乘以路程的微段ds，得

圖16-9因Fτds為力F在ds上的元功，所以上式可寫成

（16-12）

這就是質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的微分形式。它表明質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的微分等于作用在質(zhì)點(diǎn)上力的元功。將式（16-12）沿路徑M1M2積分，

得

（16-13）

16.3.2質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理可以推廣到質(zhì)點(diǎn)系，設(shè)質(zhì)點(diǎn)系由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，任取質(zhì)點(diǎn)系中一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，其質(zhì)量為mi，速度為vi，應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理，有式中，W(e)i和W(i)i分別表示作用在所取質(zhì)點(diǎn)上所有外力和內(nèi)力的功，因?yàn)閷?duì)于質(zhì)點(diǎn)來說，作用在每個(gè)質(zhì)點(diǎn)上的力有外力和內(nèi)力之分。對(duì)質(zhì)點(diǎn)系中每個(gè)質(zhì)點(diǎn)都寫出上式并相加，得由式（16-9）知，上式等號(hào)左邊兩項(xiàng)分別為質(zhì)點(diǎn)系在某一段路程中末了和起始位置的動(dòng)能E2和E1，于是上式又可寫為

（16-14）

上式表明，質(zhì)點(diǎn)系在某一段路程上起始位置和末了位置的動(dòng)能的改變量，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系上的全部力在同一路程上所做的功。

必須注意，一般情況下，質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)之間的距離是可變的，故內(nèi)力所做的功的總和不一定等于零。例如,內(nèi)燃機(jī)中燃?xì)馀蛎泴?duì)活塞的推力是內(nèi)力，該內(nèi)力做正功，使汽車的動(dòng)能增加；機(jī)器中軸與軸承之間的相互摩擦力也是內(nèi)力，但其所做的功是負(fù)功。

但是，對(duì)于剛體來說，剛體內(nèi)任意兩質(zhì)點(diǎn)間的距離始終保持不變，所以剛體內(nèi)力所做的功總和等于零，即

（16-15）

另外，在工程上的許多約束，如光滑接觸面、光滑圓柱鉸鏈、鏈桿、不可伸長(zhǎng)的繩索等約束，它們的約束力均不做功。約束力做功為零的約束稱為理想約束。所以，在理想約束條件下應(yīng)用動(dòng)能定理時(shí)，

只需計(jì)算作用在剛體上的主動(dòng)力所做的功。

圖16-10例16-3平臺(tái)的質(zhì)量m=30kg，固連在剛度系數(shù)k=18kN/m的彈簧上。現(xiàn)從靜平衡位置給平臺(tái)向下的初速度v=5m/s，如圖16-10(a)所示。設(shè)平臺(tái)作平動(dòng)，求平臺(tái)由此位置下沉的最大距離δ以及彈簧的最大受力。

解彈簧由靜平衡位置（圖16-10(b)）運(yùn)動(dòng)到最大下沉位置（圖16-10(c)），其初動(dòng)能為 ，末動(dòng)能為E2=0。彈簧的初變形為靜變形δ1=mg/k，末變形δ2=δ1+δ。作用在平臺(tái)上的力有重力W和彈性力F，平臺(tái)由靜平衡位置運(yùn)動(dòng)到最大下沉位置,兩力所做的功為由動(dòng)能定理，

有

所以

彈簧的最大變形為δmax=δ2=δ1+δ，其最大受力為

例16-4如圖16-11所示，絞車的鼓輪可視為均質(zhì)圓柱體，已知其質(zhì)量為m1，半徑為r1，繞中心O軸轉(zhuǎn)動(dòng)。繩索的一端卷繞在鼓輪上，另一端系有一質(zhì)量為m2的重物。鼓輪在不變力偶矩M的作用下，通過繩索牽引重物沿傾角為θ的光滑斜面上升。設(shè)開始時(shí)物體系統(tǒng)靜止，不計(jì)各處摩擦，試求當(dāng)鼓輪轉(zhuǎn)過轉(zhuǎn)角φ后的角速度ω和角加速度α。

解當(dāng)鼓輪從靜止開始轉(zhuǎn)過轉(zhuǎn)角φ時(shí)，角速度為ω；重物沿斜面移動(dòng)距離s=rφ，速度為v=rω。該物體系統(tǒng)的初動(dòng)能為圖16-11末動(dòng)能為

系統(tǒng)的約束均為理想約束，其約束力均不做功；系統(tǒng)主動(dòng)力有主動(dòng)力偶矩和重物的重力，它們所做的功總和為

由質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理即式（16-16），有

（a）

由此式解得

欲求角加速度α，將式（a）中的ω和φ視為時(shí)間t的函數(shù)，并兩端對(duì)t求一階導(dǎo)數(shù)，得于是，

解得

16.4功

率

和

效

率

16.4.1功率在工程中不僅要計(jì)算力的功，而且要知道在一定時(shí)間內(nèi)力所做功的多少。力在單位時(shí)間內(nèi)做的功稱為功率。它是衡量機(jī)器工作能力的一個(gè)重要指標(biāo)，功率越大，說明它在給定時(shí)間內(nèi)能做的功越多。設(shè)作用于質(zhì)點(diǎn)上的力F在時(shí)間dt內(nèi)所做的元功為δW，則此力的功率為由于力的元功

因此

（16-16）

式中，v是力F作用點(diǎn)的速度。由此可見，作用于質(zhì)點(diǎn)上的力的功率等于力在速度方向上的投影與速度的乘積。對(duì)于作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體，功是用力矩或力偶矩計(jì)算的，其功率可表示為（16-17）

上式表明，轉(zhuǎn)矩的功率等于轉(zhuǎn)矩與物體轉(zhuǎn)動(dòng)角速度的乘積。在國(guó)際單位制中，功的單位是焦［耳］（J），功率的單位定義為瓦［特］（W），即

1J/s=1W若轉(zhuǎn)速用n(r/min)表示，功率用P(kW)表示，力對(duì)轉(zhuǎn)軸的矩用M(N·m)表示，則式（16-18）可改寫為或

（16-18a）

（16-18b）

16.4.2機(jī)械效率任何一部機(jī)器都要從外界輸入能量。工作時(shí)，從外界輸入的一定功率稱為輸入功率P0。輸入功率用于能量轉(zhuǎn)化而消耗的一部分，稱為有用功率P1；而另一部分用于克服機(jī)器在傳動(dòng)中的摩擦等阻力，稱為無用功率P2。機(jī)器在穩(wěn)定運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)，它們之間必然存在工程中為了比較輸入功率被利用的程度，常用機(jī)械效率來進(jìn)行度量。機(jī)械效率就是機(jī)器的有用功率與輸入功率的比值，用η表示，

即

（16-19）

例16-5

一起重機(jī)，其最大起吊重量F1=180kN，懸掛部分重量F2=4kN，提升速度為v=20cm/s，起重機(jī)采用一般圓柱齒輪傳動(dòng)，機(jī)械效率η=92%。試確定電機(jī)的功率。

解由式（16-15）得起重機(jī)的有用功率為

由式（16-20）得電機(jī)的輸入功率為

例16-6單級(jí)齒輪減速器如圖16-12所示。已知電動(dòng)機(jī)的功率P=7.5kW，輸入軸Ⅰ的轉(zhuǎn)速n1=1450r/min，齒輪的齒數(shù)z1=20，z2=50，減速器的機(jī)械效率η=0.9。試求輸出軸Ⅱ所傳遞的轉(zhuǎn)矩與功率。

解減速器的傳動(dòng)比為則輸出軸Ⅱ的轉(zhuǎn)速為

由式（16-19）得減速器的有用功率，即輸出軸Ⅱ所傳遞的功率為

由式（16-19）得減速器的有用功率，

即輸出軸Ⅱ所傳遞的功率為

圖16-12思

考

題

16-1如圖所示，在同一高度，以不同仰角拋出初速度均為v0、質(zhì)量都相等的質(zhì)點(diǎn)。不計(jì)空氣阻力，當(dāng)它們落到同一水平面時(shí)，其速度的大小是否相等？思考題16-1

16-2如圖所示的同一根細(xì)長(zhǎng)桿，繞端點(diǎn)A以角速度ω轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)（圖(a)）與繞中點(diǎn)C以角速度2ω反向轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)（圖(b)），問兩者動(dòng)能是否相同？

16-3重物由A點(diǎn)自斜面下滑到B點(diǎn)，或由A點(diǎn)自弧面下滑到B點(diǎn)，如圖所示。當(dāng)不考慮摩擦?xí)r，到達(dá)B點(diǎn)時(shí)兩者速度大小是否相等？當(dāng)考慮摩擦?xí)r，兩者速度大小是否相等？思考題16-2圖

思考題16-3圖

16-4“質(zhì)量大的物體一定比質(zhì)量小的物體的動(dòng)能大”和“速度大的物體一定比速度小的物體的動(dòng)能大”這兩種說法是否正確？為什么？

16-5機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)，凡摩擦力的功是否一定是無用功？研磨機(jī)工作時(shí)，作用在工件上的摩擦力的功是否為無用功？

16-6汽車上坡時(shí)，為什么常掛低速擋？在減速器中，為什么高速軸的直徑一般比低速軸的直徑??？

16-7應(yīng)用動(dòng)能定理求速度時(shí)，能否確定速度的方向？

16-8彈簧由其自然位置拉長(zhǎng)10mm或縮短10mm，彈性力的功是否相等？將彈簧拉長(zhǎng)10mm然后再拉長(zhǎng)10mm，即這兩個(gè)過程中的位移相等，問這兩個(gè)過程中彈性力的功是否相等？

習(xí)

題

16-1如圖所示，手搖起重裝置的手柄長(zhǎng)度為360mm，工人在手柄端施加作用力F=15kN，而使起重機(jī)作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，其轉(zhuǎn)速n=4r/min。試求工人在10min內(nèi)所做的功。題16-1圖

16-2子彈打入木板的時(shí)候，如速度為150m/s，可進(jìn)入3cm深。經(jīng)改進(jìn)，同樣質(zhì)量的子彈打入了27cm深，問此時(shí)子彈的速度是多少？假定木板的阻力是常量。

16-3如圖所示，一個(gè)與彈簧相連的滑塊M可沿固定的光滑圓環(huán)滑動(dòng)，圓環(huán)和彈簧都在同一鉛直平面內(nèi)。已知滑塊的重量G=100N，彈簧原長(zhǎng)l=150mm，彈簧的剛度系數(shù)k=400N/m。試求滑塊M從位置A運(yùn)動(dòng)到位置B的過程中，其上各力所做的功及合力的功。題16-3圖

16-4計(jì)算圖所示各均質(zhì)物體的動(dòng)能：

(1)重為G、長(zhǎng)為l的均質(zhì)直桿以角速度ω繞軸O轉(zhuǎn)動(dòng)；(2)重為G、半徑為r的均質(zhì)圓盤以角速度ω繞軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，偏心距為e；

(3)重為G、半徑為r的均質(zhì)圓輪在直線軌道上作純滾動(dòng)，質(zhì)心C的速度為v。

16-5如題所示，汽車質(zhì)量為1500kg，通過A至B為900m的路程，運(yùn)行阻力為280N，阻力方向與速度方向相反，B點(diǎn)比A點(diǎn)高h(yuǎn)=20m。求汽車克服重量和阻力所做的功。題16-4圖

題16-5圖

16-6斜面與水平面成30°角，重物沿斜面下滑，其初速度為零。若滑動(dòng)摩擦系數(shù)f′=0.1，試求重物滑行2m后的速度。

16-7圖示鼓輪質(zhì)量m=150kg，半徑r=0.34m，慣性半徑ρ=0.3m，以角速度ω=31.4rad/s轉(zhuǎn)動(dòng)，制動(dòng)時(shí)制動(dòng)塊與輪緣的摩擦系數(shù)f′=0.2。求作用于制動(dòng)塊上的壓力FN應(yīng)為多大才能使鼓輪經(jīng)10轉(zhuǎn)后停止。題16-7圖

16-8帶式輸送機(jī)如圖所示，物體A的重量為W1，帶輪B和C的重量為W2，半徑為R，視為均質(zhì)圓盤。輪B由電機(jī)驅(qū)動(dòng)，其上受不變轉(zhuǎn)矩M作用。系統(tǒng)由靜止開始運(yùn)動(dòng)，不計(jì)傳送帶的質(zhì)量，求重物A沿斜面上升距離為s時(shí)的速度和加速度。

16-9如圖所示的礦井提升設(shè)備，兩個(gè)鼓輪固連在一起，總質(zhì)量為m，對(duì)轉(zhuǎn)軸O的慣性半徑為ρ。在半徑為r1的鼓輪上用鋼繩懸掛質(zhì)量為m1的平衡錘A，而在半徑為r2的鼓輪上用鋼繩牽引小車B沿斜面運(yùn)動(dòng)，小車的質(zhì)量為m2，斜面與水平面的傾角為α。已知在鼓輪上作用有不變轉(zhuǎn)矩M，試求小車向上運(yùn)動(dòng)的加速度。鋼繩的質(zhì)量和所有的摩擦均忽略不計(jì)。題