專(zhuān)題01 利用三角形全等和相似的性質(zhì)進(jìn)行求解的問(wèn)題（解析版）-2023屆中考數(shù)學(xué)壓軸大題專(zhuān)項(xiàng)突破

專(zhuān)題01利用三角形全等和相似的性質(zhì)進(jìn)行求解的問(wèn)題在幾何壓軸題中，全等三角形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)一般作為工具性質(zhì)進(jìn)行使用，用以幫助解決角度的相等問(wèn)題或者線段的數(shù)量關(guān)系。（1）在具體的壓軸題中可以通過(guò)證明三角形全等或三角形相似，得到某兩個(gè)角相等，再結(jié)合所求進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而得到我們想要的角度關(guān)系。（2）壓軸題中關(guān)于證明線段相等關(guān)系或者和差關(guān)系的證明時(shí)，一般通過(guò)三角形全等的性質(zhì)，找出中間線段與所求線段的倍數(shù)關(guān)系，進(jìn)行等量代換或者轉(zhuǎn)化。（3）壓軸題中關(guān)于證明或探究線段之間的積關(guān)系或者比值關(guān)系時(shí)，一般利用三角形相似的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，有時(shí)也會(huì)用到三角形全等的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化。 （2022·遼寧丹東·統(tǒng)考中考真題）已知矩形ABCD，點(diǎn)E為直線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)B重合），連接AE，以AE為一邊構(gòu)造矩形AEFG（A，E，F(xiàn)，G按逆時(shí)針?lè)较蚺帕校B接DG．(1)如圖1，當(dāng)＝＝1時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段BE與線段DG的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系；(2)如圖2，當(dāng)＝＝2時(shí)，請(qǐng)猜想線段BE與線段DG的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)如圖3，在（2）的條件下，連接BG，EG，分別取線段BG，EG的中點(diǎn)M，N，連接MN，MD，ND，若AB＝，∠AEB＝45°，請(qǐng)直接寫(xiě)出△MND的面積．（1）證明△BAE≌△DAG，進(jìn)一步得出結(jié)論；（2）證明BAE∽△DAG，進(jìn)一步得出結(jié)論；（3）解斜三角形ABE，求得BE＝3，根據(jù)（2）可得DG＝6，從而得出三角形BEG的面積，可證得△MND≌△MNG，△MNG與△BEG的面積比等于1：4，進(jìn)而求得結(jié)果．【答案】(1)BE＝DG，BE⊥DG(2)BE＝，BE⊥DG，理由見(jiàn)解析(3)S△MNG＝【詳解】（1）解：由題意得：四邊形ABCD和四邊形AEFG是正方形，∴AB＝AD，AE＝AG，∠BAD＝∠EAG＝90°，∴∠BAD﹣∠DAE＝∠EAG﹣∠DAE，∴∠BAE＝∠DAG，∴△BAE≌△DAG（SAS），∴BE＝DG，∠ABE＝∠ADG，∴∠ADG+∠ADB＝∠ABE+∠ADB＝90°，∴∠BDG＝90°，∴BE⊥DG；（2）BE＝，BE⊥DG，理由如下：由（1）得：∠BAE＝∠DAG，∵＝＝2，∴△BAE∽△DAG，∴，∠ABE＝∠ADG，∴∠ADG+∠ADB＝∠ABE+∠ADB＝90°，∴∠BDG＝90°，∴BE⊥DG；（3）如圖，作AH⊥BD于H，∵tan∠ABD＝，∴設(shè)AH＝2x，BH＝x，在Rt△ABH中，x2+（2x）2＝（）2，∴BH＝1，AH＝2，在Rt△AEH中，∵tan∠ABE＝，∴，∴EH＝AH＝2，∴BE＝BH+EH＝3，∵BD＝＝5，∴DE＝BD﹣BE＝5﹣3＝2，由（2）得：，DG⊥BE，∴DG＝2BE＝6，∴S△BEG＝＝＝9，在Rt△BDG和Rt△DEG中，點(diǎn)M是BG的中點(diǎn)，點(diǎn)N是CE的中點(diǎn)，∴DM＝GM＝，∵NM＝NM，∴△DMN≌△GMN（SSS），∵M(jìn)N是△BEG的中位線，∴MNBE，∴△BEG∽△MNG，∴＝（）2＝，∴S△MNG＝S△MNG＝S△BEG＝．本題主要考查了正方形，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是類(lèi)比的方法．（2022·遼寧鞍山·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，點(diǎn)在直線上，連接，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接，．(1)求證：；(2)當(dāng)點(diǎn)在線段上（點(diǎn)不與點(diǎn)，重合）時(shí)，求的值；(3)過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，若，請(qǐng)直接寫(xiě)出的值．（1）作AH⊥BC于H，可得BH＝AB，BC＝2BH，進(jìn)而得出結(jié)論；（2）證明△ABD∽△CBE，進(jìn)而得出結(jié)果；（3）當(dāng)點(diǎn)D在線段AC上時(shí)，作BF⊥AC，交CA的延長(zhǎng)線于F，作AG⊥BD于G，設(shè)AB＝AC＝3a，則AD＝2a，解直角三角形BDF，求得BD的長(zhǎng)，根據(jù)△DAG∽△DBF求得AQ，進(jìn)而求得AN，進(jìn)一步得出結(jié)果；當(dāng)點(diǎn)D在AC的延長(zhǎng)線上時(shí)，設(shè)AB＝AC＝2a，則AD＝4a，同樣方法求得結(jié)果．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)(3)或【詳解】（1）證明：如圖1，作AH⊥BC于H，∵AB＝AB，∴∠BAH＝∠CAH＝∠BAC＝×120°＝60°，BC＝2BH，∴sin60°＝，∴BH＝AB，∴BC＝2BH＝AB；（2）解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝，由（1）得，，同理可得，∠DBE＝30°，，∴∠ABC＝∠DBE，，∴∠ABC?∠DBC＝∠DBE?∠DBC，∴∠ABD＝∠CBE，∴△ABD∽△CBE，∴；（3）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段AC上時(shí)，作BF⊥AC，交CA的延長(zhǎng)線于F，作AG⊥BD于G，設(shè)AB＝AC＝3a，則AD＝2a，由（1）得，，在Rt△ABF中，∠BAF＝180°?∠BAC＝60°，AB＝3a，∴AF＝3a?cos60°＝，BF＝3a?sin60°＝，在Rt△BDF中，DF＝AD＋AF＝，，∵∠AGD＝∠F＝90°，∠ADG＝∠BDF，∴△DAG∽△DBF，∴，∴，∴，∵ANDE，∴∠AND＝∠BDE＝120°，∴∠ANG＝60°，∴，∴，如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在AC的延長(zhǎng)線上時(shí)，設(shè)AB＝AC＝2a，則AD＝4a，由（1）得，CE＝，作BR⊥CA，交CA的延長(zhǎng)線于R，作AQ⊥BD于Q，同理可得，AR＝a，BR＝，∴，∴，∴，∴，∴，綜上所述：的值為或．本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是正確分類(lèi)和較強(qiáng)的計(jì)算能力．（2022·湖北宜昌·統(tǒng)考中考真題）已知菱形中，是邊的中點(diǎn)，是邊上一點(diǎn)．(1)如圖1，連接，．，．①求證：；②若，求的長(zhǎng)；(2)如圖2，連接，．若，，求的長(zhǎng)．（1）①根據(jù)可證得：，即可得出結(jié)論；②連接，可證得是等邊三角形，即可求出；（2）延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，根據(jù)可證得，可得出，，，則，即可證得，即可得出的長(zhǎng)．【答案】(1)①見(jiàn)解析；②(2)【詳解】（1）（1）①∵，，∴，∵四邊形是菱形，∴，，∴，∴.②如圖，連接.∵是邊的中點(diǎn)，，∴，又由菱形，得，∴是等邊三角形，∴，在中，，∴，∴.（2）如圖，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，由菱形，得，，∴，，∵是邊的中點(diǎn)，∴，∴，∴，，∵，，∴，，，∴，∴，∴，，∴，而為公共角.∴，∴，又∵，∴.本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，銳角三角函數(shù)求線段長(zhǎng)度，全等三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵.1．（2022·吉林長(zhǎng)春·校聯(lián)考模擬）【教材呈現(xiàn)】在華師版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)教材第111頁(yè)學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容：菱形的對(duì)角線互相垂直．【結(jié)論運(yùn)用】(1)如圖①，菱形的對(duì)角線與相交于點(diǎn)，，，則菱形的面積是；(2)如圖②，四邊形是平行四邊形，點(diǎn)在上，四邊形是菱形，連接、、，求證：；(3)如圖③，四邊形是菱形，點(diǎn)在上，四邊形是菱形，連接，若，則度．【答案】(1)24；(2)見(jiàn)解析；(3)30【分析】（1）由菱形的性質(zhì)可得，，，由勾股定理可求，由菱形的面積公式可以求解；（2）先證四邊形是平行四邊形，可得，由線段垂直平分線的性質(zhì)可得結(jié)論；（3）先證，可得，由等腰三角形的性質(zhì)和外角的性質(zhì)可求解．【詳解】（1）解：四邊形是菱形，，，，，，，，，菱形的面積，故答案為：24；（2）證明：如圖，連接，交于，四邊形是平行四邊形，，，四邊形是菱形，，，，，，，垂直平分，四邊形是平行四邊形，，，；（3）解：四邊形是菱形，四邊形是菱形，，，，，，，，，，，，，，故答案為：30．2．（2022·四川德陽(yáng)·模擬）已知：四邊形是正方形，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，且．(1)如圖，與有怎樣的關(guān)系．寫(xiě)出你的結(jié)果，并加以證明；(2)如圖，對(duì)角線與交于點(diǎn)．，分別與，交于點(diǎn)，點(diǎn)．①求證：；②連接，若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)；．證明見(jiàn)解析(2)①見(jiàn)解析；②【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，，然后利用“邊角邊”證明，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得，，然后求出，再求出，然后根據(jù)垂直的定義解答即可；（2）①根據(jù)正方形的對(duì)角線互相垂直平分可得，，對(duì)角線平分一組對(duì)角可得，然后求出，再利用“角邊角”證明，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得；②過(guò)點(diǎn)作于，作于，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得，再利用“角角邊”證明，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得，然后判斷出四邊形是正方形，根據(jù)正方形的性質(zhì)求出，再求出，然后利用勾股定理列式求出，再根據(jù)正方形的性質(zhì)求出即可．【詳解】（1）解：；．證明：四邊形是正方形，，，在和中，，，，，，，，；（2）①證明：四邊形是正方形，，，，，，即，在和中，，，；②解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于，作于，，，在和中，，，，四邊形是正方形，，，，，在中，，正方形的邊長(zhǎng)．3．（2022·山東日照·?？级＃┰谥校?，，點(diǎn)為線段延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為，得到線段，連接，．(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，①求證：；②求的度數(shù)；(2)如圖2，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出和的數(shù)量關(guān)系．(3)當(dāng)時(shí)，若，，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)到的距離為【答案】(1)①見(jiàn)解析；②；(2)；(3)或．【分析】（1）①證明可得結(jié)論．②利用全等三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題即可．（2）證明，可得解決問(wèn)題．（3）分兩種情形，解直角三角形求出即可解決問(wèn)題．【詳解】（1）①證明：如圖1中，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為，得到線段，，，，，，是等邊三角形，，，，，，．②解：如圖1中，設(shè)交于點(diǎn)．，，，，即．（2）解：結(jié)論：．理由：如圖2中，，，，，，，，，，，．（3）過(guò)點(diǎn)作于，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于．如圖中，當(dāng)是鈍角三角形時(shí)，在中，，，，，，，，由（2）可知，，，，，如圖中，當(dāng)是銳角三角形時(shí)，同法可得，，，綜上所述，滿(mǎn)足條件的的值為或．故答案為或．4．（2022·山東濟(jì)南·山東師范大學(xué)第二附屬中學(xué)?？寄M）如圖，在中，點(diǎn)D、E分別是邊、上的點(diǎn)，且．(1)如圖1，若，求證：；(2)若．①如圖2，當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)；②如圖3，當(dāng)時(shí)，直接寫(xiě)出的長(zhǎng)是______．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)①；②???????【分析】（1）證明，即可得證；（2）①如圖，作的垂直平分線交于F，連接，證明，利用全等三角形的性質(zhì)和，進(jìn)行求解即可；②延長(zhǎng)到，使，求出，作于，利用等腰三角形的判定和性質(zhì)，求出的長(zhǎng)，進(jìn)而得到的余弦，作中垂線交于，于，證明，利用相似三角形的性質(zhì)，進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）證明：在中，，∵，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴=，∴；（2）解：①如圖2，作的垂直平分線交于F，連接，∴，∴，∵，∴，???????又∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴；②???????如圖：延長(zhǎng)到，使，則，∴，∵，∴，∴，作于，則，∴，在中，由勾股定理得：，在中，根據(jù)勾股定理得：，∴，作中垂線交于，于，設(shè)，則，，∵，，∴，∴，，解得，∴．5．（2022·遼寧葫蘆島·統(tǒng)考二模）在平行四邊形中，，，平分交線段于點(diǎn)，在□的外部作，使，，連接，，線段與交于點(diǎn)．(1)當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段和的數(shù)量關(guān)系；(2)當(dāng)時(shí)，①請(qǐng)寫(xiě)出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；②若點(diǎn)是的三等分點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的值．【答案】(1)(2)①，證明見(jiàn)解析；②或【分析】（1）線段和的數(shù)量關(guān)系∶，理由：如圖，連接，由四邊形是平行四邊形，和平分的條件，可得出：，，利用證明，得出，，最后再說(shuō)明是等邊三角形可得到結(jié)論；（2）①如圖，連接，先證明四邊形是矩形，可得到，然后仿照（1）證明思路，利用證明，得出，，再說(shuō)明，利用勾股定理可得到，然后在中，由勾股定理，最后代入即可得到，，之間的數(shù)量關(guān)系式；②根據(jù)是的三等分點(diǎn)，分兩種情況解答：第一種情況：；第二種情況：．【詳解】（1）解：線段和的數(shù)量關(guān)系∶，理由如下：如圖，連接，∵四邊形是平行四邊形，，∴，，，，∵平分，∴，∴，∴，∴，∴，∵，，∴是等邊三角形，∴，∴，，∴，在和中，∴，∴，，∴，∴是等邊三角形，∴．（2）①如圖，連接，∵四邊形是平行四邊形，，∴四邊形是矩形，∴，，，，∵平分，∴，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，，，∴，在和中，∴，∴，，∴，∴，∵在中，∴，∴．②點(diǎn)是的三等分點(diǎn)，分兩種情況：第一種情況：，設(shè)，由①可知：在中，，，∴，∴，，∴由①可知：在中，，，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，由①可知：在中，，∴，∴，∵，∴，∴；第二種情況：，設(shè)，由①可知：在中，，，∴，∴，，∴由①可知：在中，，，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，由①可知：在中，，∴，∴，∵，∴，∴．∴的值為或．6．（2022·河北保定·統(tǒng)考二模）兩個(gè)完全相同的直角三角板按如圖1所示方式放置，，直角頂點(diǎn)和重合，，連接，．(1)論證：求證：．(2)探索：如圖2，、為兩個(gè)三角板斜邊上的兩動(dòng)點(diǎn)，且，，當(dāng)最小時(shí)，求的長(zhǎng)．(3)拓展：將兩個(gè)三角板按圖3所示方式放置，直角頂點(diǎn)在上，兩三角板的直角邊分別交于、兩點(diǎn)，當(dāng)與相似時(shí)，求的長(zhǎng)．【答案】(1