2024-2025學年重慶市高二上學期期中考試數(shù)學質(zhì)量檢測試卷（含解析）

2024-2025學年重慶市高二上學期期中考試數(shù)學質(zhì)量檢測試卷注意事項：1.答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版必修第二冊第十章，選擇性必修第一冊第一、二章.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.圓與的位置關系為（）A.相交 B.相離 C.外切 D.內(nèi)切2.若直線與直線平行，則（）A. B. C.1 D.3.甲、乙兩人獨立地破譯一份密碼，已知兩人能破譯密碼的概率分別是，，則密碼被成功破譯的概率為（）A. B. C. D.4.已知向量，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.5.若構成空間的一個基底，則下列選項中能作為基底的是（）A B.C. D.6.空間內(nèi)有三點，則點到直線的距離為（）A B. C. D.7.某手機信號檢測設備的監(jiān)測范圍是半徑為的圓形區(qū)域，一名人員持手機以每分鐘的速度從設備正東的處沿西偏北方向走向位于設備正北方向的處，則這名人員被持續(xù)監(jiān)測的時長約為（）A.2分鐘 B.3分鐘 C.4分鐘 D.5分鐘8.如圖，在四面體中，平面平面是邊長為6的正三角形，是等腰直角三角形，是的中點，，若平面，則（）A B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.有四個盲盒，每個盲盒內(nèi)都有3個水晶崽崽，其中三個盲盒里面分別僅裝有紅色水晶崽崽?藍色水晶崽崽?粉色水晶崽崽，剩下的那個盲盒里面三種顏色的水晶崽崽都有.現(xiàn)從中任選一個盲盒，設事件為“所選盲盒中有紅色水晶崽崽”，為“所選盲盒中有藍色水晶崽崽”，為“所選盲盒中有粉色水晶崽崽”，則（）A與不互斥 B.C. D.與相互獨立10.在空間直角坐標系中，已知，則（）A.為質(zhì)數(shù)B.直角三角形C.與所成角的正弦值為D.幾何體的體積為11.已知圓與直線，點在圓上，點在直線上，則下列說法正確的是（）A.若，則直線與圓相切B.若圓上存在兩點關于直線對稱，則C.若，則D.若，從點向圓引切線，則切線長的最小值是三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，若，互斥，則________，________.13.若點在圓的外部，則正實數(shù)的取值范圍是______.14.若過圓外一點作圓的兩條切線，切點分別為，且，則__________．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知直線，圓.（1）證明：直線與圓相交.（2）記直線與圓的交點為，求AB的最小值.16.某社團為統(tǒng)計居民運動時長，調(diào)查了某小區(qū)100名居民平均每天的運動時長（單位：h），并根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)分為，，，，，六個小組（所調(diào)查的居民平均每天的運動時長均在內(nèi)），得到的頻率分布直方圖如圖所示.（1）求出圖中m的值，并估計這100名居民平均每天的運動時長的中位數(shù)；（2）按分組用分層隨機抽樣的方法從平均每天運動時長在，這兩個時間段內(nèi)的居民中抽出6人分享運動心得，若再從這6人中選出2人發(fā)言，求這2人來自不同分組的概率.17.如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，.（1）判斷直線與是否垂直，并說明理由；（2）求平面與平面的夾角的余弦值.18.如圖，在三棱臺中，平面，，，，D是棱AC的中點，E為棱BC上一動點.（1）判斷是否存在點E，使平面.（2）是否存在點E，使平面平面?若存在，求此時與平面所成角的正弦值；若不存在，說明理由.19.古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯證明過這樣一個命題：平面內(nèi)到兩定點距離之比為常數(shù)且的點的軌跡是圓．后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓．在平面直角坐標系中，，動點滿足，設動點的軌跡為曲線．（1）求曲線的軌跡方程；（2）若直線與曲線交于兩點，求AB；（3）若曲線與軸的交點為，直線與曲線交于兩點，直線與直線交于點，證明：點在定直線上．2024-2025學年重慶市高二上學期期中考試數(shù)學質(zhì)量檢測試卷注意事項：1.答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版必修第二冊第十章，選擇性必修第一冊第一、二章.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.圓與的位置關系為（）A相交 B.相離 C.外切 D.內(nèi)切【正確答案】D【分析】計算兩圓圓心距，利用幾何法可判斷兩圓的位置關系.【詳解】圓的圓心為，半徑；圓的圓心為，半徑．兩圓圓心距為，所以圓與圓內(nèi)切．故選：D.2.若直線與直線平行，則（）A. B. C.1 D.【正確答案】C【分析】利用兩直線平行的判定方法列出方程，求解后檢驗即得.【詳解】因為，所以，解得或.當時，重合，不合題意；當時，，符合題意.故選：C.3.甲、乙兩人獨立地破譯一份密碼，已知兩人能破譯密碼的概率分別是，，則密碼被成功破譯的概率為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)相互獨立事件同時發(fā)生的概率公式及對立事件的概率公式計算得解.【詳解】甲乙都沒有破譯密碼的概率,所以根據(jù)對立事件概率公式可知，密碼被成功破譯的概率,故選：D4.已知向量，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)投影向量的計算方法求得正確答案.【詳解】向量在向量上的投影向量為．故選：A5.若構成空間的一個基底，則下列選項中能作為基底的是（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)空間向量共面基本定理判斷各選項向量是否共面即可得解.【詳解】因為，所以共面，故A錯誤；因為，所以共面，故B錯誤；因為，所以共面，故C錯誤；因為不存在x，y，使得，所以不共面，故D正確．故選：D6.空間內(nèi)有三點，則點到直線的距離為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)空間向量的坐標表示求出，利用空間向量法求解點線距即可.【詳解】因為，所以的一個單位方向向量為.因為，所以點到直線的距離為.故選：A7.某手機信號檢測設備的監(jiān)測范圍是半徑為的圓形區(qū)域，一名人員持手機以每分鐘的速度從設備正東的處沿西偏北方向走向位于設備正北方向的處，則這名人員被持續(xù)監(jiān)測的時長約為（）A.2分鐘 B.3分鐘 C.4分鐘 D.5分鐘【正確答案】C【分析】根據(jù)給定條件，建立平面直角坐標系，求出直線及圓的方程，利用點到直線的距離公式及圓的弦長公式求解即得.【詳解】以設備的位置為坐標原點，其正東、正北方向分別為軸、軸的正方向建立平面直角坐標系，則直線，即，圓，記從處開始被監(jiān)測，到處監(jiān)測結束，點到直線的距離為，則，所以被監(jiān)測的時長為分鐘.故選：C8.如圖，在四面體中，平面平面是邊長為6的正三角形，是等腰直角三角形，是的中點，，若平面，則（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】建立空間直角坐標系，求出及平面的法向量，利用它們數(shù)量積為0求解即可.【詳解】連接，由為等邊三角形，則，又平面平面，交線，平面，所以平面，又平面，所以,因為為等腰三角形，是的中點，所以，以為坐標原點，的方向分別為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，則．，，．設平面的一個法向量為，則取，則．因為平面，所以，解得．故選：A二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.有四個盲盒，每個盲盒內(nèi)都有3個水晶崽崽，其中三個盲盒里面分別僅裝有紅色水晶崽崽?藍色水晶崽崽?粉色水晶崽崽，剩下的那個盲盒里面三種顏色的水晶崽崽都有.現(xiàn)從中任選一個盲盒，設事件為“所選盲盒中有紅色水晶崽崽”，為“所選盲盒中有藍色水晶崽崽”，為“所選盲盒中有粉色水晶崽崽”，則（）A.與不互斥 B.C. D.與相互獨立【正確答案】ACD【分析】由互斥事件，獨立事件，以及各個事件的概率關系逐一判斷即可；【詳解】對于A，和可以同時發(fā)生，故A正確；對于B，因為，所以，故B錯誤；對于C，，故C正確；對于D，因為，所以，故D正確；故選：ACD.10.在空間直角坐標系中，已知，則（）A.為質(zhì)數(shù)B.為直角三角形C.與所成角的正弦值為D.幾何體的體積為【正確答案】BCD【分析】對于ABC：根據(jù)空間向量的坐標運算分析求解即可；對于D：分析可知幾何體為三棱臺，且與該三棱臺的底面垂直，結合臺體的體積公式運算求解.【詳解】對于選項A：因為，所以不是質(zhì)數(shù)，A錯誤；對于選項B：因為，則，所以為直角三角形，B正確；對于選項C：因為，所以與所成角的正弦值為，C正確；對于選項D：根據(jù)已知6個點的空間直角坐標可得幾何體為三棱臺，且與該三棱臺的底面垂直，，所以幾何體的體積為，D正確.故選：BCD.11.已知圓與直線，點在圓上，點在直線上，則下列說法正確的是（）A.若，則直線與圓相切B.若圓上存在兩點關于直線對稱，則C.若，則D.若，從點向圓引切線，則切線長的最小值是【正確答案】BC【分析】利用圓心到直線的距離與半徑的關系可判斷A錯誤；由圓上存在兩點關于直線對稱可得直線過圓心，圓心坐標代入直線方程可得選項B正確；由題意可知的最小值為圓心到直線的距離減去半徑，選項C正確；由切線得垂直，根據(jù)勾股定理表示切線長，可知當最小時，切線長最小，結合點到直線的距離求解可知選項D錯誤.【詳解】A.由題意得，圓的標準方程為，圓心為，半徑.∴圓心到直線的距離，∴直線與圓相離，故A不正確.B.若圓上存在兩點關于直線對稱，則直線經(jīng)過圓的圓心，∴，解得，故B正確.C.若，則圓心到直線的距離，∴，故C正確.D.若，從點向圓引切線，設一個切點為，連接，則，如圖所示，，當時，取得最小值，此時取得最小值，即，故D不正確.故選：BC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，若，互斥，則________，________.【正確答案】①.②.【分析】根據(jù)互斥事件概率計算公式來求得正確答案.【詳解】依題意，，互斥，所以.故；13.若點在圓的外部，則正實數(shù)的取值范圍是______.【正確答案】【分析】結合圓的定義、點與圓的位置關系計算即可得解.【詳解】由題意可得，解得，故正實數(shù)的取值范圍是.故答案為.14.若過圓外一點作圓兩條切線，切點分別為，且，則__________．【正確答案】2或4【分析】根據(jù)圓的切線性質(zhì)可求出相關線段的長，利用，即可求出答案.【詳解】如圖，記圓的圓心為與交于點，圓的半徑為r，由題意可得，，所以，即，解得或16，即或4，經(jīng)檢驗，都滿足題意．故2或4四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知直線，圓.（1）證明：直線與圓相交.（2）記直線與圓的交點為，求AB的最小值.【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）求出直線所過定點，判斷該定點與圓的位置關系即可推理得證.（2）利用圓的性質(zhì)求出最短弦長.【小問1詳解】直線：，令，解得，則直線過定點，圓的圓心，半徑，而，因此點在圓的內(nèi)部，所以直線與圓相交.【小問2詳解】由（1）知，，當且僅當時，弦長最短，所以AB的最小值為.16.某社團為統(tǒng)計居民運動時長，調(diào)查了某小區(qū)100名居民平均每天的運動時長（單位：h），并根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)分為，，，，，六個小組（所調(diào)查的居民平均每天的運動時長均在內(nèi)），得到的頻率分布直方圖如圖所示.（1）求出圖中m的值，并估計這100名居民平均每天的運動時長的中位數(shù)；（2）按分組用分層隨機抽樣的方法從平均每天運動時長在，這兩個時間段內(nèi)的居民中抽出6人分享運動心得，若再從這6人中選出2人發(fā)言，求這2人來自不同分組的概率.【正確答案】（1），2.4h（2）.【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)可得，再利用中位數(shù)的計算公式直接計算；（2）根據(jù)分層抽樣等比例的性質(zhì)直接計算人數(shù)，再根據(jù)古典概型公式計算即可.【小問1詳解】由，解得.因為，所以中位數(shù)在內(nèi)，設中位數(shù)為x，則，得，即估計這100名居民平均每天的運動時長的中位數(shù)為2.4h.【小問2詳解】由題知，平均每天運動時長在，內(nèi)的頻率分別為0.5，0.1，則應從平均每天運動時長在，內(nèi)的居民中分別抽出5人，1人.記時間段內(nèi)的5人分別為a，b，c，d，e，記時間段內(nèi)的1人為M，則從這6人中選出2人的基本事件有，，，，，，，，，，，，，，共15個，2人來自不同分組的基本事件，，，，，共5個，所以這2人來自不同分組的概率為.17.如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，.（1）判斷直線與是否垂直，并說明理由；（2）求平面與平面的夾角的余弦值.【正確答案】（1）和不垂直，理由見詳解；（2）【分析】（1）根據(jù)已知條件可設，計算出，的值，從而證明到，再由可證平面；所以建立空間直角坐標系，用坐標表示向量和，將判斷直線是否垂直轉(zhuǎn)化為判斷向量是否垂直，即可得證.（2）在第一問的基礎上，分別求出平面與平面的法向量，利用公式計算可得平面與平面的夾角的余弦值.【小問1詳解】和不垂直，理由如下：設，則，在中，，所以為等邊三角形，所以，因為，，所以，從而，所以在直角中，，，又因為，所以，所以在中，滿足，故為直角三角形，則；又因為，，所以平面；因為，所以，所以，故以點為坐標原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.設，則，，；所以，，，，，所以，，所以，所以不成立，故和不垂直.【小問2詳解】由（1）可知，，，所以平面，故為平面的一個法向量；又，，設平面的法向量，所以，即，取，則，，故，設平面與平面的夾角為，所以，所以平面與平面的夾角的余弦值為.18.如圖，在三棱臺中，平面，，，，D是棱AC的中點，E為棱BC上一動點.（1）判斷是否存在點E，使平面.（2）是否存在點E，使平面平面?若存在，求此時與平面所成角的正弦值；若不存在，說明理由.【正確答案】（1）存在（2）存在，且與平面所成角的正弦值為【分析】（1）以為原點，以、的方向分別為、軸的正方向建立空間直角坐標系，求出點的坐標，利用空間向量法可證得結論成立；（2）設