高等數(shù)學(xué)第一節(jié)對(duì)弧長的曲線積分

高等數(shù)學(xué)第一節(jié)對(duì)弧長的曲線積分第一節(jié)對(duì)弧長的曲線積分對(duì)整體量進(jìn)行分割、作和、取極限所產(chǎn)生的定積分與重積分已經(jīng)帶來了很大的方便,但是,有些實(shí)際問題與理論問題,這兩種積分還解決不了,于是,又引進(jìn)了曲線積分與曲面積分,它們與前者的基本思想是一致的.本章討論的基本問題是兩類曲線積分與兩類曲面積分,重點(diǎn)是曲線積分與路徑無關(guān)的問題以及Green(格林)公式與Gauss(高斯)公式.一、對(duì)弧長的曲線積分的定義

二、對(duì)弧長的曲線積分的性質(zhì)三、對(duì)弧長的曲線積分的計(jì)算四、對(duì)弧長的曲線積分的應(yīng)用線密度為連續(xù)函數(shù)z=f(x,y),利用分割作和、取極限的方法求該構(gòu)件的質(zhì)量.一、對(duì)弧長的曲線積分的定義

定義1如果連續(xù)曲線y=f(x)上到處都有切線,當(dāng)切點(diǎn)連續(xù)變動(dòng)時(shí),切線也連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng),就稱此曲線為光滑曲線.設(shè)有一曲線形構(gòu)件,它在xOy平面內(nèi)是一條光滑曲線弧L,見圖9-1.圖9-1在L上取點(diǎn)M1,M2,…,Mn-1,把L分成n小段,在上任意取一點(diǎn)(

i,

i),弧段的長度為

si,記Mi-1MiMi-1Mi

=max{

s1,

s2,

,

sn}則該構(gòu)件的質(zhì)量為圖9-1

定義2設(shè)L為xOy平面內(nèi)的一條光滑曲線,z=f(x,y)為L上的連續(xù)函數(shù),用分點(diǎn)M1,M2,…,Mn-1,把L分成n小段,在存在,則將此極限值稱為函數(shù)f(x,y)在L上對(duì)弧長的曲線積分,記為

其中,f(x,y)稱為被積函數(shù),L稱為積分弧段.上任意取一點(diǎn)(

i,

i),

si表示的長度,Mi-1MiMi-1Mi記

=max{

s1,

s2,

,

sn},如果

定理1當(dāng)f(x,y)在光滑曲線或分段光滑曲線弧L上連續(xù)時(shí),對(duì)弧長的曲線積分存在.二、對(duì)弧長的曲線積分的性質(zhì)

由對(duì)弧長的曲線積分的定義可知,定積分的所有性質(zhì)都可以移植過來.性質(zhì)1設(shè)k為常數(shù),則設(shè)下面所涉及的對(duì)弧長的曲線積分都存在.性質(zhì)2

性質(zhì)3將L分成L1與L2,則其中L0表示L的長度性質(zhì)4性質(zhì)5f(x,y)

g(x,y),則

性質(zhì)6在L上若設(shè)m

f(x)

M,則其中L0表示L的長度性質(zhì)7當(dāng)f(x,y)在光滑曲線弧L上連續(xù)時(shí),必有L上某點(diǎn)(

,

),使得三、對(duì)弧長的曲線積分的計(jì)算

定理2設(shè)f(x,y)在曲線L上連續(xù),L的參數(shù)方程為(

t

)其中

(t),

(t)在[

,

]上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù),且

2(t)+

2(t)

0,則有公式(1)成立.(1)設(shè)下面的函數(shù)和曲線都滿足定理2的條件,則還有如下公式.積分上限要大于下限.

設(shè)L:y=y(x)(a

x

b),則有設(shè)L:r=r(

)(

),則有設(shè)L:x=x(y)(c

y

d),則有設(shè)L:x=

(t),y=

(t),z=

(t)(

t

),則有

定理3設(shè)f(x,y)和L滿足定理2的條件,若f(x,y)=f(x,

y),L關(guān)于軸對(duì)稱,L1表示L的位于x軸上方的部分,則有若f(x,y)=

f(x,

y),則例1L是整條星形線解設(shè)L1:x=cos3t,y=sin3t,(0

t

/2),由定理3可知,于是例2求L為圓x2+y2=ax(a>0).解把L寫成極坐標(biāo)形式r=acos

,-

/2

/2利用公式(4),有例3求

為螺旋線:x=acost,y=asint,z=bt,0

t

2

.解利用公式(5),有

為圓周:解直接利用(5)完成,計(jì)算量很大,注意到于是例4求原式設(shè)在xOy平面內(nèi)有一條分布著質(zhì)量的光滑曲線弧(或分段光滑曲線弧)L,在點(diǎn)(x,y)處的線密度為連續(xù)函數(shù)f(x,y),利用微元分析法不難推得下面各計(jì)算公式.四、對(duì)弧長的曲線積分的應(yīng)用質(zhì)量設(shè)重心為則轉(zhuǎn)動(dòng)慣量如果曲線L是空間曲線,也可以得出類似的公式.式中Ix,Iy,Io分別表示質(zhì)量弧L對(duì)于x軸、y軸、原點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.下面給出第一型曲線積分的幾何意義.當(dāng)f(x,y)

0時(shí),如果f(x,y)在平面曲線L上連續(xù),L光滑或分段光滑,見圖9-2曲線積分表示柱面的面積A,即圖9-2例5設(shè)有柱面被平面z=y所截,求所截得有限部分的柱面面積.解所求柱面面積為式中L為半橢圓其參數(shù)方程為于是作業(yè)P841、2、3、5每年進(jìn)入夏季，由于氣溫高、濕度大，對(duì)幼兒的照顧要特別注意，以下是出國留學(xué)網(wǎng)為您搜集整理的育兒健康小常識(shí)1.不是所有寶寶都需額外補(bǔ)充維生素很多家長會(huì)問，孩子多大需要開始補(bǔ)充維生素?小嬰兒是否需要補(bǔ)充維生素?劉主任表示，孩子多大補(bǔ)充維生素沒有明確的界定，如果寶寶是吃母乳或奶粉，一般營養(yǎng)物質(zhì)都足夠、全面，不需要額外補(bǔ)充維生素，如果出現(xiàn)了某些癥狀，如缺乏維生素B或維生素C等，再有針對(duì)性的補(bǔ)充會(huì)更好。維生素D可以促進(jìn)鈣的吸收，小嬰兒也應(yīng)該補(bǔ)充，特別是純母乳喂養(yǎng)的寶寶，如果沒有補(bǔ)充維生素D，常帶寶寶曬太陽，也可以轉(zhuǎn)化為維生素D，從而促進(jìn)鈣的吸收。給寶寶曬太陽，一般每天半小時(shí)到1小時(shí)，注意不要遮擋著曬太陽，如果是戴太陽帽、打傘或擦防曬霜等，起不到曬太陽的效果。2.不能用維生素補(bǔ)充劑代替蔬菜水果有的家長認(rèn)為，都是補(bǔ)充維生素，用維生素補(bǔ)充劑方便多了，因此就用維生素補(bǔ)充劑代替水果和蔬菜。劉主任表示，只要條件允許，應(yīng)盡量從食物中攝取維生素，如果是因?yàn)槟承┨厥馇闆r導(dǎo)致不能全面有效獲得維生素，則可以考慮食用維生素補(bǔ)充劑。而且維生素補(bǔ)充劑是不能代替蔬菜和水果的。因?yàn)槭卟恕⑺械母鞣N維生素是按一定比例存在的天然成份，是多種維生素的集合體;而維生素制劑多數(shù)是人工合成的，兩者在性質(zhì)上會(huì)有所差別。蔬菜、水果除了含有維生素外，還含有一些雖然對(duì)人體的作用與維生素類似的天然物質(zhì)，如葉綠素、胡蘿卜素等。此外蔬菜中含有礦物質(zhì)、微量元素、碳水化合物、纖維素等非維生素類營養(yǎng)成份。3.維生素補(bǔ)充劑含有的維生素種類不是越多越好有的家長容易陷入一個(gè)誤區(qū)，認(rèn)為既然要補(bǔ)，那就補(bǔ)得全面一點(diǎn)，總給寶寶吃綜合性維生素。劉主任表示，維生素補(bǔ)充劑并不是所含種類越多越好。劉主任建議，對(duì)于挑食特別厲害的寶寶，吃東西的品種少，可以選擇補(bǔ)充綜合性維生素劑;如果是缺乏某些維生素，建議有針對(duì)性地補(bǔ)充更合適;如果只是缺乏某一種維生素，沒必要補(bǔ)充綜合維生素制劑，因?yàn)橛械木S生素會(huì)產(chǎn)生蓄積中毒的情況。4.維生素應(yīng)從正規(guī)渠道購買如果是身體缺乏維生素的話，還是要在醫(yī)生的指導(dǎo)下服用維生素藥品，如果是出于保健的需求，可以服用保健品5.維生素補(bǔ)多久補(bǔ)多少最好由醫(yī)生判斷給寶寶補(bǔ)充維生素一定要注意用量，特別是維生素缺乏者，最好由醫(yī)生判