初等積分法淺論

密學(xué)院、專(zhuān)業(yè)：數(shù)學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)林熠(吉林師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院2006級(jí)5班吉林四平136000)指導(dǎo)教師：楊穎（講師）摘要：文中通過(guò)分析變量可分離方程,全微分方程和一階隱式微分方程三類(lèi)方程介紹關(guān)鍵詞：初等積分，變量可分離全微分，一OntheelementaryintegralsLinYi(SchoolofMathematics,JilinNormalUniversity,2006Siping136000,Jilin5classes)Instructor:YangYing(lecturer)Abstract:Inthispaper,byanalyzingthevariableseparableeqimplicitdifferentialequationdescribesthethreebasicmethodselementaryiExample,ExampleshowingthroughthesecommonlyusedsolutionsofelementaryintegralstitlefunctionKeywords:elementaryintegral,variableseparabletotaldifferential,afirst-ord概念：一般說(shuō)來(lái)，微分方程就是聯(lián)系自變量，未知函數(shù)以及未知函數(shù)的某些導(dǎo)數(shù)的等式.如果其中的未知函數(shù)只與一個(gè)自變量有關(guān)，則稱(chēng)為常微分方程.⑵假設(shè)g(y)不是常數(shù)，且f(x)在（a,b）上連續(xù)，g(y)在(α,β)上連續(xù)，設(shè)y=y(x)為方程（1）（1）式的通積分為dx+C,C為任意常數(shù).若g(y)≠0,微分方程解：①若y≠0，分離變量積分得lny=lnx+lnC,即y=CxCyx3解：若y≠±1,分離變量得兩端積分得arcsiny=arcsinx+C,1222(2)若3X0，使=M2(x0)=0,3y0,使x2-1y2-1=C2→lnx2-1y2-1=C2,C2≠0或=C,C≠0定義：如果一階顯示方程（1）的右端函數(shù)f(x,y)可以改寫(xiě)為 eΦ代入方程（1），通積分為：若3u0，使g(u0)-u0=0,則u=u0為方程（2）的解，則y=u0x為方程（1）的解.例一求方程=y2-的通解.解所給方程為型.此時(shí)r0=-2,r2=2,=r0+1=-1知該方程為齊次4解之,并將u換成xy,得原方程的通解為：xy-1=Cx3(xy+2)齊次型方程,且p=則原方程化為令y=x-代入解之,并將u換成x得原方程的通解為:1+xyarctan(x+xylnx=Cxy.1．一個(gè)一階微分方程寫(xiě)成P（x，y）dx＋Q（x，y1）形式后，如果全微分du（x，y）＝P（x，y）dx＋Q（x，y）dy那么方程（1）就叫做全微分方程．這里那么方程（1）就是du（x，y所以u(píng)（x，yC就是全微分方程（1）的隱式通解，其中C為任意常數(shù).設(shè)函數(shù)P（x，yQ（x，y）在單連通域G上有數(shù)，則G在內(nèi)曲線(xiàn)積分Pdx+Qdy與路徑無(wú)關(guān)的充分必要條件3．當(dāng)條件（2）不能滿(mǎn)足時(shí)，方程（1）就不是全微分方程．這時(shí)如果有一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)μ（X，Y）(μ（X，Y）≠0，使方程（1）在乘上μ（x，y）后所得的方程μPdx+μQdy＝0是全微分方程，則函數(shù)μ（x，y）叫做方程（1）的積分因子.①按照為全微分方程充分條件的證明過(guò)程可得第一種解法．求μ（x，y）使它滿(mǎn)足 和從式出發(fā)，把看成參數(shù)對(duì)進(jìn)行積分，解這個(gè)方程得到dx+g其中g(shù)為y的任意可微函數(shù)。我們現(xiàn)在來(lái)選取g（y）使它同時(shí)滿(mǎn)足（4）式，即將式代入（5）式中即求得5=x＋y3=x＋y3看成常數(shù)），得到μ=yx-x4+g其中g(shù)為y的任意函數(shù)?，F(xiàn)選取g（y）使它滿(mǎn)足y3即，x＋g＝x＋y3，g所以y4＋C1（C1為任意常數(shù)）.上述方法來(lái)求解，而是采取“分項(xiàng)組合”的辦法，先把那些本身已構(gòu)成全微分的項(xiàng)分出再把剩下的項(xiàng)湊成全微分．但這種方法要求熟記一些簡(jiǎn)單二元函數(shù)的全微分.現(xiàn)用這種方法求解下面例題.于是方程的通解為x4＋xy＋y4＝C這里C為任意常數(shù).②由前面曲線(xiàn)積分的定理可知，當(dāng)P（x，y），Q（x，y）在單連通域G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，要程，其充要條件是在區(qū)域G內(nèi)恒成立，且當(dāng)此條件滿(mǎn)足時(shí)，全微分方程(1)的通解為），點(diǎn)作為曲線(xiàn)積分的始點(diǎn)．例3求解（5x4＋3xy2－y3）dx3x2y－3xy2＋y2）dy＝0.見(jiàn)到形如P（x，y）dx＋Q（x，y）dy＝0的一階微分方程，首先要判斷它是哪一種類(lèi)型的方程，如是全微分方程，然后按全微分方程的解法去求解.y,=f1(x,y),y,=f2(x,y)......y,=fl(x,y)（y,x)(y,y)=0類(lèi)型一F（x,y,）=0F(y,y,)=0dy=Ψ(t)dφ(t)=Ψ（t）φ,(t)dtdt+C7常微分方程的解法很多，應(yīng)用起來(lái)也很靈活，本文僅簡(jiǎn)單的介