（新教材適用）高中數(shù)學(xué)第七章隨機(jī)變量及其分布73離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征732離散型隨機(jī)變量的方差課后習(xí)題新人教A版選擇性

7.3.2離散型隨機(jī)變量的方差A(yù)組1.已知隨機(jī)變量X的分布列為X1234P1111則D(X)的值為()A.2912 B.121144 C.179解析:E(X)=1×14+2×13+3×16D(X)=1-29122×14+答案:C2.隨機(jī)變量X的分布列如表所示.X123P0.5xy若E(X)=158A.732 B.932 C.33解析:由1所以D(X)=1-答案:D3.甲、乙兩臺(tái)自動(dòng)機(jī)床各生產(chǎn)同種產(chǎn)品1000件,X表示甲車床生產(chǎn)1000件產(chǎn)品中的次品數(shù),Y表示乙車床生產(chǎn)1000件產(chǎn)品中的次品數(shù),經(jīng)過一段時(shí)間的考察,X,Y的分布列分別為甲機(jī)床生產(chǎn)次品數(shù)的分布列X0123P0.700.20.1乙機(jī)床生產(chǎn)次品數(shù)的分布列Y0123P0.60.20.10.1據(jù)此可判定()A.甲比乙質(zhì)量好 B.乙比甲質(zhì)量好C.甲與乙質(zhì)量相同 D.無法判定解析:由隨機(jī)變量X與Y的分布列,可得甲機(jī)床生產(chǎn)的次品數(shù)均值為E(X)=0.7,乙機(jī)床生產(chǎn)的次品數(shù)均值為E(Y)=0.7,進(jìn)而得D(X)=(00.7)2×0.7+(10.7)2×0+(20.7)2×0.2+(30.7)2×0.1=1.21,D(Y)=(00.7)2×0.6+(10.7)2×0.2+(20.7)2×0.1+(30.7)2×0.1=1.01.由于E(X)=E(Y),D(X)>D(Y),故乙比甲質(zhì)量好.答案:B4.編號(hào)為1,2,3的3名同學(xué)隨意坐入編號(hào)為1,2,3的3個(gè)座位,每名同學(xué)坐一個(gè)座位,設(shè)與座位編號(hào)相同的學(xué)生人數(shù)是X,則X的方差為()A.2 B.22 C.1解析:X的可能取值為0,1,3.P(X=0)=2A33P(X=3)=1A則E(X)=0×13+1×12+3×16=1,D(X)=(01)2×13+(11)2×答案:D5.拋擲一枚硬幣,規(guī)定正面朝上得1分,反面朝上得1分,則得分X的均值與方差分別為()A.E(X)=0,D(X)=1B.E(X)=12,D(X)=C.E(X)=0,D(X)=1D.E(X)=12解析:由題意知,隨機(jī)變量X的分布列為X11P0.50.5所以E(X)=1×0.5+(1)×0.5=0,D(X)=(10)2×0.5+(10)2×0.5=1.答案:A6.(多選題)設(shè)隨機(jī)變量X的分布列如下(其中ab≠0),則下列說法正確的是()X012PabbA.a+b=1B.E(X)=2bC.D(X)先增大后減小D.D(X)有最小值解析:由題意可知a+b2+b2=1,即a+b=1,所以A正確;E(X)=0×a+1×b2+2×b2=3b2,所以B不正確;D(X)=a0-3b22答案:AC7.已知隨機(jī)變量X的分布列為X101P111若Y=2X+2,則D(Y)的值為.

解析:E(X)=1×12+0×13+1×16=13,可得D(X)=答案:208.在一輪投籃練習(xí)中,每名選手最多可投籃4次,現(xiàn)規(guī)定一旦命中即停止該輪練習(xí),否則一直試投到4次為止.已知一選手的投籃命中率為0.7,求一輪練習(xí)中該選手的實(shí)際投籃次數(shù)X的分布列,并求X的均值與方差.(結(jié)果精確到0.001)解:X的可能取值為1,2,3,4.X=1表示第一次即投中,則P(X=1)=0.7;X=2表示第一次未投中,第二次投中,則P(X=2)=(10.7)×0.7=0.21;X=3表示第一、二次未投中,第三次投中,則P(X=3)=(10.7)2×0.7=0.063;X=4表示前三次未投中,則P(X=4)=(10.7)3=0.027.因此X的分布列為X1234P0.70.210.0630.027E(X)=1×0.7+2×0.21+3×0.063+4×0.027=1.417.D(X)=(11.417)2×0.7+(21.417)2×0.21+(31.417)2×0.063+(41.417)2×0.027≈0.531.B組1.已知隨機(jī)變量X的分布列如表所示,則隨機(jī)變量X的方差D(X)的最大值為()X012Py0.4x解析:由題意知x≥0,y=0.6x≥0,故0≤x≤0.6.因?yàn)镋(X)=0.4+2x,E(X2)=0.4+4x,所以D(X)=E(X2)(E(X))2=0.4+4x(0.4+2x)2=4x2+2.4x+0.24,當(dāng)x=0.3時(shí),D(X)max=0.6.答案:B2.隨機(jī)變量Y的分布列如下表:Ynn+1n+2Pabc其中a,b,c成等差數(shù)列,則D(Y)()A.與n有關(guān),有最大值2B.與n有關(guān),有最小值2C.與n無關(guān),有最大值2D.與n無關(guān),有最小值2解析:由題意得,a+c=2b,a+b+c=1,解得b=13E(Y)=na+(n+1)b+(n+2)c=n(a+b+c)+b+2c=n+b+2c,E(Y2)=n2a+(n+1)2b+(n+2)2c,則D(Y)=E(Y2)(E(Y))2=n2a+(n+1)2b+(n+2)2c(n+b+2c)2=4c2+83c+29=-4答案:C3.已知X是離散型隨機(jī)變量,P(X=x1)=23,P(X=x2)=13,且x1<x2,又已知E(X)=43A.53 B.73解析:由E(X)=43,D(X)=22解得x因?yàn)閤1<x2,所以x1答案:C4.(多選題)已知A1,A2為兩所高校舉行的自主招生考試,某同學(xué)參加每所高校的考試獲得通過的概率均為12A.X的可能取值為0,1 B.X服從兩點(diǎn)分布C.E(X)=34 D.D(X)=解析:由已知得X的可能取值為0,1,且服從兩點(diǎn)分布.P(X=0)=12P(X=1)=12則E(X)=34,D(X)=3故選ABCD.答案:ABCD5.設(shè)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子的點(diǎn)數(shù)為隨機(jī)變量X,則DD(解析:由題意得X的分布列為X123456P111111所以E(X)=(1+2+3+4+5+6)×16D(X)=E(X2)(E(X))2=1×16+4×16+9×16+16×16+25×所以DD(答案:1056.袋中有20個(gè)大小、質(zhì)地相同的球,其中記上0號(hào)的有10個(gè),記上n號(hào)的有n個(gè)(n=1,2,3,4).現(xiàn)從袋中任取1球,X表示所取球的記號(hào).(1)求X的分布列、均值和方差;(2)若Y=aX+b,E(Y)=1,D(Y)=11,求a,b的值.解:(1)X的分布列為X01234P11131E(X)=0×12+1×120+2×110+3×3D(X)=0-(2)由D(Y)=a2D(X),即a2×114∵E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b,∴當(dāng)a=2時(shí),由1=2×32當(dāng)a=2時(shí),由1=2×32∴a7.根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn),某工程施工期間的降水量X(單位:mm)對工期的影響如下表:降水量XX<5050≤X<100100≤X<250X≥250工期延誤天數(shù)Y02610歷年氣象資料表明,該工程施工期間降水量X小于50mm,100mm,250mm的概率分別為0.3,0.7,0.9,求:(1)工期延誤天數(shù)Y的均值與方差;(2)在降水量至少是50mm的條件下,工期延誤不超過6天的概率.解:(1)由已知可得P(X<50)=0.3,P(50≤X<100)=P(X<100)P(X<50)=0.70.3=0.4,P(100≤X<250)=P(X<250)P(X<100)=0.90.7=0.2,P(X≥250)=1P(X<250)=10.9=0.1,所以Y的分布列為Y02610P0.30.40.20.1于是,E(Y)=0×0.3+2×0.4+6×0.2+10×0.1=3,D(Y)=(03)2×0.3+(23)2×0.4+(63)2×0.2+(103)2×0.1=9.8.故工期延誤天數(shù)Y的均值為3,方差為9.8.(2)由概率的加法公式,得P(X≥50)=1P(X<50)=0.7,P(50≤X<250)=P(X<250)P(X<50)=0.90.3=0.6.由條件概率公式,得P(Y≤6|X≥50)=P(X<250|X≥50)=P(故在降水量X至少是50mm的條件下,工期延誤不超過6天的概率是678.投資A,B兩個(gè)項(xiàng)目的利潤率分別為隨機(jī)變量X1和X2.根據(jù)市場分析,X1和X2的分布列分別為投資A項(xiàng)目的利潤率分布列X15%10%P0.80.2投資B項(xiàng)目的利潤率分布列X22%8%12%P0.20.50.3(1)若在A,B兩個(gè)項(xiàng)目上各投資100萬元,Y1(單位:萬元)和Y2(單位:萬元)分別表示投資項(xiàng)目A和B所獲得的利潤,求方差D(Y1),D(Y2);(2)將x(0≤x≤100)萬元投資A項(xiàng)目,(100x)萬元投資B項(xiàng)目,f(x)表示投資A項(xiàng)目所得利潤的方差與投資B項(xiàng)目所得利潤的方差的和.求f(x)的最小值,并指出當(dāng)x為何值時(shí),f(x)取得最小值.解:(1)由題意知,Y1和Y2的分布列分別為Y1510P0.80.