2025高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)必刷題：W的取值范圍與最值問題

第31講0的取值范圍與最值問題

知識梳理

1、/(%)=Asin(0x+e)在/(x)=Asin(0x+e)區(qū)間(〃，。)內(nèi)沒有零點(diǎn)

aa>+(p<7r+k7i---------

co

kji<ba)+(p<7i+kji,

十.71+K77l-(D

b<--------------

l［CD

同理，/⑴二加皿⑺+/在區(qū)間口，b］內(nèi)沒有零點(diǎn)

\b-a\<J^

k7T-(p

=><%?<aa)+(p<7r+k7i=<a>---------

CD

kn<b①+(p<7V+k7i

7兀+k兀一cp

b<-------------

CD

2、/(%)=Asin(s+e)在區(qū)間(a,。)內(nèi)有3個(gè)零點(diǎn)

T<\b-a\<2T

T<\b-a\<2T

k7i-(p<@<也+V)7i-(p

=>1%?<ao)+0<?+%?

coCD

3萬+kr<bco+(p<^7i+k7i

(k+3)萬~(p7(k+4)?-(p

---------------<b<----------------

①G)

同理/(%)=Asin(0x+°)在區(qū)間［〃，b］內(nèi)有2個(gè)零點(diǎn)

-<\b-a\<—2112

7,7kjl~(pkjv+7T-(p

=\憶兀<aa>+(p<7r+K7T=><---------<a<---------------

CDCD

2兀+k兀Gbco+cp<3兀+hi〃c\z

>(k+2)71一0<(7k+y)7i-cp

3、于3=Asin(ox+e)在區(qū)間(a,6)內(nèi)有n個(gè)零點(diǎn)

k7l-(Pkjl+71-(P

n\-----------------<a<......—

①CD

(k+ri)7i一夕<匕<(左+n+V)7i-(p

CDCD

同理/(%)=Asin(5+0)在區(qū)間［o,b］內(nèi)有〃個(gè)零點(diǎn)

k兀一cpkjt+汽一cp

=>\------------------------<a<----------

coco

(k+ri)7T~(p.(左+n+V)7T-cp

-----------<b<--------------

coco

4、已知一條對稱軸和一個(gè)對稱中心，由于對稱軸和對稱中心的水平距離為止17，則

4

(2n

2n+l+1)%=|Z7-6z|.

5、已知單調(diào)區(qū)間(a6),貝！一6歸，.

必考題型全歸納

題型一：零點(diǎn)問題

例1.(2024.全國?高三專題練習(xí))設(shè)函數(shù)〃x)=sin(8+°)-：3>°)，若對于任意實(shí)數(shù)

9,函數(shù)〃x)在區(qū)間[0,2可上至少有3個(gè)零點(diǎn)，至多有4個(gè)零點(diǎn)，則。的取值范圍是

()

A.B.[，|[CQD-[24]

【答案】C

【解析】因?yàn)橄槿我鈱?shí)數(shù)，故函數(shù)“無)的圖象可以任意平移，從而研究函數(shù)/(x)在區(qū)間

[0,2可上的零點(diǎn)問題，即研究函數(shù)y=sinox-；在任意一個(gè)長度為2兀-0=2兀的區(qū)間上的

零點(diǎn)問題，

11JT

^y=sma)x--=Q,得sins=7，則它在>軸右側(cè)靠近坐標(biāo)原點(diǎn)處的零點(diǎn)分別為廣，

226a)

5兀13兀17兀25兀工

606a)6a)6a)

27r47r27r47r

則它們相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的距離分別為,，了，手,了，L,

JCD3CDJCD3CD

1f)7T47t

故相鄰四個(gè)零點(diǎn)之間的最大距離為w,相鄰五個(gè)零點(diǎn)之間的距離為竺，

3。CD

所以要使函數(shù)〃尤)在區(qū)間[0,2可上至少有3個(gè)零點(diǎn)，至多有4個(gè)零點(diǎn)，則需相鄰四個(gè)零點(diǎn)

之間的最大距離不大于2兀，相鄰五個(gè)零點(diǎn)之間的距離大于2兀,

1071.

-----<2兀

即《，解得，W0<2.

兀c

—4〉2兀3

LCD

故選：C

rr37r

例2.（2024?全國?高一專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)/（%）=2sins-1（口>0）,在區(qū)間上至少

有2個(gè)不同的零點(diǎn)，至多有3個(gè)不同的零點(diǎn)，則①的取值范圍是（）

26102658

A.

~9^_B.

3458A一26103458

C.D.——u

~9,~9J9’3~9,~9

【答案】D

jr3冗

【解析】函數(shù)/（x）=2sins-13>0）,在區(qū)間上至少有2個(gè)不同的零點(diǎn)，至多有

1TT34

3個(gè)不同的零點(diǎn)，即sin0%=7在區(qū)間上至少有2個(gè)不同的根，至多有3個(gè)不同的

21_44_

根,

on

coxe

丁，丁

③當(dāng)h丁時(shí)，貝I」丁4—^〈一，W<—<?<—;

64664699

心、、\,①冗13〃4L,、_,①兀3G）7I”①兀137r.主力一十丁-,立心也*人口r十舊

④當(dāng)一時(shí)，區(qū)間——長度一］>）一>4萬超過了正弦函數(shù)的兩個(gè)最小正周

46L44J43

1Jr37r

期長度，故方程sinox=彳在區(qū)間上至少有4個(gè)根，不滿足題意；

21_44_

4-26//10334,58

綜上r，可得或豆；

故選：D.

例3.（2024.河北?高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）設(shè)函數(shù)/（xXZsinmx+oAMo〉。），若對于任意

Jr37r

實(shí)數(shù)夕，"X）在區(qū)間上至少有2個(gè)零點(diǎn)，至多有3個(gè)零點(diǎn)，則。的取值范圍是

一818

ACaD

162020一

3-3-3-3-3

1一

【答案】B

【解析】令/（x）=0,貝ljsin（0x+0）=g

令t=貝|sinr=g

TT3yr

則問題轉(zhuǎn)化為y=sin,在區(qū)間—co+（p,—CD+（p上至少有兩個(gè)，至少有三個(gè)方,使得

sint=-,求。的取值范圍.

2

故選：B

變式1.（2024?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)〃尤）的圖象是由y=3sin[s+m

77"TC

（。＞0）的圖象向右平移￡個(gè)單位得到的，若/■（*）在一上僅有一個(gè)零點(diǎn)，則。的取

3LN_

值范圍是（）.

A.0,|jB.[1,3）

C.1,|）D.[1,4）

【答案】C

【解析】由題知，函數(shù)片應(yīng)"如+小（。＞0）在3g上僅有一個(gè)零點(diǎn),

所以7=四＞，一￡=所以0＜0＜4,

口362

V2sin|cox+—|=0,得。工+巴=攵兀，即％=包一一^-，2eZ.

V3J3a＞3co

若第一個(gè)正零點(diǎn)無=二-則。＞4（矛盾），

g3G3口6

因?yàn)楹瘮?shù)》=Hin"+|J在3g上僅有一個(gè)零點(diǎn)，

兀＜2兀＜2兀

所以?3。3解得

2兀?！?兀2

、33a）3

故選：C.

變式2.（2024?全國?高三專題練習(xí)）記函數(shù)〃力=$皿（8+0）上＞。,0＜夕＜：|的最小正

周期為T.若/⑺=當(dāng)，xj為〃x）的零點(diǎn)，則。的最小值為（）

A.2B.3C.4D.6

【答案】C

【解析】因?yàn)?（切=而（8+9）（。＞0,。＜夕＜彳]的最小正周期為7=主，且

AT）/,

二匚（2萬\.石

物以sinco------\-（p=sin夕=——，

\CD）2

因?yàn)?<0<^，所以o=

所以/（苫）=$也（0尤+|^,

因?yàn)閤=g為“X）的零點(diǎn)，

6

所以H=3+.=。，

7TTT

所以一切+—=k兀,keZ,解得〃>=6%—2,左￡Z,

63

因?yàn)镚〉0,所以。的最小值為4,

故選：C

2sino%+l

------------1=,coscoxw

COSGX-

變式3（2024.全國.模擬預(yù)測）若函數(shù)〃尤）=<（0>0）在（0,4兀）上

石

X,COS0X=——

2

有3個(gè)零點(diǎn)，則。的取值范圍是（）

313143

C.——,+co

2424524

【答案】D

【解析】令/（九）=0,貝U

,6,2sin@x+l1

當(dāng)coscoxw—時(shí)，7==。，即sincox=——-,

2cos。％732

當(dāng)cos公r時(shí)，x=0,矛盾，

2

]V3

所以sinG%=-1,且cos&%W——，Xsin2cox+cos2cox—1,

22

所以sin°K=-!，且COSGX=一且，

22

Sir

所以G%=--—+2kn(JcGZ).

1Ol^TT—STT

所以％=T(左￡Z),因?yàn)?>0,

6G

7IT1OlT41jr43K

所以函數(shù)“X）的正零點(diǎn)從小到大依次為：盂

6G

因?yàn)楹瘮?shù)“X）在（0,4兀）上有3個(gè)零點(diǎn),

所以答<4村些

6①6G

匚匚…31,43

所以一<CD<——.

2424

故選：D.

題型二：單調(diào)問題

例4.（2024?四川成都?石室中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)/（x）=sin（0x-：|（0>O）的圖象

關(guān)于點(diǎn)對稱，且/（》）在，，言］上單調(diào)，則。的取值集合為（）

A.{2}B.{8}C.{2,8}D.{2,8,14）

【答案】C

【解析】?。╆P(guān)于點(diǎn)gob寸稱，所以sin［3-小=0,

JTTV

所以一g——=E,G=6Z+2,左￡Z（D；

63

°<了<|^,一々<3：-三<|^0-申而/（x）在上單調(diào),

4oJ3433I43

所以工公一弓"?，0<69<8（2）;

4832

由①②得0的取值集合為{2,8}.

故選：C

例5.（2024?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=sin（0x+e）［o>O,|e|wgx=一?是函

O

數(shù)“X）的一個(gè)零點(diǎn)，x=g是函數(shù)"X）的一條對稱軸，若“X）在區(qū)間上單調(diào)，則

①的最大值是（）

A.14B.16C.18D.20

【答案】A

【解析】設(shè)函數(shù)〃可的最小正周期為T,

JT

因?yàn)椋?-（是函數(shù)八%）的一個(gè)零點(diǎn)，%=*1是函數(shù)/（%）的一條對稱軸,

2/+1丁71（一方）二；,其中〃EN,所以,71_271

則I二.刃=4〃+2,

42n+lco

因?yàn)楹瘮?shù)“X）在區(qū)間生：］上單調(diào)，則門=5,所以，0W2O-

所以，。的可能取值有：2、6、10、14、18.

m

(i)當(dāng)0=18時(shí)，/(九)=sin(18x+°)14kH=o,

所以，（p-=fac（A;eZ）,貝|0=而+彳（左￡2）,

■：-^<（p<^,二9=:,所以，〃x）=sin［18x+：）,

當(dāng)四<工<二時(shí)，4?:--=—<18A-+-<—=4;:+—,所以，

542020444

函數(shù)"X）在］,［上不單調(diào)，不合乎題意；

（ii）當(dāng)0=14時(shí)，〃x）=sin（14x+0）,=sin（-與+'=0,

77r77r

所以，（p_■—=fai（A：GZ）,貝°o=E+7（左eZ）,

-：-<（p<^~,：.（p=-^~,所以，〃x）=sin（14x—；］,

224<4J

、"兀兀?Lc117151KY,711371c571LLl、r

當(dāng)一<x<一時(shí)，2兀H------=-----<14x——<-----=2TI+一,所以，

542020444

函數(shù)/（X）在（Ki上單調(diào)遞減，合乎題意.

因此，。的最大值為14.

故選：A.

例6.（2024.內(nèi)蒙古赤峰.校考模擬預(yù)測）若直線x=：是曲線y=sin（0x-：、0>O）的一條

TT7T

對稱軸，且函數(shù)y=sin（ox-7）在區(qū)間［0,TJ上不單調(diào)，則。的最小值為（）

4172

A.9B.7C.11D.3

【答案】C

【解析】因直線x=］是曲線y=sin［s-：］（o>0）的一條對稱軸，則

—a）——=k7r+—,keN9即0=4k+3,%EN,

442

由一冷--x-~T~,則函數(shù)V=sin（G%—/）在［一:-,；^］上單調(diào)遞增,

2424G4G44。4。

而函數(shù)y=sin（s-f）在區(qū)間［0,與上不單調(diào)，則當(dāng)<二,解得。>9,

4124G12

所以外的最小值為H.

故選：C

變式4.（2024.全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)/（%）=sin（5+e）3>0）的一個(gè)對稱中心為

［-］，。｝/（x）在區(qū)間（票,\

上不單調(diào)，則q的最小正整數(shù)值為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】由函數(shù)〃x)=sinmx+0)(0>O)的一個(gè)對稱中心為1-(,0

可得了(-I^MsinC-qo+MMO,

■TT

所以——co+(p=K兀,左1￡Z,

(P=—cok17i,k、GZ,

f'(x)=6；cos^a)x+(p),

由/(尤)在區(qū)間萬］上不單調(diào)，

所以/'(同=℃05(8+0)=0在區(qū)間］胃"上有解，

所以0x+9=1+&乃(&eZ),在區(qū)間［彳,上有解，

所以+勺乃=耳+左2萬(42￡Z)

717

——\-k7i

所以0=-.........,k=k-k^Z,

712x

XH------

3

T71717萬而

又%￡-^,乃，所以％+工￡7

<o)363

n

2+,3+6左3+6左、

所以0=/€(),

%+至87

3

當(dāng)左=2時(shí)，a>e(―,—)?

此時(shí)。的最小正整數(shù)為2.

故選：B

-ITJT

變式5.(2024?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=sin?x+e)(<y>0)在-y,—上單

調(diào)，且/圖"圖=7仁),

則。的可能取值()

A.只有1個(gè)B.只有2個(gè)

C.只有3個(gè)D.有無數(shù)個(gè)

【答案】c

4-IT

【解析】設(shè)〃%）的最小正周期為T,則由函數(shù)”同在-《彳上單調(diào)，可得

因?yàn)門=一>71,所以0<@42.

①

由“X）在1-彳用上單調(diào)，且/佰]=-小，，得“X）的一個(gè)零點(diǎn)為一V_兀，

L36」⑹I3）~^~=^n

即【一三'°）為〃"）的一個(gè)對稱中心.

因?yàn)閒mm，所以x=￡6=網(wǎng)為〃無）的一條對稱軸.

4萬

因?yàn)榱?所以有以下三種情況:

①I'

因?yàn)?2%,不可能滿足其他情況.

故。的可能取值只有3個(gè).

故選：C

題型三：最值問題

例7.（2024?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=6sinox-cos0x（0>O）在區(qū)間[-等，苧

上單調(diào)遞增，且在區(qū)間。兀]上只取得一次最大值，則。的取值范圍是（）

A.號|]B.[|,|]C.d]D,[|,|]

【答案】B

7T

【解析】依題意，函數(shù)/(x)=2sin3x-：),①>0,

6

因?yàn)榱刷旁趨^(qū)間[2-冗?，當(dāng)37r上單調(diào)遞增，由xe[2_兀?，3S7r，則

5454

7T27r7137rTC

COX——G[r---CD——,—CD——1,

65646

T口2兀兀、7rL3兀兀/兀Anzn/5r/8口口0/5

于是---①——>一一且i一co-—<—,解得。(一且l0<一，gp0<<-,

562462696

當(dāng)尤e[0,利時(shí)，0x-=e[-2,o7r-芻]，因?yàn)閺V⑺在區(qū)間上只取得一次最大值，

666

因此烏wo兀一。<9兀，解得

26233

所以。的取值范圍是匕25

36

故選：B

例8.(2024?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)〃x)=2sin(0x+q](0>O),若/[三|=°，且

f(x)在[三，上有最大值，沒有最小值，則。的最大值為.

【答案】17

【解析】由且/(X)在((，上有最大值，沒有最小值，可得

rriTTTT

(+1=2k兀*GZ),所以刃二61伏€Z).

由/⑴在^上有最大值，沒有最小值，可得!X加〈餐-gwjx也，解得

1312)4co12341y

6<(o<18,又0=6左—1(左eZ),當(dāng)左=3時(shí)，<y=17,則。的最大值為17,,

故答案為：17

例9.(2024?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=2sin((yx+e)3>0)在尤=三處取得最大

值，且/㈤=0,若函數(shù)在日上是單調(diào)的，則。的最大值為.

【答案】?45/lL25

4

【解析】由題意，函數(shù)/(x)=2sin(s+0)3>0)

滿足它卜2,〃兀)=0,

可得1刃+9=]+2版,即+0=左'兀（左EZ,左'EZ）,

27rJr

兩式相減得—①=----1-urn,其中機(jī)=k'-2左，

32

3（2m-l）

解得@=-L,

4

「，兀5兀12兀

又由W一124力---，可得刃（12,

2CD

即?！?V⑵解得受底(

故m的最大值為8,

此時(shí)外取得最大值

4

45

故答案為：--

4

變式6.（2024?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)〃耳=5就"+：|在（0,2］上有最大值和

最小值，且取得最大值和最小值的自變量的值都是唯一的，則。的取值范圍是

....47r..II7%、

【答案】］Ur［—,—）

3o3o

【解析】易知切=0時(shí)不滿足題意，

t7T7T,./口71klT7

由（OXH-Fk兀,K,GZ,不JX---1--------，左￡Z,

6230①

當(dāng)。>0時(shí)，第2個(gè)正最值點(diǎn)x=97T+工7T42,解得27r

3CDCD3

第3個(gè)正最值點(diǎn)+—〉2,解得。故?

3a）co636

當(dāng)口<0時(shí)，第2個(gè)正最值點(diǎn)x=二-四<2,解得&<—學(xué)，

5（0CD6

...._,.I-.,,,.TC37r-,口47r.>4〃*57r

果3個(gè)A正取值點(diǎn)^------>2,斛得。〉一--,故一--<a）<一--.

3coco336

綜上，。的取值范圍是（-94.7,7-STT27r77r

3636

故答案為：（-［與，?）

3636

變式7.（2024?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)/（%）=sinG%+QCOSS（a>0,G>0）的最大值

為2,則使函數(shù)Ax）在區(qū)間［0,3］上至少取得兩次最大值，則。取值范圍是

【答案】［營+8）/021r

【解析】/（%）=sina）x+acoscox-J1+/2sin（s+/）,因?yàn)?（工）慚=Jl+〃2=2,a>0,故

a=y/3,原式為/（x）=2sin［ox+1^,當(dāng)取到最大值時(shí)，a>x+^=^+2k/c,keZ,

當(dāng)xe［0,3］,/（x）取得前兩次最大值時(shí)，上分別為0和1,左=1時(shí)，cox吟吟+2兀，

x=學(xué)，此時(shí)需滿足乎V3,解得。2與.

6①6G18

故答案為：黑什001

L）

變式8.（2024?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)

71兀

f(x)=cos2a)x+2sin69xcoscox-sin2CDX{CD>。)在上有最大值，無最小值，則。的

1293

取值范圍是

33

【答案】

852

【解析】/(x)=sin2(yx+(cos2s-sin?cox=sin2a)x+cos2cox=^2sin2a)x+—.

4

jrjr

由題可知，T＞———,所以?！纯冢?,

312

7171t-71TICD71iTICO71

當(dāng)xe時(shí)，2a)x+—G——+—,------+—

i25i46434

7171

因?yàn)楹瘮?shù)/'(x)在上有最大值，無最小值,

1273

廣―…7171CD兀71…2兀。71,3冗一,

所以存在左eZ,使得---1-2k兀<-----F—<——F2kn<------+—<——+2上萬

2642342

93

-----bl2Z<co<一+12%

22

整理得，QkwZ).

315

-+3)t<^<—+3)t

188

9,3

——<(o<—_

2233

因?yàn)镺v口＜8,所以＜3<15,解得.0<于

-<CD<——

188

33]

故答案為:95)

題型四：極值問題

/71711

例10.(2024?全國?高三專題練習(xí))記函數(shù)/(%)=5由(。％+。)［刃＞0,-5＜。＜5)的最小正周

期為T.若工］=變,x=二為A、)的極小值點(diǎn)，則。的最小值為__________

12J28

【答案】14

【解析】因?yàn)?(x)=sin(0x+e)[0>O,-所以最小正周期7=軍，

<2L)co

f(~)=sin(o?；+9)=sin(兀+<p')=-sin(p=

又一]<夕所以夕=_：,BPf(x)=sin^<z>x-^；

又苫=方為〃x)的極小值點(diǎn)，所以10-弓=一]+2析,%€2,解得°=-2+16匕ZwZ,因?yàn)?/p>

0>0,所以當(dāng)k=1時(shí)0mhi=14；

故答案為：14

例11.(2024?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(無)=45皿0尤+9)］。＞0,|。|＜!^,

/(0)=/(4)=-2,函數(shù)/⑺在(0,4)上有且僅有一個(gè)極小值但沒有極大值，則。的最小值

為()

、兀小5n4%

A.—c-TD.

6-1V

【答案】C

1TT71

【解析】,**f(0)=4sin=-2,sin^?=——.又|夕|<5,?！?/p>

~6

0+471357r

當(dāng)犬==2時(shí),函數(shù)取到最小值，此時(shí)2&一二=2左"+7萬，keZ.角由得。=左乃+2^,

2626

k&Zj.

571

所以當(dāng)％=0時(shí),CD=——

6

故選：C.

71(。＞0)在區(qū)間［內(nèi)

例12.(2024?山西運(yùn)城?高三統(tǒng)考期中)己知函數(shù)〃x)=cos(DX+—

有且僅有一個(gè)極小值，且方程/(X)=g在區(qū)間］。,

內(nèi)有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則。的取值

范圍是()

251125112511

A."6"，TB.~6~2~69^

【答案】C

【解析】因?yàn)樗訡DX+內(nèi)有且僅有一

個(gè)極小值，則萬〈乎+￡43萬(1).若方程/(x)=；在區(qū)間內(nèi)有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則

7TCTCCDTC1\.7Cr、17TC7CG)7C_-左刀，口25-11

,所以丁＜光-+143?z(x2),由⑴(2),解得《〈口工彳.

所以。的取值范圍是.

ko2

故選：C

()

變式9.(2024.全國?校聯(lián)考三模)已知函數(shù)/(x)=2siin15+看j69>0,XG?若

函數(shù)了(%)只有一個(gè)極大值和一個(gè)極小值，則⑷的取值范圍為()

A.（2,5］B.(2,5)

【答案】C

?p-■人兀f-j-.、？7171?九①冗冗COTT7t?,...

r【解析】^t=a）x+-,因?yàn)閤e,所以ox+^e---+—,—+-則問題轉(zhuǎn)化為s

6l_3，」o［_3ozo_

y=2sinf在-q+上只有一個(gè)極大值和一個(gè)極小值，

_3oZo_

因?yàn)闊o函數(shù)“X）只有一個(gè)極大值和一個(gè)極小值，則￡>>（_外即T>",

又7=生，所以。>:,所以一等+￡<。

co536

3萬<3717171

——+—<——2<G<5

一了一一362Q

則<解得《28故2<0<；

71CD71713冗-<co<-3

—<——+—<一133

12262

故選：C

變式10.（2024?全國?高三專題練習(xí)）函數(shù)/（對=$也（8+。（0>0）在［0,1］上有唯一的極

大值，則（）

【答案】C

【解析】方法一：當(dāng)尤e［0,l］時(shí)，f=+^,a>+^,

因?yàn)楹瘮?shù)/（犬）=$山"+今｝0>0）在［0,1］上有唯一的極大值,

7TTT

所以函數(shù)〉=5仙/在y,?+-上有唯一極大值，

71兀

(D+—>—

32(7i13K

所以，解得

兀，5兀

o)+—<——

32

故選：C

方法二：令GXH—=2knT—,keZ,貝！J@X=2EH—,keZ,

326

所以，函數(shù)/（x）=sin［s+M（0>O）在y軸右側(cè)的第一個(gè)極大值點(diǎn)為x=F，第二個(gè)極

V5）6G

大值點(diǎn)為x=913兀，

069

因?yàn)楹瘮?shù)/■（x）=sin［ox+3（0>O）在［0』上有唯一的極大值，

兀1

（兀13兀

所以,善解得公

三1,

、6。

故選：c

變式11.（2024?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=cos（ox+力（。>0）在區(qū)間［。之內(nèi)有

且僅有一個(gè)極大值，且方程/（"=；在區(qū)間［。段］內(nèi)有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則0的取值范

圍是（）

74174141152515

A.27~6B.29~6C.D.-6-，T

【答案】C

71

【解析】由題意，函數(shù)〃x）=cosox+—3>o）,

7t7171G）九）

因?yàn)樗?~49~T+7r

4

若在區(qū)間!。,g內(nèi)有且僅有一個(gè)極大值，則”號+5-解得若

方程/（X）=；在區(qū)間［。仁）

內(nèi)有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,

eIbr7t（D兀，\3兀&力/口4149

則〈<丁+：4<，—<^<—.

3243o6

綜上可得，實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

<62

故選：C.

題型五：對稱性

例13.（2024?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)/（無）=cos［0x-5］（0>O）在區(qū)間［0,萬］上有

且僅有3條對稱軸，則。的取值范圍是（）

./1317,r913,〃913、-1317、

A.（—,—］B.（z—,-］C.［—,--）D.［—-,—）

44444444

【答案】C

【解析】/（X）=cos,x—2）（0>0）,

.71TrE（1+4左）；r,_

令。x=k兀，keZ,則x=----------,kjZ,

44。

函數(shù)/（x）在區(qū)間［0,砌上有且僅有3條對稱軸，即040+軟）”4萬有3個(gè)整數(shù)I符合,

4G

04（1+4人）%得041±^41-041+4%44。，則左=0,1,2,

4a）4G

r913

即1+4x2W4gv1+4x3,CD<—.

故選：C.

例14.(2024?內(nèi)蒙古赤峰?校考模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(X)=COSGX-gsin@X3>0),若

"%）在區(qū)間［。,2月上有且僅有3個(gè)零點(diǎn)和2條對稱軸，則①的取值范圍是（）

1319)419

A.2qc.D.

n9n)3?1212'3)

【答案】D

【解析】函數(shù)/(%)=cosGx—gsinGJV=2—COSGX----sincox=2cos|a)x+—

7T7T

令/=GX+5,由xe[0,2司,則￡￡—,2jtG)+—

又函數(shù)在區(qū)間［0,2兀］上有且僅有3個(gè)零點(diǎn)和2條對稱軸,

TTTT

即y=2cosf在區(qū)間-,2Tt（o+-上有且僅有3個(gè)零點(diǎn)和2條對稱軸,

例15.（2024.全國.高三專題練習(xí)）已知函數(shù)〃x）=sin（0x+m（0>O）在區(qū)間［0,可上有且

僅有4條對稱軸，下列四個(gè)結(jié)論正確的是（）

A.在區(qū)間（0,%）上有且僅有3個(gè)不同的零點(diǎn)

B.〃工）的最小正周期可能是:

c.。的取值范圍是［了,彳）

D.“X）在區(qū)間上單調(diào)遞增

【答案】C

【解析】函數(shù)/（"=$也［0了+；］（0>0）,

人兀兀77r〃日（4%+1）兀7r

令0%+:二1+E,左eZ,得犬=——----,keZ,

424G

函數(shù)/（X）在區(qū)間［0，兀］上有且僅有4條對稱軸，即有4個(gè)整數(shù)上滿足0（坐±如<兀,

4G

得0W1+4左W4g,可得左=0,1,2,3,

則1+4x3《癡<1+4x4,

即。的取值范圍是-，vh故C正確；

44L44J

.兀(兀兀),「1317、兀「7兀9兀

*.*XG(0,71),..69X+1￡697C+7J,gyCDGICOTt~^2~，~2

當(dāng)。尤+畀（4兀,用時(shí)，/（X）在區(qū)間（0,%）上有且僅有4個(gè)不同的零點(diǎn)，故A錯誤;

周期V得作44

由?！?/p>