2025屆昆明市某中學高二數(shù)學上學期10月考試卷（附答案解析）

2025屆昆明市仁澤中學高二數(shù)學上學期10月考試卷

（考試時長：120分鐘總分：150分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每個小題給出的四個選項中，只有一項是符合題

目要求的.

1.設全集0=R,集合"=叫，集合5={x|-2<X<3},則圖中陰影部分表示的集合為

（）

A.{x|x<3}B.{x|-3<x<l}C,{x|x<2}D.{x|-2<x<1}

2.已知復數(shù)2在復平面內(nèi)對應的向量為反，。為坐標原點，則目為（）

3.一個橢圓的兩個焦點分別是片（-3,0）,片（3,0）,橢圓上的點p到兩焦點的距離之和等于8,則該橢

圓的標準方程為（）

22222222

Xx

AA.——+—y=i1B.——+—=1c.——+—y=A1D,土+匕=1

642816716943

4.已知直線6:x+2y+5=0與A：3x+ay+b=0平行，且（過點（一3,1）,則q=（）

b

A.-3B.3C.-2D.2

5.若圓。的圓心為（3,1）,且被y軸截得的弦長為8,則圓C的一般方程為（）

A,x2+y2-6x+2y-15=0B.%2+y2-6x+2y-7=0

爐+y2—6x—]5=0D.x2+y2-6x-2j-7=0

——■1—-

6.已知在四面體O—/BC中，a=0A，b=OB，c=OC>OM=-MA,N為8C的中點，若

3

MN=xa+yb+zc.^\x+y+z=（）

7.如圖，在正方體48co—48013中，M,N分別為4G的中點，則直線A.M和BN夾角

8.已知點/(—1,3),直線/:(加+2)x—(加+l)y+2加—1=0,則A至U/的距離的最大值為()

A.273B.275C.276D.2a

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全

部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得。分.

9.直線x+(l+a)y=l—a(aeR),直線乙：J=下列命題正確的有()

A.eR,使得B,3aeR,使得乙上“

C.VaeR,丸與乙都相交D.3aeR,使得坐標原點到人的距離為2

10.已知荏=(—2,1,4),*=(4,2,0),方=(1,—2,1),而=(0,4,4),則下列說法正確的是()

A.Q是平面45C的一個法向量B.48,C,0四點共面

C.PQ//BCD.BC=453

2

11.已知圓0：/+「=4,點P（%,比）是圓。上的點，直線/：x—>+夜=0，貝U（）

A,直線/與圓。相交弦長

B.3T的最大值是百

4

C.圓。上恰有3個點到直線/的距離等于1

D.過點P向圓M:（x—3y+（y—4=1引切線，A為切點，則|上4|最小值為2行

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.若點尸（加,〃）為直線x-2y-8=0上的動點，則J加2+（〃—1）2的最小值為.

13.已知直線/過點P0,2,1）和點0（2,2,0）,則點/（I,—1,—1）到直線/的距離為.

14.人臉識別在現(xiàn)今生活中應用非常廣泛，主要是測量面部五官之間的距離，稱為“曼哈頓距離”.其定義

如下：設/=（4必），S=（x2,y2）,則2兩點間的曼哈頓距離“45）=|再一9|+|乂一%I?已知

〃=（1,2）,若點p滿足d（M,P）=2,點N在圓。：/+/+6》+外=0上運動，則歸叫的最大值

為

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知VABC的頂點坐標為/（—1,6）,5（—3,—1）,C（4,2）,

（、1）若點。是NC邊上的中點，求直線5。的方程；

（2）求4B邊上的高所在的直線方程.

16.如圖，四棱錐P-48C。的底面是平行四邊形，PD±ABCD,AD1BD,M是尸/的中點.

（1）證明：PC〃平面3。/；

（2）若PD=AD=BD,求直線45與平面RDM所成角的大小.

17.在長方體ABCD-Z/IGA中，4D=AA-

3

(1)證明：平面48。，面8G2；

⑵若AB=2AD,求二面角4—RD—2的余弦值.

18.已知圓C過兩點火-1,1),5(1,3),且圓心C在直線x-2y+l=0上.

(1)求圓C的標準方程；

(2)設。(2,0),過點。作兩條互相垂直的直線/和直線加，/交圓C于E、E兩點，加交圓C于G、

〃兩點，求|￡尸|的最小值和四邊形EGW面積的最大值.

19.已知兩個定點4(0,4),5(0,1),動點p滿足|上4|=2］四設動點尸的軌跡為曲線E,直線

I:y=kx-4.

(1)求曲線E的方程；

(2)若/與曲線E交于不同的C,。兩點，且NCOQ=120°(。為坐標原點)，求直線/的斜率；

(3)若左=1,Q是直線/上的動點，過。作曲線E的兩條切線。M、QN,切點為N,設點T在

圓/：(x—4)2+(y—3)2=1上，求點T到直線〃乂距離的最大值.

-2025學年上學期10月月考

高二數(shù)學試卷

(考試時長：120分鐘總分：150分)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每個小題給出的四個選項中，只有一項是符合題

目要求的.

1.設全集U=集合力={.x.lVO},集合5={X12<X<3},則圖中陰影部分表示的集合為

()

4

A.{x|x<3}B.{x|-3<x<l}C,{x|x<2}D.{x|-2<x<1）

【答案】D

【解析】

【分析】

由圖可得陰影部分表示AcB，進而利用交集的定義求解即可

【詳解】由題，/={x|x<l},由圖，圖中陰影部分表示ZcB,

所以=2<x<l},

故選:D

【點睛】本題考查集合的交集運算，考查利用韋恩圖求集合

2.已知復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的向量為反，。為坐標原點，則目為（）

A.1B.V2C.V3D.2

【答案】B

【解析】

【分析】

由圖，無=（1,1）,進而由復數(shù)的模的定義求解即可

【詳解】由圖，9=（i,i）,所以|z|=HF=J2,

故選:B

【點睛】本題考查復數(shù)的模,考查復數(shù)在復平面上的表示

3.一個橢圓的兩個焦點分別是大（-3,0）,乙（3,0）,橢圓上的點尸到兩焦點的距離之和等于8,則該橢

圓的標準方程為（）

22222222

xx

AA.——'+—V=IiBn.——'+V—i=ic.—+—y=iAD.—+—y=iA

642816716943

5

【答案】B

【解析】

【分析】利用橢圓的定義求解即可.

【詳解】橢圓上的點尸到兩焦點的距離之和等于8,故2。=8,。=4,

且￡（—3,0）,故c=3廿=a1-c1=1,

22

所以橢圓的標準方程為±+t=1.

167

故選：B

4.已知直線4:x+2y+5=0與（：3x+即+6=0平行，且4過點（—3,1）,則一=（）

b

A.-3B,3C.-2D.2

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)兩直線平行的條件求出a=6,將（—3,1）代入直線42求出6=3即可.

【詳解】因為直線4:x+2y+5=0與直線，2：3x+即+6=0平行，

所以lxa=2x3,解得a=6,

又直線4過（-3,1）,則—9+6+b=0,解得6=3,

a

經(jīng)驗證4與4不重合，所以1=2.

故選：D.

5.若圓C的圓心為（3,1）,且被了軸截得的弦長為8,則圓C的一般方程為（）

A.x2+y2-6x+2y-15=0B,x2+y2-6x+2y-7=0

C.x2+y2-6x-2y-15=0D,x2+v2-6x-2j-7=0

【答案】C

【解析】

【分析】運用弦長結(jié)合垂徑定理求出圓的半徑即可.

【詳解】如圖，過點C作CDU8于O,依題意，步必=g|4B|=4,因為。（3,1）,故|m=3,

6

從而，圓的半徑為忸=百=5,故所求圓的方程為（x—3尸+3—1）2=25,

即x2-^-y2-6x-2y-15=0.

故選：C

6.已知在四面體。一/8C中，a^OA，b=OB<c^OC，OM=-MA,N為BC的中點，若

3

MN=xa+yb+zc.^\x+y+z=（）

o

M/\

13

A.-B.-D.3

342

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)空間向量的基本定理與應用即可求解.

——?1—-

【詳解】因為（W=—K4,N為8c的中點，

3

所以而=函—而（礪+玩）—工況=—匕+5+匕，

2、>4422

p—?---⑴111

XMN=xa+yb+zc貝”=-“y=—,z=—,

…1113

所以x+y+z=——+—+—=—.

4224

故選：B.

7.如圖，在正方體48C?！?名。01中，M,N分別為DB,4G的中點，則直線4M和5N夾角

的余弦值為（）

7

12

B.——D.

333

【答案】c

【解析】

【分析】由正方體結(jié)構(gòu)特征證得&M//NC,化為求直線NC和8N夾角余弦值，應用余弦定理求結(jié)果.

【詳解】連接ZC,CN,由正方體的性質(zhì)，知M也是ZC的中點，且4G//ZC，即&N//CW,

又AN=CM=；AC,故為平行四邊形，則411//NC,

所以直線4M和BN夾角，即為直線NC和8N夾角，

若正方體棱長為2,則NC=BN=巫,BC=2,

所以cosZBNC=NU+BN--BU__J_=2,即直線A.M和BN夾角余弦值為工.

2NC-BN2x633

8.已知點/(—1,3),直線/:(加+2)x—(加+1)7+2加—1=0,則A至U/的距離的最大值為()

A.2GB.2V5C.276D.2a

【答案】B

【解析】

【分析】先確定直線過定點3(3,5),由45JJ時點線距離最大，再應用兩點距離公式求最大值.

【詳解】直線/：(m+2)x-(m+l)y+2m-1=0可化為/:m(x-y+2)+2x-y-l=0,

x-y+2=0x=3

聯(lián)立「，即直線/過定點5(3,5),

2x—y—\=0卜=5

8

要使A至I/的距離的最大，只需ABJJ,即距離最大值為|48|=

故選：B

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全

部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.直線x+(l+a)j=l-a(aeR),直線4：y=~—x.下列命題正確的有()

A.eR,使得/J/4B.三。eR,使得4_LL

C.VaeR,丸與(都相交D.3aeR,使得坐標原點到乙的距離為2

【答案】BD

【解析】

【分析】由斜率相等計算判斷AC；由斜率互為負倒數(shù)計算判斷B；由點到直線距離公式列式計算判斷

D.

【詳解】對于A,當———=即。=1時，直線］：x+2y=0與4重合，A錯誤；

1+Q2

13

對于B,由------=2,即。=——時，4與4斜率互為負倒數(shù)，I』，B正確；

1+。2

對于C,由選項A知，當4=1時，/］與，2重合，C錯誤；

11—aI_。

對于D'由Ji+a+Q12,得3“2+10"+7=0'A=102-4X3X7>0.此方程有解'D正確.

故選：BD

10.已知方=(—2,1,4),就二(4,2,0),萬=(1,—2,1),而二(0,4,4),則下列說法正確的是()

A.萬是平面48。的一個法向量B.4民G。四點共面

c.PQ//BCD.BC=453

【答案】AD

【解析】

【分析】根據(jù)向量垂直，即可結(jié)合法向量定義求解A,根據(jù)共面定理即可求解B,根據(jù)向量共線即可求

解C,由模長公式即可求解D.

【詳解】LP2B=(—2)xl+lx(—2)+4xl=0,/PZC=lx4+(—2)x2+lx0=0,

9

所以4Pl平面48C,所以方是平面48C的一個法向量，故A正確；

—2=4%

設方=2就+〃而，則1=22+4〃，無解，所以4民。,。四點不共面，故B錯誤；

4=4〃

1A&

P2=^2-ZP=(-l,6,3),5C=^C-Z8=(6,l,-4),—>所以而與瑟不平行，故C錯

一一61-4

誤；

|BC|=^/62+12+(-4)2=V53.故D正確；

故選：AD.

11.已知圓。：/+「=4,點P(%,%)是圓。上的點，直線/：》—>+夜=0，貝U()

A,直線/與圓。相交弦長

y

B.」n5r的最大值是百

C.圓。上恰有3個點到直線/的距離等于1

D.過點P向圓M:(x—3y+(y—4)2=1引切線，A為切點，則|力|最小值為2亞

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據(jù)點到直線的距離判斷弦長及圓上的點到直線的距離，根據(jù)7丁的幾何意義可得最值，再

根據(jù)切線長的計算公式可得最值.

如圖所示，

由已知圓=4,則圓心。(0,0),半徑尸=2,

10

I0-0+V2I

A選項：圓心。到直線/：x-y+6~=0的距離第=丁2，=1，

則弦長為2，/一22=2j22_F=26,A選項正確；

B選項：可表示點「（%，%）與點N（4,0）連線的斜率,

%—4

易知當直線7W與圓0:/+/=4相切時，斜率取得最值,

設斜率』=左，則直線PN:y=Mx—4）,即Ax—y—4左二0,

%—4

所以言其最大值為印

錯誤;

C選項：d+〃=3,d—r=l,所以圓。上恰有3個點到直線/的距離等于1,正確;

D選項：由圓M+（y-4y=1可知圓心M（3,4）,半徑力=1,

由切線長可知\PA\=JPA/『—片=yj\PMf-l，

所以當1PMi取得最小值時，|R4|取最小值，

又\PM\>\OM\-r=^（3-0）2+（4-0）2-2=3，即1PM的最小值為3,

所以歸聞的最小值為2亞，D選項正確；

故選：ACD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.若點尸（加,〃）為直線x-2y-8=0上的動點，則J加2+（〃_i）2的最小值為

【答案】2遙

【解析】

【分析】由J加2—=J（加—O<+（“—1）2可看成點尸（加,〃）與定點/（0/）的距離,結(jié)合點到直

線的距離公式，即可求解.

11

【詳解】由］/+(〃-1)2=J(加—0)2+(〃—I］可看成點P(私〃)與定點2(0,1)的距離，

因為點尸(加,〃)為直線x—2y—8=0上的動點，

|-2xl-8|r

則點4(0,1)到直線x-2v-8=0的距離為d=\=2J5,

VI+(-2)2

所以J加2+(“_。2的最小值為2TL

故答案為：2#).

13.已知直線/過點P0,2,1)和點。(2,2,0),則點/。，―L—1)到直線/的距離為.

【答案】VTT

【解析】

【分析】取直線/的一個單位方向向量為玩=焉，由點到直線的距離公式為J秒2_(莎應)2,代入運

算，即可得解.

【詳解】由題意知，直線/的一個方向向量為畫=(1,0,-1),

取直線/的一個單位方向向量為應=(噂,。,一率，

II22

又/。，―1,—1)為直線外一點，且直線/過點尸(1,2,1),

PA=(0,-3,-2),

9?龍=(0,-3,-2).(年,0,-］)=五，|AP|=V13,

點A到直線I的距離為yjpA2-(PA-m)2=V13-2="f.

故答案為：Vn.

14.人臉識別在現(xiàn)今生活中應用非常廣泛，主要是測量面部五官之間的距離，稱為“曼哈頓距離”.其定義

如下：設幺=($,%),B=(x2,y2),則/,2兩點間的曼哈頓距離“45)=|石一%|+|乂一%|.已知

〃=(1,2),若點p滿足d(M,P)=2,點N在圓。：/+/+6》+4歹=0上運動，則|尸N|的最大值

為

【答案】3岳

12

【解析】

【分析】根據(jù)題意，作出點尸的軌跡，將問題轉(zhuǎn)化為點到圓的距離問題，從而得解.

【詳解】由題意得，圓C:(x+3)2+(y+2)2=13,圓心。(—3,—2),半徑井=而，

設點P(x(),yo),則卜—=2,

故點尸的軌跡為如下所示的正方形，其中4(1,4),5(3,2),

則=[(1+3)2+(4+2)2=2屈,|5C|=J(3+3)2+(2+2)2=2岳,

則|PN|<\AC\+r=2+713=3而，即|P7V|的最大值為3岳.

故答案為：3岳.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知VABC的頂點坐標為/(—1,6),B(—3,—1),C(4,2).

(1)若點。是ZC邊上的中點，求直線的方程；

(2)求4B邊上的高所在的直線方程.

【答案】(1)10x-9j+21=0(2)2x+7y-22=0

【解析】

【分析】(1)由中點坐標公式得到。，再由兩點求出斜率，最后有點斜式方程求出即可;

(2)由兩直線垂直求出48邊上的高所在的直線的斜率為-2,再由點斜式得到直線方程即可；

7

【小問1詳解】

因為點。是ZC邊上的中點，則

_-1-4_10

所以右。=二~^=5，

—3-----

2

13

所以直線8。的方程為y+l=￡（x+3）,

即10x-9y+21=0；

【小問2詳解】

因為鼬=—~-=->

妣-3+12

所以AB邊上的高所在的直線的斜率為-2,

7

2

所以48邊上的高所在的直線方程為y—2=—,（x—4）,即2x+7y—22=0.

16.如圖，四棱錐P—Z8C。的底面是平行四邊形，PDL^ABCD,AD1BD,M是尸”的中點.

（1）證明：PC〃平面8。/；

（2）若PD=AD=BD,求直線45與平面RDM所成角的大小.

【答案】（1）證明見解析；

（2）30°.

【解析】

【分析】（1）證明MO〃PC,原題即得證；

（2）證明N48M就是直線45與平面AD河所成的角，再解三角形得解.

【小問1詳解】

證明：連接ZC交AD于點。，連接M9.

因為ZM=M;ZO=OC,所以MO〃PC.

又M9u平面ADM,PC<Z平面ADM,

所以PC〃平面8。/.

14

p

【小問2詳解】

解：設PD=AD=BD=1,

因為尸￡（，平面48C￡）,所以PDLBD,;.PB=e.

因為4DJ,8。，所以AB=6.

因為.

^2

^的PD=AD,AM=PM,:.AM=W，AMLDM,

又AMCBMu平面BDM,

所以ZM,平面RDM,

所以NABM就是直線AB與平面BDM所成的角，

41

由題得sinNABM=^=~,ZABM=30°

V22

所以直線48與平面8。河所成的角為30°.

17.在長方體ABCD-48012中，AD=AAX.

(1)證明：平面48。，面BCQi；

(2)若AB=2AD,求二面角4—RD—A的余弦值.

15

【答案】（1）見解析；（2）

3

【解析】

【分析】（1）通過證明來證明4。，平面8GA，進而證明平面48。，面

BCR；

（2）建立空間直角坐標系，求出面BOA和面48。的法向量，通過求法向量的夾角來得到二面角

4一8?！?。的余弦值.

【詳解】（1）證明：因為2。=力4,所以四邊形力4。。是正方形，所以

又四邊形48GA是平行四邊形，所以ZA//8G，所以4DL8G，

因為長方體ABCD-4名。］。1中，G。，平面AA.D.D,所以，G2，

又5GnG°i=G，BCpCQ1U平面BCQi，所以4。，平面8CQ1，

而4。u平面43。，所以平面48。，平面8GA.

（2）建立如圖所示的空間直角坐標系。-孫z,

設40=/4=1，則43=2,4(1，0,1)，5(1,2,0),￡>(0,0,0),(0,0,1),

設平面8DA的一個法向量為］=（X］,%,zJ,

DDX=(0,0,1),D5=(1,2,0),

n-DD,-0馬=0一

則}'n°八，取%=—1,所以〃1=2,—1,0,

n{?DB-0%+2y1=0

設平面48。的一個法向量為1=（々,％/2），的=（1,0,1）,麗=（1,2,0）,

n?DA,=0X,+z,—0—?,、

—?_'；八，?。?7,所以〃2=2,—1,—2,

n2-DB=0I+2%=0

F，又二面角4—8?！?。是銳角,

故cos(〃i，〃2

所以，二面角4—AD—的余弦值為走

3

16

【點睛】本題考查面面垂直的證明，以及利用空間向量求面面角，考查計算能力與空間想象能力，是中

檔題.

18.已知圓C過兩點火-1,1),5(1,3),且圓心C在直線x-2y+l=0上.

(1)求圓C的標準方程;

(2)設。(2,0),過點。作兩條互相垂直的直線/和直線加，/交圓。于E、E兩點，加交圓。于G、

H兩點，求|￡目的最小值和四邊形EGW面積的最大值.

【答案】⑴(X-1)2+(V-1)2=4

⑵206

【解析】

【分析】(1)設。伍,雷)，表示出圓。的標準方程，利用待定系數(shù)法計算即可求解；

(2)當直線/J.CD時|跖|最小，利用幾何法求弦長即可；如圖，先證|瓦f+|GHf=24,結(jié)合基本

不等式計算即可求解.

【小問1詳解】

由題意知，設C(0,*),則圓。的標準方程為。-°)2+3-守2=/2,

又圓C過點4-1,1),8(1,3),

(—j)+(1---)=r[?=1

所以〈f，解得1C，

'2。+1、22\r=2

(1-。)+(3---)=rI

故圓C的標準方程為(X-I)2+(y—1)2=4；

【小問2詳解】

由⑴知C(l,l)/=2,連接CD,則|田=J(l_2)2+(l_0)2=日

17

當直線/CD時，附|最小，此時\EF\=2\DE\=_卬2=272，

所以|明的最小值為2亞；

如圖，

取弦長的中點M,N,連接CN,CN,C。，CG,CE,

則四邊形CMDN為矩形，|CM，|CN「=|。>『=2,

\EFf+\GHf=(2|EN|)2+(2\3M|)2=4(歸Nf+pMj)

=4(r2-|CA^|2+r2-\CMf)=4[2r2-(|CA^f+f)]=4(2r2-2)=24,

又忸殲+|G〃f22忸刊G*,所以241|￡F||GH|，忸刊GH|<12,