2025高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：統(tǒng)計(jì)概率大題歸類（含答案）

2025局考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)統(tǒng)計(jì)概率大

題歸類含答案

概率統(tǒng)計(jì)與分布列大題歸類

------------------------------------------------------------------------°0------------------------------------------------------------------------

題型一：非線性回歸型

題型二:數(shù)據(jù)調(diào)整型

題型三：殘差型

題型四：相關(guān)系數(shù)型

題型五：二項(xiàng)分布型

題型六:超幾何分布

題型七：正態(tài)分布型

題型八：下棋與比賽型分布列

題型九:數(shù)列遞推型：馬爾科夫鏈

題型十：數(shù)列遞推型：傳球模式

題型十一：多線程多人比賽型

題型十二:跳棋模式分布列

題型十三:分布列導(dǎo)數(shù)計(jì)算求最值

題型十四：新高考分布列型第19題

題型十五:分布列綜合

題型一非線性回歸型

1.（24-25高三上?四川眉山?階段練習(xí)）臺(tái)州是全國(guó)三大電動(dòng)車生產(chǎn)基地之一，擁有完整的產(chǎn)業(yè)鏈和突出

的設(shè)計(jì)優(yōu)勢(shì).某電動(dòng)車公司為了搶占更多的市場(chǎng)份額，計(jì)劃加大廣告投入、該公司近5年的年廣告費(fèi)力,

（單位:百萬(wàn)元）和年銷售量%（單位:百萬(wàn)輛）關(guān)系如圖所示:令電=ln&（i=l,2,…⑸，數(shù)據(jù)經(jīng)過(guò)初步處

理得：

本年銷售量（百萬(wàn)輛）

4

2

0

8

6

4

2

0IIII?1A

123456

年廣告費(fèi)（百萬(wàn)元）

5555555

iyi方3-萬(wàn)）2

瑞-可22他一口（納一訪2（僅一萬(wàn)）3一萬(wàn)）

1=1i=l￡=1i=l2=12=12=1

444.81040.31.61219.58.06

現(xiàn)有①夕=bx+a和②y=nlnx+m兩種方案作為年銷售量y關(guān)于年廣告費(fèi)比的回歸分析模型，其

中a,b,%均為常數(shù).

（1）請(qǐng)從相關(guān)系數(shù)的角度，分析哪一個(gè)模型擬合程度更好？

（2）根據(jù)（1）的分析選取擬合程度更好的回歸分析模型及表中數(shù)據(jù)，求出"關(guān)于2的回歸方程，并預(yù)測(cè)

年廣告費(fèi)為6（百萬(wàn)元）時(shí)，產(chǎn)品的年銷售量是多少？

2.（23-24高二下?河北石家莊?階段練習(xí)）網(wǎng)絡(luò)直播帶貨助力鄉(xiāng)村振興，它作為一種新穎的銷售土特產(chǎn)的

方式,受到社會(huì)各界的追捧.某直播間開展地標(biāo)優(yōu)品帶貨直播活動(dòng),其主播直播周期次數(shù)M其中io場(chǎng)

為一個(gè)周期）與產(chǎn)品銷售額y（千元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：

直播周期數(shù)工12345

產(chǎn)品銷售額水千元）37153040

根據(jù)數(shù)據(jù)特點(diǎn)，甲認(rèn)為樣本點(diǎn)分布在指數(shù)型曲線"=2近+。的周圍，據(jù)此他對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行了一些初步處

理.如下表：

55555

匯冠WX筑Z^XiZi區(qū)（功-療（仇-。）2

i=li=li—1i=li=l

3.75538265978101

1、

其中包=10g2%,。Z=—^Zi

5M

（1）請(qǐng)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，建立夕關(guān)于①的回歸方程；

（2）乙認(rèn)為樣本點(diǎn)分布在直線y=+n的周圍，并計(jì)算得回歸方程為。=9.7刀一10.1,以及該回歸模

型的相關(guān)指數(shù)蹬=0.98,試比較甲、乙兩人所建立的模型，誰(shuí)的擬合效果更好？（&精確到0.01）

附:對(duì)于一組數(shù)據(jù)（%,％）,（物,外），…，（外,”“），其回歸直線v=a+^u的斜率和截距的最小二乘估計(jì)

匯3一研（以一五）Za）?

分別為￡=上J----------,&=V-的，相關(guān)指數(shù)：&=1—胃-------.

—日）22（5萬(wàn)）2

i=li=l

3.（24-25高三上?福建泉州?階段練習(xí)）一只藥用昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)y與一定范圍內(nèi)的溫度比有關(guān),現(xiàn)收集了

該種藥用昆蟲的6組觀測(cè)數(shù)據(jù)如下表:

溫度x/°C212324272932

產(chǎn)卵數(shù)g/個(gè)61120275777

1616666

經(jīng)計(jì)算得：X=—2^=26,y==33,Z（傷-下）（納一可）=557,Z儂-5丫=84,工（仇一可2=

Oi=lOi=li=l￡=1?=1

6

3930,線性回歸模型的殘差平方和2（%一。）2=236.64?06。5七3167,其中◎，仍分別為觀測(cè)數(shù)據(jù)中的

1=1

溫差和產(chǎn)卵數(shù)，i=123,4,5,6.

（1）若用線性回歸方程，求"關(guān)于2的回歸方程5=應(yīng)+&（精確到o.1）；

（2）若用非線性回歸模型求得夕關(guān)于c回歸方程為y=0.06《23則,且相關(guān)指數(shù)&=0.9522.

⑴試與⑴中的回歸模型相比，用&說(shuō)明哪種模型的擬合效果更好.

（W）用擬合效果好的模型預(yù)測(cè)溫度為35°。時(shí)該種藥用昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)（結(jié)果取整數(shù)）.

附:一組數(shù)據(jù)（刈,%）,（灰，紡），…，（四，%），其回歸直線y=bx+a的斜率和截距的最小二乘估計(jì)為b=

nn

t=12

n-----------,a=y—bx；^關(guān)指數(shù)7?=1-胃-------------.

22

X（x{-x）E（y（-y）

i=l4=1

4.（2023?四川?模擬預(yù)測(cè)）下表是某工廠記錄的一個(gè)反應(yīng)器投料后，連續(xù)8天每天某種氣體的生成量（L）：

日期代碼，12345678

生成的氣體“（乙）481631517197122

為了分析該氣體生成量變化趨勢(shì)、工廠分別用兩種模型:①0=b/+a,②9=d/+c對(duì)變量c和夕的

關(guān)系進(jìn)行擬合，得到相應(yīng)的回歸方程并進(jìn)行殘差分析,殘差圖如下：

888

注:殘差心=例一“經(jīng)計(jì)算得2出一可（納一9）=728,2（0一蕾=42,2（&—可（少一方）=6868,

i=li=l

8-18

⑴根據(jù)殘差圖、比較模型①，模型②的擬合效果，應(yīng)該選擇哪個(gè)模型？并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由；

（2）根據(jù)（1）問(wèn)選定的模型求出相應(yīng)的回歸方程（系數(shù)均保留兩位小數(shù)）；

（3）若在第8天要根據(jù)（2）問(wèn)求出的回歸方程來(lái)對(duì)該氣體生成量做出預(yù)測(cè)，那么估計(jì)第9天該氣體生成

量是多少？（精確到個(gè)位）

8

Z（為一動(dòng)（勿一歹）

附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：6=------------------,a=y-bx.

目（色-可,

題型二

5.（24-25高二上.陜西.開學(xué)考試）某校高一年級(jí)有男生200人，女生100人.為了解該校全體高一學(xué)生

的身高信息，按性別比例進(jìn)行分層隨機(jī)抽樣，抽取總樣本為30的樣本，并觀測(cè)樣本的指標(biāo)價(jià)（單位:

cm）,計(jì)算得男生樣本的身高平均數(shù)為169,方差為39.下表是抽取的女生樣本的數(shù)據(jù)；

抽取次序12345678910

身高155158156157160161159162169163

記抽取的第i個(gè)女生的身高為g（i=l,2,3,…，10）,樣本平均數(shù)元=160,方差S2=15.

參考數(shù)據(jù)：，IK-3.9,1592=25281,1692=28561.

（1）若用女生樣本的身高頻率分布情況代替該校高一女生總體的身高頻率分布情況，試估計(jì)該校高一

女生身高在［160,165］范圍內(nèi)的人數(shù)；

（2）用總樣本的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差分別估計(jì)該校高一學(xué)生總體身高的平均數(shù)〃和標(biāo)準(zhǔn)差必求〃，”的值;

（3）如果女生樣本數(shù)據(jù)在2s,5+2s）之外的數(shù)據(jù)稱為離群值，試剔除離群值后，計(jì)算剩余女生樣本

身高的平均數(shù)與方差.

6.（23-24高一下?福建南平?期末）某校高一年級(jí)有男生200人，女生100人.為了解該校全體高一學(xué)生

的身高信息，按性別比例進(jìn)行分層隨機(jī)抽樣,抽取總樣本量為30的樣本，并觀測(cè)樣本的指標(biāo)值（單位：

cm）,計(jì)算得男生樣本的身高平均數(shù)為169,方差為39.下表是抽取的女生樣本的數(shù)據(jù)：

抽取次序12345678910

身高155158156157160161159162169163

記抽取的第i個(gè)女生的身高為電（i=L2,3,…,10）,樣本平均數(shù)元=160,方差52=右2。一葉=

1Ui=i

參考數(shù)據(jù)：V15?3.9,1592=25281,1692=28561.

（1）若用女生樣本的身高頻率分布情況代替該校高一女生總體的身高頻率分布情況，試估計(jì)該校高一

女生身高在［160,165］范圍內(nèi)的人數(shù)；

（2）如果女生樣本數(shù)據(jù)在（歷-2s,Q+2s）之外的數(shù)據(jù)稱為離群值，試剔除離群值后，計(jì)算剩余女生樣本

身高的平均數(shù)與方差；

（3）用總樣本的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差分別估計(jì)該校高一學(xué)生總體身高的平均數(shù)〃和標(biāo)準(zhǔn)差叫求”的值.

7.（22-23高二?全國(guó)?課后作業(yè)）為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過(guò)程，檢驗(yàn)員每隔30min從該

生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取一個(gè)零件，并測(cè)量其尺寸（單位：cm）做好記錄.下表是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)依次抽取

的16個(gè)零件的尺寸：

抽取次序12345678

零件尺寸（cm）9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04

抽取次序910111213141516

零件尺寸（cm）10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95

經(jīng)計(jì)算得x=卡々?=9.97,s=，擊與⑶-竊=，擊（與域—16歹）70.212,J5（i—8.5）%

16

18.439,2（色—?jiǎng)樱╥—8.5）=—2.78,其中為為抽取的第i個(gè)零件的尺寸（i=1,2,…，16）.

i=l

（1）求（外i）（i=l,2,…,16）的相關(guān)系數(shù)度，并回答是否可以認(rèn)為這一天生產(chǎn)的零件尺寸不隨生產(chǎn)過(guò)程

的進(jìn)行而系統(tǒng)地變大或變小（若加V0.25,則可以認(rèn)為零件的尺寸不隨生產(chǎn)過(guò)程的進(jìn)行而系統(tǒng)地變大

或變?。?/p>

（2）一天內(nèi)抽檢的零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在3s,行+3s）之外的零件,就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天

的生產(chǎn)過(guò)程可能出現(xiàn)了異常情況，需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查.

①?gòu)倪@一天抽檢的結(jié)果看，是否需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查？

②在（5-3s高+3s）之外的數(shù)據(jù)稱為離群值,試剔除離群值，估計(jì)這條生產(chǎn)線當(dāng)天生產(chǎn)的零件尺寸的

均值與標(biāo)準(zhǔn)差.（精確到0.01）

8.（20-21高二上?山東德州?期末）某市政府針對(duì)全市10所由市財(cái)政投資建設(shè)的企業(yè)進(jìn)行了滿意度測(cè)

評(píng)，得到數(shù)據(jù)如下表：

企業(yè)abcdef9hi3

滿意度對(duì)％）21332420252124232512

投資額貝萬(wàn)元）79868978767265625944

（1）求投資額y關(guān)于滿意度x的相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）;

⑵約定:投資額"關(guān)于滿意度力的相關(guān)系數(shù)度的絕對(duì)值在0.7以上（#0.7）是線性相關(guān)性較強(qiáng),否則，

線性相關(guān)性較弱.如果沒有達(dá)到較強(qiáng)線性相關(guān),則根據(jù)滿意度“末位淘汰”規(guī)定，關(guān)閉滿意度最低的那

一所企業(yè),求關(guān)閉此企業(yè)后投資額夕關(guān)于滿意度2的線性回歸方程（精確到0.1）.

io//io\/iorio

參考數(shù)據(jù)：了=22.8,虧=71,〉2與一10二7248,J匯曷一10元2Z姆—10丁卜643.7,〉2t加一1°西

i=lN'i=l八i=l'i=l

=406,2282=51984,228x71=16188.

附:對(duì)于一組數(shù)據(jù)（陽(yáng)仇），（狽統(tǒng)），…，（4,外），其回歸直線？=標(biāo)+a的斜率和截距的最小二乘估計(jì)

n

>,x例「ri西^xtyi-nxy

i=l

公式分別為：6=三---------,d—y—bx.線性相關(guān)系數(shù)『

^Xi-nx2

^—nx2

i=l

9.（23-24高三上?湖南衡陽(yáng)?階段練習(xí)）為了加快實(shí)現(xiàn)我國(guó)高水平科技自立自強(qiáng)，某科技公司逐年加大高

科技研發(fā)投入.下圖1是該公司2013年至2022年的年份代碼x和年研發(fā)投入式單位：億元）的散點(diǎn)

圖，其中年份代碼1?10分別對(duì)應(yīng)年份2013?2022.

根據(jù)散點(diǎn)圖,分別用模型①v=bc+a,②y=c+d益作為年研發(fā)投入,（單位：億元）關(guān)于年份代碼T

的經(jīng)驗(yàn)回歸方程模型,并進(jìn)行殘差分析,得到圖2所示的殘差圖.結(jié)合數(shù)據(jù),計(jì)算得到如下表所示的一

些統(tǒng)計(jì)量的值：

10101010_

yt卒T工（VL3）（期一研工（仇一歹）（&-9

i=l2=1i=\2=1

752.2582.54.512028.35

表中ti=y/xt,t=

LUi=i

（1）根據(jù)殘差圖，判斷模型①和模型②哪一個(gè)更適宜作為年研發(fā)投入式單位:億元）關(guān)于年份代碼c的

經(jīng)驗(yàn)回歸方程模型？并說(shuō)明理由；

（2）（i）根據(jù)⑴中所選模型，求出y關(guān)于①的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；

（ii）設(shè)該科技公司的年利潤(rùn)L（單位:億元）和年研發(fā)投入9（單位:億元）滿足L=（111.225—u）G（cC

N*且①C[1,20]）,問(wèn)該科技公司哪一年的年利潤(rùn)最大？

附:對(duì)于一組數(shù)據(jù)（如幼），（必2,紡），…其經(jīng)驗(yàn)回歸直線3=&+%的斜率和截距的最小二乘

n

2（為一動(dòng)（仇一百）

估計(jì)分別為6=三二----------，a=y-bx.

10.（22-23高三下?廣西防城港?階段練習(xí)）某互聯(lián)網(wǎng)公司為了確定下季度的前期廣告投人計(jì)劃，收集了

近6個(gè)月廣告投入量以單位：萬(wàn)元）和收益9（單位：萬(wàn)元）的數(shù)據(jù)如表：

月份123456

廣告投入量24681012

收益14.2120.3131.831.1837.8344.67

他們用兩種模型①-bx+a,?y=ae^分別進(jìn)行擬合，得到相應(yīng)的回歸方程并進(jìn)行殘差分析，得到

如圖所示的殘差圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.

66

Z①iVi

Xy匯點(diǎn)

i=li=l

7301464.24364

（1）根據(jù)殘差圖，比較模型①，②的擬合效果，應(yīng)選擇哪個(gè)模型擬合？并說(shuō)明理由;

（2）殘差絕對(duì)值大于2的數(shù)據(jù)被認(rèn)為是異常數(shù)據(jù)，需要剔除.

⑴剔除異常數(shù)據(jù)后求出⑴中所選模型的回歸方程；

（而）若廣告投入量刀=18時(shí)，（1）中所選模型收益的預(yù)報(bào)值是多少？

附:對(duì)于一組數(shù)據(jù)（◎,%）,（芯,紡），…，（彩,外），其回歸直線y=bx+a的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分

TI71

￡（叫一研@一研^x^-nx-y

別為：B=上J----------=三---------,&=y-bx

f-可2^Xf-nx2

i=li=l

11.（20—21高二下.湖北孝感?期末）“金山銀山不如綠水青山；綠水青山就是金山銀山”.復(fù)興村借力“鄉(xiāng)

村振興”國(guó)策，依托得天獨(dú)厚的自然資源開展鄉(xiāng)村旅游.鄉(xiāng)村旅游事業(yè)蓬勃發(fā)展.復(fù)興村旅游協(xié)會(huì)記錄

了近八年的游客人數(shù)，見下表.

年份2013年2014年2015年2016年2017年2018年2019年2020年

年份代碼X12345678

游客人數(shù)次百人）481632517197122

為了分析復(fù)興村未來(lái)的游客人數(shù)變化趨勢(shì)，公司總監(jiān)分別用兩種模型對(duì)變量g和力進(jìn)行擬合，得到了

相應(yīng)的回歸方程,繪制了殘差圖.殘差圖如下（注:殘差總=仇-曲：

殘差

15

10

5

0

-5

-10

-15

細(xì)虛線為模型①，粗虛線為模型②

模型①y=bx2+a；模型②y=dx-\-c.

（1）根據(jù)殘差圖，比較模型①，②的擬合效果,應(yīng)該選擇哪個(gè)模型？并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由;

（2）根據(jù)（1）問(wèn)選定的模型求出相應(yīng)的回歸方程（系數(shù)均保留兩位小數(shù)）；

（3）根據(jù)（2）問(wèn)求出的回歸方程來(lái)預(yù)測(cè)2021年的游客人數(shù).

[8

2

參考數(shù)據(jù)見下表:其中：Z=X,Z=—,^JZi

匯（@一可?（%一9）=728匯（g—W）2=42匯（包一可?（納一歲）=6868

匯（0—寸=35702>=204￡yi=400

〉2（為一元）?（%一]）

附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：6=上一-----------,d=y-bx

12.（2023全國(guó)?模擬）（本小題滿分12分）

為了研究黏蟲孵化的平均溫度M單位：°。）與孵化天數(shù)4之間的關(guān)系，某課外興趣小組通過(guò)試驗(yàn)得到

如下6組數(shù)據(jù)：

組號(hào)123456

平均溫度15.316.817.41819.521

孵化天數(shù)16.714.813.913.58.46.2

他們分別用兩種模型①y=bx+a,?y=cedx分別進(jìn)行擬合,得到相應(yīng)的回歸方程并進(jìn)行殘差分析,

得到如圖所示的殘差圖：

HMD

經(jīng)計(jì)算得了=17,y=13.5,Z◎仇=1297,Ex-=1774,

nn

⑴根據(jù)殘差圖，比較模型①，②的擬合效果，應(yīng)選擇哪個(gè)模型？（給出判斷即可，不必說(shuō)明理由）

（2）殘差絕對(duì)值大于1的數(shù)據(jù)被認(rèn)為是異常數(shù)據(jù)，需要剔除,剔除后應(yīng)用最小二乘法建立“關(guān)于c的線

性回歸方程.（精確到0.1）

相關(guān)系數(shù)型

13.（2023?重慶沙坪壩?模擬預(yù)測(cè)）黨的二十大報(bào)告提出：“必須堅(jiān)持科技是第一生產(chǎn)力、人才是第一資源、

創(chuàng)新是第一動(dòng)力，深入實(shí)施科教興國(guó)戰(zhàn)略、人才強(qiáng)國(guó)戰(zhàn)略、創(chuàng)新驅(qū)動(dòng)發(fā)展戰(zhàn)略，開辟發(fā)展新領(lǐng)域新賽

道，不斷塑造發(fā)展新動(dòng)能新優(yōu)勢(shì).”某數(shù)字化公司為加快推進(jìn)企業(yè)數(shù)字化進(jìn)程，決定對(duì)其核心系統(tǒng)

OAP,采取逐年增加研發(fā)人員的辦法以提升企業(yè)整體研發(fā)和創(chuàng)新能力.現(xiàn)對(duì)2018~2022年的研發(fā)人數(shù)

作了相關(guān)統(tǒng)計(jì)（年份代碼1~5分別對(duì)應(yīng)2018-2022年）如下折線圖：

2018-2022年研發(fā)人數(shù)折線圖

600-------------------------------------------------

500-----------------------------------------------

400--------------------------------—

100—堡------------------------------

0-------------------------------------------------

12345

（1）根據(jù)折線統(tǒng)計(jì)圖中數(shù)據(jù),計(jì)算該公司研發(fā)人數(shù)y與年份代碼X的相關(guān)系數(shù)度,并由此判斷其相關(guān)性

的強(qiáng)弱；

（2）試求出y關(guān)于T的線性回歸方程,并預(yù)測(cè)2023年該公司的研發(fā)人數(shù)（結(jié)果取整數(shù)）.

_5

參考數(shù)據(jù)：一（%—刃2=54944,“549440"741.2當(dāng)|r|G[0.75,1]認(rèn)為兩個(gè)變量間的相關(guān)性較強(qiáng)

1=1

研（y「研

參考公式:相關(guān)系數(shù)/口,，

r=/n/n

、研7請(qǐng)

Vi=lVi=l

n

%）y）

回歸方程少=應(yīng)+3中的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為b=上y-----------，石=萬(wàn)一

之⑶-前

i=l

bx.

14.（22-23高三上?河南?期末）隨著電池充電技術(shù)的逐漸成熟，以鋰電池為動(dòng)力的新一代無(wú)繩類電動(dòng)工具

以其輕巧便攜、工作效率高、環(huán)保、可適應(yīng)多種應(yīng)用場(chǎng)景下的工作等優(yōu)勢(shì)，被廣泛使用.在消費(fèi)者便攜

無(wú)繩化需求與技術(shù)發(fā)展的雙重驅(qū)動(dòng)下，鋰電類無(wú)繩電動(dòng)工具及配套充電器市場(chǎng)有望持續(xù)擴(kuò)大.某公司

為適應(yīng)市場(chǎng)并增強(qiáng)市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)力，逐年增加研發(fā)人員，使得整體研發(fā)創(chuàng)新能力持續(xù)提升，現(xiàn)對(duì)

2017-2021年的研發(fā)人數(shù)作了相關(guān)統(tǒng)計(jì)，如下圖：

2017-2021年公司的研發(fā)人數(shù)情況（年份代碼1~5分別對(duì)應(yīng)2017?2021年）

（1）根據(jù)條形統(tǒng)計(jì)圖中數(shù)據(jù),計(jì)算該公司研發(fā)人數(shù)y與年份代碼X的相關(guān)系數(shù)r,并由此判斷其相關(guān)性

的強(qiáng)弱；

（2）試求出y關(guān)于T的線性回歸方程,并預(yù)測(cè)2023年該公司的研發(fā)人數(shù).（結(jié)果取整數(shù)）

5研（仇一研

參考數(shù)據(jù)：E（%—可丫=55960,V1399?37.4.參考公式:相關(guān)系數(shù)r=「~.

1（◎-浮,\￡（仇-斤

V?=1Vi=l

匯⑶一可（t/j—y）

線性回歸方程的斜率b=上y----------，截距&=虧一bx.附：

￡（工廠行）2

i=l

M[0,0.25][0.30,0.75)[0.75,1]

相關(guān)性弱一般強(qiáng)

15.（2021?云南?模擬預(yù)測(cè)）西尼羅河病毒（WW）是一種腦炎病毒，SV通常是由鳥類攜帶，經(jīng)蚊子傳播

給人類.1999年8-10月，美國(guó)紐約首次爆發(fā)了皿NU腦炎流行.在治療上目前尚未有什么特效藥

可用，感染者需要采取輸液及呼吸系統(tǒng)支持性療法，有研究表明，大劑量的利巴韋林含片可抑制

WAV的復(fù)制，抑制其對(duì)細(xì)胞的致病作用.現(xiàn)某藥企加大了利巴韋林含片的生產(chǎn),為了提高生產(chǎn)效率,

該藥企負(fù)責(zé)人收集了5組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，得到利巴韋林的投入量M千克）和利巴韋林含片產(chǎn)量9（百盒）的

統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下：

投入量，（千克）12345

產(chǎn)量以百盒）1620232526

由相關(guān)系數(shù)「可以反映兩個(gè)變量相關(guān)性的強(qiáng)弱，HG[0.75,1],認(rèn)為變量相關(guān)性很強(qiáng)；加G[0.3,

0.75],認(rèn)為變量相關(guān)性一般；|r|€[0,0.25],認(rèn)為變量相關(guān)性較弱.

（1）計(jì)算相關(guān)系數(shù)度,并判斷變量小“相關(guān)性強(qiáng)弱；

⑵根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于C的線性回歸方程0=bx+G；為了使某組利巴韋林含片產(chǎn)量達(dá)到

150百盒，估計(jì)該組應(yīng)投入多少利巴韋林？

555

參考數(shù)據(jù)：V660?25.69,22(^-^)(%-y)=25,22=10,22(^-y)2=66.

1=1i=li=l

n

(少一))

參考公式:相關(guān)系數(shù)丁="，線性回歸方程。=標(biāo)+a中，B=

、伯3廠前/￡(%―療

V?=1Vi=l

〉2(@一云)(依一百)

i=l八一侖一

---------------------,Q=y-bx.

-前

i=l

16.（2022高二?全國(guó)?專題練習(xí)）某數(shù)學(xué)小組從氣象局和醫(yī)院分別獲得了2021年1月至2021年6月每月

20日的晝夜溫差以單位：。C,c>3）和患感冒人數(shù)少的數(shù)據(jù)，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫出如圖所示的折線

圖.

（1）求"與①之間的相關(guān)系數(shù)小,并判斷"與re的相關(guān)性的強(qiáng)弱（上J>0.8時(shí),認(rèn)為g與z高度相關(guān),

即認(rèn)為y與c的相關(guān)性很強(qiáng)）；

（2）建立y關(guān)于c的回歸直線方程（回歸系數(shù)的結(jié)果精確到0.01），并預(yù)測(cè)晝夜溫差為4℃時(shí)患感冒的

人數(shù).

66/~6

參考數(shù)據(jù)：2?=54.9,2（?—可（少一歹）=94,JZ（g—可2=6,V7=2.646.

i=li=lVi=l

_n_

￡（x「研（功-9）

參考公式:相關(guān)系數(shù)度叫=一/底'=1_/'■在回歸直線方程3=BC+（￡,b=

叭年（功-斤

Vi=lVi=l

n

Z（x「研（y「研

-i-1----------,a八=__y一-bx￡.-

-前

?=1

題型五項(xiàng)分布型

17.（24-25高三上?云南昆明?期中）一項(xiàng)沒有平局的對(duì)抗賽分為兩個(gè)階段，參賽者在第一階段中共參加2

場(chǎng)比賽，若至少有一場(chǎng)獲勝，則進(jìn)入第二階段比賽，否則被淘汰，比賽結(jié)束;進(jìn)入第二階段比賽的參賽

者共參加3場(chǎng)比賽.在兩個(gè)階段的每場(chǎng)比賽中，獲勝方記1分,負(fù)方記0分，參賽者參賽總分是兩個(gè)階

段得分的總和，若甲在第一階段比賽中每場(chǎng)獲勝的概率都為p(OVpVl),在第二階段比賽中每場(chǎng)獲勝

的概率都為[，每場(chǎng)比賽是否獲勝相互獨(dú)立.已知甲參賽總分為2分的概率為2.(1)求目；

(2)求甲參賽總分X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

18.(中學(xué)生標(biāo)準(zhǔn)學(xué)術(shù)能力診斷性測(cè)試2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期10月測(cè)試數(shù)學(xué)試卷)乒乓球比賽有兩

種賽制，其中就有“5局3勝制”和“7局4勝制”，“5局3勝制”指5局中勝3局的一方取得勝利，”局4

勝制”指7局中勝4局的一方取得勝利.

(1)甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽,若采用5局3勝制，比賽結(jié)束算一場(chǎng)比賽，甲獲勝的概率為0.8；若采用

7局4勝制，比賽結(jié)束算一場(chǎng)比賽，甲獲勝的概率為0.9.已知甲、乙兩人共進(jìn)行了巾(meN*)場(chǎng)比賽，

請(qǐng)根據(jù)小概率值a=0.。10的氏2獨(dú)立性檢驗(yàn),來(lái)推斷賽制是否對(duì)甲獲勝的場(chǎng)數(shù)有影響.

(2)若甲、乙兩人采用5局3勝制比賽，設(shè)甲每局比賽的勝率均為p,沒有平局?記事件“甲只要取得3

局比賽的勝利比賽結(jié)束且甲獲勝”為4事件“兩人賽滿5局，甲至少取得3局比賽勝利且甲獲勝”為

試證明：P(A)=F(B).

(3)甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，每局比賽甲的勝率都是p(p>0.5),沒有平局.若采用“賽滿2n—1

局,勝方至少取得n局勝利”的賽制，甲獲勝的概率記為P[n}.若采用“賽滿2八+1局,勝方至少取得

n+1局勝利”的賽制，甲獲勝的概率記為P(n+1),試比較P(n)與P[n+1)的大小.

0.050.0250.010

k03.8415.0246.635

19.(2024?廣東廣州?模擬預(yù)測(cè))在某地區(qū)進(jìn)行高中學(xué)生每周戶外運(yùn)動(dòng)調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了1000名高中學(xué)生戶

外運(yùn)動(dòng)的時(shí)間(單位：小時(shí))，得到如下樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖.

頻率

組距

0.05

0.04

0.03

0.02

0.01

1012141618時(shí)間（小時(shí)）

(1)求a的值,估計(jì)該地區(qū)高中學(xué)生每周戶外運(yùn)動(dòng)的平均時(shí)間；(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)

(2)為進(jìn)一步了解這1000名高中學(xué)生戶外運(yùn)動(dòng)的時(shí)間分配，在(14,16],(16,18]兩組內(nèi)的學(xué)生中，采用

分層抽樣的方法抽取了5人，現(xiàn)從這5人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行訪談,記在（14,16］內(nèi)的人數(shù)為X,求X

的分布列和期望；

（3）以頻率估計(jì)概率，從該地區(qū)的高中學(xué)生中隨機(jī)抽取8名學(xué)生，用“區(qū)（乃”表示這8名學(xué)生中恰有R

名學(xué)生戶外運(yùn)動(dòng)時(shí)間在（8,10］內(nèi)的概率，當(dāng)區(qū)作）最大時(shí)，求k的值.

20.（24-25高二上?黑龍江哈爾濱?階段練習(xí)）如圖，在研究某種粒子的實(shí)驗(yàn)裝置中，粒子從4腔室出發(fā),

到達(dá)C腔室,粒子從A室經(jīng)過(guò)1號(hào)門進(jìn)入B室后，等可能的變?yōu)樯闲蛳滦隣顟B(tài),粒子從B室經(jīng)過(guò)2

號(hào)門進(jìn)入。室后，粒子的旋轉(zhuǎn)狀態(tài)發(fā)生改變的概率為1.粒子間的旋轉(zhuǎn)狀態(tài)相互獨(dú)立.現(xiàn)有兩個(gè)粒子

從A室出發(fā).

~^4~I~B~|~~C~

高2苛］

（1）求兩粒子進(jìn)入。室都為上旋狀態(tài)的概率；

（2）若實(shí)驗(yàn)裝置出現(xiàn)故障，兩個(gè)粒子進(jìn)入。室后，共裂變?yōu)閙個(gè)粒子,裂變后的每個(gè)粒子再經(jīng)過(guò)2號(hào)門

返回B室的概率為|■，各粒子返回B室相互獨(dú)立.

①小=4時(shí)，寫出返回B室的粒子個(gè)數(shù)X的分布列、期望、方差；

②小=30時(shí)，記有r個(gè)粒子返回B室的概率為/①），則r為何值時(shí)，/（r）取最大值.

趣幾何分布

21.（24-25高二下?全國(guó)?課后作業(yè)）第十四屆全國(guó)人民代表大會(huì)第一次會(huì)議于2023年3月5日上午召

開.某社區(qū)為了調(diào)查社區(qū)居民對(duì)該會(huì)議的關(guān)注度，隨機(jī)抽取了60名社區(qū)居民進(jìn)行調(diào)查，并將結(jié)果繪

制成如圖所示的頻率分布直方圖.

+頻率/組距

0.07

0.06

0.05

0.04

0.03

0.02

0.01

30354045岸舲

（1）以頻率估計(jì)概率,若社區(qū)計(jì)劃從60名社區(qū)居民中，再次隨機(jī)抽取三人進(jìn)行回訪，求至少有兩人的年

齡在區(qū)間［30,35）內(nèi)的概率；

（2）若［20,25）和［40,45］年齡段的所有居民對(duì)該會(huì)議的關(guān)注度都很高，社區(qū)準(zhǔn)備從中抽取3人談?wù)剬?duì)

該會(huì)議的感受，設(shè)￡表示年齡段在［20,25）的人數(shù)，求0（7日+3）.

22.（22-23高三下?山東濟(jì)寧?開學(xué)考試）某市為進(jìn)行學(xué)科能力競(jìng)賽表彰，其中數(shù)學(xué)組、物理組獲獎(jiǎng)情況如

下表,組委會(huì)為使活動(dòng)有序進(jìn)行，活躍會(huì)場(chǎng)氣氛,活動(dòng)中穿插抽獎(jiǎng)活動(dòng).并用分層抽樣的方法從兩個(gè)學(xué)

科組抽取15人在前排就座，其中物理組有5人.

數(shù)學(xué)組物理組

男生3020

女生30

（1）求數(shù)學(xué)組中女生的人數(shù)；

（2）若從前排就座的物理組5人中任選2人上臺(tái)領(lǐng)獎(jiǎng)，設(shè)女生的人數(shù)為X,求女生人數(shù)X的分布列和數(shù)

學(xué)期望.

23.（24-25高二下?全國(guó)?課后作業(yè)）某校為了了解學(xué)情,對(duì)各學(xué)科的學(xué)習(xí)興趣作了問(wèn)卷調(diào)查，經(jīng)過(guò)數(shù)據(jù)整

理得到下表：

語(yǔ)文興趣數(shù)學(xué)興趣英語(yǔ)興趣物理興趣化學(xué)興趣生物興趣

答卷份數(shù)350470380400300500

興趣良好頻率0.70.950.80.750.850.86

假設(shè)每份調(diào)查問(wèn)卷只調(diào)查一科,各類調(diào)查是否達(dá)到良好的標(biāo)準(zhǔn)相互獨(dú)立.

（1）從收集的答卷中隨機(jī)選取一份,求這份試卷的調(diào)查結(jié)果是英語(yǔ)興趣良好的概率；

（2）從該校任選一位同學(xué)，試估計(jì)他在語(yǔ)文興趣良好、數(shù)學(xué)興趣良好、生物興趣良好方面，至少具有兩

科興趣良好的概率；

（3）按分層抽樣的方法從參與物理興趣和化學(xué)興趣調(diào)查的同學(xué)中抽取7人,再?gòu)倪@7人中抽取3人，記

3人中來(lái)自化學(xué)興趣的人數(shù)為〃，求〃的分布列和期望.

24.（24-25高三上?四川成都?階段練習(xí)）2024年7月26日，第33屆夏季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)在法國(guó)巴黎正式

開幕.人們?cè)谟^看奧運(yùn)比賽的同時(shí),開始投入健身的行列.某興趣小組為了解成都市不同年齡段的市

民每周鍛煉時(shí)長(zhǎng)情況，隨機(jī)從抽取200人進(jìn)行調(diào)查,得到如下列聯(lián)表：

周平均鍛煉時(shí)長(zhǎng)

年齡合計(jì)

周平均鍛煉時(shí)間少于F小時(shí)周平均鍛煉時(shí)間不少于4小時(shí)

50歲以下4060100

50歲以上（含50）2575100

合計(jì)65135200

（1）試根據(jù)a=0.05的小獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析周平均鍛煉時(shí)長(zhǎng)是否與年齡有關(guān)？（/精確到0.001）；

（2）現(xiàn)從50歲以下的樣本中按周平均鍛煉時(shí)間是否少于4小時(shí)，用分層隨機(jī)抽樣法抽取5人做進(jìn)一步

訪談,再?gòu)倪@5人中隨機(jī)抽取3人填寫調(diào)查問(wèn)卷.記抽取3人中周平均鍛煉時(shí)間不少于4小時(shí)的人數(shù)

為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

n(ad—bc)2

參考公式及數(shù)據(jù)：/，其中々=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

題型七正態(tài)分布型

25.(2024?山西長(zhǎng)治?模擬預(yù)測(cè))某汽車公司最新研發(fā)了一款新能源汽車,并在出廠前對(duì)100輛汽車進(jìn)行了

單次最大續(xù)航里程(理論上是指新能源汽車所裝載的燃料或電池所能夠提供給車行駛的最遠(yuǎn)里程)的

測(cè)試.現(xiàn)對(duì)測(cè)試數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，得到如下的頻率分布直方圖：

(1)估計(jì)這100輛汽車的單次最大續(xù)航里程的平均值雙同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表)；

(2)由頻率分布直方圖計(jì)算得樣本標(biāo)準(zhǔn)差s的近似值為49.75.根據(jù)大量的汽車測(cè)試數(shù)據(jù)，可以認(rèn)為這

款汽車的單次最大續(xù)航里程X近似地服從正態(tài)分布,其中“近似為樣本平均數(shù)濟(jì)。近似為樣

本標(biāo)準(zhǔn)差S.

(i)利用該正態(tài)分布，求P(250.25<X<399.5)；

(ii)假設(shè)某企業(yè)從該汽車公司購(gòu)買了20輛該款新能源汽車，記Z表示這20輛新能源汽車中單次最大

續(xù)航里程位于區(qū)間(250.25,399.5)的車輛數(shù)，求E(Z)；

參考數(shù)據(jù):若隨機(jī)變量￡服從正態(tài)分布則—a<￡<〃+Q=0.6827,

P(〃-2cr<g<〃+2cr)=0.9545,P(〃-3cr<g<〃+3cr)=0.99731.

(3)某汽車銷售公司為推廣此款新能源汽車,現(xiàn)面向意向客戶推出“玩游戲,送大獎(jiǎng)”活動(dòng)，客戶可根據(jù)

拋擲硬幣的結(jié)果，操控微型遙控車在非軸上從原點(diǎn)O出發(fā)向右運(yùn)動(dòng)，已知硬幣出現(xiàn)正、反面的概率都

y，客戶每擲一次硬幣，遙控車向右移動(dòng)一次，若擲出正面,則遙控車向移動(dòng)一個(gè)單位，若擲出反面,則

遙控車向右移動(dòng)兩個(gè)單位，直到遙控車移到點(diǎn)(59,0)(勝利大本營(yíng))或點(diǎn)(60,0)(失敗大本營(yíng))時(shí)，游

戲結(jié)束，若遙控車最終停在“勝利大本營(yíng)”，則可獲得購(gòu)車優(yōu)惠券.設(shè)遙控車移到點(diǎn)(n,0)的概率為

■(1WnW6O),試證明數(shù)列｛2—是等比數(shù)列(2WnW59),求出數(shù)列｛2｝(lWnW60)的通項(xiàng)公

式，并比較區(qū)9和%的大小.

26.(24-25高三上?廣西貴港?開學(xué)考試)為了研究學(xué)生的性別和是否喜歡跳繩的關(guān)聯(lián)性，隨機(jī)調(diào)查了某

中學(xué)的100名學(xué)生，整理得到如下列聯(lián)表：

男學(xué)生女學(xué)生合計(jì)

喜歡跳繩353570

不喜歡跳繩102030

合計(jì)4555100

（1）依據(jù)a=0.1的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為學(xué)生的性別和是否喜歡跳繩有關(guān)聯(lián)？

（2）已知該校學(xué)生每分鐘的跳繩個(gè)數(shù)X?N（170,100）,該校學(xué)生經(jīng)過(guò)訓(xùn)練后，跳繩個(gè)數(shù)都有明顯進(jìn)步.

假設(shè)經(jīng)過(guò)訓(xùn)練后每人每分鐘的跳繩個(gè)數(shù)都增加10,該校有1000名學(xué)生，預(yù)估經(jīng)過(guò)訓(xùn)練后該校每分鐘

的跳繩個(gè)數(shù)在［170,200］內(nèi)的人數(shù)（結(jié)果精確到整數(shù)）.

n(ad-bc)2

附：/，其中7i=a+b+c+d.

(Q+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.10.050.01

2.7063.8416.635

若X~N(〃,4),則P(〃一+G七0.6827,P(〃-2b<X<〃+2(7)七0.9545,

—+心0.9973.

27.（2024.遼寧?模擬預(yù)測(cè)）某工廠為了提高精度，采購(gòu)了一批新型機(jī)器，現(xiàn)對(duì)這批機(jī)器的生產(chǎn)效能進(jìn)行測(cè)

試，對(duì)其生產(chǎn)的第一批零件的內(nèi)徑進(jìn)行測(cè)量，統(tǒng)計(jì)繪制了如下圖所示的頻率分布直方圖.

小頻率

3.5----------------------

3.0---------------------------

a-----------

1.0------------

。廿日…卜+

o2.352.452.552.652.L752.85內(nèi)徑A/mm

（1）求a的值以及這批零件內(nèi)徑的平均值x和方差si同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；

（2）以頻率估計(jì)概率，若在這批零件中隨機(jī)抽取4個(gè),記內(nèi)徑在區(qū)間［2.45,2.55）內(nèi)的零件個(gè)數(shù)為Z,求

Z的分布列以及數(shù)學(xué)期望；

（3）已知這批零件的內(nèi)徑X（單位：mm）服從正態(tài)分布NQd），現(xiàn)以頻率分布直方圖中的平均數(shù)元作

為〃的估計(jì)值，頻率分布直方圖中的標(biāo)準(zhǔn)差s作為a的估計(jì)值,則在這批零件中隨機(jī)抽取200個(gè)，記內(nèi)

徑在區(qū)間［2.285,2.705］上的零件個(gè)數(shù)為V,求V的方差.

參考數(shù)據(jù)：，Oil七0.105,若X?則p（〃一+Q七0.6827,P（〃—2aWXW〃+2c）

70.9545,—+70.9973.

28.（2024?福建龍巖?三模）某企業(yè)對(duì)某品牌芯片開發(fā)了一條生產(chǎn)線進(jìn)行試產(chǎn).其芯片質(zhì)量按等級(jí)劃分為五

個(gè)層級(jí)，分別對(duì)應(yīng)如下五組質(zhì)量指標(biāo)值：［45,55）,［55,65）,［65,75）,［75,85）,［85,95］.根據(jù)長(zhǎng)期檢測(cè)結(jié)

果，得到芯片的質(zhì)量指標(biāo)值X服從正態(tài)分布并把質(zhì)量指標(biāo)值不小于80的產(chǎn)品稱為A等品，

其它產(chǎn)品稱為R等品.現(xiàn)從該品牌芯片的生產(chǎn)線中隨機(jī)抽取100件作為樣本，統(tǒng)計(jì)得到如圖所示的頻

率分布直方圖.

(1)根據(jù)長(zhǎng)期檢測(cè)結(jié)果,該芯片質(zhì)量指標(biāo)值的標(biāo)準(zhǔn)差s的近似值為11,用樣本平均數(shù)了作為〃的近似

值,用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為。的估計(jì)值.若從生產(chǎn)線中任取一件芯片，試估計(jì)該芯片為A等品的概率(保

留小數(shù)點(diǎn)后面兩位有效數(shù)字)；

(①同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表；②參考數(shù)據(jù):若隨機(jī)變量e服從正態(tài)分布,則