2025年高考數(shù)學熱點題型突破：切線問題綜合11類題型匯編

方考微愛盒JUL咂爽戲.*錢冏q候會"奏IL型匯編

近5年考情(2020-2024)

考題統(tǒng)計考點分析考點要求

2024年甲卷第6題，5分

2024年新高考/卷第13題，5分

(1)求在某處的切線

2023年甲卷第8題，5分

考察導數(shù)的幾何意義，切線

(2)設(shè)切點求過某點的切線以及公切線

的相關(guān)計算求值求參

2022年/卷第15題，5分

(3)利用切線的條數(shù)求參數(shù)范圍

2021年甲卷第13題，5分

2021年/卷第7題，5分

QLZEJ

題型一求在曲線上一點的切線............................................................1

題型二求過某點的切畿...................................................................2

題型三巳如切線斜率求分數(shù)..............................................................2

題型四通過切線求曲畿上的點到直線距離最小值...........................................3

題型五音偶畫數(shù)的切線斜率問題..........................................................4

題型六切線斜率總值掠園問題............................................................5

題型七公切線問題......................................................................6

題型八由切線條數(shù)求分救他國............................................................7

題型九兩條切線平行、基直、豆合問題.....................................................8

題型十與切線有關(guān)的參數(shù)范圍我最值問題.................................................9

題型十一牛幅選代法...................................................................10

(熱點題型)

題型一求在曲線上一點的切線

S基礎(chǔ)知識

Juo=/(g)

函數(shù)y=f(x)在點A(XQ,/(g))處的切線方程為g——(g)=廣(g)(劣一g),抓住關(guān)鍵\k=f\xo)

1.(2024年高考全國甲卷數(shù)學(文))曲線/(土)=/+一1在(0,—1)處的切線與坐標軸圍成的面積為

()

A工B心C.\D.-容

62

2.(2024年高考全國甲卷數(shù)學(理))設(shè)函數(shù)川乃=&+2尤產(chǎn)，則曲線沙=/(乃在(0,1)處的切線與兩坐

l+xz

標軸圍成的三角形的面積為()

A-B.1c4D-f

3.已知曲線/(0=工11改：在點(1,/(1))處的切線為Z,貝也在沙軸上的截距為()

A.-2B.-1C.1D.2

4.(23-24高三?福建寧德?期末)已知函數(shù)/(①)在點c=-1處的切線方程為x+y-l=0,則:(—1)+

f(T)=()

A.—1B.0C.1D.2

求過某點的切線

o基礎(chǔ)知識

【方法技巧】

設(shè)切點為P(xOf%),則斜率k=r(g),過切點的切線方程為：y—yo=f(xo)(x—x0),

又因為切線方程過點A(a,b),所以b—yo=f'(*u)(a—x0)然后解出g的值.

5.(2024.全國.模擬預(yù)測)過坐標原點作曲線/O)=宙(砂—2/+2)的切線，則切線共有()

A.1條B.2條C.3條D.4條

6.(2022年新高考全國/卷T15)曲線g=皿⑶過坐標原點的兩條切線的方程為,.

7.已知直線g=e/—2是曲線g=ln力的切線,則切點坐標為()

A.(《，T)B.(e,l)C(?,1)D.(0,1)

8.(2024?山西呂梁?二模)若曲線/(2)=Ina;在點P(g,yo)處的切線過原點0(0,0),則x0=.

9.(2019?江蘇卷)在平面直角坐標系力中，點A在曲線y=Imc上,且該曲線在點A處的切線經(jīng)過點(

—e,—1)(e為自然對數(shù)的底數(shù))，則點A的坐標是.?M

10.（23-24高三?廣東?期中）過點P（l,l）作曲線U=爐的兩條切線［,l2.設(shè)Z1，勾的夾角為。,則tan。=

()

c9

B-1JC-l3D-i

題型三已知切線斜率求參數(shù)

s基礎(chǔ)知識

已知切線或切點求參數(shù)問題，核心是根據(jù)曲線、切線、切點的三個關(guān)系列出參數(shù)的方程：①切點處的導數(shù)是切

線的斜率;②切點在曲線上;③切點在切線上.

11.（2024?湖北武漢?模擬預(yù)測）已知曲線/⑺=Inrr+二在點（1j⑴）處的切線的傾斜角為名，則a的

CLO

值為.

12.（2024.貴州六盤水.三榭已知曲線夕=22—31na:的一條切線方程為夕=—1+m,則實數(shù)m=（）

A.-2B.-1C.1D.2

13.（2024.全國.高考真題）若曲線夕=6。+多在點（0,1）處的切線也是曲線夕=ln（c+l）+a的切線，則a

14.（23—24高三.山西晉城.期末）過原點O作曲線/（刀）=吩—姐的切線，其斜率為2,則實數(shù)a=

（）

A.eB.2C.e+2D.e—2

15.（2024?四川?模擬預(yù)測）已知館>0,n>0,直線^=上力+恒+1與曲線g=lnrc—九+3相切，則館十九

e

16.（23—24高三.安徽合肥.期末）若函數(shù)/（力）=上”與g（R）=e"-?！猙在力=1處有相同的切線，則a+

x

b=（）

A.-1B.0C.1D.2

17.（2024?河北滄州?模擬預(yù)測）已知直線=k/是曲線/（2）=6計1和gQ）=InN+Q的公切線,則實數(shù)a

■一%■碘切線求曲線上的點到直線距離最小值???

s基域知識

利用導數(shù)的幾何意義求最值問題，利用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決，常用方法平移切線法.

18.（23-24高三.安徽.階段練習）已知P是函數(shù)/（乃=e/+〃圖象上的任意一點，則點P到直線x—y—

9=0的距離的最小值是（）

A.3V2B.5C.6D.572

19.（23—24高三?廣東惠州?階段練習）已知焉？在函數(shù)/（M=e2，+e+9的圖象上，則P到直線2:3c一,

-10=0的距離的最小值為.

20.（23-24高三?河南南陽?階段練習）點P是曲線/（⑼=代上一個動點，則點P到直線多一y+2=0的

距離的最小值是（）

A.B.工C.D.4

8444

21.（23-24高三?河北石家莊?階段練習）曲線y=ln（3c-2）上的點到直線3必—0+7=0的最短距離是

（）

A.V5B.V10C.3V5D.1

22.（23-24高三?河南?階段練習）最優(yōu)化原理是要求在目前存在的多種可能的方案中，選出最合理的，達

到事先規(guī)定的最優(yōu)目標的方案,這類問題稱之為最優(yōu)化問題.為了解決實際生活中的最優(yōu)化問題，我

們常常需要在數(shù)學模型中求最大值或者最小值.下面是一個有關(guān)曲線與直線上點的距離的最值問題，

請你利用所學知識來解答:若點P是曲線,=31nx--^-x2上任意一點,則P到直線4c—24+5=0的

距離的最小值為.

23.（2024?山西朔州?模擬預(yù)測）已知4B分別為曲線？/=2e，+a;和直線y=3c—3上的點，則\AB\的最

小值為.

題型五奇偶函數(shù)的切線斜率問題

s基M知識

奇函數(shù)的導數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導數(shù)是奇函數(shù).

24.已知/Q）為奇函數(shù)，且當①V0時，f⑸=且，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，則曲線”乃在點（1,/（1））

ex

處的切線方程為

25.（2024?福建福州?模擬預(yù)測）已知函數(shù)/（1）是偶函數(shù)，當比＞0時，/（2）=土3+2宓,則曲線沙=/（/）在灸

=—1處的切線方程為（）

A.g=—5N—2B.y=—5x—8C.y=5x+2D.y=5x+8

26.（2024.湖北.一模）已知函數(shù)/（力）為偶函數(shù)，其圖像在點（1,/（1））處的切線方程為力―2g+l=0,記

〃為的導函數(shù)為（（為，則r（—1）=（）

A.—B.C.—2D.2

27.已知/Q）是奇函數(shù),當力V0時，f（x）=,則函數(shù)/Q）的圖象在力=1處的切線方程為（）

A.2%—g+l=0B./—2g+1=0C.2c—g—1=0D.rc+2g—1=0

28.（23-24高三?河南洛陽?期末）已知函數(shù)gQ）為奇函數(shù)，其圖象在點（Q,g（Q））處的切線方程為2x—y

+1=0,記g（力）的導函數(shù)為人力）,則g，（—Q）=（）

A.2B.-2C.~~D.—

29.（2024?山東濟寧?三模）已知函數(shù)/（6）為偶函數(shù)，當力V0時，/（①）=ln（—/）+爐,則曲線y=f（x）在點

（1,/（1））處的切線方程是（）

A.3%—g—2=0B.36+g—2=0C.3c+g+2=0D.36—g+2=0

30.（2024?海南?？?二模）已知函數(shù)/（c）的定義域為五，/0+1）是偶函數(shù)，當時，/（工）=

ln（l—2為,則曲線y=在點（2,/（2））處的切線斜率為（）

99

A.■—B.——C.2D.—2

55

31.（23-24高三?廣東深圳?期中）已知函數(shù)/（力）=與偶函數(shù)g（x）在交點（1,^（1））處的切線相同,則

函數(shù)gQ）在力=—1處的切線方程為（）

A.ex—y+e=QB.ex-\-y—e=QC.ex—y—e=QD.ex+y+e=Q

題型六切線斜率取值范圍問題

S基地知識

利用導數(shù)的幾何意義，求出導函數(shù)的值域，從而求出切線斜率的取值范圍問題.

一般地，直線的斜率與傾斜角的關(guān)系是:直線都有傾斜角，但不一定都有斜率

32.點P在曲線夕=爐一2+1■上移動，設(shè)點P處切線的傾斜角為%則角a的范圍是（）

O

A-[°-f]B管，普］

33.（2021?河南洛陽?二模）已知點P在曲線"=爐一立上移動，設(shè)點P處切線的傾斜角為a?,則角Ma的取值

范圍是

34.過函數(shù)/3)=]e2"-2圖像上一個動點作函數(shù)的切線,則切線傾斜角范圍為()

35.(22-23高三?江蘇鎮(zhèn)江?階段練習)點P在曲線夕=爐一與1+:上移動，設(shè)點P處切線的傾斜角為

O4

%則角a的范圍是()

題型七公切線問題

s基馬知識

公切線問題應(yīng)根據(jù)兩個函數(shù)在切點處的斜率相等，并且切點不但在切線上而且在曲線上，羅列出有關(guān)切點橫

坐標的方程組，通過解方程組進行求解.

公切^問題主要有以下3類題型

(1)求2個圖數(shù)的公切線

解題方法:設(shè)2個切點坐標,利用切線斜率相同得到3個相等的式子，聯(lián)立求解

(2)2個函數(shù)存在公切微,求參數(shù)篦國

解題方法：設(shè)2個切點坐標，列出斜率方程，再轉(zhuǎn)化為方程有解問題

(3)已知兩個函數(shù)之間公切畿條數(shù),求參數(shù)范圍

解題方法:設(shè)2個切點坐標，列出斜率方程，再轉(zhuǎn)化為方程解的個數(shù)問題

36.(浙江紹興二模T15)與曲線y=e。和y=一手都相切的直線方程為.

37.(2024.廣東茂名.一模)曲線y=Inc與曲線0=靖+2a①有公切線，則實數(shù)a的取值范圍是()

A.(-℃,-y]B.C.(―co,]]D.",+8)

38.(2024?福建泉州?模擬預(yù)測)若曲線9=式與,=加。(±W0)恰有兩條公切線，則t的取值范圍為()

A-(°4)B.(!，+8)

C.(―8,0)U號,+8)D.(—8,0)U囿???

39.(23-24高三.江西吉安?期末)函數(shù)/(⑼=2+Imr與函數(shù)g{x)=e，公切線的斜率為()

A.1B.±eC.1或eD.1或e?

40.已知直線y=ax+b(aER,b>0)是曲線/(必)=e"與曲線g(rr)=Inc+2的公切線，貝！Ja+b的值為

41.已知直線Z與曲線=〃和&：?/=—工均相切，則該直線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為

X

42.已知函數(shù)/(力)=mx+lnx,g(x)=d一館力，若曲線5=/(6)與曲線沙=g(c)存在公切線，則實數(shù)m

的最大值為.

43.(2024.湖南長沙.三模)斜率為1的直線Z與曲線夕=InQ+a)和圓靖+靖=卷都相切，則實數(shù)a的值

為()

A.0或2B.-2或2C.-1或0D.0或1

44.(長沙雅禮中學月考(六))已知函數(shù)/(t)=21na;,g⑸=g2—工―若直線y=2a;—b與函

數(shù)U=/(c),y=g(x)的圖象均相切，則a的值為；若總存在直線與函數(shù)夕=/(尤)，y=g(x)圖

象均相切，則a的取值范圍是

題型八由切線條數(shù)求參數(shù)范圍

S基地如識

設(shè)切點為P{x0,%),則斜率/c=r(zo),過切點的切線方程為：y—yo—f'(xo)(x—XQ),

又因為切線方程過點A(a,b),所以b—伙,=/(0))(a—0))然后解出&)的值,有多少個解對應(yīng)有多少條切線.

45.(2022年新高考全國/卷數(shù)學真題)若曲線夕=Q+a)e?有兩條過坐標原點的切線，則a的取值范圍是

46.(2024.河南信陽.模擬預(yù)測)若過點(La)僅可作曲線夕=xe￡的兩條切線，則a的取值范圍是.

47.(2024屆廣東省六校高三第一次聯(lián)考T8)已知函數(shù)/(4)=—爐+2〃—如若過點P(l.t)可作曲線0=

f(x)的三條切線，則力的取值范圍是

48.(23-24高三?湖北武漢?階段練習)已知過點A(a,0)可以作曲線y=的兩條切線，則實數(shù)a

的取值范圍是()

A.(l,+oo)B.(—oo,-e)U(2,+oo)

C.(—oo,—2)U(2,+8)D.(—oo,—3)U(1,+8)

49.（2024屆?廣州中山大學附屬中學校考）過點（3,0）作曲線/Q）=力1的兩條切線，切點分別為

31，/31））,（力2，/（力2）），則力1+62=（）

A.—3B.—A/3C.A/3D.3

50.（2024.寧夏銀川.二模）已知點F（l,m）不在函數(shù)/（力）=x3—3mx的圖象上,且過點P僅有一條直線與

/（力）的圖象相切，則實數(shù)小的取值范圍為（）

Ad。，“：,4）B.（―8,0）U（1,+8）

C-（°'j）U（"，+8）D.U（y,+oo）

51.（2024?內(nèi)蒙古?三模）若過點（a,2）可以作曲線y=ln工的兩條切線，則a的取值范圍為（）

A.（-oo,e2）B.（-oo,ln2）C.（0,e2）D.（0,ln2）

52.已知點A在直線x—2上運動，若過點4恰有三條不同的直線與曲線g=爐—力相切，則點A的軌跡

長度為（）

A.2B.4C.6D.8

53.若曲線/（/）=且有三條過點（0,a）的切線，則實數(shù)Q的取值范圍為（）

ex

A.（0,5）B,（0,^）C.（oA）D.（0,羊

54.若過點（a,b）可以作曲線g=lnc的兩條切線，則（）

A.e6>0>aB.lna>0>&C.e6>a>0D.lna>6>0

55.（2024高三?遼寧本溪?期中）若過點（1,6）可以作曲線g=ln（x+l）的兩條切線，則（）

A.In2<fe<2B.6>ln2C.0<b<ln2D.b>l

題型九兩條切線平行、垂直、重合問題

o基礎(chǔ)知識

利用導數(shù)的幾何意義進行轉(zhuǎn)化，再利用兩直線平行或重合則斜率相等，兩直線垂直則斜率之積為一1.

???

56.(2024?河北邢臺?二模)已知函數(shù)/(%)=x2+21nx的圖像在4(電J(g)),83,/(力2))兩個不同點處的

切線相互平行，則下面等式可能成立的是()

A.xr+x2=2B.力1+/2=*C.xrx2=2D.xrx2=

OO

57.已知函數(shù),(6)=(Q—3)63+(a—2)爐+(Q—1)力+a若對任意gCR,曲線g=/(力)在點(g,/(g))

和(―3,/(—力。))處的切線互相平行或重合，則實數(shù)a=()

A.0B.1C.2D.3

i

58.(2024.遼寧.二模)已知函數(shù)%=a;2的圖象與函數(shù)％=a?(a>0且a￥l)的圖象在公共點處有相同的

切線，則a=，切線方程為.

59.(2024?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(c)=(c+a)2+Inc的圖象上存在不同的兩點A,_B,使得曲線y=

/(宓)在點處的切線都與直線2+29=0垂直,則實數(shù)a的取值范圍是()

A.(—oo,1—A/2^)B.(1—y/2,0)C.(—co,1+A/2)D,(0,1+V2^)

60.(23—24高三.遼寧.階段練習)已知函數(shù)e。)，曲線夕=/(比)上存在不同的兩點，使得曲線

在這兩點處的切線都與直線y=c平行，則實數(shù)小的取值范圍是()

A.(1—e-2,1)B.(—1—e-2,—1)C.(—e-2,0)D.(1—e-2,+oo)

61.(2024.河南.三模)已知函數(shù)/(⑼=[(①+專/口>0,點人，B在曲線"=〃⑼上(人在第一象限)，過

x3,x<0,

A,B的切線相互平行，且分別交“軸于P,Q兩點，則器的最小值為.

62.(2024.北京朝陽.一模)已知函數(shù)/(N)=/sin2力.若曲線g=/(2)在點AQ/Qi))處的切線與其在點

石(電,/(力2))處的切線相互垂直,則g—電的一個取值為.

題型十與切線有關(guān)的參數(shù)范圍或最值問題

s基礎(chǔ)如識

利用導數(shù)的幾何意義以及利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，從而求出相關(guān)式子的取值范圍.

63.(2024?全國?模擬預(yù)測)若直線y=2刀—b與曲線/(c)=e2。—2aMa>~1)相切，則b的最小值為

()

A.—eB.—2C.—1D.0???

64.（2024?重慶?模擬預(yù)測）已知直線g=aa;+b與曲線,=e工相切于點（g,e苑），若gG（―8,3）,則a+b

的取值范圍為（）

A.（-03,e]B.（-e3,e]C.（0,e）D.（0,e3]

65.（2024.廣東廣州.模擬預(yù)測）已知直線夕=kt+b恒在曲線夕=lnQ+2）的上方，則?的取值范圍是

（）

A.（1,+co）B.（~^~,+00）C.（0,+8）D.（春,+8）

66.已知直線g=岫+b與函數(shù)/⑺=-^-x2+\nx的圖象相切，則k—b的最小值為.

67.對給定的實數(shù)6,總存在兩個實數(shù)%使直線g=QN-b與曲線g=lnQ-6）相切，則b的取值范圍為

題型十一牛蟆迭代法

S基地知識

數(shù)形結(jié)合處理

68.（23-24高三.河南鄭州.期中）“以直代曲”是微積分中的重要思想方法，牛頓曾用這種思想方法求高

次方程的根.如圖，r是函數(shù)/（乃的零點，牛頓用“作切線”的方法找到了一串逐步逼近r的實數(shù)g,

XX,電，…，叫,其中必1是/⑺在￡=判處的切線與C軸交點的橫坐標，*2是/⑺在t=立1處的切線

與刀軸交點的橫坐標，…，依次類推.當|x?-r|足夠小時，就可以把彩的值作為方程/（乃=0的近似

野，g=4,則方程/（c）=0的近似解g

O

69.（2024.山東濰坊.三模）牛頓迭代法是求方程近似解的一種方法.如圖，方程f⑸=0的根就是函數(shù)

f（x）的零點r,取初始值g,/（工）的圖象在點（g,/（g））處的切線與非軸的交點的橫坐標為小f⑸的

圖象在點（X,f（X））處的切線與軸的交點的橫坐標為力一直繼續(xù)下去，得到了宓…,為，它們越來

11C2,1,2,???

越接近設(shè)函數(shù)/Q）="+bc,g=2,用牛頓迭代法得到的=[,則實數(shù)b=（）