第2講 磁場(chǎng)對(duì)運(yùn)動(dòng)電荷的作用 教案-高考物理備考復(fù)習(xí)重點(diǎn)資料歸納

第2講磁場(chǎng)對(duì)運(yùn)動(dòng)電荷的作用

［主干梳理對(duì)點(diǎn)激活］

知識(shí)點(diǎn)11洛倫茲力、洛倫茲力的方向?

洛倫茲力公式II

1.洛倫茲力的定義：國運(yùn)動(dòng)電荷在磁場(chǎng)中受到的力稱為洛倫茲力。

2.洛倫茲力的方向

(1)用左手定則判定：伸開左手，使拇指與其余四個(gè)手指畫垂直，并且都與

手掌在同一個(gè)平面內(nèi)；讓磁感線從掌心畫垂直進(jìn)入，并使四指指向畫正電荷運(yùn)

動(dòng)的方向，這時(shí)拇指所指的方向就是運(yùn)動(dòng)的畫正電荷在磁場(chǎng)中所受洛倫茲力的

方向。

(2)方向特點(diǎn)：FIB,Flu,即F垂直干畫8和v所決定的平面(注意5和。

可以有任意夾角)。

由于由始終回垂直于。的方向,故洛倫茲力永不做功。

3.洛倫茲力的大?。篎=qvBsiM其中。為電荷運(yùn)動(dòng)方向與磁場(chǎng)方向之間的

夾角。

(1)當(dāng)電荷運(yùn)動(dòng)方向與磁場(chǎng)方向垂直時(shí)，F(xiàn)=qvBo

(2)當(dāng)電荷運(yùn)動(dòng)方向與磁場(chǎng)方向平行時(shí)，F(xiàn)=05

(3)當(dāng)電荷在磁場(chǎng)中靜止時(shí)，F(xiàn)=0o

知識(shí)點(diǎn)2帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)II

1.兩種特殊運(yùn)動(dòng)

(1)若vllB,帶電粒子以入射速度v做回］勻速直線運(yùn)動(dòng)。

(2)若。18,帶電粒子在垂直于磁感線的平面內(nèi)，以入射速度。做畫勻速圓

圍運(yùn)動(dòng)。

2.基本公式

22

向心力公式：qvB-nry=m（第一。

3.導(dǎo)出公式

⑴軌道半徑：廠=肪。

2"2?！?

（2）周期：T=

v~qB

注意：八/和口的大小與軌道半徑〃和運(yùn)行速率。無關(guān)，只與磁場(chǎng)的畫磁

感應(yīng)強(qiáng)度8和粒子的畫比荷，有關(guān)。比荷北相同的帶電粒子，在同樣的勻強(qiáng)磁場(chǎng)

中八?相同。

1雙基瓶

一堵點(diǎn)疏通

1.帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，一定會(huì)受到磁場(chǎng)力的作用。（）

2.洛倫茲力的方向垂直于B和。決定的平面，洛倫茲力對(duì)帶電粒子永遠(yuǎn)不

做功。（）

3.根據(jù)公式r=呼，可知帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)周期7與。成反比。

（）

4.用左手定則判斷洛倫茲力方向時(shí)，四指指向電荷的運(yùn)動(dòng)方向。（）

5.帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)的軌道半徑與粒子的比荷成正比。（）

6.當(dāng)帶電粒子進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)時(shí)，若。與B夾角為銳角，帶電粒子的軌跡為

螺旋線。（）

答案1.X2.V3.X4.X5.X67

二對(duì)點(diǎn)激活

1.（人教版選擇性必修第二冊(cè)EoG改編）下列各圖中，運(yùn)動(dòng)電荷的速度方向、

磁感應(yīng)強(qiáng)度方向和電荷的受力方向之間的關(guān)系正確的是（）

I)

答案B

解析由左手定則知A中力”的方向應(yīng)豎直向上，B中力廠的方向應(yīng)豎直向

下，C、D中速度。與餓感應(yīng)強(qiáng)度。平行，不受洛倫茲力，故B正確，A、C、D

錯(cuò)誤。

2.（人教版選擇性必修第二冊(cè)科"3改編）如圖所示，一束質(zhì)量、速度和電荷量

不全相等的離子，經(jīng)過由正交的勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)組成的速度選擇器后，進(jìn)入

另一個(gè)勻強(qiáng)磁場(chǎng)中并分裂為A、B兩束，下列說法正確的是（）

A.組成A束和B束的離子都帶負(fù)電

B.組成A束和B束的離子質(zhì)量一定不同

C.A束離子的比荷大于B束離子的比荷

D.速度選擇器中的磁場(chǎng)方向垂直于紙面向外

答案C

解析由左手定則結(jié)合帶電粒子在磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)的方向知，A、B束離子均帶

正電，故A錯(cuò)誤。A、B束離子的速度相同，而A束離子在磁場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)半徑較

nw

小，由，.二而知A束離子的比荷大于B束離子的匕荷，而它們的電荷量關(guān)系未知,

則無法判斷離子質(zhì)量關(guān)系，故B錯(cuò)誤，C正確。速度選擇器中A、B束離子所受

靜電力向右，所以所受洛倫茲力應(yīng)向左，結(jié)合左手定則可判斷磁場(chǎng)方向應(yīng)垂直于

紙面向里，故D錯(cuò)誤。

「考點(diǎn)細(xì)研悟法培優(yōu)

LJ

深化

考點(diǎn)1洛倫茲力的特點(diǎn)及應(yīng)用理理解

1.洛倫茲力的特點(diǎn)

⑴洛倫茲力的方向總是垂直于運(yùn)動(dòng)電荷的速度方向和磁場(chǎng)方向共同確定的

平面，所以洛倫茲力只改變速度的方向，不改變速度的大小，即洛倫茲力永不做

功。

(2)當(dāng)電荷運(yùn)動(dòng)方向發(fā)生變化時(shí)，洛倫茲力的方向也隨之變化。

(3)用左手定則判斷負(fù)電荷在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)所受的洛倫茲力的方向時(shí)，要注意使

四指指向電荷運(yùn)動(dòng)的反方向。

2.洛倫茲力與靜電力的比較

對(duì)應(yīng)力內(nèi)容項(xiàng)目洛倫茲力靜電力

產(chǎn)生條件v^O且v不與B平行電荷處在靜電場(chǎng)中

大小F=qvB(v]_B)F=qE

正電荷受力與電場(chǎng)強(qiáng)受方

一定是"LB,Flvf且與

力方向與場(chǎng)方向的關(guān)系向相同，負(fù)電荷受力與電

電荷電性有關(guān)

場(chǎng)強(qiáng)度方向相反

可能做正功、負(fù)功，也可

做功情況任何情況下都不做功

能不做功

力為零時(shí)場(chǎng)的情況F為零,B不一定為零F為零,七一定為零

既可以改變電荷運(yùn)動(dòng)速度

只改變電荷運(yùn)動(dòng)的速度方

作用效果的大小，也可以改變電荷

向，不改變速度大小

運(yùn)動(dòng)的方向

例1如圖所示，在豎直平面內(nèi)放一個(gè)光滑絕緣的半圓形軌道，水平方向的

勻強(qiáng)磁場(chǎng)與半圓形軌道所在的平面垂直。一個(gè)帶負(fù)電荷的小滑塊由靜止開始從半

圓形軌道的最高點(diǎn)M滑下到最右端的過程中，下列說法中正確的是()

A.滑塊經(jīng)過最低點(diǎn)時(shí)的速度比磁場(chǎng)不存在時(shí)大

B.滑塊經(jīng)過最低點(diǎn)時(shí)的加速度比磁場(chǎng)不存在時(shí)小

C.滑塊經(jīng)過最低點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力比磁場(chǎng)不存在時(shí)小

D.滑塊從M點(diǎn)到最低點(diǎn)所用時(shí)間與磁場(chǎng)不存在時(shí)相等

解題探究

嗎？

提示：因?yàn)槁鍌惼澚Σ蛔龉Γ杂袩o磁場(chǎng)對(duì)滑塊經(jīng)過最低點(diǎn)時(shí)的速度大小

無影響。

(2)運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)滑塊所受洛倫茲力方向如何？

提示：豎直向下。

嘗試解答選D。

由于洛倫茲力不做功，故與磁場(chǎng)不存在時(shí)相比，滑塊經(jīng)過最低點(diǎn)時(shí)的速度不

2

變，A錯(cuò)誤；滑塊經(jīng)過最低點(diǎn)時(shí)的加速度a",則與磁場(chǎng)不存在時(shí)相比，滑塊

經(jīng)過最低點(diǎn)時(shí)的加速度不變，B錯(cuò)誤；由左手定則可知，滑塊經(jīng)過最低點(diǎn)時(shí)受到

的洛倫茲力向下，而與滋場(chǎng)不存在時(shí)相比，滑塊經(jīng)過最低點(diǎn)時(shí)所受的向心力不變，

故對(duì)軌道的壓力變大，C錯(cuò)誤；由于洛倫茲力方向始終與運(yùn)動(dòng)方向垂直，在任意

一點(diǎn)，滑塊經(jīng)過時(shí)的速度與磁場(chǎng)不存在時(shí)相比均不變，則滑塊從M點(diǎn)到最低點(diǎn)所

用時(shí)間磁場(chǎng)不存在時(shí)相等，D正確。

0七

洛倫茲力與安培力的聯(lián)系及區(qū)別

⑴安培力是洛倫茲力的宏觀表現(xiàn)，二者是相同性質(zhì)的力，都是磁場(chǎng)力。

(2)安培力可以做功，而洛倫茲力對(duì)運(yùn)動(dòng)電荷不做功。

［變式H(多選)如圖所示，兩個(gè)傾角分別為30。和60。的足夠長光滑絕緣斜

面固定于水平地面上，并處于方向垂直紙面向里、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，

兩個(gè)質(zhì)量為〃八電荷量為十^7的小滑塊甲和乙分別從兩個(gè)斜面頂端由靜止釋放,

運(yùn)動(dòng)一段時(shí)間后，兩小滑塊都將飛離斜面，在此過程中(

A.甲滑塊飛離斜面瞬間的速度比乙滑塊飛離斜面瞬間的速度大

B.甲滑塊在斜面上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間比乙滑塊在斜面上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間短

C.兩滑塊在斜面上運(yùn)動(dòng)的位移大小相同

D.兩滑塊在斜面上運(yùn)動(dòng)的過程中，重力的平均功率相等

答案AD

解析小滑塊飛離斜面時(shí)，洛倫茲力與重力垂直斜面的分力平衡，故mgcosO

=qvmB,解得Um二qB,所以斜面傾角越小，飛離斜面瞬間的速度越大，故甲

滑塊飛離時(shí)速度較大，故A正確；滑塊在斜面上運(yùn)動(dòng)的加速度恒定不變，由受力

分析和牛頓第二定律可得加速度。=gsinO,所以甲的加速度小于乙的加速度，因

為甲飛離時(shí)的速度大于乙飛離時(shí)的速度，由=S得，甲在斜面上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間大

Vm

于乙在斜面上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，故B錯(cuò)誤；由以上分析和工二五可知，甲在斜面上運(yùn)

動(dòng)的位移大于乙在斜面上運(yùn)動(dòng)的位移，故C錯(cuò)誤；由平均功率的公式得，滑塊在

斜面上運(yùn)動(dòng)的過程中，重力的平均功率「二/。-sinO=〃吆與in。二粗旦^篙姆，

因sin3()o=cos6()。，sin60°=cos30°,故兩滑塊在斜面上運(yùn)動(dòng)時(shí)重力的平均功率相

等，故D正確.

MS

技巧

1.帶電粒子在勻強(qiáng)破場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的解題思路

(1)圓心的確定

①基本思路：與速度方向垂直的直線和軌跡圓中弦的中垂線一定過圓心。

②兩種常見情形

情形一：已知入射方向和出射方向時(shí)，可通過入射點(diǎn)和出射點(diǎn)分別作垂直于

入射方向和出射方向的直線，兩條直線的交點(diǎn)就是圓弧軌道的圓心（如圖a所示，

圖中。為入射點(diǎn)，何為出射點(diǎn)）。

情形二：已知入射方向和出射點(diǎn)的位置時(shí)，可以先通過入射點(diǎn)作入射方向的

垂線，再連接入射點(diǎn)和出射點(diǎn)，作其中垂線，這兩條垂線的交點(diǎn)就是圓弧軌道的

圓心（如圖b所示，圖中P為入射點(diǎn)，M為出射點(diǎn)）。

（2）半徑的確定和計(jì)算

利用幾何知識(shí)求出該圓的可能半徑（或圓心角），并注意以下兩個(gè)重要的幾何

特點(diǎn)：

①粒子速度的偏向角（P等于圓心角?,并等于AB弦與切線的夾角（弦切角3）

的2倍（如圖所示），S\］（p=a=20=cotG

②相對(duì)的弦切角夕相等，與相鄰的弦切角力互補(bǔ)，即。+?！?180%

（3）運(yùn)動(dòng)時(shí)間的確定

①由偏轉(zhuǎn)角度計(jì)算：粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)一周的時(shí)間為T,當(dāng)粒子運(yùn)動(dòng)的圓弧

軌跡所對(duì)應(yīng)的圓心角為a時(shí)，其運(yùn)動(dòng)時(shí)間由下式表示:

a

~360°

②由運(yùn)動(dòng)弧長計(jì)算：

2.帶電粒子在不同邊界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律

有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)是指只在局部空間存在著勻強(qiáng)磁場(chǎng)，帶電粒子從磁場(chǎng)區(qū)域外垂

直磁場(chǎng)方向射入磁場(chǎng)，在磁場(chǎng)區(qū)域內(nèi)做一段勻速圓周運(yùn)動(dòng)，也就是通過一段圓弧

軌跡，然后離開磁場(chǎng)區(qū)域。帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的圓弧軌跡取決于粒子進(jìn)入磁

場(chǎng)的速度大小、方向和磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度及磁場(chǎng)的區(qū)域邊界。常見磁場(chǎng)區(qū)域邊界

可分為如下幾種情形：

情形一：直線邊界

直線邊界磁場(chǎng)又分單邊直線邊界和雙邊平行直線邊界。單邊直線邊界如圖甲、

乙、丙所示，粒子進(jìn)出磁場(chǎng)具有對(duì)稱性；雙邊平行直線邊界如圖丁、戊所示，粒

子進(jìn)出磁場(chǎng)存在臨界條件。

解決這類問題的“三部曲”：畫軌跡、找圓心、定半徑。

如果粒干從同一直線邊界射入和射出，那么粒干講入磁場(chǎng)時(shí)速度與邊界的夾

角和射出磁場(chǎng)時(shí)速度與邊界的夾角相等。

情形二：矩形邊界

矩形邊界磁場(chǎng)是指分布在矩形范圍內(nèi)的有界磁場(chǎng)，帶電粒子的軌跡只是一部

分圓弧。垂直于某邊射入，從某一頂點(diǎn)射出是常見的臨界情況。

解決該類問題的關(guān)鍵是把握臨界情況，如圖所示。常見的有如下幾種情況:（設(shè)

粒子從ad邊中點(diǎn)“垂亙射入）

(1)兩個(gè)臨界半徑

①從d點(diǎn)射出：力二竽。

2

②從c點(diǎn)射出：*二1一芋)+加。

(2)三種情況

①廠《內(nèi)，粒子從〃段射出。

②ri<rWr2,粒子從cd段射出。

③，>2粒子從C/段射出(不會(huì)到達(dá)/點(diǎn))。

情形三：圓形邊界

圓形邊界磁場(chǎng)是指分布在圓形區(qū)域內(nèi)的有界磁場(chǎng)，帶電粒子在圓形邊界的勻

強(qiáng)磁場(chǎng)中的軌跡也是一段不完整的圓弧。由于此類問題涉及兩個(gè)圓：粒子運(yùn)動(dòng)軌

跡的圓與磁場(chǎng)區(qū)域的圓，能很好地考查學(xué)生的綜合分析能力，所以是近年來高考

的熱點(diǎn)。

帶電粒子在圓形邊界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的四個(gè)結(jié)論：

(1)徑向進(jìn)出：當(dāng)粒子運(yùn)動(dòng)方向與磁場(chǎng)方向垂直時(shí)，沿圓形磁場(chǎng)半徑方向射入

的帶電粒子，必沿徑向射出圓形磁場(chǎng)區(qū)域，即粒子出射速度的反向延長線必過磁

場(chǎng)圓的圓心，如圖1所示。

(2)等角進(jìn)出：入射速度方向與過入射點(diǎn)的磁場(chǎng)圓半徑的夾角等于出射速度方

向與過出射點(diǎn)的磁場(chǎng)圓半徑的夾角，如圖2所示。徑向進(jìn)出是等角進(jìn)出的一種特

殊情況(。=0。)。

(3)點(diǎn)入平出：若帶電粒子從圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域圓周上一點(diǎn)沿垂直于磁場(chǎng)方向

進(jìn)入磁場(chǎng)，當(dāng)帶電粕子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑與圓形磁場(chǎng)區(qū)域的半徑相同時(shí)，所有帶

電粒子都以平行于磁場(chǎng)區(qū)域圓周上入射點(diǎn)處的切線方向射出磁場(chǎng)，如圖3所示。

(4)平入點(diǎn)出：若帶電粒子以相互平行的速度射入磁場(chǎng)，且?guī)щ娏Ｗ釉诖艌?chǎng)中

做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑和圓形磁場(chǎng)區(qū)域半徑相同，則這些帶電粒子將會(huì)從磁場(chǎng)區(qū)域圓

周上同一點(diǎn)射出，且磁場(chǎng)區(qū)域圓周上該點(diǎn)的切線與帶電粒子射入磁場(chǎng)時(shí)的速度方

向平行，如圖4所示。

情形四：四分之一平面邊界

四分之一平面邊界磁場(chǎng)是指分布在平面直角坐標(biāo)系中某一象限范圍的有界磁

場(chǎng)，帶電粒子的軌跡只是一部分圓弧，粒子軌跡與坐標(biāo)軸相切或垂直是常見的臨

界情況。

解決該類問題的關(guān)鍵是明確粒子射入(射出)磁場(chǎng)的位置坐標(biāo)，及速度方向與

坐標(biāo)軸的夾角關(guān)系，然后分析粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡、圓心，尋找?guī)缀侮P(guān)系求解

問題。

情形五：三角形邊界

三角形邊界磁場(chǎng)是指分布在三角形區(qū)域內(nèi)的有界磁場(chǎng)，粒子的軌跡也是一段

圓弧，由于三角形有等邊三角形、等腰三角形、直角三角形等不同類型，所以會(huì)

有不同的臨界情景。

解答該類問題主要把握以下兩點(diǎn)：

(1)射入磁場(chǎng)的方式

①從某頂點(diǎn)射入。

②從某條邊上某點(diǎn)(如中點(diǎn))垂直(或成某一角度)射入。

(2)射出點(diǎn)的判斷

其臨界條件是判斷軌跡可能與哪條邊相切，進(jìn)而判定出射點(diǎn)的可能位置。

例2(2020?遼寧省錦州市一模)如圖所示，在豎直線EO/右側(cè)足夠大的區(qū)域

內(nèi)存在著磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為8、方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。質(zhì)量相同、電荷

量分別為+4和-q的帶電粒子，從。點(diǎn)以相同的速度先后射入磁場(chǎng)，已知。的

方向與。尸成9=30。角，兩帶電粒子在磁場(chǎng)中僅受洛倫茲力作用，則下列說法中

不正確的是()

A.兩帶電粒子回到E。/豎直線時(shí)與。點(diǎn)的距離相等

B.兩帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間相等

C.兩帶電粒子回到EO/豎直線時(shí)的速度相同

D.從射入磁場(chǎng)到射出磁場(chǎng)的過程中，兩粒子所受洛倫茲力的沖量相同

。1解題探究I(1)如何判斷正、負(fù)粒子回到石。尸豎直線時(shí)的速度是否相同？

提示：畫出兩個(gè)粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，粒子以與直線邊界多大角度射入，就以多

大角度射出。

(2)洛倫茲力屬于變力，如何求它的沖量？

提示：依據(jù)動(dòng)量定理求。

嘗試解答選B。

兩帶電粒子以與。產(chǎn)成夕二30。角的速度。射入有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)后，由左手定則

可判斷，正粒子沿逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)，負(fù)粒子沿順時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)，它們的軌跡如圖

V2

所示，因正、負(fù)粒子所帶電荷量的絕對(duì)值和質(zhì)量都相同，由桃歸二〃可知，它們

在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑相同，由幾何關(guān)系知，負(fù)粒子在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)過

的角度為2氏正粒子在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)過的角度3=271-2/則兩段圓弧所對(duì)應(yīng)的弦長

度相等，即帶電粒子回到￡。/豎直線時(shí)與。點(diǎn)的距離相等，A正確；帶電粒子

在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期7=乎二篝，則正、負(fù)粒子的周期相同，但是軌跡

圓弧所對(duì)的圓心角不同，因此兩帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間不相等，B錯(cuò)誤;

因洛倫茲力不改變速度的大小，結(jié)合幾何關(guān)系分析知，兩帶電粒子回到￡0/豎直

線時(shí)的速度相同，C正確；兩帶電粒子在磁場(chǎng)中僅受洛倫茲力作用，由動(dòng)量定理

得/洛=P-P。，由于兩帶電粒子以相同的初速度射入磁場(chǎng)，初動(dòng)量外相等，離開

磁場(chǎng)時(shí)速度大小相等、方向相同，末動(dòng)量〃相等，因此兩帶電粒子所受洛倫茲力

的沖量相同，D正確。本題選說法不正確的，故選B。

總｝結(jié)｝升｝華

I.帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的分析方法

一"?畫軌跡

■①找?guī)缀侮P(guān)系.求軌道半徑

②軌道半徑與磁感應(yīng)強(qiáng)度、運(yùn)動(dòng)速度相聯(lián)系

小學(xué))一③偏轉(zhuǎn)角度與圓心角、運(yùn)動(dòng)時(shí)間相聯(lián)系

④粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間與周期相聯(lián)系

乙消二、一即運(yùn)用牛頓第二定律和圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律.或

竺/一直接應(yīng)用丸道半徑公式與周期公式

2.作帶電粒子運(yùn)動(dòng)軌跡時(shí)需注意的問題

(1)四個(gè)點(diǎn)：分別是入射點(diǎn)、出射點(diǎn)、軌跡圓心和入射速度直線與出射速度直

線的交點(diǎn)。

(2)六條線：圓弧兩端點(diǎn)所在的軌道半徑，入射速度所在直線和出射速度所在

直線，入射點(diǎn)與出射點(diǎn)的連線，圓心與兩條速度所在直線交點(diǎn)的連線。前面四條

線構(gòu)成一個(gè)四邊形，后面兩條線為這個(gè)四邊形的對(duì)角線。

(3)三個(gè)角：速度偏轉(zhuǎn)角、圓心角、弦切角，其中偏轉(zhuǎn)角等于圓心角，也等于

弦切角的兩倍。

[變式2](2020.河北省衡水中學(xué)4月教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè))(多選)如圖所示，在半徑

為R的圓形區(qū)域內(nèi)充滿磁感應(yīng)強(qiáng)度為3的勻強(qiáng)磁場(chǎng),MN是一豎直放置的感光板。

從圓形磁場(chǎng)最高點(diǎn)夕垂直磁場(chǎng)正對(duì)著圓心O射入帶正電的粒子，旦粒子所帶電荷

量為外質(zhì)量為〃7,不考慮粒子重力，關(guān)于粒子的運(yùn)動(dòng)，以下說法正確的是（）

/維、

/XXXX'

XBXjXx

\XXXX/

Kxx.y

A.粒子在磁場(chǎng)中通過的弧長越長，運(yùn)動(dòng)時(shí)間也越長

B.出磁場(chǎng)的粒子其出射方向的反向延長線也一定過圓心。

C.出磁場(chǎng)的粒子一定能垂直打在MN上

D.只要速度滿足。二呼，入射的粒子出射后一定垂直打在MN上

答案BD

解析由廣二麗，匕吃二：,知粒子在磁場(chǎng)中通過的弧長s二砂二石arctan肅,

運(yùn)動(dòng)的時(shí)間1=2二言?arctan鬻，則。越大，s不一定越大，但時(shí)間越短，故A

Ufit-1/

錯(cuò)誤；帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡是圓弧，根據(jù)幾何知識(shí)可知，對(duì)著圓心入射的粒子，

其出射方向的反向延長線也一定過圓心，故B正璃；速度不同，粒子的軌道半徑

不同，則對(duì)著圓心入射的粒子，沿不同的半徑方向射出磁場(chǎng)，即出射后不一定垂

直打在MN上，故C錯(cuò)誤；速度滿足。二等時(shí)，粒子的軌道半徑為，?二,二R,

入射點(diǎn)、出射點(diǎn)、。點(diǎn)與軌跡的圓心構(gòu)成正方形，粒子出射后一定垂直打在MN

板上，故D正確。

解題

考點(diǎn)3帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的多解問題1技巧

1.帶電粒子電性不確定形成多解

受洛倫茲力作用的帶電粒子，可能帶正電，也可能帶負(fù)電，在相同的初速度

條件下，正、負(fù)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡不同，形成多解。

如圖甲，帶電粒子以速度。垂直進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)，如帶正電，其軌跡為％如

帶負(fù)電，其軌跡為從

2.磁場(chǎng)方向不確定形成多解

有些題目只告訴了磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小，而未具體指出磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向，此

時(shí)由于磁感應(yīng)強(qiáng)度方向不確定形成多解。

如圖乙，帶正電粒子以速度。垂直進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)，如8垂直紙面向里，其軌

跡為〃，如3垂直紙面向外，其軌跡為兒

3.速度不確定形成多解

有些題目只指明了帶電粒子的電性，但未具體指出速度的大小或方向，此時(shí)

必須要考慮由于速度的不確定而形成的多解。常有兩種情形：（1）入射速度方向一

定，大小不同；Q）入射速率一定，方向不同。

如圖丙所示，帶電粒子在洛倫茲力作用下飛越有界磁場(chǎng)時(shí)，由于粒子速度大

小不確定，因此，它可能穿過下邊界，也可能轉(zhuǎn)過180。反向飛出，于是形成了多

解。

4.運(yùn)動(dòng)的周期性形成多解

帶電粒子在電場(chǎng)和磁場(chǎng)的組合場(chǎng)空間運(yùn)動(dòng)時(shí)，若運(yùn)動(dòng)具有周期性，則存在多

解。如圖丁所示。

例3（202（）■河北省石家莊市二模）如圖所示,邊長為L的等邊三角形A3C內(nèi)、

外分布著兩方向相反的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，三角形內(nèi)磁場(chǎng)方向垂直紙面向外，兩磁場(chǎng)的磁

感應(yīng)強(qiáng)度大小均為凡頂點(diǎn)A處有一粒子源，粒子源能沿NBAC的角平分線發(fā)射

不同速率的粒子，粒子質(zhì)量均為〃?、電荷量均為+/不計(jì)粒子重力及粒子間的相

互作用力，則發(fā)射速度。。為哪一值時(shí)粒子能通過B點(diǎn)()

3

11(1)粒子要想通過8點(diǎn)，必須偏轉(zhuǎn)一次過8點(diǎn)嗎?

提示：不是，有多解。

(2)如何確定軌道半徑？

提示：依據(jù)直線邊界磁場(chǎng)的結(jié)論畫出粒子可能的軌跡，得到〃=%〃=

1,2,3,…)。

嘗試解答選D。

粒子帶正電，且經(jīng)過8點(diǎn)，其可能的軌跡如圖所示。

所有圓弧所對(duì)圓心角均為60。，所以粒子運(yùn)動(dòng)半徑，?=§(〃=123,…)，粒子

在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律得。8=午，解得

加二誓二鬻5=123,…)，由此可知，A、B、C錯(cuò)誤，D正確。

求解帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)多解問題的技巧

⑴分析題目特點(diǎn)，確定題目多解性形成的原因。

⑵作出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡示意圖（全面考慮多種可能性）。

（3）若為周期性的多解問題，尋找通項(xiàng)式；若是出現(xiàn)幾種周期性解的可能性,

注意每種解出現(xiàn)的條件。

［變式3-1］（多選）長為/的水平極板間有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，如圖所

示。磁感應(yīng)強(qiáng)度為伉板間距離為/,極板不帶電。現(xiàn)有質(zhì)量為用、電荷量為q的

帶正電粒子（不計(jì)重力）：從左邊極板間中點(diǎn)處垂直磁感線以速度。水平射入磁場(chǎng)，

欲使粒子不打在極板上，可采用的辦法是（）

A,使粒子的速度”駕

B.使粒子的速度需

C.使粒子的速度心等

D.使粒子的速度鬻（嘿

答案AB

解析如圖所示，若帶電粒子剛好打在極板右邊緣，有川=（門-52+匕又

因?yàn)殚T=蜀，解得初二器；若粒子剛好打在極板左邊緣，有底=:二蜀，解

得02二黑。欲使粒子不打在極板上，應(yīng)使?；?。,當(dāng)￥，故A、B正確，C、

D錯(cuò)誤。

［變式3-2］如圖甲所示，M、N為豎直放置且彼此平行的兩塊平板，板間

距離為“，兩板中央各有一個(gè)小孔。、O'且正對(duì)，在兩板間有垂直于紙面方向的

勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時(shí)間的變化如圖乙所示（垂直于紙面向里的磁場(chǎng)方向?yàn)檎?/p>

方向）。有一群正離子在=0時(shí)垂直于M板從小孔0射入磁場(chǎng)，已知正離子質(zhì)量

為加，電荷量為夕，正離子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期與磁感應(yīng)強(qiáng)度變化的

周期都為To,不考慮由于磁場(chǎng)變化而產(chǎn)生的電場(chǎng)的影響，不計(jì)離子所受重力。求:

（1）磁感應(yīng)強(qiáng)度H）的大小;

⑵若正離子從0'孔垂直于N板射出磁場(chǎng)所用的時(shí)間最短，請(qǐng)畫出其運(yùn)動(dòng)軌

跡并求出該最短時(shí)間;

⑶要使正離子從0'孔垂直于N板射出磁場(chǎng)，正離子射入磁場(chǎng)時(shí)的速度。o

的可能值。

答案。爆QI軌跡圖見解析To

(3)〃二1,2,3,…)

解析（1）設(shè)離子的軌道半徑為R,由洛倫茲力提供向心力有:

mva

Boqvo=w

做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期丁。二誓

由以上兩式得：剛二簫。

⑵軌跡如下圖,

最短時(shí)間/min=7bo

⑶要使正離子從0'孔垂直于N板射出磁場(chǎng)，正離子在兩板之間只運(yùn)動(dòng)一個(gè)

周期即仆時(shí)，R=M。

當(dāng)正離子在兩板之間運(yùn)動(dòng)〃個(gè)周期，即〃小時(shí)，R=-^(n=\,2,3,…)

，加

又B卯0二次

聯(lián)立得正離子的速度的可能值為0。二誓二券(〃二1,2,3,…)。

啟智微專題建模提能4巧用動(dòng)態(tài)圓解磁場(chǎng)中的臨界、極

值問題

1.模型構(gòu)建

此類模型較為復(fù)雜，常見的磁場(chǎng)邊界有單直線邊界、雙直線邊界、矩形邊界

和圓形邊界等。因?yàn)槭怯薪绱艌?chǎng)，則帶電粒子運(yùn)動(dòng)的完整圓周往往會(huì)被破壞，可

能存在最大、最小面積，最長、最短時(shí)間等問題。

2.模型條件

(1)在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。

(2)磁場(chǎng)有一定范圍。

3.模型分類

(一)動(dòng)態(tài)放縮法

粒子源發(fā)射速度方向一定、大小不同的帶電粒

速度方向一定、大小不

子進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)時(shí)，這些帶電粒子在磁場(chǎng)中做

同

勻速圓冏運(yùn)動(dòng)的軌道半往與粒子速度大小有關(guān)

適用

如圖所示(圖中只國出粒子帶正電的情景)，速度

條件

。越大，運(yùn)動(dòng)半徑也越大?？梢园l(fā)現(xiàn)這些帶電粒

軌跡圓圓心共線

子射入磁場(chǎng)后，它們運(yùn)動(dòng)軌跡的圓心在垂直初

速度方向的直線PP'上

XXXXXX

P9

XXS.XX

X/xX

4(0^

XX\xX'-.JOX

XXXX*XX

界定

以入射點(diǎn)P為定點(diǎn)，圓心位于尸尸直線上，將半徑放縮作軌跡圓，從而

方法

探索出臨界條件，這種方法稱為“放縮圓”法

【典題例證1]

如圖所示，正方形區(qū)域。從力內(nèi)（含邊界）有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，曲二/,

0。=0.4/,大量帶正電的粒子從O點(diǎn)沿與ah邊成37。的方向以不同的初速度uo

射入磁場(chǎng)，不計(jì)粒子重力和粒子間的相互作用，已知帶電粒子的質(zhì)量為加，電荷

量為夕,磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為&sin370=0.6,cos370=0.8o

⑴求帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長時(shí)間；

⑵若帶電粒子從〃邊離開磁場(chǎng)，求。o的取值范圍。

[解析1（1）粒子從而邊離開磁場(chǎng)時(shí)，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長，如圖1所示,

有qBv（）=又

2TIR

又丁二

V0

-2?！?

解何廠訪

360°-0

又由幾何關(guān)系得0=74。,則粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長時(shí)間t=36QOT=

143?！?

9()qB°

(2)當(dāng)粒子軌跡與面邊相切時(shí)，如圖2所示，設(shè)此時(shí)初速度為。(H,軌道半徑

為Ri,由幾何關(guān)系可得

/?i+/?isin37°=0.4/

mvi\

又qBvoi=市一

qBl

解得Vo\=4〃z

當(dāng)粒子運(yùn)動(dòng)軌跡與〃邊相切時(shí)，如圖3所示，設(shè)此時(shí)初速度為如2,軌道半

徑為R2,由幾何關(guān)系可得R2+R2cos37。=/

〃就2

又qBvs=在

解得g2=嗯^

綜上可得符如W器。

小143?！ǎ俊?、

［2答案4I⑴畸(2)q4B〃l/OOW就5qBl

。名師點(diǎn)睛帶電粒子在矩形有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的臨界問題

帶電粒子在矩形有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)：

(1)若粒子射入的初速度方向和矩形磁場(chǎng)某邊界垂直，如圖甲所示。

①當(dāng)粒子速度較小時(shí)，粒子將在磁場(chǎng)中做半個(gè)圓周運(yùn)動(dòng)后從原邊界射出磁場(chǎng)

區(qū)域；

②當(dāng)粒子速度在某一范圍內(nèi)時(shí)，粒子將在磁場(chǎng)中做部分圓周運(yùn)動(dòng)后從側(cè)面邊

界飛出磁場(chǎng)；

③當(dāng)粒子速度較大時(shí)，粒子將在磁場(chǎng)中做部分圓周運(yùn)動(dòng)后從對(duì)面邊界飛出磁

場(chǎng)。

(2)若粒子射入的初速度方向和矩形磁場(chǎng)某邊界成一夾角，如圖乙所示。

①當(dāng)粒子速度較小時(shí)，粒子將在磁場(chǎng)中做部分圓周運(yùn)動(dòng)后從原邊界飛出磁場(chǎng);

②當(dāng)粒子速度在某一范圍內(nèi)時(shí)，粒子將在磁場(chǎng)中做部分圓周運(yùn)動(dòng)后從上側(cè)面

邊界飛出磁場(chǎng)；

③當(dāng)粒子速度較大時(shí)，粒子將在磁場(chǎng)中做部分圓周運(yùn)動(dòng)后從右側(cè)面邊界飛出

磁場(chǎng)；

④當(dāng)粒子速度更大時(shí)，粒子將在磁場(chǎng)中做部分圓周運(yùn)動(dòng)后從下側(cè)面邊界飛出

磁場(chǎng)。

綜合以上分析可知，求解帶電粒子在矩形有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域運(yùn)動(dòng)的時(shí)間范圍、

速度范圍等的問題時(shí)，尋找“相切或相交”的臨界點(diǎn)是解決問題的關(guān)鍵；另外可

知在磁場(chǎng)邊界上還有粒子不能達(dá)到的區(qū)域即“盲區(qū)”。

(二)定圓旋轉(zhuǎn)法

粒子源發(fā)射速度大小一定、方向不同的帶電粒

子進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)時(shí)，它們?cè)诖艌?chǎng)中做勻速圓周

運(yùn)動(dòng)的半徑相同，若射入初速度大小為內(nèi)，則

圓周運(yùn)動(dòng)半徑為r=鬻，如圖所示

速度大小一定，方向不

同

適用XXXXX①X

條件

:③

,..........-i'Q/

帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心在以

軌跡圓圓心共圓

入射點(diǎn)。為圓心、半徑一二翳的圓上

界定

將半徑為r=的軌跡圓以入射點(diǎn)為圓心進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，從而探索粒子的臨

方法

界條件，這種方法稱為“旋轉(zhuǎn)圓”法

【典題例證2】

(202()?山西省呂梁市一模)(多選)如圖所示，在熒屏MN上方分布了水平方向

的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，方向垂直紙面向里。距離熒屏d處有一粒子源S,能夠在紙面內(nèi)不

斷地向各個(gè)方向同時(shí)發(fā)射速度為外電荷量為外質(zhì)量為〃，的帶正電粒子，不計(jì)

粒子的重力，已知粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑也恰好為4貝IJ()

A.粒了能打到熒屏"N上的區(qū)域K度為2，5d

B.能打到熒屏MN上最左側(cè)的粒子所用的時(shí)間為邛

C.粒子從發(fā)射到打到熒屏MN上的最長時(shí)間為當(dāng)

D.同一時(shí)刻發(fā)射的粒子打到熒屏MN上的最大時(shí)間差為需

［解析］打在熒屏"N上的粒子軌跡的臨界狀態(tài)如圖1所示，根據(jù)幾何關(guān)系

知，帶電粒子能打到熒屏MN上的區(qū)域長度為：1==R+小R=(1+,)R=(1

+5)d,故A錯(cuò)誤；由運(yùn)動(dòng)軌跡圖可知，能打到熒屏MN上最左側(cè)的粒子偏轉(zhuǎn)了

半個(gè)周期，故所用時(shí)間為：r=又T碧,解得：，二耳，故B正確；在磁場(chǎng)

中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(優(yōu)弧1)和最短(劣弧2)的粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖2所示，粒子做完

整圓周運(yùn)動(dòng)的周期T二邛，由幾何關(guān)系可知，最長時(shí)間：九=土T=啜，最短時(shí)間：

尬二卷7二瑞，根據(jù)題意得同一時(shí)刻發(fā)射的粒子打到熒屏MN上的最大時(shí)間差：2

=/i-/2=^7,故C錯(cuò)誤，D正確。

圖1圖2

［答案］BD

。名師點(diǎn)睛（1）解決帶電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的臨界問題,關(guān)鍵在于運(yùn)用

動(dòng)態(tài)思維，尋找臨界點(diǎn)，確定臨界狀態(tài)，根據(jù)粒子的速度方向，找出半徑方向，

同時(shí)由磁場(chǎng)邊界和題設(shè)條件畫好軌跡，定好圓心，建立幾何關(guān)系。粒子射出或不

射出磁場(chǎng)的臨界狀態(tài)是粒子運(yùn)動(dòng)軌跡與磁場(chǎng)邊界相切。

（2）要重視分析時(shí)的尺規(guī)作圖，規(guī)范而準(zhǔn)確的作圖可突出幾何關(guān)系，使抽象的

物理問題更形象、直觀。

（三）平移圓法

粒子源發(fā)射速度大小、方向一定，入射

點(diǎn)不同但在同一直線上的帶電粒子，它

們進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)時(shí)，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的

速度大小一定：方向一定，但半徑相同，若入射速度大小為。。，則運(yùn)

適用入射點(diǎn)在同一直線上tnvo

動(dòng)半徑r=I萬，如圖所示

條件

XXXXXXX

帶電粒N在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓

軌跡圓圓心共線

心在同一直線

界定將半徑為一二簿的圓進(jìn)行平移，從而探索粒子的臨界條件，這種方法叫

方法

“平移圓”法

【典題例證3】

（2020?山西太原五中高三二模）（多選）如圖所示，在直角三角形A8C內(nèi)充滿垂

直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)（圖中未畫出），A3邊長度為"，ZB=^O現(xiàn)垂直A8邊射

入一束質(zhì)量均為〃?、電荷量均為外速度大小均為。的帶正電粒子。已知垂直AC

邊射出的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ro,而運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長的粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)

4

時(shí)間為下。（不計(jì)重力），則下列說法中正確的是（）

A.粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為41。

Tim

B.該勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為礪

2

C.粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為

D.粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度大小為黑

［解析］根據(jù)題意：粒子垂直AB邊射入，垂直AC邊射出時(shí)經(jīng)過四分之一個(gè)

周期，即%="解得了=4/o,A正確；洛倫茲力提供向心力，有碎二端解

得R端粒子運(yùn)動(dòng)的周期r=等"鬻=4"可解得該勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度

7TH1

大小為8二礪，B正確；當(dāng)粒子軌跡與邊相切時(shí)，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間

最長，為小。二號(hào)丁，則在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)過的圓心角為120。，如圖所示，根據(jù)幾何關(guān)系可

2

分門?兀R.4力/曰c2,_.gg_2nR_,2NR2兀5〃兀［

知??sin&+—~=d,解得R=5d,C正確；根據(jù)丁二-^一可知，。=亍=3^—=拓,

sin6

D錯(cuò)誤。

［答案］ABC

3名師點(diǎn)睛尋找臨界點(diǎn)常用的結(jié)論

（1）剛好穿出磁場(chǎng)邊界的條件是帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡與邊界相切。

（2）當(dāng)速度。一定時(shí)，弧長（或弦長）越長，圓心角越大，則帶電粒子在有界磁

場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間越長。

（3）當(dāng)速度。變化時(shí)，圓心角越大的，運(yùn)動(dòng)時(shí)間越長。

【針對(duì)訓(xùn)練】

1.如圖所示，在直角坐標(biāo)系戈。），中，x軸上方有勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大

小為B,磁場(chǎng)方向垂直于紙面向外。許多質(zhì)量為機(jī)、電荷量為+9的粒子以相同

的速率。從原點(diǎn)。沿紙面內(nèi)由從x軸負(fù)方向到），軸正方向之間的各個(gè)方向射入磁

場(chǎng)區(qū)域。不計(jì)重力及粒子間的相互作用。下列圖中陰影部分表示帶電粒子在磁場(chǎng)

中可能經(jīng)過的區(qū)域，其中尺二翳，則正確的圖是（）

（）

B

答案D

解析如圖，從。點(diǎn)沿x軸負(fù)方向射入的粒子，軌跡為圓，和x軸相切于。

點(diǎn)，在X軸上方，半徑為R;沿），軸正方向射入的粒子，軌跡為半圓，在y軸右

側(cè)，和x軸交點(diǎn)距。點(diǎn)為2R;沿其余方向射入的帶電粒子，軌跡最遠(yuǎn)點(diǎn)均在以。

為圓心、半徑為2R的圓周上；由以上分析結(jié)合定圓旋轉(zhuǎn)法，可知D正確。

2.（2020.河北省石家莊市高三教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)）如圖所示，在直角三角形abc

區(qū)域（含邊界）內(nèi)存在垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為優(yōu)/。=60。，

Z^=90°,邊長=一個(gè)粒子源在。點(diǎn)將質(zhì)量為機(jī)、電荷量為鄉(xiāng)的帶正電粒

子以大小和方向不同的速度射入磁場(chǎng)，不計(jì)重力，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長的粒子

中，速度的最大值是（)

/?

工f(t.........................................

A姻

2m.6/H

「小qBL

,4機(jī)

答案A

解析粒子沿"邊射入磁場(chǎng)且從4C邊射出磁場(chǎng)時(shí)轉(zhuǎn)過的圓心角最大，粒子

在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長，粒子速度最大時(shí)運(yùn)動(dòng)軌跡與區(qū)相切，如圖所示，由題

意和幾何關(guān)系可知"二人，四邊形"do是正方形，粒子軌道半徑r=3,粒子

做圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律得gmB二竿\解得粒子的

2L

最大速度5n=喏，故A正確，B、C、D錯(cuò)誤。

3.（2020?江蘇省南通市、泰州市上學(xué)期期末）如圖所示，寬度為L、足夠長的

勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為伉方向垂直紙面向里。絕緣長薄板MN置于磁場(chǎng)

的右邊界，粒子打在板上時(shí)會(huì)被反彈（碰撞時(shí)間極度），反彈前后豎直分速度不變,

水平分速度大小不變、方向相反。磁場(chǎng)左邊界上。處有一個(gè)粒子源，向磁場(chǎng)內(nèi)沿

紙面各個(gè)方向發(fā)射質(zhì)量為〃h電荷量為+外速度大小為。的粒子，不計(jì)粒子重力

和粒子間的相互作用，粒子電荷量保持不變。

⑴要使粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)打不到絕緣薄板:求粒子速度大小。滿足的條件;

⑵若。二嚕，一些粒子打到絕緣薄板上反彈回來，求這些粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)

動(dòng)時(shí)間的最小值工

（3）若。=2償，求粒子從左邊界離開磁場(chǎng)區(qū)域的長度s。

答案（1）0＜端Q）舞（3）4小L

v2

解析（1）設(shè)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為廠，則有=7町7

如圖1所示，要使粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)打不到絕緣薄板，應(yīng)滿足2yL

聯(lián)立解得V曙。

KX

圖2

2jr/?2

(2)粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期T=m

當(dāng)。二嚕時(shí)，解得「二乙

ff

打到絕緣板上反彈回來且在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間晟短的粒子通過的圓弧對(duì)應(yīng)的弦

長最短，粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖2所示

T

由幾何關(guān)系可知最小時(shí)間，=2乂%

A.—2nm

解得U砧。

⑶當(dāng)。二郎時(shí)，解得〃二2L

粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)從左邊界離開磁場(chǎng)時(shí)，離。點(diǎn)最遠(yuǎn)的粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖3

所示

圖3

則從左邊界離開磁場(chǎng)區(qū)域的長度

s=4rsin60°

解得s=4小心

［高考模擬隨堂集訓(xùn)］

1.（2020?全國卷I）—?jiǎng)驈?qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B,方向垂直于紙面向外，

其邊界如圖中虛線所示，而為半圓，訛、6/與直徑共線，此間的距離等于

半圓的半徑。一束質(zhì)量為〃八電荷量為儀4>0）的粒子，在紙面內(nèi)從C點(diǎn)垂直于4C

射入磁場(chǎng)，這些粒子具有各種速率。不計(jì)粒子之間的相互作用。在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)

間最長的粒子，其運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（）

cad

*,?,???

7m5M

A?磁B.癇

-4兀〃？-

C------D-----

1,3qB口2出

答案C

2A

解析粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，有qvB=，,T壁,可得粒子在磁

場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期T=N設(shè)粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角

為優(yōu)則粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間［二^］:患，即粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡對(duì)應(yīng)

的圓心角越大，運(yùn)動(dòng)時(shí)間越長。當(dāng)粒子分別從狼、從7間射出時(shí)，在磁場(chǎng)中的軌跡

為半圓，運(yùn)動(dòng)時(shí)間等于半個(gè)周期；當(dāng)粒子從。下間射出時(shí)，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間

大于半個(gè)周期。畫出粒子從。力間射出的任一軌跡，如圖甲，。為軌跡圓心，e

為射出點(diǎn)，由圖可知，軌跡所對(duì)的圓心角夕二兀+〃，由幾何關(guān)系可知，?=2/?,則

9…26。當(dāng)粒子的速率變化時(shí)，出射點(diǎn)e在。石上移動(dòng)，分析可知，當(dāng)。與￡

的連線比與圓弧?！ㄏ嗲袝r(shí)，"最大，如圖乙。設(shè)?！ǖ陌霃綖镽,貝IJ訛二R,

4max〃Z

由圖乙中的幾何關(guān)系可知"的最大值為30。，則，max=兀+2夕max=7，/max二”

_4mz

C正確。

2.(2020?全國卷III)真空中有一勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)邊界為兩個(gè)半徑分別為a和

3。的同軸圓柱面，磁場(chǎng)的方向與圓柱軸線平行，其橫截面如圖所示。一速率為。

的電子從圓心沿半徑方向進(jìn)入磁場(chǎng)。已知電子質(zhì)量為〃?，電荷量為%忽略重力。

為使該電子的運(yùn)動(dòng)被限制在圖中實(shí)線圓圍成的區(qū)域內(nèi)，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度最小為

)

3niv

2-ae

一3/如

C'~4ae

答案C

解析電子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由洛倫茲力提供向心力，有G歸二〃7,

則磁感應(yīng)強(qiáng)度與圓周運(yùn)動(dòng)軌跡半徑的關(guān)系式為：B=—t即運(yùn)動(dòng)軌跡半徑越大，

磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度越小。電了從圓心沿半徑方向進(jìn)入磁場(chǎng)，當(dāng)其恰好不離開圖中

實(shí)線圓圍成的區(qū)域時(shí)，運(yùn)動(dòng)軌跡與實(shí)線圓相切，此時(shí)電子運(yùn)動(dòng)軌跡半徑有最大值

「max,如圖所不，其中A點(diǎn)為電子做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心。由幾何關(guān)系可得：(3a-Tmax)2

4/np3nw

-溫ax+a?,解得rmax=,則磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度最小為Bmin=不意"=4二，故C

正確。

3.（2020.天津高考）侈選）如圖所示，在Qry平面的第一象限內(nèi)存在方向垂直

紙面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為。的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。一帶電粒子從y軸上的M點(diǎn)射入磁

場(chǎng)，速度方向與），軸正方向的夾角。=45。。粒子經(jīng)過磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后在N點(diǎn)（圖中未

畫出）垂直穿過x軸。已知。歷二處粒子電荷量為q,質(zhì)量為"?，重力不計(jì)。則（）

A.粒子帶負(fù)電荷

B.粒子速度大小為嚕

C.粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為。

D.N與。點(diǎn)相距（6+1）。

答案AD

解析由題意知，粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖所示，根據(jù)左手定則可知，粒子帶負(fù)

電荷，A正確；由于初速度方向與）'軸正方向的夾角0=45。，根據(jù)幾何關(guān)系可知

ZOMOi=NOOiM=45。，OM=OO\=a,則粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為r=

r-V2

ChMfa,C錯(cuò)誤；洛倫茲力提供向心力，有qTjBnnj,解得粒子速度大小為

。二"醇，B錯(cuò)誤；N與。點(diǎn)的距離為N。=OOi+r=（啦+1）凡D正確。

4.(2020?全國卷II)如圖，在-8勺<+8區(qū)域中存在方向垂直于

紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度8的大小可調(diào)，方向不變。一質(zhì)量為機(jī)、電荷量為

式q>0)的粒子以速度。。從磁場(chǎng)區(qū)域左側(cè)沿x軸進(jìn)入磁場(chǎng)，不計(jì)重力。

(1)若粒子經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后穿過)，軸正半軸離開破場(chǎng)，分析說明磁場(chǎng)的方向，并

求在這種情況下磁感應(yīng)強(qiáng)度的最小值8”；

(2)如果磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為牛，粒子將通過虛線所示邊界上的一點(diǎn)離開磁場(chǎng)。

求粒子在該點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向與R軸正方向的夾角及該點(diǎn)到R軸的距離。

答案(1)磁場(chǎng)方向垂直于紙面向里鬻

(2)1(2-3)力

解析(1)由題意可知，粒子剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)受到沿y軸正方向的洛倫茲力，由

左手定則可知，磁場(chǎng)方向垂直于紙面向里。設(shè)粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為

R,根據(jù)洛倫茲力公式向圓周運(yùn)動(dòng)規(guī)律，有

qvoB=〃瞪①

由此可得

R二證②

粒子從磁場(chǎng)區(qū)域左側(cè)沿工軸進(jìn)入磁場(chǎng)，穿過y軸正半軸離開磁場(chǎng)，故其在磁

場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心在y軸正半軸上，半徑應(yīng)滿足

由題意可知，當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為以時(shí)，粒子的運(yùn)動(dòng)半徑最大，由此可得

mvo…

=④

(2)若磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為牛，粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心仍在y軸正半軸上，由②

④式可得，此時(shí)粒子的運(yùn)動(dòng)半徑為

R'