專題14 二次函數(shù)-主從聯(lián)動(dòng)（瓜豆原理）求最小值（解析版）

第十四講二次函數(shù)--主從聯(lián)動(dòng)（瓜豆原理）求最值

知識(shí)導(dǎo)航

必備知識(shí)點(diǎn)

一、軌跡為線段

引例：如圖，P是直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP，取AP中點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q

點(diǎn)軌跡是？

【分析】當(dāng)P點(diǎn)軌跡是直線時(shí)，Q點(diǎn)軌跡也是一條直線．可以這樣理解：分別過(guò)A、Q向

BC作垂線，垂足分別為M、N，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，因?yàn)锳P=2AQ，所以QN始終為AM的一

半，即Q點(diǎn)到BC的距離是定值，故Q點(diǎn)軌跡是一條直線．

【引例】如圖，△APQ是等腰直角三角形，∠PAQ=90°且AP=AQ，當(dāng)點(diǎn)P在直線BC上運(yùn)

動(dòng)時(shí)，求Q點(diǎn)軌跡？

第1頁(yè)共19頁(yè).

【分析】當(dāng)AP與AQ夾角固定且AP:AQ為定值的話，P、Q軌跡是同一種圖形．當(dāng)確定軌跡是線

段的時(shí)候，可以任取兩個(gè)時(shí)刻的Q點(diǎn)的位置，連線即可，比如Q點(diǎn)的起始位置和終點(diǎn)位置，連接即

得Q點(diǎn)軌跡線段．

【模型總結(jié)】

必要條件：

主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線的夾角是定量（∠PAQ是定值）；

主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離之比是定量（AP:AQ是定值）．

結(jié)論：P、Q兩點(diǎn)軌跡所在直線的夾角等于∠PAQ（當(dāng)∠PAQ≤90°時(shí)，∠PAQ等于MN與

BC夾角）

P、Q兩點(diǎn)軌跡長(zhǎng)度之比等于AP:AQ（由△ABC∽△AMN，可得AP:AQ=BC:MN）

第2頁(yè)共19頁(yè).

二、軌跡為圓

引例1：如圖，P是圓O上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A為定點(diǎn)，連接AP，Q為AP中點(diǎn)．

考慮：當(dāng)點(diǎn)P在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)軌跡是？

【分析】觀察動(dòng)圖可知點(diǎn)Q軌跡是個(gè)圓，而我們還需確定的是此圓與圓O有什么關(guān)系？

考慮到Q點(diǎn)始終為AP中點(diǎn)，連接AO，取AO中點(diǎn)M，則M點(diǎn)即為Q點(diǎn)軌跡圓圓心，半徑MQ是

OP一半，任意時(shí)刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2．

【小結(jié)】確定Q點(diǎn)軌跡圓即確定其圓心與半徑，

由A、Q、P始終共線可得：A、M、O三點(diǎn)共線，

由Q為AP中點(diǎn)可得：AM=1/2AO．

Q點(diǎn)軌跡相當(dāng)于是P點(diǎn)軌跡成比例縮放．

第3頁(yè)共19頁(yè).

根據(jù)動(dòng)點(diǎn)之間的相對(duì)位置關(guān)系分析圓心的相對(duì)位置關(guān)系；

根據(jù)動(dòng)點(diǎn)之間的數(shù)量關(guān)系分析軌跡圓半徑數(shù)量關(guān)系．

引例2：如圖，P是圓O上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A為定點(diǎn)，連接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP．

考慮：當(dāng)點(diǎn)P在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)軌跡是？

【分析】Q點(diǎn)軌跡是個(gè)圓，可理解為將AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得AQ，故Q點(diǎn)軌跡與P點(diǎn)軌跡

都是圓．接下來(lái)確定圓心與半徑．

考慮AP⊥AQ，可得Q點(diǎn)軌跡圓圓心M滿足AM⊥AO；

考慮AP=AQ，可得Q點(diǎn)軌跡圓圓心M滿足AM=AO，且可得半徑MQ=PO．

即可確定圓M位置，任意時(shí)刻均有△APO≌△AQM．

引例3：如圖，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=2AQ，當(dāng)P在圓O運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)軌跡是？

第4頁(yè)共19頁(yè).

【分析】考慮AP⊥AQ，可得Q點(diǎn)軌跡圓圓心M滿足AM⊥AO；

考慮AP:AQ=2:1，可得Q點(diǎn)軌跡圓圓心M滿足AO:AM=2:1．

即可確定圓M位置，任意時(shí)刻均有△APO∽△AQM，且相似比為2．

【模型總結(jié)】

為了便于區(qū)分動(dòng)點(diǎn)P、Q，可稱點(diǎn)P為“主動(dòng)點(diǎn)”，點(diǎn)Q為“從動(dòng)點(diǎn)”．

此類問(wèn)題的必要條件：兩個(gè)定量

主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線的夾角是定量（∠PAQ是定值）；

主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離之比是定量（AP:AQ是定值）．

第5頁(yè)共19頁(yè).

【結(jié)論】（1）主、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線的夾角等于兩圓心與定點(diǎn)連線的夾角：

∠PAQ=∠OAM；

（2）主、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離之比等于兩圓心到定點(diǎn)的距離之比：

AP:AQ=AO:AM，也等于兩圓半徑之比．

按以上兩點(diǎn)即可確定從動(dòng)點(diǎn)軌跡圓，Q與P的關(guān)系相當(dāng)于旋轉(zhuǎn)+伸縮．

古人云：種瓜得瓜，種豆得豆．“種”圓得圓，“種”線得線，謂之“瓜豆原理”．

例題演練

1．如圖①，二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0）、B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C，

連接BC，點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式．

（2）當(dāng)點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合時(shí)，作直線AP，交直線BC于點(diǎn)Q，若△ABQ的面積是△BPQ面

積的4倍，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)．

（3）如圖②，當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時(shí)，連接AP，交線段BC于點(diǎn)M，以AM為斜邊向△ABM外

作等腰直角三角形AMN，連接BN，△ABN的面積是否變化？如果不變，請(qǐng)求出△ABN的面積；

如果變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【解答】解：（1）∵二次函數(shù)經(jīng)過(guò)A（﹣1，0），（3，0），

∴代入得，

解得，

所以二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝﹣x2+2x+3．

第6頁(yè)共19頁(yè).

（2）①如圖所示，當(dāng)P在x軸上方時(shí)，

過(guò)點(diǎn)P作PF⊥x軸于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)E作QE⊥x軸于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作BG⊥AP于點(diǎn)G，

可得△AQE∽△APF，

∴，

∵＝＝，

∴，

∴＝，

設(shè)點(diǎn)P（a，﹣a2+2a+3），

∴OF＝a，PF＝﹣a2+2a+3，

∴AF＝a﹣（﹣1）＝a+1，QE＝＝，

∴AE＝＝，

∴OE＝AE﹣AO＝﹣1＝，

∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)可表示為（，），

∵B（3，0），C為二次函數(shù)與y軸交點(diǎn)，

∴C（0，3），

可得BC的解析式為y＝﹣x+3，

∵Q在BC上，

∴＝﹣+3，

解得a＝或．

第7頁(yè)共19頁(yè).

②如圖所示，當(dāng)P在x軸下方時(shí)，

同理①可求出P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為或，

∵﹣1＜＜0，

∴當(dāng)P點(diǎn)橫坐標(biāo)為時(shí)，P在拋物線的AC段，

綜上所述，P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為或或．

（3）如圖所示，以AB為底在x軸上方作等腰直角三角形ABK，連接NK，過(guò)點(diǎn)K作KH⊥x軸于

點(diǎn)H，

∵△AMN和△ABK均為等腰直角三角形，

∴，∠NAM＝∠BAK，

∴∠NAM+∠MAK＝∠BAK+∠MAK，

∴∠NAK＝∠MAB，

∴△NAK∽△MAB，

∴∠NKA＝∠MBA，

∵C（0，3），B（3，0），

∴OC＝OB，

∴∠MBA＝45°＝∠NAK＝∠KAB，

第8頁(yè)共19頁(yè).

∴NK∥AB，

∵兩條平行線之間的距離相等，

∴N在運(yùn)動(dòng)時(shí)，N到AB的距離保持不變，其距離都等于KH的長(zhǎng)，

∵在等腰直角三角形KAB中，AB＝4，

∴KH＝，

∴．

綜上所述，△ABN的面積不變，為4．

2．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝﹣5x+5與x軸，y軸分別交于A、C兩點(diǎn)，拋物線y＝x2+bx+c

經(jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn)，與x軸的另一交點(diǎn)為B．

（1）求拋物線解析式；

（2）若點(diǎn)M為x軸下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到某一位置時(shí)，△ABM的面積等于△ABC

面積的，求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（3）如圖2，以B為圓心，2為半徑的B與x軸交于E、F兩點(diǎn)（F在E右側(cè)），若P點(diǎn)是B

上一動(dòng)點(diǎn)，連接PA，以PA為腰作等腰R⊙t△PAD，使∠PAD＝90°（P、A、D三點(diǎn)為逆時(shí)針順序⊙），

連接FD．求FD長(zhǎng)度的取值范圍．

【解答】解：（1）令x＝0，則y＝5，

∴C（0，5），

令y＝0，則x＝1，

∴A（1，0），

第9頁(yè)共19頁(yè).

將點(diǎn)A（1，0），C（0，5）代入y＝x2+bx+c，

得，

∴，

∴y＝x2﹣6x+5；

（2）設(shè)M（m，m2﹣6m+5），

令y＝0，則x2﹣6x+5＝0，

解得x＝5或x＝1，

∴B（5，0），

∴AB＝4，

∴S△ABC＝×4×5＝10，

∵△ABM的面積等于△ABC面積的，

2

∴S△AMB＝6＝×4×（m﹣6m+5），

解得m＝2或m＝4，

∴M（2，﹣3）或M（4，﹣3）；

（3）將點(diǎn)B繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到B'，連接AB'，PB，B'D，

∵∠B'AD+∠BAD＝90°，∠PAB+∠BAD＝90°，

∴∠B'AD＝∠PAB，

∵AB＝AB'，PA＝AD，

∴△ADB'≌△APB'（SAS），

∴BP＝B'D，

∵PB＝2，

∴B'D＝2，

∴D在以B'為圓心，2為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，

∵B（5，0），A（1，0），

∴B'（1，﹣4），

∵BF＝2，

∴F（7，0），

∴B'F＝2，

第10頁(yè)共19頁(yè).

∴DF的最大值為2+2，DF的最小值為2﹣2，

∴2﹣2≤DF≤2+2．

3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y＝ax2﹣2x+c與x軸交于點(diǎn)A（1，0），

點(diǎn)B（﹣3，0），與y軸交于點(diǎn)C，連接BC，點(diǎn)P在第二象限的拋物線上，連接PC、PO，線段

PO交線段BC于點(diǎn)E．

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）若△PCE的面積為S1，△OCE的面積為S2，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）已知點(diǎn)C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)N，連接BN，點(diǎn)H在x軸上，當(dāng)∠HCB＝∠NBC

時(shí)，

①求滿足條件的所有點(diǎn)H的坐標(biāo)

②當(dāng)點(diǎn)H在線段AB上時(shí)，點(diǎn)Q是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)，保持QH＝，連接BQ，將線段BQ

繞著點(diǎn)Q順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段QM，連接MH，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段MH的取值范圍．

第11頁(yè)共19頁(yè).

【解答】解：（1）把點(diǎn)A（1，0），點(diǎn)B（﹣3，0）代入拋物線y＝ax2﹣2x+c中，

得：，

解得：．

∴拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣x2﹣2x+3；

（2）如圖1，過(guò)P作PG⊥y軸于G，過(guò)E作EH⊥y軸于H，

當(dāng)x＝0時(shí)，y＝3，

∴C（0，3），

∴BC的解析式為：y＝x+3，

∵△PCE的面積為S1，△OCE的面積為S2，且，

∴＝，

∵EH∥PG，

∴△OEH∽△OPG，

第12頁(yè)共19頁(yè).

∴＝＝＝，

∴設(shè)E（3m，3m+3），則P（5m，﹣25m2﹣10m+3），

∴＝

∴25m2+15m+2＝0，

（5m+2）（5m+1）＝0，

m1＝﹣，m2＝﹣，

當(dāng)m＝﹣時(shí)，5m＝﹣2，則P（﹣2，3），

當(dāng)m＝﹣時(shí)，5m＝﹣1，則P（﹣1，4），

綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（﹣2，3）或（﹣1，4）；

（3）①由對(duì)稱得：N（﹣2，3），

∵∠HCB＝∠NBC，

如圖2，連接CN，有兩種情況：

i）當(dāng)BN∥CH1時(shí)，∠H1CB＝∠NBC，

∵CN∥AB，

∴四邊形CNBH1是平行四邊形，

∴H1（﹣1，0）；

ii）當(dāng)∠H2CB＝∠NBC，

設(shè)H2（n，0），直線CH2與BN交于點(diǎn)M，

∴BM＝CM，

第13頁(yè)共19頁(yè).

∵B（﹣3，0），N（﹣2，3），

∴同理可得BN的解析式為：y＝3x+9，

∴設(shè)CH2的解析式為：y＝﹣+3，

∴（﹣，），

∵BM＝CM，

∴＝，

n＝﹣9或﹣1（舍），

∴H2（﹣9，0），

綜上，點(diǎn)H的坐標(biāo)是（﹣1，0）或（﹣9，0）；

②如圖3，當(dāng)Q在x軸下方時(shí)，且MH⊥x軸時(shí)，MH最小，過(guò)Q作QG⊥x軸，過(guò)M作MF⊥

QG于F，則四邊形MFGH是矩形，

∴FM＝GH，F(xiàn)G＝MH，

∵∠BQM＝∠F＝90°，

∴∠BQG+∠GQM＝∠FMQ+∠GQM＝90°，

∴∠BQG＝∠FMQ，

∵BQ＝QM，∠BGQ＝∠F＝90°，

∴△BGQ≌△QFM（AAS），

∴FM＝GQ，BG＝FQ，

∴GQ＝FM＝GH，

∵QH＝，

第14頁(yè)共19頁(yè).

∴QG＝GH＝，

∴MH＝FG＝FQ﹣QG＝BG﹣GH＝2﹣﹣＝2﹣3；

如圖4，當(dāng)Q在x軸上方時(shí)，且MH⊥x軸時(shí)，MH最大，過(guò)Q作QG⊥x軸，作QF⊥MH于F，

則四邊形QFHG是矩形，

∴FQ＝GH，GQ＝FH，

同理得△BGQ≌△MFQ（AAS），

∴QG＝FQ＝GH，BG＝MF，

∵QH＝，

∴QG＝GH＝，

∴MH＝FM+FH＝BG+GH＝2++＝2+3；

∴MH的取值范圍是2﹣≤MH≤2+．

4．如圖，拋物線y＝﹣x2﹣3x+4與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．

（1）若以點(diǎn)C為圓心，1為半徑的圓上有一動(dòng)點(diǎn)P，連接BP，點(diǎn)Q為線段BP上一點(diǎn)，且BQ

＝BP，求線段OQ的最大值；為線段BP上一點(diǎn)，且BQ＝BP，求線段OQ的最大值；

（2）若點(diǎn)D為拋物線上一點(diǎn)且橫坐標(biāo)為﹣3，點(diǎn)E為y軸上一點(diǎn)，點(diǎn)F在以點(diǎn)A為圓心，2為

半徑的圓上，求DE+EF的最小值；

（3）若以點(diǎn)B為圓心，3為半徑作圓，與x軸的正半軸交于點(diǎn)H，點(diǎn)M是B上的一動(dòng)點(diǎn)，連

接AM，以AM為直角邊向下作等腰Rt△MAN，且∠MAN＝90°，連接NH，⊙求線段NH長(zhǎng)度的

取值范圍．

第15頁(yè)共19頁(yè).

【解答】解：（1）如圖1，

第16頁(yè)共19頁(yè).

連接BC，CP，作QI∥CP交BC于點(diǎn)I，作ID⊥OB于D，

∴△BIQ∽△BCP，

∴，

同理可得，

，

∴＝，

∴BD＝IQ＝，DI＝，