專題04 方程（組）及其應用（8大考點）（原卷版）

第二部分方程（組）與不等式（組）

專題04方程（組）及其應用（8大考點）

核心考點一等式的基本性質

核心考點二一元一次方程的解法及其應用

核心考點三二元一次方程組的解法及其應用

核心考點四分式方程的解法及其應用

核心考點

核心考點五一元二次方程及其解法

核心考點六一元二次方程根的判別式

核心考點七一元二次方程根與系數的關系

核心考點八一元二次方程的實際應用

新題速遞

核心考點一等式的基本性質

例1（2022·青?！ぶ锌颊骖}）下列說法中，正確的是（）

A．若acbc，則abB．若a2b2，則ab

ab1

C．若，則abD．若x6，則x2

cc3

41

例2（2021·安徽·中考真題）設a，b，c為互不相等的實數，且bac，則下列結論正確的是（）

55

A．abcB．cbaC．ab4(bc)D．ac5(ab)

例3（2022·福建·中考真題）推理是數學的基本思維方式、若推理過程不嚴謹，則推理結果可能產生錯誤．

例如，有人聲稱可以證明“任意一個實數都等于0”，并證明如下：

設任意一個實數為x，令xm，

等式兩邊都乘以x，得x2mx．①

等式兩邊都減m2，得x2m2mxm2．②

等式兩邊分別分解因式，得xmxmmxm．③

等式兩邊都除以xm，得xmm．④

等式兩邊都減m，得x＝0.⑤

所以任意一個實數都等于0.

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以上推理過程中，開始出現錯誤的那一步對應的序號是______．

知識點、等式的基本性質（注意:等式的基本性質是解方程的依據）

基本性質1：等式兩邊同時加上(或減去)同一個數(或式子),所得結果仍是等式.

基本性質2：等式兩邊同時乘同一個數(或除以同一個不為零的數),所得結果仍是等式.

性質3：如果ab，那么ba（對稱性）

性質4：如果ab，bc，那么ac（傳遞性）

112

【變式1】（2022·安徽·合肥市五十中學西校三模）已知實數a，b，c滿足ac2b，．則下列結

acb

論正確的是（）

A．若ab0，則cb0B．若ac1，則b1

C．a，b，c不可能同時相等D．若a2，則b28c

abcabc

【變式2】（2022·安徽蕪湖·二模）已知三個實數a，b，c滿足abc0,a,c，則下

22

列結論不成立的是（）

A．b0B．c=0C．abD．ab

x2xy

【變式3】（2022·貴州黔西·二模）已知，則______.

y3y

【變式4】（2021·江蘇·正衡中學一模）設實數a、b、c滿足abc3，a2b2c24，則

a2b2b2c2a2c2

=_______．

2c2a2b

bccaab

【變式5】（2022·江西·石城縣教育局教研室二模）已知abc0，且0，求證：

abc

bcbccacaabab

0．

b2c2c2a2a2b2

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核心考點二一元一次方程的解法及其應用

x1x2

例1（2022·貴州黔西·中考真題）小明解方程1的步驟如下：

23

解：方程兩邊同乘6，得3x112x2①

去括號，得3x312x2②

移項，得3x2x231③

合并同類項，得x4④

以上解題步驟中，開始出錯的一步是（）

A．①B．②C．③D．④

例2（2022·黑龍江牡丹江·中考真題）某商品的進價為每件10元，若按標價打八折售出后，每件可獲利2

元，則該商品的標價為每件______元．

例3（2022·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）某地交警在一個路口對某個時段來往的車輛的車速進行監(jiān)測，統(tǒng)計數據

如下表：

車速（km/h）404142434445

頻數6815a32

其中車速為40、43（單位：km/h）的車輛數分別占監(jiān)測的車輛總數的12%、32%．

(1)求出表格中a的值；

(2)如果一輛汽車行駛的車速不超過40km/h的10%，就認定這輛車是安全行駛．若一年內在該時段通過此路

口的車輛有20000輛，試估計其中安全行駛的車輛數．

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知識點一、一元一次方程及其解法

1、一元一次方程:只含有1個未知數(元)，并且未知數的次數都是1，等號兩邊都是整式，這

樣的方程叫做一元一次方程。任何一個一元一次方程都可

以化成ax+b=0（a，b是常數，且a≠0）的形式。

溫馨提示

形如axb0(其中a，b為常數，且a0)的方程為一元一次方程，判斷時應抓住以下兩點：

(i)原方程必是整式方程；(ii)化成一般形式后只含有一個未知數，且未知數的次數為1。

若未知數的系數有分母，則要去分母。注

去分母意要在方程的兩邊都乘以各分母的最小公

倍數。

若方程含有括號，則先去小括號，再去中

括號，最后去大括號。若去括號時括號前

去括號

是負號，去掉括號后，括號內的各項均

要。

把含有未知數的項移到等式的一邊，其他

移項項移到另一邊。一般把含的項移到

等式左邊。移項要改變符號。

合并同類項把方程化成axb（a0）的形式。

方程兩邊同未知數的系數，得到方

系數化為1

程的解。

知識點二、一次方程（組）的實際應用

1、列一次方程(組)解應用題的步驟

審：審清題意，分清題中的已知量、未知量，搞清題中的等量關系；

設：設關鍵未知數；

列：根據題中的等量關系，列方程(組)；

解：解方程(組)；

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驗：檢驗所解答案是否符合題意；

答：規(guī)范作答，注意單位名稱。

2、常見的關系式

基本關系式:路程=速度×時間.

相遇問題:甲走的路程+乙走的路程=總路程.

行程問題

追及問題:同地不同時出發(fā):前者走的路程=后者走的路程;同時不同地出發(fā):慢者走的路程+兩地間距離=快者走的

路程.

儲蓄問題本金×利率×期數=利息,本金+利息=本息和.

利潤

銷售問題總價=單價×數量,利潤率=×100%,利潤=售價-成本(或進價)=利潤率×成本.

成本

分配問題總量=甲的數量+乙的數量,總金額=甲的金額+乙的金額.

工程問題工作總量=工作效率×工作時間,甲、乙合作的工作效率=甲的工作效率+乙的工作效率.

增長率問

已知基礎量為a,增長后為b,若設增長率為x,則可得a(1+x)=b.

題

數字問題十位a，個位b，表示為10a+b；百位a，十位b，個位c，表示為100a+10b+c

【變式1】（2022·湖南·長沙市南雅中學二模）在風凰山教育共同體數學學科節(jié)中，為展現數學的魅力，M

老師組織了一個數學沉浸式互動游戲：隨機請A，B，C，D，E五位同學依次圍成一個圓圈，每個人心里先

想好一個實數，并把這個數悄悄的告訴相鄰的兩個人，然后每個人把與自己相鄰的兩個人告訴自己的數的

平均數報出來．若A，B，C，D，E五位同學報出來的數恰好分別是1，2，3，4，5，則D同學心里想的那

個數是（）

A．3B．4C．5D．9

【變式2】（2022·浙江金華·二模）一條數軸上有點A、B，點C在線段AB上，其中點A、B表示的數分別

是－8，6，現以點C為折點，將數軸向右對折，若點A'落在射線CB上，并且A'B=4，則C點表示的數是（）

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A．1B．－1C．1或－2D．1或－3

【變式3】（2020·浙江·模擬預測）一條數軸上有點A、B、C，其中點A、B表示的數分別是﹣16、9，現以

點C為折點，將數軸向右對折，若點A對應的點A落在點B的右邊，并且AB3，則C點表示的數是______．

【變式4】（2022·北京四中模擬預測）“格子乘法”作為兩個數相乘的一種計算方法，最早在15世紀由意大

利數學家帕喬利提出，在明代數學家程大位著的《算法統(tǒng)宗》一書中被稱為“鋪地錦”．例如：如圖1，計算

4671，將乘數46寫在方格上邊，乘數71寫在方格右邊，然后用乘數46的每位數字乘以乘數71的每位

數字，將結果記入相應的方格中，最后沿斜線方向相加，得3266．如圖2，用“格子乘法”計算兩個兩位數相

乘，則k______．

【變式5】（2022·遼寧朝陽·模擬預測）根據小王在兩個超市看到的商品促銷信息解決下列問題：

甲超市促銷信息欄乙超市促銷信息欄

不超過300元不優(yōu)惠；

全場8.5折超過300元而不超過500元，打9折；

超過500元，500元部分優(yōu)惠10%，超過500元部分打8折．

(1)當一次性購物標價總額是400元時，甲、乙兩超市實付款分別是多少？

(2)當一次性購物標價總額是多少時，甲、乙兩超市實付款一樣？

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核心考點三二元一次方程的解法及其應用

例1（2022·湖北武漢·中考真題）幻方是古老的數學問題，我國古代的《洛書》中記載了最早的幻方——

九宮格．將9個數填入幻方的空格中，要求每一橫行、每一豎列以及兩條對角線上的3個數之和相等，例

如圖（1）就是一個幻方．圖（2）是一個未完成的幻方，則x與y的和是（）

A．9B．10C．11D．12

1016

例2（2020·甘肅天水·中考真題）已知a2b，3a4b，則ab的值為_________．

33

例3（2022·貴州黔西·中考真題）某鄉(xiāng)鎮(zhèn)新打造的“田園風光”景區(qū)今年計劃改造一片綠化地，種植A、B

兩種花卉，已知3盆A種花卉和4盆B種花卉的種植費用為330元，4盆A種花卉和3盆B種花卉的種植

費用為300元．

(1)每盆A種花卉和每盆B種花卉的種植費用各是多少元？

(2)若該景區(qū)今年計劃種植A、B兩種花卉共400盆，相關資料表明：A、B兩種花卉的成活率分別為70%和

90%，景區(qū)明年要將枯死的花卉補上相同的新花卉，但這兩種花卉在明年共補的盆數不多于80盆，應如何

安排這兩種花卉的種植數量，才能使今年該項的種植費用最低？并求出最低費用．

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知識點一、二元一次方程（組）及其解法

1、二元一次方程（組）定義

定義方程的解解的情況

二元一次含有個未知數，并且所含未使二元一次方程兩邊的值的兩有無數組解

方程知數的項的次數都是1的方程。個未知數的值。

二元一次把具有相同未知數的兩個二元一一般地，二元一次方程組的兩個方程只有一組公共解

方程組次方程合在一起。的?叫做二元一次方程組的解。

2、二元一次方程（組）的解法（基本思想是“消元”）

（1）代入消元法：將一個方程中的一個未知數用含有另一個未知數的代數式表示出來，并代

入另一個方程中，消去一個未知數，化二元一次方程組為一元一次方程。

（2）加減消元法：兩個二元一次方程中同一個未知數的系數相反或相等(或通過適當變形后可

以使同一個未知數的系數相反或相等)時，把這兩個方程的兩邊分別相加或相減，消去這個未

知數，化二元一次方程組為一元一次方程。

消元法使用技巧（解題時依據方程自身特點，靈活運用消元思想）

一般地，當二元一次方程組中的一個方程的某個未知數的系數是1或-1時，選擇代入消元法

較簡單。

當二元一次方程組中兩個方程的某個未知數的系數的絕對值相等或成倍數關

系時，選擇加減消元法較簡單。

注：還可以用整體代入消元或換元法化繁為簡，快速解題。

知識點二、三元一次方程組

1.三元一次方程組:一個方程組中含有三個未知數,每個方程中含未知數的項的

次數都是1,并且一共有三個方程,像這樣的方程組叫做三元一次方程組.

2.解三元一次方程組的基本思路

三元一次方程組?二元一次方程組?一元一次方程

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【變式1】（2022·廣東·華南師大附中三模）如果|x+y-1|和2（2x+y-3）2互為相反數，那么x,y的值為（）

x1x1x2x2

A．B．C．D．

y2y2y1y1

4x3y6

【變式2】（2022·廣東·揭陽市實驗中學模擬預測）如果關于x，y的方程組的解是整數，那么

6xmy26

整數m的值為（）

A．4，4，5，13B．4，4，5，13

C．4，4，5，13D．4，5，5，13

【變式3】（2021·四川成都·三模）已知三個非負實數a，b，c滿足：3a+2b+c＝5和2a+b﹣3c＝1，若m＝

3a+b﹣7c，則m的最小值為_________________．

2axby40x1

【變式4】（2022·甘肅慶陽·二模）已知，關于x，y的二元一次方程組的解為，則

axby10y1

2a－b＝______．

【變式5】（2022·河南洛陽·二模）已知實數x，y滿足3x2y7①，x3y9②，求2x5y和5x4y的

值．

本題常規(guī)的解題思路是將①②兩式聯(lián)立組成方程組，解得x，y的值．再代入欲求值的代數式得到答案，常

規(guī)思路運算量較大．其實，仔細觀察兩個方程未知數x，y的系數與所求代數式中x，y的系數之間的關系，

本題還可以通過適當的變形整體求得代數式的值．由①②得：2x5y2，由①②2得5x4y25，

這樣的解題思想就是通常所說的“整體思想”．

問題解決：

2xy6

(1)已知二元一次方程組，則xy值為，xy的值為．

x2y9

(2)某班組織活動購買獎品，買20支鉛筆、3塊橡皮、2本日記本共需32元；買39支鉛筆、5塊橡皮、3本

日記本共需58元．則購買5支鉛筆、5塊橡皮、5本日記本共需多少元？

(3)對于實數x，y，定義新運算：x*yaxbyc，其中a，b，c是常數，等式右邊是通常的加法和乘法

運算．已知3*515，4*728，則1*1的值為．

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核心考點四分式方程的解法及其應用

mx1

例1（2022·黑龍江牡丹江·中考真題）若關于x的方程3無解，則m的值為（）

x1

A．1B．1或3C．1或2D．2或3

11xa

例2（2022·湖北黃石·中考真題）已知關于x的方程的解為負數，則a的取值范圍是

xx1x(x1)

__________．

例3（2020·新疆·中考真題）某超市銷售A、B兩款保溫杯，已知B款保溫杯的銷售單價比A款保溫杯多

10元，用480元購買B款保溫杯的數量與用360元購買A款保溫杯的數量相同．

(1)A、B兩款保溫杯的銷售單價各是多少元？

(2)由于需求量大，A、B兩款保溫杯很快售完，該超市計劃再次購進這兩款保溫杯共120個，且A款保溫

杯的數量不少于B款保溫杯數量的兩倍．若A款保溫杯的銷售單價不變，B款保溫杯的銷售單價降低10%，

兩款保溫杯的進價每個均為20元，應如何進貨才能使這批保溫杯的銷售利潤最大，最大利潤是多少元？

知識點一、分式方程的相關概念

定義：分母中含有未知數的方程叫做分式方程。

“分母中含有未知數”是分式方程與整式方程的根本區(qū)別。

增根：在分式方程變形時，有可能產生不適合原方程的根，使方程中的分母為0，這樣的根叫

方程的增根。

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知識點二、解分式方程

基本去分母，化分式方程為整式方程。

x3

例：1思路

x1x21

一般①方程兩邊同時乘以各分式的，化

解：最簡公分母：x1x1

步驟為整式方程；

xx1x213

②解整式方程；

x2xx213③檢驗，把整式方程的解代入最簡公分母，

x2看計算結果是否為0，若結果不為0，說明

此解是原分式方程的解；若為0，則為增根，

檢驗：當x2時，x1x10

原分式方程無解。

所以原分式方程的解為x2

驗根方法一：利用方程解的定義，直接代回原方

方法程檢驗；

方法二：把整式方程的解代入最簡公分母，

看計算結果是否為0。

知識點三、分式方程的實際應用

1、列分式方程解應用題的一般步驟

審：審清題意，分清題中的已知量、未知量，搞清等量關系。

設：設出未知數。

列：根據題中的等量關系，列出分式方程。

解：解分式方程

驗：既要檢驗所得的解是否適合分式方程，又要檢驗是否符合實際問題。

答：完整作答（包括單位）

2、常見模型及關系式

路程

行程問題基本關系式：=時間

速度

常用關系式：（注意統(tǒng)一單位）

同一路程同一路程同一路程同一路程

=時間差；=時間差

甲的速度乙的速度慢速快速

工作總量

工程問題基本關系式：=工作時間

工作效率

常用關系式：

第11頁共28頁.

工作總量工作總量甲工作總量乙工作總量

=時間差=時間差

原工作效率改進后工作效率甲工作效率乙工作效率

總價

銷售問題基本關系式：=數量

單價

總銷售金額總銷售金額

常用關系式：=數量差

變化后單價原單價

21

【變式1】（2022·河南·嵩縣教育局基礎教育教學研究室一模）方程0的解為（）

x12x3

75

A．xB．x=1C．xD．x1

32

xaxa

1

【變式2】（2022·重慶市第三十七中學校二模）若數a既使得關于x的不等式組23無解，又使

x2a6

5ay

得關于y的分式方程1的解不小于1，則滿足條件的所有整數a的和為()

y22y

A．4B．3C．2D．5

2m

【變式3】（2022·山東省淄博第六中學模擬預測）關于x的分式方程2有增根，則m的值為

x3x3

______．

1ax1

【變式4】（2022·黑龍江黑龍江·三模）關于x的分式方程2有解，則a的取值范圍是________．

x22x

【變式5】（2022·廣東·深圳市寶安中學（集團）三模）2022年4月16日，神舟十三號載人飛船返回艙成功

著陸，三名航天員平安歸來，神舟十三號任務取得圓滿成功．飛箭航模店看準商機，推出了“神舟”和“天宮”

模型．已知每個“神舟”模型的成本比“天宮”模型多10元，同樣花費100元，購進“天宮”模型的數量比“神舟”

模型多5個．

(1)“神舟”和“天宮”模型的成本各多少元？

(2)飛箭航模店計劃購買兩種模型共200個，且每個“神舟”模型的售價為30元，“天宮”模型的售價為15元．設

購買“神舟”模型a個，銷售這批模型的利潤為w元．

①求w與a的函數關系式（不要求寫出a的取值范圍）；

第12頁共28頁.

1

②若購進“神舟”模型的數量不超過“天宮”模型數量的，則購進“神舟”模型多少個時，銷售這批模型可以獲

3

得最大利潤？最大利潤是多少？

核心考點五一元二次方程及其解法

例1（2022·四川雅安·中考真題）若關于x的一元二次方程x2+6x+c＝0配方后得到方程（x+3）2＝2c，則

c的值為（）

A．﹣3B．0C．3D．9

例2（2020·山東棗莊·中考真題）已知關于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x＋a2﹣1＝0有一個根為x＝0，

則a＝___．

例3（2022·貴州貴陽·中考真題）（1）a，b兩個實數在數軸上的對應點如圖所示．

用“<”或“>”填空：a_______b，ab_______0；

（2）在初中階段我們已經學習了一元二次方程的三種解法，他們分別是配方法、公式法和因式分解法，請

從下列一元二次方程中任選兩個，并解這兩個方程．

①x2+2x?1=0；②x2?3x=0；③x2?4x=4；④x2?4=0．

第13頁共28頁.

知識點、一元二次方程及其解法

定義：只含有一個未知數，并且未知數的最高次是2的整式方程，叫做一元二次方程。

一元二次方程的一般形式（又叫標準形式）

ax2bxc0，其中ax2叫做二次項，a是二次項的系數；bx叫做一次項，b是一次項的系

數；c叫常數項。a，b，c是任意實數，且a0。

一元二次方程的解法

解法適用情況方程的根

2

xmm0x1m，x2m

直接開平方

2

xnpp0

x1np，

ax2bxc0（a0，0）→

配方法x2np

2

xnpp0

公式法ax2bxc0（a0，b24ac0）x

2

因式分解法axbxc0→axmxn0x1m，x2n

對于一元二次方程的四種解法，要結合方程中的具體數據進行選擇，一般地，直接開平方法、

因式分解法只能在特殊方程中使用，配方法、公式法通用。

73

【變式1】（2021·山東·濰坊市寒亭區(qū)教學研究室一模）已知Mt2,Nt2t（t為任意實數），則M,N

55

的大小關系為（）

A．MNB．MNC．M=ND．不能確定

22

【變式2】（2021·山東濱州·三模）新定義：關于x的一元二次方程a1(x﹣m)+k＝0與a2(x﹣m)+k＝0稱為“同

族二次方程”．如2(x﹣3)2+4＝0與3(x﹣3)2+4＝0是“同族二次方程”．現有關于x的一元二次方程2(x﹣1)2+1

＝0與(a+2)x2+(b﹣4)x+8＝0是“同族二次方程”，那么代數式ax2+bx+2026能取的最小值是（）

A．2020B．2021C．2023D．2018

【變式3】（2022·廣東深圳·模擬預測）閱讀并回答問題：小亮是一位刻苦學習的同學．一天他在解方程x=-1

第14頁共28頁.

時，突發(fā)奇想：x=-1在實數范圍內無解，如果存在一個數i，使i2=-1，那么當x2=-1時，有x=±i，從而x=±i

是方程x2=-1的兩個根．據此可知：方程x2-4x+5=0的兩根為__．(根用i表示)

【變式4】（2022·廣西南寧·一模）我國南宋時期數學家秦九韶曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，此

abc

公式與古希臘幾何學家海倫提出的公式如出一轍，即三角形的三邊長分別為a，b，c，記p，則

2

其面積Sppapbpc．這個公式也被稱為海倫—秦九韶公式．若p3，c2，則此三角形面

積的最大值是_________．

【變式5】（2022·云南昆明·一模）我們可以用以下方法求代數式x26x5的最小值．

2

x26x5x22x332325x34

2

∵x30

2

∴x344

∴當x3時，x26x5有最小值4．

請根據上述方法，解答下列問題：

(1)求代數式x24x2的最小值；

(2)求代數式x26x9的最大或最小值，并指出它取得最大值或最小值時x的值；

(3)求證：無論x和y取任何實數，代數式2x210y26xy6x2y11的值都是正數．

第15頁共28頁.

核心考點六一元二次方程根的判別式

例1（2022·四川·巴中市教育科學研究所中考真題）對于實數a，b定義新運算：a※bab2b，若關于x

的方程1※xk有兩個不相等的實數根，則k的取值范圍（）

1111

A．kB．kC．k且k0D．k且k0

4444

2

例2（2022·山東日照·中考真題）關于x的一元二次方程2x+4mx+m=0有兩個不同的實數根x1，x2，且

3

x2x2，則m=__________．

1216

2

例3（2021·湖北荊門·中考真題）已知關于x的一元二次方程x6x2m10有x1，x2兩實數根．

（1）若x11，求x2及m的值；

6

（2）是否存在實數m，滿足x1x1？若存在，求出求實數m的值；若不存在，請說明理由．

12m5

知識點、一元二次方程根的判別式

0方程實數根

一元二次方程ax2bxc0

0方程實數根

（a0）的判別式=b24ac

0方程實數根

易錯點：因忽視一元二次方程二次項系數不為零的隱含條件，導致失分。

如：已知關于x的一元二次方程ax23x10有兩個實數根,求a的取值范圍.

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ab

【變式1】（2022·河南安陽·二模）將4個數a，b，c，d排成2行，2列，兩邊各加一條豎線，記成，

cd

ab24x3

并規(guī)定adbc，例如23412，則3的根的情況為（）

cd13xx1

A．只有一個實數根B．有兩個相等的實數根

C．有兩個不相等的實數根D．沒有實數根

【變式2】（2022·寧夏·吳忠市第三中學一模）若關于x的一元二次方程kx22x10有兩個不相等的實數

根，則實數k的取值范圍（）

A．k1B．k1C．k1D．k1且k0

22

【變式3】（2022·四川成都·二模）已知關于x的一元二次方程x2m1xm0有兩個實數根x1和x2．若

22

x1,x2之間關系滿足x1x20，則m的值為__________．

【變式4】（2022·安徽·模擬預測）若關于x的一元二次方程ax2bx10有兩個相等的實數根，則

ab2

的值為________．

a24ab2

22

【變式5】（2022·湖北黃石·一模）已知關于x的一元二次方程x(2m3)xm0有兩個實數根x1，x2．

(1)求實數m的取值范圍；

(2)若x1x26x1x2，求m的值．

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核心考點七一元二次方程根與系數的關系

22

例1（2022·內蒙古包頭·中考真題）若x1,x2是方程x2x30的兩個實數根，則x1x2的值為（）

A．3或9B．3或9C．3或6D．3或6

xx

221

例2（2022·四川內江·中考真題）已知x1、x2是關于x的方程x﹣2x+k﹣1＝0的兩實數根，且＝

x1x2

2

x1+2x2﹣1，則k的值為_____．

例3（2022·湖北黃石·中考真題）閱讀材料，解答問題：

材料1

2

為了解方程x213x2360，如果我們把x2看作一個整體，然后設y=x2，則原方程可化為

2

y13y360，經過運算，原方程的解為x1,22，x3,43．我們把以上這種解決問題的方法通常叫做

換元法．

材料2

已知實數m，n滿足m2m10，n2n10，且mn，顯然m，n是方程x2x10的兩個不相等的

實數根，由書達定理可知mn1，mn1．

根據上述材料，解決以下問題：

(1)直接應用：

方程x45x260的解為_______________________；

(2)間接應用：

已知實數a，b滿足：2a47a210，2b47b210且a1b，求a4b4的值；

(3)拓展應用：

111

已知實數x，y滿足：7，n2n7且n0，求n2的值．

m4m2m4

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知識點、一元二次方程的根與系數關系（韋達定理）

bc

若x，x是一元二次方程ax2bxc0的兩個實數根，那么xx，xx

1212a12a

【變式1】（2022·廣東·深圳市龍華區(qū)丹堤實驗學校模擬預測）關于x的方程x26xkx3有兩個解，

則k的取值范圍是（）

38

A．k＞﹣9B．k≤3C．﹣9＜k＜6D．k＞

4

【變式2】（2022·重慶巴蜀中學三模）已知：Mx2ax3，Nx1（其中為a整數，且a0）；有下列

結論，其中正確的結論個數有（）

M17

①若M·N中不含x2項，則a1；②若為整式，則a2；③若a是MN0的一個根，則a2．

Na24

A．0個B．1個C．2個D．3個

mn

【變式3】（2022·四川眉山·模擬預測）若實數m，n滿足m23m1,n23n1,的值為______．

nm

【變式4】（2022·湖北·鄂州市鄂城區(qū)教學研究室三模）已知實數a、b滿足a3b20，若關于x的一

11

2

元二次方程xaxb0的兩個實數根分別為x1，x2，則的值為______．

x1x2

2

【變式5】（2022·湖北·黃石十四中模擬預測）x1，x2是一元二次方程ax+bx+c＝0（a≠0）的兩個實數根，若

滿足|x1﹣x2|＝1，則此類方程稱為“差根方程”．根據“差根方程”的定義，解決下列問題：

(1)通過計算，判斷下列方程是否是“差根方程”：

①x2﹣4x﹣5＝0；

②2x2﹣23x+1＝0；

(2)已知關于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”，求a的值；

(3)若關于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常數，a＞0）是“差根方程”，請?zhí)剿鱝與b之間的數量關系式．

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核心考點八一元二次方程的實際應用

例1（2021·四川巴中·中考真題）兩千多年前，古希臘數學家歐多克索斯發(fā)現了黃金分割，即：如圖，點

BPAP

P是線段AB上一點（AP＞BP），若滿足，則稱點P是AB的黃金分割點．黃金分割在日常生活中

APAB

處處可見，例如：主持人在舞臺上主持節(jié)目時，站在黃金分割點上，觀眾看上去感覺最好．若舞臺長20米，

主持人從舞臺一側進入，設他至少走x米時恰好站在舞臺的黃金分割點上，則x滿足的方程是（）

A．（20﹣x）2＝20xB．x2＝20（20﹣x）

C．x（20﹣x）＝202D．以上都不對

例2（2022·四川成都·中考真題）若一個直角三角形兩條直角邊的長分別是一元二次方程x26x40的

兩個實數根，則這個直角三角形斜邊的長是_________．

例3（2022·貴州畢節(jié)·中考真題）2022北京冬奧會期間，某網店直接從工廠購進A、B兩款冰墩墩鑰匙扣，

進貨價和銷售價如下表：（注：利潤=銷售價-進貨價）

類別

A款鑰匙扣B款鑰匙扣

價格

進貨價（元/件）3025

銷售價（元/件）4537

(1)網店第一次用850元購進A、B兩款鑰匙扣共30件，求兩款鑰匙扣分別購進的件數；

(2)第一次購進的冰墩嫩鑰匙扣售完后，該網店計劃再次購進A、B兩款冰墩墩鑰匙扣共80件（進貨價和銷

售價都不變），且進貨總價不高于2200元．應如何設計進貨方案，才能獲得最大銷售利潤，最大銷售利潤

是多少？

(3)冬奧會臨近結束時，網店打算把B款鑰匙扣調價銷售．如果按照原價銷售，平均每天可售4件．經調查

發(fā)現，每降價1元，平均每天可多售2件，將銷售價定為每件多少元時，才能使B款鑰匙扣平均每天銷售

利潤為90元？

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知識點、一元二次方程的應用

實際數量-基準數量

（1）增長率=100%

基準數量

基準數量-降低后達到數量

（2）降低率=100%

基準數量

變化率問題

（3）設a為原來的量,m為平均增長率,n為增長次數,b為增