2024-2025學年上海市虹口區(qū)高三上冊11月期中數學檢測試卷（含解析）

2024-2025學年上海市虹口區(qū)高三上學期11月期中數學檢測試卷一、填空題（本大題共有12題,滿分54分,第1-6題每題4分,第7-12題每題5分）

1.已知集合,且,則實數.

2.已知扇形的半徑是3,弧長為6,則扇形圓心角的弧度數是.

3.*已知點是角終邊上一點,若,則.

4.*已知，向量與的夾角為.向量在方向上的數量投影為.

5.已知直線,若,則實數的值為.

6.若有兩個復數,滿足,則.

7.上海是一座魔幻都市，有著豐富的旅游資源。甲、乙兩人相約來到上海旅游，兩人分別從四個景點中隨機選擇一個景點游覽，甲、乙兩人恰好選擇同一景點的概率為.8.*若,則.

9.*已知函數的值域是，則實數的取值范圍是.

10.中國剪紙是一種用剪刀或刻刀在紙上剪刻花紋的中國古老民間藝術之一.已知某剪紙的裁剪工藝如下:取一張半徑為1的圓形紙片,記為,在內作內接正方形,接著在該正方形內作內切圓,記為,并裁剪去該正方形與內切圓之間的部分（如圖所示陰影部分），記為一次裁剪操作，，不斷重復上述裁剪操作，則被裁剪部分的面積之和的極限為.

11.為雙曲線右支上兩不同點,則取值范圍是.

12.和的零點按從小到大順序可以分別構成兩個等差數列，則所構成的集合為.二、選擇題（本題共4小題，前2題每小題4分；后2題每小題5分，共18分）

13.*若,則是（）.

A.銳角三角形;B.直角三角形;C.鈍角三角形;D.無法確定.

14.將某學校一次物理測試學生的成績統(tǒng)計如下圖所示,則估計本次物理測試學生成績的平均分為（同一組數據用該組區(qū)間的中點值作代表）（）.A.68;B.70;C.72;D.74.

15.*設與是兩個不同的冪函數,記,則中的元素個數的可能是（）.

A.0、1、2、;B.1、2、3;C.1、2、3、4;D.0、1、2、;3.

16.已知定圓,點A是圓所在平面內一定點,點是圓上的動點,若線段的中垂線交直線于點，則點的軌跡可能是：(1)橢圓；(2)雙曲線；(3)拋物線；(4)圓；(5)直線；(6)一個點.其中所有可能的結果有（）.

A.2個;B.3個;C.4個;D.5個.

三、解答題.（本大題共5小題，滿分78分）

17.（本題滿分14分,第（1）題滿分6分，第（2）題滿分8分）如圖所示五面體中,四邊形為長方形,平面和是全等的等邊三角形.（1）求證:;

（2）若已知,求該五面體的體積.

18.（本題滿分14分,第(1)題滿分6分,第(2)題滿分8分)

*設（常數）。

（1）為上的嚴格增函數，求實數的取值范圍；

（2）設，若對于任意，都有成立，求實數的取值范圍。

19.（本題滿分14分，第（1）題滿分2分，第（2）題滿分4分，第（3）題滿分8分）

仰暉樓有A、B兩部電梯。已知電梯每上一層需要5秒，電梯在某層樓停留時開門到關門所花時間為10秒（人員均能在電梯開關門時間內完成進出電梯和按樓層等操作）.某天清晨，樓上還沒有人，1樓已經有若干人均欲乘坐電梯上樓，目的地分別是樓.現兩部電梯均恰好在1樓（兩部電梯互相獨立運行，可以獨立開關門，在1樓按下按鈕后將同時打開門），且每部電梯容量足夠容納所有人.定義為：從A（B）電梯開門時刻算起，到電梯內最后一人到達目標樓層后A（B）電梯門關閉為止，所花時間.記"運輸完成時間".

（1）若所有人均乘坐一部電梯，求；

（2）為了研究的最小值，我們需要對電梯的"乘坐安排"作出一些合理假設.例如：假設兩部電梯都有人乘坐。理由：分開乘坐，比如去2層的人都坐電梯A，其余人坐電梯B，則均小于（1）中，故"運輸完成時間"也小于（1）中，所以要使得最小，兩部電梯一定都有人乘坐.請你在此基礎上再提出1至2條關于電梯"乘坐安排"的合理假設，并簡述作出這些假設的理由（若有多條假設，請按重要性從高到低寫出最重要的兩條）；（3）求出最小值.

20.（本題滿分18分，第（1）題滿分4分，第（2）題滿分6分，第（3）題滿分8分）如圖，已知橢圓經過點，離心率.

（1）求橢圓的標準方程;

（2）橢圓上任意點軸上一點,若的最小值為,求實數的取值范圍;

（3）設是經過右焦點的任一弦（不經過點），直線與直線相交于點，記的斜率分別為,求證:成等差數列.

21.（本題滿分18分，第（1）題滿分4分，第（2）題滿分6分，第（3）題滿分8分）已知是定義在上的函數，滿足恒成立.數列滿足:，.

（1）若函數,求實數的取值范圍;

（2）若函數是上的減函數，求證：對任意正實數，均存在，使得時，均有；

（3）求證："函數是上的增函數"是"存在，使得"的充分非必要條件。

【附加題】（共10分）世界上除了圓形的輪子之外，還有一些好事之徒制作了不少形狀的多邊形輪子．（1）如圖，平面直角坐標系內有一個邊長為的點方形，其初始位置為，，，．①將整個正方形繞點順時針旋轉，使點首次旋轉到軸正半軸上停止；②再將整個正方形繞點順時針旋轉，使點首次選擇到軸正半軸上停止；③再將整個正方形繞點順時針旋轉，使點首次選擇到軸正半軸上停止；④再將整個正方形繞點順時針旋轉，使點首次選擇到軸正半軸上停止．我們將上述四個步驟依次操作一遍，稱為將正方形“滾動”一周.為任點向軸正方向移動100個單位長度，需要將正方形“滾動”_______周，在這個過程中，點經過的路徑總長度為________個單位長度；（2）如果制造一個正邊形的“輪子”.該正邊形的中心到任意一個頂點的距離為1．共將該正邊形的"輪子"振動一周，求點經過的路徑總長度；（3）根據（2）中結果猜想：半徑為1的圓形輪子在平地上滾動一周，則圓周上任意一點經過的路徑總長度是多少？（不必說明理由）

2024-2025學年上海市虹口區(qū)高三上學期11月期中數學檢測試卷一、填空題（本大題共有12題,滿分54分,第1-6題每題4分,第7-12題每題5分）

1.已知集合,且,則實數.

【正確答案】-1

2.已知扇形的半徑是3,弧長為6,則扇形圓心角的弧度數是.

【正確答案】2

3.*已知點是角終邊上一點,若,則.

【正確答案】

4.*已知，向量與的夾角為.向量在方向上的數量投影為.

【正確答案】1

5.已知直線,若,則實數的值為.

【正確答案】-1

6.若有兩個復數,滿足,則.

【正確答案】，同理均為的根，且顯然為不等的兩共軛虛根，所以.

7.上海是一座魔幻都市，有著豐富的旅游資源。甲、乙兩人相約來到上海旅游，兩人分別從四個景點中隨機選擇一個景點游覽，甲、乙兩人恰好選擇同一景點的概率為.

【正確答案】8.*若,則.

【正確答案】

對函數求導得，；令，得，整理得.因此，故.

9.*已知函數的值域是，則實數的取值范圍是.

【正確答案】

10.中國剪紙是一種用剪刀或刻刀在紙上剪刻花紋的中國古老民間藝術之一.已知某剪紙的裁剪工藝如下:取一張半徑為1的圓形紙片,記為,在內作內接正方形,接著在該正方形內作內切圓,記為,并裁剪去該正方形與內切圓之間的部分（如圖所示陰影部分），記為一次裁剪操作，，不斷重復上述裁剪操作，則被裁剪部分的面積之和的極限為.【正確答案】

設的半徑為,則,的半徑為,即,可知每一次裁剪部分的面積構成等比數列,公比為.第一次裁剪的面積為,故被裁剪掉的總面積的極限為.

11.為雙曲線右支上兩不同點,則取值范圍是.

【正確答案】

方法一：

取等條件是.顯然該式可以取到無限大.

方法二：，所以,取等條件是.

方法三：設直線AB方程為與雙曲線右支交于兩點，聯立得

方法四：雙曲線圖像與函數圖像全等.

在上取兩點,可知.時,取等條件為

12.和的零點按從小到大順序可以分別構成兩個等差數列，則所構成的集合為.【正確答案】.

二、選擇題（本題共4小題，前2題每小題4分；后2題每小題5分，共18分）

13.*若,則是（）.

A.銳角三角形;B.直角三角形;C.鈍角三角形;D.無法確定.

【正確答案】C

14.將某學校一次物理測試學生的成績統(tǒng)計如下圖所示,則估計本次物理測試學生成績的平均分為（）（同一組數據用該組區(qū)間的中點值作代表）.A.68;B.70;C.72;D.74.

【正確答案】C

依題意，，解得，則平均分為.故選：C.

15.*設與是兩個不同的冪函數,記,則中的元素個數的可能是（）.

A.0、1、2、;B.1、2、3;C.1、2、3、4;D.0、1、2、;3.

【正確答案】B

16.已知定圓,點A是圓所在平面內一定點,點是圓上的動點,若線段的中垂線交直線于點，則點的軌跡可能是：(1)橢圓；(2)雙曲線；(3)拋物線；(4)圓；(5)直線；(6)一個點.其中所有可能的結果有（）.

A.2個;B.3個;C.4個;D.5個.

【正確答案】C(1)橢圓（點A在圓內，不包括圓心）(2)雙曲線（點A在圓外）(4)圓（點A恰為圓心）(6)一個點（點A在圓上）

三、解答題.（本大題共5小題，滿分78分）

17.（本題滿分14分,第（1）題滿分6分，第（2）題滿分8分）如圖所示五面體中,四邊形為長方形,平面和是全等的等邊三角形.（1）求證:;

（2）若已知,求該五面體的體積.【正確答案】（1）見解析（2）（1）五面體中，因為平面,平面,平面平面,所以.

（2）過點作,作,垂足分別為,過點作,作,垂足分別為,連接,如圖,取中點,連接,由知,,因為,且是平面內兩相交直線,所以平面,

因為平面,所以,又是平面內兩相交直線,

所以平面,在中,,可得,∴四棱錐和的體積均為,三棱柱的體積,所以,該五面體的體積為.

18.（本題滿分14分,第(1)題滿分6分,第(2)題滿分8分)

*設（常數）。

（1）為上的嚴格增函數，求實數的取值范圍；

（2）設，若對于任意，都有成立，求實數的取值范圍.

【正確答案】（1）（2）

（1）求導可得.在上恒成立,所以等號不同時取到,故實數的取值范圍是

（2）不妨設,則由(1)可知函數在上嚴格增,故.此時，不等式等價于。

令.由上一段的論述，函數在是嚴格增函數，

故在上恒成立,只需.

求導可得

解得.

19.（本題滿分14分，第（1）題滿分2分，第（2）題滿分4分，第（3）題滿分8分）

仰暉樓有A、B兩部電梯。已知電梯每上一層需要5秒，電梯在某層樓停留時開門到關門所花時間為10秒（人員均能在電梯開關門時間內完成進出電梯和按樓層等操作）.某天清晨，樓上還沒有人，1樓已經有若干人均欲乘坐電梯上樓，目的地分別是樓.現兩部電梯均恰好在1樓（兩部電梯互相獨立運行，可以獨立開關門，在1樓按下按鈕后將同時打開門），且每部電梯容量足夠容納所有人.定義為：從A（B）電梯開門時刻算起，到電梯內最后一人到達目標樓層后A（B）電梯門關閉為止，所花時間.記"運輸完成時間".

（1）若所有人均乘坐一部電梯，求；

（2）為了研究的最小值，我們需要對電梯的"乘坐安排"作出一些合理假設.例如：假設兩部電梯都有人乘坐。理由：分開乘坐，比如去2層的人都坐電梯A，其余人坐電梯B，則均小于（1）中，故"運輸完成時間"也小于（1）中，所以要使得最小，兩部電梯一定都有人乘坐.請你在此基礎上再提出1至2條關于電梯"乘坐安排"的合理假設，并簡述作出這些假設的理由（若有多條假設，請按重要性從高到低寫出最重要的兩條）；（3）求出最小值.

【正確答案】（1）145秒（2）見解析（3）95秒（1）包括1樓，電梯共開關門10次數，上升9層，所以完成運輸所花時間秒。

（2）假設一：目的地為同一層樓的人都坐同一部電梯，即A、B電梯所到樓層不重疊.理由：將目的地為同一層樓的人調整到同一部電梯可以使得其中一部電梯至少節(jié)約10秒，這樣調整后方案的"運輸完成時間"必然不大于原方案.

假設二：不妨設A電梯到達10層，則可假設B電梯停留層數均小于A電梯停留層數.

理由：記B電梯最高到達樓，若存在A電梯到達樓，且的情況.兩部電梯交換這兩層的人，則不變，至少減少5秒，新方案"運輸完成時間"必然不大于原方案.

（3）設A電梯到達樓層為層，，B電梯到達樓層為層.時，取得最小值95秒，即A電梯目的地為710層，B電梯目的地為層.

20.（本題滿分18分，第（1）題滿分4分，第（2）題滿分6分，第（3）題滿分8分）如圖，已知橢圓經過點，離心率.

（1）求橢圓的標準方程;

（2）橢圓上任意點軸上一點,若的最小值為,求實數的取值范圍;

（3）設是經過右焦點的任一弦（不經過點），直線與直線相交于點，記的斜率分別為,求證:成等差數列.【正確答案】（1）（2）（3）見解析（1）由題意，點在橢圓上得，可得①

又由,所以②，由①②聯立且,可得,

故橢圓的標準方程為.（2）設，令,對稱軸為,因為,當,即,,故符合題意;當,即,

所以,解得,不符合題意;

當,即,,解得；

所以實數的取值范圍為:.

（3）由（1）知，橢圓的方程為，可得橢圓右焦點坐標，顯然直線斜率存在，設的斜率為，則直線的方程為，聯立方程組,整理得,

易知,設,則有,由直線的方程為,令,可得,即,從而,

又因為共線,則有,即有,所以將,代入得,又由，所以，即成等差數列.

21.（本題滿分18分，第（1）題滿分4分，第（2）題滿分6分，第（3）題滿分8分）已知是定義在上的函數，滿足恒成立.數列滿足:，.

（1）若函數,求實數的取值范圍;

（2）若函數是上的減函數，求證：對任意正實數，均存在，使得時，均有；

（3）求證："函數是上的增函數"是"存在，使得"的充分非必要條件。

【正確答案】（1）（2）見解析（3）見解析（1）由，即對一切恒成立，所以