工科數(shù)學(xué)分析 上冊(cè)（第2版）課件：一階微分方程

《工科數(shù)學(xué)分析》一階微分方程

1、可分離的微分方程可分離的微分方程典型例題小結(jié)可分離變量的微分方程.解法為微分方程的解.分離變量法一、可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程.這樣變量就“分離”開(kāi)來(lái)了，兩邊積分，有通解如果有y0使得g(y0)=0,則y=y0也是解，但它可能不包含在上述通解中，必須補(bǔ)上。故通解不一定包含了方程的所有解。例1求解微分方程解分離變量?jī)啥朔e分二、典型例題通解為解解由題設(shè)條件衰變規(guī)律解例4

某車(chē)間體積為12000立方米,開(kāi)始時(shí)空氣中含有的,為了降低車(chē)間內(nèi)空氣中的含量,用一臺(tái)風(fēng)量為每秒2000立方米的鼓風(fēng)機(jī)通入含的的新鮮空氣,同時(shí)以同樣的風(fēng)量將混合均勻的空氣排出,問(wèn)鼓風(fēng)機(jī)開(kāi)動(dòng)6分鐘后,車(chē)間內(nèi)的百分比降低到多少?設(shè)鼓風(fēng)機(jī)開(kāi)動(dòng)后時(shí)刻的含量為在內(nèi),的通入量的排出量的通入量的排出量的改變量6分鐘后,車(chē)間內(nèi)的百分比降低到分離變量法步驟:1、分離變量;2、兩端積分-------隱式通解.三、小結(jié)2、齊次方程齊次方程可化為齊次的方程小結(jié)一、齊次方程

的微分方程稱(chēng)為齊次方程.2.解法作變量代換代入原式可分離變量的方程1.定義例1

求解微分方程微分方程的解為解例2

求解微分方程解微分方程的通解為另外其還有解二、可化為齊次的方程1.定義為非齊次方程解代入原方程得分離變量法得得原方程的通解方程變?yōu)槔?

求解微分方程解令再令兩邊積分后得變量還原得例5

求微分方程

的通解.解令令令兩邊同時(shí)積分得變量還原后得通解利用變量代換求微分方程的解解代入原方程原方程的通解為三、小結(jié)齊次方程齊次方程的解法可化為齊次方程的方程一階線(xiàn)性微分方程線(xiàn)性方程伯努利Bernoulli方程小結(jié)一階線(xiàn)性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式:上方程稱(chēng)為齊次的.上方程稱(chēng)為非齊次的.一、線(xiàn)性方程例如線(xiàn)性的;非線(xiàn)性的.齊次方程的通解為1.線(xiàn)性齊次方程一階線(xiàn)性微分方程的解法(使用分離變量法)2.線(xiàn)性非齊次方程討論兩邊積分非齊次方程通解形式與齊次方程通解相比:常數(shù)變易法把齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法.實(shí)質(zhì):

未知函數(shù)的變量代換.作變換積分得一階線(xiàn)性非齊次微分方程的通解為:對(duì)應(yīng)齊次方程通解非齊次方程特解1、微分方程的通解并不是所有解。但特別地，線(xiàn)性微分方程的通解

包含了該方程的一切解。2、并不是所有微分方程都有通解。如：/p/409619526

解例1例2

如圖所示，平行于軸的動(dòng)直線(xiàn)被曲線(xiàn)與截下的線(xiàn)段PQ之長(zhǎng)數(shù)值上等于陰影部分的面積,求曲線(xiàn)兩邊求導(dǎo)得解解此微分方程所求曲線(xiàn)為伯努利(Bernoulli)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式方程為線(xiàn)性微分方程.

方程為非線(xiàn)性微分方程.二、伯努利方程解法:

需經(jīng)過(guò)變量代換化為線(xiàn)性微分方程.求出通解后，將代入即得代入上式此外，當(dāng)n>0,還有解y=0.解例3此外，還有解y=0.例4

用適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q解下列微分方程:解所求通解為解分離變量法得所求通解為解代入原式分離變量法得