曲 率教學(xué)課件

曲率曲率已知如果兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性相同，它們所對(duì)應(yīng)的凹凸性不一定相同.即使兩個(gè)函數(shù)凹凸一致也不能判定它們所對(duì)應(yīng)的函數(shù)相等，因?yàn)樗鼈儓D形的彎曲程度不一定相同.在生產(chǎn)實(shí)踐和工程技術(shù)中，常常需要研究曲線(xiàn)的彎曲程度.例如，設(shè)計(jì)鐵路、髙速公路的彎道時(shí)，就需要根據(jù)最高限速來(lái)確定彎道的彎曲程度.所以，引出了曲率，用它來(lái)描述曲線(xiàn)的彎曲程度.

作為曲率的預(yù)備知識(shí)，先介紹弧微分的概念.一、弧微分設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，x0為a,b內(nèi)一定點(diǎn)，x,x+Δx為a,b內(nèi)兩個(gè)鄰近的點(diǎn)，M0,M,M′分別為曲線(xiàn)y=f(x)上與x0,x,x+Δx對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，如圖4-17所示.在曲線(xiàn)y=f(x)上取定點(diǎn)M0作為度量弧長(zhǎng)的起點(diǎn)，并規(guī)定依增大的方向作為弧的正向.圖4-17一、弧微分以s表示這條曲線(xiàn)由點(diǎn)M0到點(diǎn)M的一段弧M0M的長(zhǎng)度，即s=M0M(有向曲線(xiàn)弧M0M的值也常記為M0M).顯然，弧長(zhǎng)s是隨點(diǎn)Mx,y的確定而確定的，也就是說(shuō)s是x的函數(shù)，記為s=s(x),而且s(x)是x的單調(diào)增加函數(shù).

下面用已知函數(shù)y=f(x)來(lái)表示弧長(zhǎng)s的微分ds.

設(shè)對(duì)應(yīng)于x的增量Δx，弧長(zhǎng)s的增量為Δs，則Δs=MM′(見(jiàn)圖4-17).因?yàn)橄襇M′的長(zhǎng)度MM′2=Δx2+Δy2,

一、弧微分一、弧微分上式稱(chēng)為弧s=s(x)關(guān)于x的弧微分公式.二、曲率的概念及其計(jì)算先從幾何圖形上分析哪些量與曲線(xiàn)彎曲程度有關(guān).

如圖4-18所示，弧段M1M2比較平直，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)沿著這段弧從M1移動(dòng)到M2時(shí)，切線(xiàn)轉(zhuǎn)過(guò)的角度為φ1，而弧段M2M3彎曲得比較厲害，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)沿著這段弧從M2移動(dòng)到M3時(shí)，切線(xiàn)轉(zhuǎn)過(guò)的角度為φ2.圖4-18二、曲率的概念及其計(jì)算顯然φ2>φ1.然而，從圖4-19可以看出，兩曲線(xiàn)弧M1M2及N1N2的切線(xiàn)轉(zhuǎn)角相同，但彎曲程度明顯不同，短弧段比長(zhǎng)弧段彎曲得厲害些.因此，曲線(xiàn)弧的彎曲程度與弧段的長(zhǎng)度和切線(xiàn)轉(zhuǎn)過(guò)的角度均有關(guān).

圖4-19二、曲率的概念及其計(jì)算由此，引入描述曲線(xiàn)彎曲程度的概念——曲率.

設(shè)M,M′是曲線(xiàn)y=f(x)上兩點(diǎn)(見(jiàn)圖4-20)，設(shè)曲線(xiàn)在點(diǎn)M和點(diǎn)M′處切線(xiàn)的傾斜角分別為α和α+Δα，當(dāng)點(diǎn)從M沿曲線(xiàn)y=f(x)變到M′時(shí)，切線(xiàn)的轉(zhuǎn)角為Δα，而改變這個(gè)角度所經(jīng)過(guò)的路程則是弧長(zhǎng)Δs=MM′.圖4-20二、曲率的概念及其計(jì)算二、曲率的概念及其計(jì)算例如，直線(xiàn)的切線(xiàn)就是其本身，當(dāng)點(diǎn)沿直線(xiàn)移動(dòng)時(shí)，切線(xiàn)的

它表明直線(xiàn)上任一點(diǎn)的曲率都等于零.這與人們的直覺(jué)“直線(xiàn)不彎曲”是一致的.

又如，半徑為R的圓，圓上點(diǎn)M，M′處的切線(xiàn)所夾的角Δα等于中心角∠MO′M′(見(jiàn)圖4-21)，由于

所以圖4-21二、曲率的概念及其計(jì)算這表明，圓上各點(diǎn)處的曲率都等于半徑的倒數(shù)，且半徑越小曲率越大，即彎曲得越厲害.

下面來(lái)推導(dǎo)實(shí)際計(jì)算曲率的公式.

二、曲率的概念及其計(jì)算在直角坐標(biāo)系下，不能直接得到α與s之間的關(guān)系，但可以得到變量α，s與變量x的關(guān)系.二、曲率的概念及其計(jì)算【例49】二、曲率的概念及其計(jì)算【例50】三、曲率圓前面講過(guò)，圓周函數(shù)的任意點(diǎn)的曲率都是相同的，并且等于圓周半徑的倒數(shù)，這就啟發(fā)人們對(duì)于一般的曲線(xiàn)，都可以定義它的任意一點(diǎn)的曲率的倒數(shù)為曲線(xiàn)在這點(diǎn)的曲率半徑.

顯然，這個(gè)定義是具有非常直觀的意義的，因?yàn)楦鶕?jù)前面曲率的一般計(jì)算公式，可以看到一般曲線(xiàn)在某點(diǎn)的曲率完全由曲線(xiàn)在該點(diǎn)的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)決定，因此如果過(guò)曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)作一個(gè)圓與曲線(xiàn)相切，圓的半徑就是該點(diǎn)的曲率半徑，那么曲線(xiàn)在該點(diǎn)的曲率只與該點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)有關(guān)的性質(zhì)，就完全可以通過(guò)研究通過(guò)該點(diǎn)的這個(gè)圓而得到，因?yàn)樗鼈兙哂型瑯拥陌纪剐院颓?，以及共同的切線(xiàn).稱(chēng)這個(gè)圓為曲線(xiàn)在該點(diǎn)的曲率圓，而這個(gè)圓的圓心則稱(chēng)為曲線(xiàn)在該點(diǎn)的曲率中心.

三、曲率圓根據(jù)曲率半徑的定義，曲線(xiàn)上某點(diǎn)處的曲率半徑ρ與曲線(xiàn)在該點(diǎn)處的曲率K互為倒數(shù)，即上述公式表明，曲線(xiàn)上某點(diǎn)處的曲率半徑越大，曲線(xiàn)在該點(diǎn)處的曲率越小，則曲線(xiàn)越平緩；曲率半徑越小，曲率越大，則曲線(xiàn)在該點(diǎn)處彎曲得越厲害.三、曲率圓下面求曲率中心的坐標(biāo).

如圖4-22所示，設(shè)曲線(xiàn)的方程為y=f(x)，其二階導(dǎo)數(shù)y″在點(diǎn)x處不等于零，則曲線(xiàn)在點(diǎn)M(x,y)處的曲率中心O′(a,b)的坐標(biāo)為圖4-22三、曲率圓三、曲率圓當(dāng)點(diǎn)M(x,y)沿著曲線(xiàn)C