2.1兩條直線的位置關(guān)系 第2課時(shí) 垂線與垂線段（教學(xué)課件）- 七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)同步備課系列（北師大2024版）

2.1兩條直線的位置關(guān)系第2課時(shí)

垂線與垂線段1.了解垂線的有關(guān)概念、性質(zhì)及畫法，了解點(diǎn)到直線的距離的概念；（重點(diǎn)）2.能夠運(yùn)用垂線的有關(guān)性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算，并解決實(shí)際問題.（難點(diǎn)）

觀察下面圖片,你能找出其中相交的直線嗎?它們有什么特殊的位置關(guān)系?日常生活中，如圖中的兩條直線的關(guān)系很常見，你能再舉出其他例子嗎？ba1243想一想：兩條相交直線在什么情況下是垂直的？120°60°120°90°90°90°垂直這是兩條直線相交的特殊情況.探究一：垂直的定義與表示如圖,已知∠1=60°,那么∠2=

，∠3=

，∠4=

.改變圖中∠1的大小，若∠1=90°,則∠2=

，∠3=

，∠4=

，這時(shí)兩條直線的關(guān)系是

.

兩條直線相交成四個(gè)角,如果有一個(gè)角是直角,那么稱這兩條直線互相垂直,其中一條直線叫作另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫做垂足.垂直是兩直線相交的一種特例.1.垂直的定義?注意：(1)線段與線段、線段與射線、射線與射線、線段與直線、射線與直線垂直,指它們所在的直線互相垂直;(2)兩條直線互相垂直,則形成的四個(gè)角為直角.反之,要說明兩條直線垂直,只要說明這兩條直線相交成的角中有一個(gè)角為直角即可.通常用符號(hào)“⊥”表示兩條直線互相垂直.2.垂直的表示方法DCBAOOlm如圖：如果直線AB與直線CD垂直，記作：AB⊥CD（或CD⊥AB）；直線l與m垂直，記作l⊥m.其中，點(diǎn)O是垂足.ACBDE解：CE⊥CD，理由如下：∵∠ACE=31°，∠DCB=59°,∴∠ECD=180°-∠ACE-∠DCB=180°-31°-59°

=90°.∴CE⊥CD.例1

如圖，C為直線AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)C引兩條射線CE，CD，且∠ACE=31°，∠DCB=59°.那么CE，CD的位置關(guān)系是什么?為什么?(1)如圖,O為直線AB上一點(diǎn)，∠AOC＝∠BOC，那么OC與AB垂直嗎？為什么？ABCO由∠AOC＝∠BOC，且∠AOC+∠BOC＝180°，可得∠AOC＝∠BOC=90°，所以O(shè)C⊥AB.(2)以下是小穎的思考過程，她的想法正確嗎？你知道她每一步的依據(jù)嗎?與同伴進(jìn)行交流.(3)如果OC⊥AB，那么∠AOC＝∠BOC嗎？因?yàn)镺C⊥AB，所以∠AOC＝∠BOC=90°.探究二：垂線的畫法(1)你能用折疊的方法折出互相垂直的直線嗎？試試看！(2)如果只有直尺，你能在方格紙上畫出已知直線的垂線嗎？你還能再畫出兩條互相垂直的直線嗎？畫已知直線的垂線有三種方法：(1)用三角尺畫垂線;(2)用量角器畫垂線;(3)借助網(wǎng)格紙畫垂線.C例2

下列各圖中,過直線l外的點(diǎn)P畫直線l的垂線,三角尺操作正確的是(

)探究三：垂線的性質(zhì)和點(diǎn)到直線的距離做一做：(1)畫已知直線l的垂線能畫幾條?

l可以畫無數(shù)條1.放2.靠3.畫(2)如圖，點(diǎn)A在直線l上,過點(diǎn)A畫直線l的垂線，你能畫出多少條?可以畫一條.

lA

1.放2.靠3.移4.畫.(3)如圖，點(diǎn)A在直線l外,過點(diǎn)A畫直線l的垂線，你能畫出多少條呢?根據(jù)以上操作，你能得出什么結(jié)論

lA

1.放2.靠3.移4.畫可以畫一條..同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直.?注意：1.“過一點(diǎn)”中的點(diǎn)，可以在已知直線上，也可以在已知直線外；2.“有且只有”中，“有”指存在，“只有”指唯一性.垂線的性質(zhì)1：線段PO最短.（4）如圖所示，P是直線l外一點(diǎn),PO⊥l,點(diǎn)O是垂足.點(diǎn)A,B,C在直線l上,比較線段PO,PA,PB,PC的長(zhǎng)短,你發(fā)現(xiàn)了什么?直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短.簡(jiǎn)單說成：垂線段最短.垂線的性質(zhì)2：點(diǎn)到直線的距離：如圖所示，過點(diǎn)A作直線l的垂線,垂足為B,線段AB的長(zhǎng)度叫做點(diǎn)A到直線l的距離.432.4例3如圖所示，在三角形ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足為D.若AC=4cm,BC=3cm,AB=5cm,則點(diǎn)A到直線BC的距離為

cm,點(diǎn)B到直線AC的距離為

cm,點(diǎn)C到直線AB的距離為

cm.

D解析：點(diǎn)到直線的距離是該點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度,而垂線段是該點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的連線中最短的,從條件看,PC是三條線段中最短的,但不一定是所有線段中最短的,所以點(diǎn)P到直線m的距離應(yīng)該是不大于2cm.例4P為直線m外一點(diǎn)，A,B,C為直線m上的三點(diǎn)，PA=4cm，PB=5cm，PC=2cm,則點(diǎn)P到直線m的距離 (

)A.等于4cm B.等于2cmC.小于2cm D.不大于2cmC2.P為直線l外一點(diǎn),A,B,C為直線l上的三點(diǎn),PA=3cm,PB=4cm,PC=5cm,則點(diǎn)P到直l的距離(

)A.等于2cm B.等于3cmC.小于3cm D.不大于3cmD1.如圖所示，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，下列條件中，不能說明AB⊥CD的是(

)A.∠AOD=90°B.∠AOC=∠BOCC.∠BOC+∠BOD=180°D.∠AOC+∠BOD=180°垂線段最短65°3.如圖所示,已知點(diǎn)O在直線AB上,CO⊥DO.若∠1=155°,則∠3的度數(shù)為

.

4.如圖所示，單位要在河岸l上建一個(gè)水泵房引水到C處.他們的做法是:過點(diǎn)C作CD⊥l于點(diǎn)D,將水泵房建在了D處.這樣做最節(jié)省水管,其數(shù)學(xué)道理是

.

解:如圖,過點(diǎn)A畫CB的垂線,交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.E根據(jù)點(diǎn)到直線的距離的定義:從直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度,叫這點(diǎn)到這條直線的距離.可得AE的長(zhǎng)度即為點(diǎn)A到直線CB的距離.5.如圖所示，過點(diǎn)A畫CB的垂線,并指出哪條線段的長(zhǎng)度表示點(diǎn)A到直線CB的距離.解:∵AB⊥CD,∴∠COB=90°.∴∠EOB=90°-∠COE=90°-35°=55°.∴∠BOF=180°-∠EOB=180°-55°=125°.故∠EOB的度數(shù)是55°,∠BOF的度數(shù)是125°.6.如圖所示，直線AB，CD，EF都經(jīng)過點(diǎn)O，且AB⊥CD，∠COE=35°，求∠EOB，∠BOF的度數(shù).垂直的定義垂線的畫法垂線的性質(zhì)點(diǎn)到直線的距離兩條直線的位置關(guān)系當(dāng)兩條直