平面直角坐標(biāo)系知識(shí)講解VIP

PAGE平面直角坐標(biāo)系知識(shí)講解【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、有序數(shù)對(duì)定義：把有順序的兩個(gè)數(shù)a與b組成的數(shù)對(duì)，叫做有序數(shù)對(duì)，記作(a，b)．要點(diǎn)詮釋：有序，即兩個(gè)數(shù)的位置不能隨意交換，(a，b)與(b，a)順序不同，含義就不同，如電影院的座位是6排7號(hào)，可以寫成(6，7)的形式，而(7，6)則表示7排6號(hào)．要點(diǎn)二、平面直角坐標(biāo)系及點(diǎn)的坐標(biāo)的概念1.平面直角坐標(biāo)系在平面內(nèi)畫兩條互相垂直、原點(diǎn)重合的數(shù)軸就組成平面直角坐標(biāo)系.水平的數(shù)軸稱為x軸或橫軸，習(xí)慣上取向右為正方向；豎直的數(shù)軸稱為y軸或縱軸，取向上方向?yàn)檎较?，兩坐?biāo)軸的交點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)(如圖1).要點(diǎn)詮釋：平面直角坐標(biāo)系是由兩條互相垂直且有公共原點(diǎn)的數(shù)軸組成的.2.點(diǎn)的坐標(biāo)平面內(nèi)任意一點(diǎn)P，過點(diǎn)P分別向x軸、y軸作垂線，垂足在x軸、y軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)a，b分別叫做點(diǎn)P的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)，有序數(shù)對(duì)（a,b）叫做點(diǎn)P的坐標(biāo)，記作:P(a,b)，如圖2.要點(diǎn)詮釋：（1）表示點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，約定橫坐標(biāo)寫在前，縱坐標(biāo)寫在后，中間用“，”隔開．（2）點(diǎn)P(a，b)中，|a|表示點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離；|b|表示點(diǎn)到x軸的距離.(3)對(duì)于坐標(biāo)平面內(nèi)任意一點(diǎn)都有唯一的一對(duì)有序數(shù)對(duì)(x，y)和它對(duì)應(yīng),反過來(lái)對(duì)于任意一對(duì)有序數(shù)對(duì)，在坐標(biāo)平面內(nèi)都有唯一的一點(diǎn)與它對(duì)應(yīng)，也就是說，坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)與有序數(shù)對(duì)是一一對(duì)應(yīng)的．要點(diǎn)三、坐標(biāo)平面1.象限建立了平面直角坐標(biāo)系以后，坐標(biāo)平面就被兩條坐標(biāo)軸分成如圖所示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四個(gè)部分，分別叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限，如下圖．要點(diǎn)詮釋：（1）坐標(biāo)軸x軸與y軸上的點(diǎn)(包括原點(diǎn))不屬于任何象限．（2）按方位來(lái)說：第一象限在坐標(biāo)平面的右上方，第二象限在左上方，第三象限在左下方，第四象限在右下方.2.坐標(biāo)平面的結(jié)構(gòu)坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)可以劃分為六個(gè)區(qū)域：x軸，y軸、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限.這六個(gè)區(qū)域中，除了x軸與y軸有一個(gè)公共點(diǎn)（原點(diǎn)）外，其他區(qū)域之間均沒有公共點(diǎn).要點(diǎn)四、點(diǎn)坐標(biāo)的特征1.各個(gè)象限內(nèi)和坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)符號(hào)規(guī)律要點(diǎn)詮釋：（1）對(duì)于坐標(biāo)平面內(nèi)任意一個(gè)點(diǎn)，不在這四個(gè)象限內(nèi)，就在坐標(biāo)軸上.（2）坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：x軸上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0；y軸上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0．（3）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)的符號(hào)情況可以判斷點(diǎn)在坐標(biāo)平面上的大概位置；反之，根據(jù)點(diǎn)在坐標(biāo)平面上的位置也可以判斷點(diǎn)的坐標(biāo)的符號(hào)情況．2.象限的角平分線上點(diǎn)坐標(biāo)的特征第一、三象限角平分線上點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)相等，可表示為(a，a)；第二、四象限角平分線上點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，可表示為(a，-a)．3.關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征P(a，b)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(a,-b)；P(a，b)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(-a,b)；P(a，b)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(-a,-b)．4.平行于坐標(biāo)軸的直線上的點(diǎn)平行于x軸的直線上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同；平行于y軸的直線上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同.【典型例題】類型一、有序數(shù)對(duì)表示位置 1．如圖是小剛的一張笑臉，他對(duì)妹妹說：如果我用（0,2）表示左眼，用（2,2）表示右眼，那么嘴的位置可以表示成（）．A．（1，0）B．（-1，0）C．（-1，1）D．（1，-1）【思路點(diǎn)撥】由（0，2）表示左眼，用（2，2）表示右眼，可以確定平面直角坐標(biāo)系中x軸與y軸的位置，從而可以確定嘴的位置．【答案】A．【解析】解：根據(jù)（0，2）表示左眼，用（2，2）表示右眼，

可得嘴的坐標(biāo)是（1，0），

故答案為A．【總結(jié)升華】此題考查了坐標(biāo)確定位置，由已知條件正確確定坐標(biāo)軸的位置是解決本題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式】下列數(shù)據(jù)不能表示物體位置的是（）．A．5樓6號(hào)B．北偏東30°C．希望路20號(hào)D．東經(jīng)118°，北緯36°【答案】B（提示A.5樓6號(hào)，是有序數(shù)對(duì)，能確定物體的位置；B.北偏東30°，不是有序數(shù)對(duì)，不能確定物體的位置；C.希望路20號(hào)，“希望路”相當(dāng)于一個(gè)數(shù)據(jù)，是有序數(shù)對(duì)，能確定物體的位置；D.東經(jīng)118°北緯36°，是有序數(shù)對(duì)，能確定物體的位置．）類型二、平面直角坐標(biāo)系與點(diǎn)的坐標(biāo)的概念2.有一個(gè)長(zhǎng)方形ABCD，長(zhǎng)為5，寬為3，先建立一個(gè)平面直角坐標(biāo)系，在此坐標(biāo)系下求出A，B，C，D各點(diǎn)的坐標(biāo).【答案與解析】解：本題答案不唯一，現(xiàn)列舉三種解法.解法一：以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，邊AB所在的直線為x軸，邊AD所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖（1）：A（0，0），B（5，0），C（5，3），D（0，3）.解法二：以邊AB的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，邊AB所在的直線為x軸，AB的中點(diǎn)和CD的中點(diǎn)所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖（2）：A（﹣2.5，0），B（2.5，0），C（2.5，3），D（-2.5，3）.解法三：以兩組對(duì)邊中點(diǎn)所在直線為x軸、y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖（3）：A（﹣2.5，-1.5），B（2.5，-1.5），C（2.5，1.5），D（-2.5，1.5）.【總結(jié)升華】在不同平面直角坐標(biāo)系中，長(zhǎng)方形頂點(diǎn)坐標(biāo)不同，說明位置的相對(duì)性與絕對(duì)性，即只要原點(diǎn)、x軸和y軸確定，每一個(gè)點(diǎn)的位置也確定，而一旦原點(diǎn)或x軸、y軸改變，每一個(gè)點(diǎn)的位置也相對(duì)應(yīng)地改變.舉一反三：【變式】點(diǎn)A(m，n)到x軸的距離為3，到y(tǒng)軸的距離為2，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為________．【答案】(2，3)或(-2，3)或(-2，-3)或(2，-3).3.平面直角坐標(biāo)系中，已知△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A(-3，-1)，B(1，3)，C(2，-3)．求△ABC的面積．【思路點(diǎn)撥】三角形的三邊都不與坐標(biāo)軸平行，根據(jù)平面直角坐標(biāo)系的特點(diǎn)，可以將三角形的面積轉(zhuǎn)化為梯形或長(zhǎng)方形的面積減去多余的直角三角形的面積，即可求得此三角形的面積．【答案與解析】解：如圖所示，過點(diǎn)A、C分別作平行于y軸的直線與過B點(diǎn)平行于x軸的直線交于點(diǎn)D、E，則四邊形ACED為梯形，根據(jù)點(diǎn)A(-3，-1)、B(1，3)、C(2，-3)可求得AD＝4，CE＝6，DB＝4，BE＝1，DE＝5，所以△ABC的面積為：．【總結(jié)升華】點(diǎn)的坐標(biāo)能體現(xiàn)點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離，解決平面直角坐標(biāo)系中的三角形面積問題，就是要充分利用這一點(diǎn)，將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形，再利用相關(guān)圖形的面積計(jì)算公式求解．舉一反三：【變式】如圖所示，已知A1(1，0)，A2(1，1)，A3(-1，1)，A4(-1，-1)，A5(2，-1)，……，則點(diǎn)A2008的坐標(biāo)為________．【答案】(-502，-502)．類型三、坐標(biāo)平面及點(diǎn)的特征4.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)（﹣1，m+1）一定在第________象限．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)點(diǎn)在第二象限的坐標(biāo)特點(diǎn)解答即可．【答案】二.【解析】解：∵點(diǎn)（﹣1，m+1）的橫坐標(biāo)﹣1＜0，縱坐標(biāo)m+1＞0，∴符合點(diǎn)在第二象限的條件，故點(diǎn)（﹣1，m2+1）一定在第二象限．【總結(jié)升華】本題主要考查平面直角坐標(biāo)系中各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的符號(hào)．舉一反三：【變式1】點(diǎn)P(－m,n)在第三象限，則m，n的取值范圍是________.【答案】．【變式2】在平面直角坐標(biāo)系中，橫、縱坐標(biāo)滿足下面條件的點(diǎn)，分別在第幾象限或哪條坐標(biāo)軸上．(1)點(diǎn)P(x，y)的坐標(biāo)滿足xy＞0．(2)點(diǎn)P(x，y)的坐標(biāo)滿足xy＜0．（3）點(diǎn)P(x，y)的坐標(biāo)滿足xy=0．【答案】(1)點(diǎn)P在第一、三象限；(2)點(diǎn)P在第二、四象限；（3）x軸或y軸.【變式3】若點(diǎn)C(x,y)滿足x+y＜0，xy＞0，則點(diǎn)C在第_____象限.【答案】三．5.一個(gè)正方形的一邊上的兩個(gè)頂點(diǎn)O、A的坐標(biāo)為O(0，0)，A(4，0)，則另外兩個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)是什么．【思路點(diǎn)撥】有點(diǎn)的坐標(biāo)說明已有確定的平面直角坐標(biāo)系，但正方形的另兩個(gè)頂點(diǎn)位置不確定，所以應(yīng)按不同位置分類去求．【答案與解析】解：不妨設(shè)另外兩個(gè)頂點(diǎn)為B、C，因?yàn)镺ABC是正方形，所以O(shè)C＝BA＝BC＝OA＝4．且OC∥AB，OA∥BC，則：(1)當(dāng)頂點(diǎn)B在第一象限時(shí)，如圖所示，顯然B點(diǎn)坐標(biāo)為(4，4)，C點(diǎn)坐標(biāo)為(0，4)．(2)當(dāng)頂點(diǎn)B在第四象限時(shí)，如圖所示，顯然B點(diǎn)坐標(biāo)為(4，-4)，C點(diǎn)坐標(biāo)為(0，-4)．【總結(jié)升華】在解答這類問題時(shí)，我們千萬(wàn)不要忽略了分類討論而導(dǎo)致錯(cuò)誤．舉一反三：【變式】在平