平面直角坐標(biāo)系知識(shí)講解_第1頁(yè)
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PAGE平面直角坐標(biāo)系知識(shí)講解【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、有序數(shù)對(duì)定義:把有順序的兩個(gè)數(shù)a與b組成的數(shù)對(duì),叫做有序數(shù)對(duì),記作(a,b).要點(diǎn)詮釋:有序,即兩個(gè)數(shù)的位置不能隨意交換,(a,b)與(b,a)順序不同,含義就不同,如電影院的座位是6排7號(hào),可以寫成(6,7)的形式,而(7,6)則表示7排6號(hào).要點(diǎn)二、平面直角坐標(biāo)系及點(diǎn)的坐標(biāo)的概念1.平面直角坐標(biāo)系在平面內(nèi)畫兩條互相垂直、原點(diǎn)重合的數(shù)軸就組成平面直角坐標(biāo)系.水平的數(shù)軸稱為x軸或橫軸,習(xí)慣上取向右為正方向;豎直的數(shù)軸稱為y軸或縱軸,取向上方向?yàn)檎较?,兩坐?biāo)軸的交點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)(如圖1).要點(diǎn)詮釋:平面直角坐標(biāo)系是由兩條互相垂直且有公共原點(diǎn)的數(shù)軸組成的.2.點(diǎn)的坐標(biāo)平面內(nèi)任意一點(diǎn)P,過點(diǎn)P分別向x軸、y軸作垂線,垂足在x軸、y軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)a,b分別叫做點(diǎn)P的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo),有序數(shù)對(duì)(a,b)叫做點(diǎn)P的坐標(biāo),記作:P(a,b),如圖2.要點(diǎn)詮釋:(1)表示點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí),約定橫坐標(biāo)寫在前,縱坐標(biāo)寫在后,中間用“,”隔開.(2)點(diǎn)P(a,b)中,|a|表示點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離;|b|表示點(diǎn)到x軸的距離.(3)對(duì)于坐標(biāo)平面內(nèi)任意一點(diǎn)都有唯一的一對(duì)有序數(shù)對(duì)(x,y)和它對(duì)應(yīng),反過來(lái)對(duì)于任意一對(duì)有序數(shù)對(duì),在坐標(biāo)平面內(nèi)都有唯一的一點(diǎn)與它對(duì)應(yīng),也就是說,坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)與有序數(shù)對(duì)是一一對(duì)應(yīng)的.要點(diǎn)三、坐標(biāo)平面1.象限建立了平面直角坐標(biāo)系以后,坐標(biāo)平面就被兩條坐標(biāo)軸分成如圖所示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四個(gè)部分,分別叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限,如下圖.要點(diǎn)詮釋:(1)坐標(biāo)軸x軸與y軸上的點(diǎn)(包括原點(diǎn))不屬于任何象限.(2)按方位來(lái)說:第一象限在坐標(biāo)平面的右上方,第二象限在左上方,第三象限在左下方,第四象限在右下方.2.坐標(biāo)平面的結(jié)構(gòu)坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)可以劃分為六個(gè)區(qū)域:x軸,y軸、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限.這六個(gè)區(qū)域中,除了x軸與y軸有一個(gè)公共點(diǎn)(原點(diǎn))外,其他區(qū)域之間均沒有公共點(diǎn).要點(diǎn)四、點(diǎn)坐標(biāo)的特征1.各個(gè)象限內(nèi)和坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)符號(hào)規(guī)律要點(diǎn)詮釋:(1)對(duì)于坐標(biāo)平面內(nèi)任意一個(gè)點(diǎn),不在這四個(gè)象限內(nèi),就在坐標(biāo)軸上.(2)坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征:x軸上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0;y軸上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0.(3)根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)的符號(hào)情況可以判斷點(diǎn)在坐標(biāo)平面上的大概位置;反之,根據(jù)點(diǎn)在坐標(biāo)平面上的位置也可以判斷點(diǎn)的坐標(biāo)的符號(hào)情況.2.象限的角平分線上點(diǎn)坐標(biāo)的特征第一、三象限角平分線上點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)相等,可表示為(a,a);第二、四象限角平分線上點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)互為相反數(shù),可表示為(a,-a).3.關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征P(a,b)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(a,-b);P(a,b)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(-a,b);P(a,b)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(-a,-b).4.平行于坐標(biāo)軸的直線上的點(diǎn)平行于x軸的直線上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同;平行于y軸的直線上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同.【典型例題】類型一、有序數(shù)對(duì)表示位置 1.如圖是小剛的一張笑臉,他對(duì)妹妹說:如果我用(0,2)表示左眼,用(2,2)表示右眼,那么嘴的位置可以表示成().A.(1,0)B.(-1,0)C.(-1,1)D.(1,-1)【思路點(diǎn)撥】由(0,2)表示左眼,用(2,2)表示右眼,可以確定平面直角坐標(biāo)系中x軸與y軸的位置,從而可以確定嘴的位置.【答案】A.【解析】解:根據(jù)(0,2)表示左眼,用(2,2)表示右眼,

可得嘴的坐標(biāo)是(1,0),

故答案為A.【總結(jié)升華】此題考查了坐標(biāo)確定位置,由已知條件正確確定坐標(biāo)軸的位置是解決本題的關(guān)鍵.舉一反三:【變式】下列數(shù)據(jù)不能表示物體位置的是().A.5樓6號(hào)B.北偏東30°C.希望路20號(hào)D.東經(jīng)118°,北緯36°【答案】B(提示A.5樓6號(hào),是有序數(shù)對(duì),能確定物體的位置;B.北偏東30°,不是有序數(shù)對(duì),不能確定物體的位置;C.希望路20號(hào),“希望路”相當(dāng)于一個(gè)數(shù)據(jù),是有序數(shù)對(duì),能確定物體的位置;D.東經(jīng)118°北緯36°,是有序數(shù)對(duì),能確定物體的位置.)類型二、平面直角坐標(biāo)系與點(diǎn)的坐標(biāo)的概念2.有一個(gè)長(zhǎng)方形ABCD,長(zhǎng)為5,寬為3,先建立一個(gè)平面直角坐標(biāo)系,在此坐標(biāo)系下求出A,B,C,D各點(diǎn)的坐標(biāo).【答案與解析】解:本題答案不唯一,現(xiàn)列舉三種解法.解法一:以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),邊AB所在的直線為x軸,邊AD所在直線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系,如圖(1):A(0,0),B(5,0),C(5,3),D(0,3).解法二:以邊AB的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),邊AB所在的直線為x軸,AB的中點(diǎn)和CD的中點(diǎn)所在的直線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系,如圖(2):A(﹣2.5,0),B(2.5,0),C(2.5,3),D(-2.5,3).解法三:以兩組對(duì)邊中點(diǎn)所在直線為x軸、y軸,建立平面直角坐標(biāo)系,如圖(3):A(﹣2.5,-1.5),B(2.5,-1.5),C(2.5,1.5),D(-2.5,1.5).【總結(jié)升華】在不同平面直角坐標(biāo)系中,長(zhǎng)方形頂點(diǎn)坐標(biāo)不同,說明位置的相對(duì)性與絕對(duì)性,即只要原點(diǎn)、x軸和y軸確定,每一個(gè)點(diǎn)的位置也確定,而一旦原點(diǎn)或x軸、y軸改變,每一個(gè)點(diǎn)的位置也相對(duì)應(yīng)地改變.舉一反三:【變式】點(diǎn)A(m,n)到x軸的距離為3,到y(tǒng)軸的距離為2,則點(diǎn)A的坐標(biāo)為________.【答案】(2,3)或(-2,3)或(-2,-3)或(2,-3).3.平面直角坐標(biāo)系中,已知△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A(-3,-1),B(1,3),C(2,-3).求△ABC的面積.【思路點(diǎn)撥】三角形的三邊都不與坐標(biāo)軸平行,根據(jù)平面直角坐標(biāo)系的特點(diǎn),可以將三角形的面積轉(zhuǎn)化為梯形或長(zhǎng)方形的面積減去多余的直角三角形的面積,即可求得此三角形的面積.【答案與解析】解:如圖所示,過點(diǎn)A、C分別作平行于y軸的直線與過B點(diǎn)平行于x軸的直線交于點(diǎn)D、E,則四邊形ACED為梯形,根據(jù)點(diǎn)A(-3,-1)、B(1,3)、C(2,-3)可求得AD=4,CE=6,DB=4,BE=1,DE=5,所以△ABC的面積為:.【總結(jié)升華】點(diǎn)的坐標(biāo)能體現(xiàn)點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離,解決平面直角坐標(biāo)系中的三角形面積問題,就是要充分利用這一點(diǎn),將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形,再利用相關(guān)圖形的面積計(jì)算公式求解.舉一反三:【變式】如圖所示,已知A1(1,0),A2(1,1),A3(-1,1),A4(-1,-1),A5(2,-1),……,則點(diǎn)A2008的坐標(biāo)為________.【答案】(-502,-502).類型三、坐標(biāo)平面及點(diǎn)的特征4.在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)(﹣1,m+1)一定在第________象限.【思路點(diǎn)撥】根據(jù)點(diǎn)在第二象限的坐標(biāo)特點(diǎn)解答即可.【答案】二.【解析】解:∵點(diǎn)(﹣1,m+1)的橫坐標(biāo)﹣1<0,縱坐標(biāo)m+1>0,∴符合點(diǎn)在第二象限的條件,故點(diǎn)(﹣1,m2+1)一定在第二象限.【總結(jié)升華】本題主要考查平面直角坐標(biāo)系中各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的符號(hào).舉一反三:【變式1】點(diǎn)P(-m,n)在第三象限,則m,n的取值范圍是________.【答案】.【變式2】在平面直角坐標(biāo)系中,橫、縱坐標(biāo)滿足下面條件的點(diǎn),分別在第幾象限或哪條坐標(biāo)軸上.(1)點(diǎn)P(x,y)的坐標(biāo)滿足xy>0.(2)點(diǎn)P(x,y)的坐標(biāo)滿足xy<0.(3)點(diǎn)P(x,y)的坐標(biāo)滿足xy=0.【答案】(1)點(diǎn)P在第一、三象限;(2)點(diǎn)P在第二、四象限;(3)x軸或y軸.【變式3】若點(diǎn)C(x,y)滿足x+y<0,xy>0,則點(diǎn)C在第_____象限.【答案】三.5.一個(gè)正方形的一邊上的兩個(gè)頂點(diǎn)O、A的坐標(biāo)為O(0,0),A(4,0),則另外兩個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)是什么.【思路點(diǎn)撥】有點(diǎn)的坐標(biāo)說明已有確定的平面直角坐標(biāo)系,但正方形的另兩個(gè)頂點(diǎn)位置不確定,所以應(yīng)按不同位置分類去求.【答案與解析】解:不妨設(shè)另外兩個(gè)頂點(diǎn)為B、C,因?yàn)镺ABC是正方形,所以O(shè)C=BA=BC=OA=4.且OC∥AB,OA∥BC,則:(1)當(dāng)頂點(diǎn)B在第一象限時(shí),如圖所示,顯然B點(diǎn)坐標(biāo)為(4,4),C點(diǎn)坐標(biāo)為(0,4).(2)當(dāng)頂點(diǎn)B在第四象限時(shí),如圖所示,顯然B點(diǎn)坐標(biāo)為(4,-4),C點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-4).【總結(jié)升華】在解答這類問題時(shí),我們千萬(wàn)不要忽略了分類討論而導(dǎo)致錯(cuò)誤.舉一反三:【變式】在平

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