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文檔簡介
第二部分函數(shù)
1.了解映射/:Af3的概念
注意:(1)映射可以是多對一,也可以是一對一的對應(yīng),但不能是一對多的對應(yīng);
(2)4中元素在5中必須都有象且唯一;
(3)8中元素在4中不一定都有原象,若有原象也不一定唯一.
2.函數(shù)B是特殊的映射.
特殊在定義域4和值域。都是非空數(shù)集!注意值域
函數(shù)的三要素:定義域、對應(yīng)法則、值域,其中值域由定義域和對應(yīng)法則確定,
也就是說,確定一個(gè)函數(shù),只需確定函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則.
3.求函數(shù)定義域的常用方法:
①偶次根式的被開方數(shù)非負(fù);分式的分母不能為零;對魏OgX中X>。,。>。且
a
awl;
71兀
三角形中ovAv~最大角N彳,最小角〈彳等等.
②根據(jù)實(shí)際問題的要求確定自變量的范圍.注意單位.
[注]:定義域要用集合或區(qū)間表示,不能用不等式表示.
4.求函數(shù)值域(最值)的方法:
基本初等函數(shù)直接利用單調(diào)性;導(dǎo)數(shù);均值定理;三角代換;數(shù)形結(jié)合;幾何意義等.
5.指數(shù)函數(shù)/G)=GQ>0,且口工1)的反函數(shù)是/-1G)=logx(a>0,且々Hl),
a
反之亦然.它們的定義域與值域互換,圖象關(guān)于直線y=x對稱.
6.函數(shù)的奇偶性:
(1)具有奇偶性的函數(shù)的定義域的特征:定義域必須關(guān)于原點(diǎn)對稱!
為此確定函數(shù)的奇偶性時(shí),務(wù)必先判定函數(shù)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱.
(2)確定函數(shù)奇偶性的常用方法(若函數(shù)的解析式較為復(fù)雜,應(yīng)先化簡,再判斷其奇偶
性,但要注意定義域的變化,如〃幻=±1):
x-1
①直接利用奇偶性定義判斷:
-±1(4)才0).
②利用奇偶性定義的等價(jià)形式:f(x)±f(-x)=0或
/G)
()0+1%>0,且中1)的判斷.
如:奇函數(shù)y=lg+r+J-2+1,y=
Q-1
(3)函數(shù)奇偶性的性質(zhì):
①奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上若有單調(diào)性,則其單調(diào)性完全相同;
-4-高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)整理
偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上若有單調(diào)性,則其單調(diào)性恰恰相反.
②若/G)為偶函數(shù),則/G)=/<|),此性質(zhì)常用于根據(jù)單調(diào)性解不等式.
③若/G)為奇函數(shù),且o在函數(shù)的定義域中,則必有/(o)=o,常用此性質(zhì)
解題,但要注意:/(o)=o是/G)為奇函數(shù)的既不充分也不必要條件.
7.函數(shù)的單調(diào)性:
(1)確定函數(shù)的單調(diào)性或單調(diào)區(qū)間的常用方法:
①在解答題中常用:
定義法:(取值——作差一一變形一一定號(hào));
導(dǎo)數(shù)法:(在區(qū)間Q㈤內(nèi),若總有廣(工)>。,則/G)為增函數(shù);
反之,若/(X)在區(qū)間(。,力內(nèi)為增函數(shù),則/'(X)N。.
請注意兩者的區(qū)別:前者不含等號(hào),后者含等號(hào).
②選擇填空題還可用數(shù)形結(jié)合法、特殊值法等等,
b
特別要注意>="+_型函數(shù)的圖象和單調(diào)性在解題中的運(yùn)用
X
(〃/同號(hào)時(shí),對勾函數(shù);。/異號(hào)時(shí),在(0,+8)(-8。)上分別單調(diào))
③復(fù)合函數(shù)法:復(fù)合產(chǎn)數(shù)單調(diào)I1的特點(diǎn)是同增異減.
如:函數(shù)y=log-X2+2X的單調(diào)遞增區(qū)間是?(答(1,2)).關(guān)注定義域.
函數(shù)y=sir?加-21?的單調(diào)遞增區(qū)間是?(應(yīng)首先將人的系數(shù)化為正數(shù))
U)
答:僅兀十5兀,打:十n兀),4七z.
"12~
(2)特別提醒:求單調(diào)區(qū)間時(shí)要注意,一是勿忘定義域;二是不能用不等式表示;三
是單調(diào)區(qū)間盡可能包括端點(diǎn),但由導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間一律為開區(qū)間.
(3)注意函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的應(yīng)用:
①比較大??;②解不等式;③求參數(shù)范圍.
8.常見的圖象變換:
(1)平移變換:f(x)->/(x±a)或f(x)±a;
函數(shù)y=±a)(a>0)的圖象是把函數(shù)y=/Q)的圖象沿X軸左(右)平
移〃個(gè)單位得到的;函數(shù)y=/Q)±〃(a>0)的圖象是把函數(shù)y=/Q)的圖
象沿y軸向上(下)平移。個(gè)單位得到的;
(2)伸縮變換:/(x)f/(詞或af(x);
-5-高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)整理
函數(shù)y=(a>0)的圖象是把函數(shù)y=/Q)的圖象沿X軸伸縮為原來的
1倍得到的;函數(shù)y=Cif(x)(a>0)的圖象是把函數(shù)y=fQ)的圖象沿y軸
a
伸縮為原來的。倍得到的.
*9.函數(shù)的對稱性:
①一個(gè)函數(shù)本身的性質(zhì):若/(。+芯)=/6-1)對任意不恒成立,則函數(shù)/(D的
圖象關(guān)于直線X=軸對稱;若/(。+/)+/(6-1)=0對任意X恒成立,,則
2
/G)的圖象關(guān)于點(diǎn)2+",0'中心對稱.
②兩個(gè)函數(shù)的關(guān)系:若/(D與g(x)關(guān)于直線x=4對稱,則g(x)=/(2〃-x):
若/(X)與g(X)關(guān)于點(diǎn)(40)中心對稱,則/Q+x)+gQ-。=0.
ax+b
⑶特別關(guān)注形如y=——;的函數(shù),其圖象是雙曲線,其兩漸近線分別是直線
cx+d
%=一」(由分母為零確定)和直線y=:(由分子、分母中%的系數(shù)確定),對稱中
CC
心是點(diǎn)(一4,3)
CC
④如何畫出|/(x)I的圖象?如何畫出『(|x|)的圖象?
*10.函數(shù)的周期性:對于函數(shù)/(?,如果存在一個(gè)非零常數(shù)了,使得定義域內(nèi)的每一個(gè)X
值,都滿足/G+r)=/G),那么這個(gè)函數(shù)/G)就叫作周期函數(shù).
注意:①周期函數(shù)的定義域一定是無界的;
②定義在R上的常數(shù)函數(shù)也是周期函數(shù),因而周期函數(shù)不一定有最小正周期;
(1)若/(X)圖象有兩條對稱軸x==則/(M是周期函數(shù),
且2|〃一回為一個(gè)周期;
(2)若/(x)圖象有兩個(gè)對稱中心4。,0),5(兒0)(〃/幼,則是周期函數(shù),
且2|。一〃為一個(gè)周期;
(3)如果函數(shù)y=/(x)的圖象有一個(gè)對稱中心4(。,0)和一條對稱軸x=b(a^b),
則函數(shù)y=/(x)必是周期函數(shù),且41〃|為一個(gè)周期;
(4)若。。0,且f(x)滿足一/Q)=/Q+X),或/(x+〃)=____;
fM
或〃x+a)=-=工;則均可得出2。是廣⑴的一個(gè)周期.
/W
-6-高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)整理
11.指數(shù)式、對數(shù)式:OlogaJV=7V,1QglOg沃=21%>,=
alogaomma
c
12.指、對、哥函數(shù):①指數(shù)函數(shù)。=如的圖象分兩類(Q>0、a<0);
②對數(shù)函數(shù)y=logx的圖象也分兩類(a>l、0<a<l);
a
③基函數(shù)y=的圖象首先關(guān)注第一象限,再根據(jù)定義域及奇偶性
作出其它象限的圖象.在同一坐標(biāo)系中作出不同類型的累函數(shù).
13.指數(shù)、對數(shù)值的大小比較主要方法為:
(1)化同底后利用函數(shù)的單調(diào)性:(2)作差或作商法;(3)利用中間量(0或1);
14.函數(shù)的應(yīng)用:求解數(shù)學(xué)應(yīng)用題,要特別注意:設(shè)(解答中涉及到的字母),定義域(實(shí)際
問題,注意單位),答(將所得的數(shù)學(xué)結(jié)果,回歸到實(shí)際問題中去).
*15.抽象函數(shù):抽象函數(shù)通常是指沒有給出函數(shù)的具體的解析式,只給出了其它一些條件
(如:函數(shù)的定義域、單調(diào)性、奇偶性、解析遞推式等)的函數(shù)問
題.求解抽象逑數(shù)問題的常用方法是:
0利用賦值法探究性質(zhì)(如令x=0或1,求出/(0)或/(I);令9=%或"二一%
或?qū)⒐Q成一x,將y換成一y等);
。利用函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行演繹探究(如奇偶性、單調(diào)性、周期性、對稱性等);
0借鑒函數(shù)模型進(jìn)行類比探究.幾類常見的抽象函數(shù)為:
①正比例函數(shù)型:/(x)=kx(kwO)——f(x±y)=f(x^±f(y);
②鼎函數(shù)型:/(x)=%2=
yf(y)
f3
③指數(shù)函數(shù)型:/(x)=a”——=f(x-y)=――:
f(y)
④對數(shù)函數(shù)型:/(%)=logx---f(xy)=/(%)+/(i/),fC)=;
ay
⑤三角函數(shù)型:/(x)=tanx一一f(x+y)=
需要注意的是:函數(shù)模型只是滿足所對應(yīng)的抽象函數(shù)的一種函數(shù)類型,它只能幫助我們思
考問題,但不能作為推理、論證的依據(jù).
16.高考試題中關(guān)于基本初等函數(shù)性質(zhì)考查的基本類型:
函數(shù)是北京高考考查能力的重要素材,以函數(shù)為基礎(chǔ)與其它章節(jié)在知識(shí)交匯點(diǎn)命制的考查
能力的試題在歷年的高考試卷中占有較大的比重.
以選擇題、填空題形式主要考查函數(shù)的基本概念、函數(shù)圖象、函數(shù)性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶
-7-高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)整理
性、周期性)等重要知識(shí):
同時(shí)關(guān)注函數(shù)知識(shí)的應(yīng)用,突出函數(shù)與方程的思想、數(shù)形結(jié)合的思
想.例1:對于函數(shù):
11
①/(x)=4x+——5,②月x)=|log兇一引尤,?f(x]=cos(x+2)-cosx,
判斷如下兩個(gè)命題的真假:
命題甲:/(幻在區(qū)間(1,2)上是增函數(shù);
命題乙:/(%)在區(qū)間(0,+呀上恰有兩個(gè)零點(diǎn),且xx<1.
1212
能使命題甲、乙均為真的函數(shù)的序號(hào)是(D)
(A)①(B)②(C)①③(D)①@
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