初中數(shù)學(xué)自主招生難度講義-7年級專題22 直線、射線與線段

PAGE3專題22直線、射線與線段（錄入：王云峰）閱讀與思考構(gòu)成平面圖形的基本元素是點和線，在幾何圖形中，點無大小，線無寬窄，它們都是抽象思維的產(chǎn)物，點與線有著密切的聯(lián)系，點運動成線，線與線相交的地方形成點，一條線確定了兩個端點，線的長短也就確定了，從這個意義上講，點是線的界限．在線中，最簡單、最常見的就是直線、射線、線段，它們是最基本的圖形，它們的概念、性質(zhì)及畫圖是今后研究由線段所組成的比較復(fù)雜圖形（如三角形、四邊形等）的基礎(chǔ)，解與直線、射線、線段相關(guān)問題常涉及如下知識與方法：1．直線、射線、線段的區(qū)別與聯(lián)系．2．線段中點的概念．3．枚舉法、分類討論法．例題與求解【例1】已知一條直線上有A，B，C三點，線段AB的中點為P，AB＝10，線段BC的中點為Q，BC＝6，則線段PQ的長為＿＿＿＿．（江蘇省競賽試題）解題思路：未給出圖形，注意C點位置有多種可能．【例2】在一條直線上已知四個不同的點依次是A，B，C，D，那么到A，B，C，D的距離之和最小的點（）A．可以是直線AD外的某一點 B．只有點B或點CC．只是線段AD的中點 D．有無窮多個（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）解題思路：直線上的四個點把直線分成五部分，就每一種情況畫圖表示出到A，B，C，D的距離，從直觀的圖形中作出判斷．【例3】如圖，C是線段上的一點，D是BC的中點，已知圖中所有線段的長度之和為23，線段AC的長度與線段BC的長度都是正整數(shù)，求線段AC的長．（“希望杯”邀請賽試題）解題思路：解題的關(guān)鍵是將每一條線段用AC或BC來表示，依題意可列一個關(guān)于AC，BC的方程，討論此不定方程的正整數(shù)解．【例4】如圖所示，點C為線段AB的中點，點E為線段AB上的點，點D為線段AE的中點．（1）若線段AB＝，CE＝，＝0，求，．（2）如圖①，在（1）的條件下，求線段DE的長．（3）如圖②，若AB＝15，AD＝2BE，求線段CE的長．圖①圖①圖②（湖北省武漢市調(diào)考試題）解題思路：將幾何問題代數(shù)化，對于（3），引入未知數(shù)，列方程求解．【例5】（1）一條直線可以把平面分成兩個部分（或區(qū)域），如圖，兩條直線可以把平面分成幾個部分？三條直線可以把平面分成幾個部分？試畫圖說明．（2）四條直線最多可以把平面分成幾個部分？試畫出示意圖，并說明這四條直線的位置關(guān)系．（3）平面上有條直線，每兩條直線都恰好相交，且沒有三條直線交于一點，處于這種位置的條直線分一個平面所成的區(qū)域最多，記為，試研究與之間的關(guān)系．（山東省聊城市中考試題）解題思路：從簡單情形入手，由簡到繁，歸納發(fā)現(xiàn)規(guī)律．【例6】已知線段AB＝，CD＝，線段CD在直線上運動（A在B左側(cè)，C在D左側(cè)），若與互為相反數(shù)．（1）求線段AB，CD的長．（2）M，N分別是線段AC，BD的中點，若BC＝4，求MN．（3）當(dāng)CD運動到某一時刻時，D點與B點重合，P是線段延長線上任意一點，下列兩個結(jié)論：①是定值；②是定值．可以證明，有且只有一個結(jié)論是正確的，請你作出正確的選擇并畫圖求值．（浙江省寧波市中考試題改編）解題思路：（1）與的平方互為相反數(shù)，可以推出二者都為零，否則一個正數(shù)是不可能等于一個負數(shù)的，所以＝6，＝12．（2）需要分類討論：如圖①，當(dāng)點C在點B左側(cè)時，根據(jù)“M，N分別為線段AC，BD的中點”，先計算出AM，DN的長度，然后計算MN＝ADAMDN；如圖②，當(dāng)點C位于點B右側(cè)時，利用線段間的和差關(guān)系求得MN的長度．（3）能計算出①或②的值是一個常數(shù)的，即為符合題意的結(jié)論．能力訓(xùn)練A級1．已知點O在直線AB上，且線段OA的長度為4cm，線段OB的長度為6cm，E，F(xiàn)分別為線段ｏA，OB的中點，則線段EF的長度為＿＿＿＿．（黑龍江省中考試題）2．如圖，線段AB＝BC＝CD＝DE＝1厘米，那么圖中所有線段的長度之和等于＿＿＿厘米．（“希望杯”邀請賽試題）3．如圖，B，C，D依次是上的三點，已知AE＝8.9cm，BD＝3cm，則圖中以A，B，C，D，E這5個點為端點的所有線段長度的和為＿＿＿＿cm．（《中學(xué)生數(shù)理化》讀刊用刊知識競賽試題）4．平面內(nèi)兩兩相交的8條直線，其交點個數(shù)最少為＿＿＿＿，最多為＿＿＿＿．（“希望杯”邀請賽試題）5．直線，，，，共點O，直線與上述五條直線分別交于A，B，C，D，E五點，則上述圖形中共有線段（）條．A．4 B．5 C．10 D．156．如圖，點A，B，C順次在直線上，M是線段AC的中點，N是線段BC的中點．若想求出MN的長度，則只需條件（）A．AB＝12 B．BC＝4 C．AM＝5 D．CN＝2（海南省競賽試題）7．如圖，A，B，C，D四點在同一直線上，M是線段AB的中點，N是線段DC的中點，MN＝，BC＝則AD＝（）A． B． C． D．8．如圖，AC＝AB，BD＝AB，且AE＝CD，則CE為AB長的（）A． B． C． D．9．已知線段AB＝6．（1）取線段AB的三等分點，這些點連同線段AB的兩個端點可以組成多少條線段？求這些線段長度的和．（2）再在線段AB上取兩種點：第一種是線段AB的四等分點；第二種是線段AB的六等分點，這些點連同（1）中的三等分點和線段AB的兩個端點可以組成多少條線段？求這些線段長度的和．（湖北省武漢市武昌區(qū)期末調(diào)考試題）10．已知AB＝60cm，點C是直線AB上不同于A，B的點，M為AC中點，N是BC中點，求MN的長度．11．如圖，已知點A，B，C是數(shù)軸上三點，點C對應(yīng)的數(shù)為6，BC＝4，AB＝12．（1）求點A，B對應(yīng)的數(shù)；（2）動點P，Q同時從A，C出發(fā)，分別以每秒6個單位和3個單位的速度沿數(shù)軸正方向運動．M為AP的中點，N在CQ上，且CN＝CQ，設(shè)運動時間（＞0）．①求點M，N對應(yīng)的數(shù)（用含的式子表示）．②為何值時，OM＝2BN？B級1．把線段AB延長至D，使BD＝AB，再延長BA至C，使CA＝AB，則BC是CD的＿＿＿＿倍．2．如圖，AB︰BC︰CD＝2︰3︰4，AB的中點M與CD的中點N的距離是3厘米，則BC＝＿＿＿＿厘米．3．如圖，C是線段AB的中點，D是線段CB上的一點，若所有線段的長度都是正整數(shù)，且線段AB的所有可能的長度數(shù)的乘積等于140，則線段AB的所有可能的長度數(shù)的和等于＿＿＿＿．（“希望杯”邀請賽試題）4．如圖，已知B，C是線段AD上的兩點，M是AB的中點，N是CD的中點，若MN＝，BC＝，則線段AD＝＿＿＿＿．5．如圖，已知數(shù)軸上點A，B，C所對應(yīng)的數(shù)，，都不為0，且C是AB的中點．如果＝0，那么原點O的位置在（）A．線段AC上 B．線段CA的延長線上C．線段BC上 D．線段CB的延長線上（江蘇省競賽試題）6．如圖，已知B是線段AC上的一點，M是線段AB的中點，N為線段AC的中點，P為NA的中點，Q為MA的中點，則MN︰PQ等于（）A．1 B．2 C．3 D．47．平面上有四個點，經(jīng)過其中每兩個點畫一條直線，那么一共可以畫直線（）A．6條 B．1條或3條或6條C．1條或4條 D．1條或4條或6條8．如圖，在一條筆直的公路上有7個村莊，其中A，B，C，D，E，F(xiàn)離城市的距離分別為4，10，15，17，19，20公里，而村莊G正好是AF的中點，現(xiàn)要在某個村莊建一個活動中心，使各村到活動中心的路程之和最短，則活動中心應(yīng)建在（）A．A處 B．C處 C．G處 D．E處城市城市（江蘇省競賽試題）9．電子跳蚤游戲盤為△ABC，AB＝，AC＝，BC＝，如果電子跳蚤開始時在BC邊上P0點，BP0＝，第一步跳蚤跳到AC邊上P1點，且CP1＝CP0；第二步跳蚤從P1跳到邊上P2點，且AP2＝AP1；第三步跳蚤從P2跳到BC邊上P3點，且BP3＝BP2…跳蚤按上述規(guī)則跳下去，第2001次落到P2001，請計算P0與P2001之間的距離．（“華杯賽”邀請賽試題）10．設(shè)有甲、乙、丙三人，他們步行的速度相同，騎車的速度也相同，騎車的速度為步行速度的3倍．現(xiàn)甲自A地去B地，乙、丙則從B地去A地，雙方同時出發(fā)，出發(fā)時，甲、乙為步行，丙騎車．途中，當(dāng)甲、丙相遇時，丙將車給甲騎，自己改為步行，三人仍按各自原有方向繼續(xù)前進；當(dāng)甲、乙相遇時，甲將車給乙騎，自己又步行，三人仍按各自原有方向繼續(xù)前進．問：三人之中誰最先到達自己的目的地？誰最后到達自己的目的地？（“華羅庚金杯”競賽試題）11．已知數(shù)軸上A，B兩點對應(yīng)數(shù)分別為2和4，P為數(shù)軸上一點，對應(yīng)數(shù)為．（1）若P為線段AB的三等分點，求P點對應(yīng)的數(shù)．（2）數(shù)軸上是否存在點P，使P點到A點，B點距離和為10？若存在，求出值；若不存在，請說明理由．（3）若點A、點B