2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章常用邏輯用語課時作業(yè)21.1.2四種命題含解析新人教A版選修2-1

PAGEPAGE1課時作業(yè)2四種命題時間：45分鐘——基礎(chǔ)鞏固類——一、選擇題1．命題“若函數(shù)f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定義域內(nèi)是增函數(shù)，則loga2019>0”的逆否命題是(A)A．若loga2019≤0，則函數(shù)f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定義域內(nèi)不是增函數(shù)B．若loga2019>0，則函數(shù)f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定義域內(nèi)不是增函數(shù)C．若loga2019≤0，則函數(shù)f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定義域內(nèi)是減函數(shù)D．若loga2019>0，則函數(shù)f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定義域內(nèi)是減函數(shù)解析：原命題的逆否命題的條件和結(jié)論分別是原命題的結(jié)論的否定和條件的否定．2．命題“對角線相等的四邊形是矩形”是命題“矩形的對角線相等”的(A)A．逆命題 B．否命題C．逆否命題 D．無關(guān)命題解析：將命題“對角線相等的四邊形是矩形”寫成“若p，則q”的形式為“若一個四邊形的對角線相等，則這個四邊形是矩形”．而將命題“矩形的對角線相等”寫成“若p，則q”的形式為“若一個四邊形是矩形，則這個四邊形的對角線相等”．故前一個命題為后一個命題的逆命題．3．設(shè)a，b是向量，命題“若a＝－b，則|a|＝|b|”的逆命題是(D)A．若a≠－b，則|a|≠|(zhì)b|B．若a＝－b，則|a|≠|(zhì)b|C．若|a|≠|(zhì)b|，則a≠－bD．若|a|＝|b|，則a＝－b解析：命題“若a＝－b，則|a|＝|b|”的逆命題為“若|a|＝|b|，則a＝－b”，故選D.4．命題“若一個數(shù)是負(fù)數(shù)，則它的平方是正數(shù)”的逆命題是(B)A．“若一個數(shù)是負(fù)數(shù)，則它的平方不是正數(shù)”B．“若一個數(shù)的平方是正數(shù)，則它是負(fù)數(shù)”C．“若一個數(shù)不是負(fù)數(shù)，則它的平方不是正數(shù)”D．“若一個數(shù)的平方不是正數(shù)，則它不是負(fù)數(shù)”解析：因為一個命題的逆命題是將原命題的條件與結(jié)論進(jìn)行交換，因此逆命題為“若一個數(shù)的平方是正數(shù)，則它是負(fù)數(shù)”．5．命題“若f(x)是奇函數(shù)，則f(－x)是奇函數(shù)”的否命題是(B)A．若f(x)是偶函數(shù)，則f(－x)是偶函數(shù)B．若f(x)不是奇函數(shù)，則f(－x)不是奇函數(shù)C．若f(－x)是奇函數(shù)，則f(x)是奇函數(shù)D．若f(－x)不是奇函數(shù)，則f(x)不是奇函數(shù)解析：原命題的條件是“f(x)是奇函數(shù)”，結(jié)論是“f(－x)是奇函數(shù)”，同時否定條件與結(jié)論，即得否命題：若f(x)不是奇函數(shù)，則f(－x)不是奇函數(shù)．6．命題“若a>b，則a＋c>b＋c”的逆否命題是(D)A．若a<b，則a＋c<b＋cB．若a≤b，則a＋c≤b＋cC．若a＋c≤b＋c，則a<bD．若a＋c≤b＋c，則a≤b解析：“若p，則q”的逆否命題是“若綈q，則綈p”，其中“>”的否定為“≤”．7．若命題p的逆命題是q，命題q的否命題是m，則m是p的(D)A．原命題 B．逆命題C．否命題 D．逆否命題解析：設(shè)命題p為“若k，則l”，則命題q為“若l，則k”，從而命題m為“若非l，則非k”，即命題m是命題p的逆否命題．8．已知原命題：若α＝eq\f(π,6)，則sinα＝eq\f(1,2)，那么原命題與其逆命題的真假分別是(A)A．真，假 B．真，真C．假，真 D．假，假解析：若α＝eq\f(π,6)，則sinα＝sineq\f(π,6)＝eq\f(1,2)，∴原命題為真．若sinα＝eq\f(1,2)，則α＝eq\f(π,6)＋2kπ或eq\f(5,6)π＋2kπ，k∈Z，∴逆命題為假．二、填空題9．命題“若a>b，則a＋1>b”的逆否命題是若a＋1≤b，則a≤b.10．“不是等差數(shù)列的數(shù)列不是常數(shù)列”的逆否命題是真命題(填真、假)．解析：其逆否命題為“常數(shù)列是等差數(shù)列”是真命題．11．下列命題中：①若一個四邊形的四條邊不相等，則它不是正方形；②若一個四邊形對角互補(bǔ)，則它內(nèi)接于圓；③正方形的四條邊相等；④圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)；⑤對角不互補(bǔ)的四邊形不內(nèi)接于圓；⑥若一個四邊形的四條邊相等，則它是正方形．其中互為逆命題的有②和④，③和⑥；互為否命題的有①和⑥，②和⑤；互為逆否命題的有①和③，④和⑤.解析：命題③可改寫為“若一個四邊形是正方形，則它的四條邊相等”；命題④可改寫為“若一個四邊形是圓內(nèi)接四邊形，則它的對角互補(bǔ)”；命題⑤可改寫為“若一個四邊形的對角不互補(bǔ)，則它不內(nèi)接于圓”，再依據(jù)四種命題間的關(guān)系便不難推斷．三、解答題12．若a，b，c∈R，寫出命題“若ac<0，則ax2＋bx＋c＝0有兩個相異實(shí)根”的逆命題、否命題、逆否命題，并推斷它們的真假．解：逆命題：若ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈R)有兩個相異實(shí)根，則ac<0，是假命題；否命題：若ac≥0，則ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈R)沒有兩個相異實(shí)數(shù)根，是假命題；逆否命題：若ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈R)沒有兩個相異實(shí)根，則ac≥0，是真命題．13．推斷下列命題的真假，寫出它的逆命題、否命題與逆否命題，并推斷這些命題的真假，說明理由．(1)在△ABC中，若A<B，則cosA>cosB；(2)若{an}是等比數(shù)列，則{aeq\o\al(2,n)}是等比數(shù)列．解：(1)原命題是真命題．逆命題：在△ABC中，若cosA>cosB，則A<B，真命題．否命題：在△ABC中，若A≥B，則cosA≤cosB，真命題．逆否命題：在△ABC中，若cosA≤cosB，則A≥B，真命題．理由如下：∵y＝cosx在(0，π)內(nèi)是減函數(shù)，∴由A<B可得cosA>cosB，由A≥B可得cosA≤cosB，∴原命題和其逆否命題為真命題，其否命題和其逆命題也為真命題．(2)原命題是真命題．逆命題：若{aeq\o\al(2,n)}是等比數(shù)列，則{an}是等比數(shù)列，假命題．否命題：若{an}不是等比數(shù)列，則{aeq\o\al(2,n)}不是等比數(shù)列，假命題．逆否命題：若{aeq\o\al(2,n)}不是等比數(shù)列，則{an}不是等比數(shù)列，真命題．理由如下：∵{an}是等比數(shù)列，∴eq\f(an＋1,an)＝q(q為常數(shù))，∴eq\f(a\o\al(2,n＋1),a\o\al(2,n))＝q2，故{aeq\o\al(2,n)}是等比數(shù)列，則原命題及其逆否命題為真命題．∵{aeq\o\al(2,n)}是等比數(shù)列，∴可令數(shù)列{an}為1,1，－1，－1,1,1，－1，－1，……，此時aeq\o\al(2,n)＝1是等比數(shù)列，而{an}不是等比數(shù)列，故其逆命題和否命題是假命題．——實(shí)力提升類——14．下列命題：①“若xy＝1，則x，y互為倒數(shù)”的逆命題；②“四邊相等的四邊形是正方形”的否命題；③命題“梯形不是平行四邊形”；④“若f(x)是冪函數(shù)，則它的圖象不過第四象限”的逆命題．其中是真命題的是①②③.(填序號)解析：①“若xy＝1，則x，y互為倒數(shù)”的逆命題是“若x，y互為倒數(shù)，則xy＝1”，是真命題；②“四邊相等的四邊形是正方形”的否命題是“四邊不都相等的四邊形不是正方形”，是真命題；③“梯形不是平行四邊形”本身是真命題；④“若f(x)是冪函數(shù)，則它的圖象不過第四象限”的逆命題是假命題．所以真命題是①②③.15．(1)如圖，證明命題“a是平面π內(nèi)的一條直線，b是平面π外的一條直線(b不垂直于π)，c是直線b在π上的投影，若a⊥b，則a⊥c”為真．(2)寫出上述命題的逆命題，并推斷其真假(不須要證明)．解：(1)證明：如圖，設(shè)c∩b＝A