2025年小學(xué)數(shù)學(xué)《幾何》曲線型-圓-4星題（含解析）全國(guó)版

幾何-曲線型幾何-圓-4星題

課程目標(biāo)

知識(shí)點(diǎn)考試要求具體要求考察頻率

圓B1.了解有關(guān)圓的概念和性質(zhì)少考

2.學(xué)習(xí)圓的周長(zhǎng)和面積公式的推導(dǎo)

3.運(yùn)用圓的性質(zhì)以及周長(zhǎng)和面積公

式進(jìn)行計(jì)算

知識(shí)提要

圓

?概念

圓是由一條曲線圍成的平面圖形.

圓中心的一點(diǎn)叫圓心，用。表示.

連接圓心和圓上任意一點(diǎn)的線段是半徑，通常用字母r表示.

通過(guò)圓心并且兩端都在圓上的線段是直徑，通常用字母d來(lái)表示.

直徑所在的直線是圓的對(duì)稱(chēng)軸.

?性質(zhì)

圓有無(wú)數(shù)條半徑，無(wú)數(shù)條直徑，并且所有半徑都相等，所有直徑都相等;

在同圓或等圓中，直徑是半徑的2倍.d=2r；

圓有無(wú)數(shù)條對(duì)稱(chēng)軸；

圓繞著圓心任意旋轉(zhuǎn)，所得到的圖形與原來(lái)的圓重合；

所有平面圖形在周長(zhǎng)相同的情況下，圓的面積是最大的.

?公式

圓的周長(zhǎng)公式：C=2-rrr

圓的面積公式：S=Ttr2

精選例題

圓

1.在圖中所示的10x12的網(wǎng)格圖中，猴子KING的圖片是由若干圓弧和線段組成，其中最大

的圓的半徑是4,圖中陰影部分的面積是.（圓周率兀取3）

【答案】21.5

【分析】根據(jù)半徑為4可觀察得出小正方形的邊長(zhǎng)為1,

陰影部分的面積=大圓面積-空白面積.

大圓的面積:

5=yrx42=48,

空白面積：

3

S=5x24--X7rxl2x2+7rx22=10+4.5+12=26.5,

4

陰影部分面積:

48—26.5=21.5.

2.如圖所示的7個(gè)圓相切于一點(diǎn)，若圓的半徑分別是（單位：分米）：1,2,3,4,5,6,

7,則圖中陰影部分的面積是平方米.（兀取3）

【答案】0.84

【分析】陰影面積為：

7TXI2+7TX(32—22)+7TX(52—42)+7TX(72—62)

=7TX1+7TX(3+2)+7TX(5+4)+7TX(7+6)

=28兀

=84(平方分米)

=0.84(平方米).

3.如圖所示的圖形由1個(gè)大的半圓弧和6個(gè)小的半圓弧圍成，已知最大的半圓弧的直徑為1,

則這個(gè)圖形的周長(zhǎng)為（圓周率用兀表示）.

【答案】71

【分析】若大圓里有若干個(gè)小圓，且大圓的直徑等于這些小圓的直徑和，則大圓的周長(zhǎng)等于

所有小圓的周長(zhǎng)和，則該圖形周長(zhǎng)等于一個(gè)大圓的周長(zhǎng)，7ld=TT.

4.如圖所示，已知最大的圓的直徑是100cm,則最小的圓的直徑是cm.

【答案】50

【分析】

已知最大的圓的直徑是100cm,而最大的圓的直徑剛好是大正方形的對(duì)角線所以大正方形的

面積為

100x1004-2=5000(cm2)

圖中的小正方形旋轉(zhuǎn)為右圖：由此可見(jiàn)，小正方形的面積為大正方形面積的一半.所以小正方

形的面積為

5000+2=2500(cm2)

所以小正方形的為50cm而最小的圓的直徑剛好等于小正方形的邊長(zhǎng)，即最小的圓的直徑是

50cm.

5.在荷蘭的小鎮(zhèn)卡茨赫弗爾，2013年6月建成了一個(gè)由三個(gè)半圓組成的城市雕塑，三個(gè)半圓

的直徑分別為24.2m,19.3m,4.9m,這個(gè)雕塑的原始圖形來(lái)自于阿基米德《引理集》中的鞋

匠刀形(Arbelos),即下圖中陰影部分所示的圖形，那么，該城市雕塑中的鞋匠刀形的周長(zhǎng)

為(圓周率用71表不).

【答案】24.2/r

【分析】

三個(gè)半圓的周長(zhǎng)和

(19.3x7T+4.9x7T+24.2x兀)+2=24.2兀

6.一只羊被拴在一個(gè)長(zhǎng)為4米，寬為3米的長(zhǎng)方形的羊圈內(nèi)，在B處有一個(gè)缺口，羊可以自

由出入，拴繩長(zhǎng)9米，那么羊能夠到達(dá)的地方的面積約為平方米.（n取3.14）

【答案】50.465

【分析】長(zhǎng)方形的對(duì)角線長(zhǎng)為5,在羊圈外，羊能夠到達(dá)的圖形包括J個(gè)半徑為4的圓以及

生個(gè)半徑為1的圓，所以羊能夠達(dá)到的總面積為3x4+：xirx42+；xnxl2X

444

50.465（平方米）.

7.如圖所示，已知大圓的半徑為2,則陰影部分I與n的面積之和為（圓周率用兀表

示）.

【答案】71-2

【分析】I和n部分面積為［大圓-直角邊為2的等腰直角三角形，如圖所示:

I和n部分面積和為

1_1

—7TX——2X2=7T—2.

42

8.如圖是由正方形和半圓形組成的圖形，其中P點(diǎn)為半圓周的中點(diǎn)，Q點(diǎn)為正方形一邊的

中點(diǎn)，那么陰影部分的面積是.（11取3.14）

A10D

B

【答案】51.75

【分析】

,111

102+—X7TX-x5x15+-x(15+5)x5

2

=1004-12.511-87.5

=51.75.

9.如右圖所示，4BCD是邊長(zhǎng)為10厘米的正方形，且4B是半圓的直徑，則陰影部分的面積

是平方厘米.（取兀=3.14）

【答案】17.875

【分析】詳解：如圖2所示，陰影部分面積等于梯形4BCD的面積減去一個(gè)四分之一圓的

面積，即（5+10）x5+2—qx52兀=17.875.

10.如圖所示，已知大圓的半徑為2,則陰影部分的面積為（圓周率用兀表示）.

【答案】4兀一8

【分析】可以把中間的四個(gè)葉子形狀的圖形分成兩半，剛好可以補(bǔ)到正方形外邊的空白處.

所以大圓的面積減去內(nèi)接正方形的面積，就是陰影部分的面積.

4x4

S陰=71x2?―--=4TT—8

2

11.如圖所示，大圓的直徑是小圓的5倍，大圓內(nèi)的形曲線(圖中虛線)由兩段半圓弧組

成.如果已知陰影部分的面積等于4,那么圖中空白部分的面積等于.

【答案】21

【分析】設(shè)小圓的半徑為r,則陰影部分的面積為：

11

—[n(2r)2—2nr2]+—[n(3r)2—3nr2]=nr2+3nr2=4nr2,

所以

nr2=L

故空白面積為：

n(5r)2—4=25nr2—4=21.

12.如圖，斜邊為6的等腰直角三角形ABC放在半徑為5的圓內(nèi)，現(xiàn)在保持8、。和圓接觸,

讓三角形ABC沿箭頭方向在圓內(nèi)旋轉(zhuǎn)一周，那么三角形ABC掃過(guò)的圖形面積

是.(11取3.14)

B

【答案】75.36

【分析】連接。4并延長(zhǎng)，交BC于E,

得到直角三角形。BE,BE=3,根據(jù)勾股定理可知，0E=5,則

。4=4-3=1.

所以掃過(guò)陰影面積為：

TT52-Hl2=24n=75.36.

13.如下圖所示的四個(gè)正方形的邊長(zhǎng)都是1,圖中的陰影部分的面積依次用Si，*,S3，S4表示，

則S1，S2，S3，S4從小到大排列依次是

(1)(2)(3)(4)

【答案】S2<S4<S3<S1

【分析】S],S2，S3的面積都可以算出來(lái)，^=171-1,52=1-^,利用割補(bǔ)的思想，S=

Z43

I.對(duì)Si，S2，S3進(jìn)行排序得S2<S3<S>S4的面積不好算，但是這里只需比較大小即可.

如下左圖，陰影部分為S4的面積，所以S4<[=S3.

如下右圖，空白部分面積與圖2空白部分面積相等，所以陰影部分為S2的面積，所以

S2<S4.所以S2Vs4Vs3<s「

14.一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為9,寬為6,一個(gè)半徑為1的圓在這個(gè)長(zhǎng)方形內(nèi)任意運(yùn)動(dòng)，在長(zhǎng)方形內(nèi)

這圓無(wú)法運(yùn)動(dòng)到的部分，面積的和是.（TT取3）

【答案】1

【分析】方法一：圓在長(zhǎng)方形內(nèi)部無(wú)法運(yùn)動(dòng)到的地方就是長(zhǎng)方形的四個(gè)角，而圓在角處運(yùn)動(dòng)

時(shí)的情況如下圖，圓無(wú)法運(yùn)動(dòng)到的部分是圖中陰影部分，那么我們可以先求出陰影部分面積，

四個(gè)角的情況都相似，我們就可以求出總的面積是陰影部分面積的四倍.

陰影部分面積是小正方形面積減去扇形面積，所以我們可以得到：

每個(gè)角陰影部分面積為

那么圓無(wú)法運(yùn)動(dòng)到的部分面積為

1

4x-=1.

4

方法二：如果把四個(gè)角拼起來(lái)，則陰影如下圖所示，則陰影面積為

2x2-3x12=1.

15.6個(gè)半徑相同的小圓和1個(gè)大圓如圖擺放.大圓的面積是120,那么，陰影部分面積

是.

【答案】40

【分析】設(shè)大圓半徑和小圓半徑分別為R和r,畫(huà)出大小圓半徑會(huì)發(fā)現(xiàn)它們同處一個(gè)正三角

形，如下圖，兩條粗線分別為大圓直徑和小圓直徑，由正三角形性質(zhì)和勾股定理，有

R2+「2=（2r）2=R2=3r2,

這說(shuō)明大圓面積和小圓面積是3倍關(guān)系，即小圓面積為40；

由于三個(gè)小圓面積等于大圓面積，所以下圖中紅色部分面積等于灰色部分;

如下圖，可以看出，上圖中的兩種陰影部分拼在一起可以形成扇形，一共可以形成6個(gè)120

度扇形，總和為2個(gè)小圓，又因?yàn)閮煞N陰影部分面積相等，所以所求面積為一個(gè)小圓面積40.

16.自三角形4BC內(nèi)一點(diǎn)P,分別向BC,CA,4B邊引垂線，垂足依次為D,E,F.以

為直徑分別向形外作半圓.如圖所示這六個(gè)半圓面積分別記為

Si>S2，S3,S4,S5,S6.若S5-$6=2,S1-S2=1,那么$4-S3=

A

S

E

S2F

D

B

S3S4

【答案】3

【分析】連接4P,BP,CP.

則

222

AF+BD+CE=(”2-PF2)+(吶_p*+Q2_pg

BF2+CD2+AE2=(BP?-PF2)+(CP2-PD2)+(TIP2-PE2),

所以,

AF2+BD2+CE2=BF2+CD2+AE2,

兩邊同乘募得:

口竺f嗎2生2

2\2/2\2/2\2)

工竺『坐2些2

2\2/2\2)2\2)

也就是

sx+s3+s5=s2+s4+s6.

S4-S3=Si-S2+S5-$6=1+2=3.

17.下圖的4個(gè)圓半徑都是10厘米，試求陰影部分的面積總和是平方厘米.（圓周

率互取近似值3）

【答案】400

【分析】將圖中左邊一半的陰影部分割補(bǔ)成下圖，下圖的陰影為一個(gè)圓減去9圓，余下I圓,

所以原題中整個(gè)陰影的面積為（2x|=3圓，|X3X102=400（平方厘米）.

18.下圖中陰影部分的面積為平方厘米.（結(jié)果用7T表示）

V〉

20厘米

【答案】600-150n

【分析】陰影部分的面積可視為正方形減去中間空白部分的“谷子形''以及兩邊空白的“彎角

形”.

正方形面積為：2。2=400（平方厘米），

“谷子形”面積為：

1

-TTX202-202=200-rt一400（平方厘米），

兩個(gè)“彎角形,，面積為：

（202-TTX102）+2=200-50n（平方厘米）,

陰影部分面積為：

400-（200TT-400）-（200-50TT）=600-150Tt（平方厘米）.

19.埃及人擅長(zhǎng)數(shù)學(xué)，他們很早之前就發(fā)明了一個(gè)計(jì)算圓的面積的公式:

其中，d是圓的直徑.在這個(gè)公式當(dāng)中，相當(dāng)于將圓周率兀取值為.（保留兩位小

數(shù)）

【答案】3.16

【分析】由圓的面積公式

8d.d.

S=(g)2=7T(-)2

那么

8

7T=(—)2?x4?3.16

20.如圖所示的圖案由半圓構(gòu)成，已知最大的圓的半徑R=3,則陰影部分圖形的周長(zhǎng)

為，面積為.（圓周率用加表示）

【答案】2171;

O

【分析】陰影部分圖形的周長(zhǎng)是大圓的周長(zhǎng)加2.5個(gè)中圓的周長(zhǎng)加5個(gè)小圓的周長(zhǎng):

33

2x3x7T+2.5x2x—XTT+5X2X—TT=217r

24

陰影部分圖形的面積是大圓的面積減2.5個(gè)中圓的面積：

953927

3'?！猉（—YTI=—7T

28

21.如圖，正方形邊長(zhǎng)為80厘米，。為正方形中心，力為。B中點(diǎn)，在正方形內(nèi)以4點(diǎn)為圓心,

為半徑的圓，以B為圓心，為半徑的圓與正方形的一邊圍成了一個(gè)特殊的圖形，將這

個(gè)圖形繞。點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)三次能夠得到一個(gè)風(fēng)車(chē)的形狀.那么這個(gè)風(fēng)車(chē)（陰影部分）的面積

是平方厘米（兀取3.14）

【答案】912

【分析】大圓的半徑R,則

(2R)2=802+802,

則

R2=3200,

那么

R

r2=(―)2=800,

則陰影圖形的面積為

45901

99292

(―^x冗xX—――xyrxr——r)x4

,3603602)

11

(-x7Tx3200--X7Tx800-400)x4

84

(400n—200Tl—400)x4

=912（平方厘米）.

22.如下圖所示，4B是半圓的直徑，。是圓心，AC=CD=DB,M是CD的中點(diǎn)，H是弦CD

的中點(diǎn).若N是0B上一點(diǎn)，半圓的面積等于12平方厘米，則圖中陰影部分的面積

是平方厘米.

M

H

【答案】2

【分析】連接。C、OD、0H,由于C、。是半圓的兩個(gè)三等分點(diǎn)M是CD的中點(diǎn)，H是弦

C。的中點(diǎn)，可見(jiàn)這個(gè)圖形是對(duì)稱(chēng)的.由對(duì)稱(chēng)性可知C。與4B平行，由此可得：△CHN的面

積與△CH。的面積相等，所以，陰影部分面積等于扇形C。。面積的一半，而扇形C。。的面

積又等于半圓面積的；，所以，陰影部分面積等于半圓面積的；，為12x；=2（平方厘米）.

23.如圖是小明用一些半徑為1厘米、2厘米、4厘米、8厘米的圓、半圓、圓弧和一個(gè)正方形

組成的一個(gè)鼠頭圖案，圖中陰影部分的總面積為平方厘米.

【答案】64

【分析】半徑為1厘米的圓的面積為：

TTXI2=TT（平方厘米）;

半徑為2厘米的圓的面積為：

7TX22=4TT（平方厘米）；

半徑為4厘米的圓的面積為：

ITX42=16Tt（平方厘米）;

半徑為8厘米的圓的面積為：

TTx82=64ir（平方厘米）;

所以陰影部分的面積為：

1

4Xn+(16n-4n)+8X8--X64TT=64(平方厘米).

24.如圖所示的圖案由半圓構(gòu)成，已知最大的圓的半徑R=3,則陰影部分面積與最大的圓面

積之比為.

【答案】3:8

【分析】大圓的面積為S=TTXR2=ER2

陰影部分的面積為：

191/?91,1,3,

S陰影=［耳口氏2（,）1*5=C-nR2-g^2）x5=-TTR2

所以陰影部分和大圓的面積比為」

3

TTT?2:—TTT?2=3:8

8

25.在一個(gè)長(zhǎng)方形內(nèi)畫(huà)三個(gè)圓，這個(gè)長(zhǎng)方形最多可以被分成部分.

【答案】15

【分析】想要分成的部分最多，則要求三個(gè)圖形分別相交且和長(zhǎng)方形的四條邊分別相切，則

共分成15部分，如下圖：

1

3144

26.如右圖所示，這是由一個(gè)半徑為4的圓把四分之一的圓周翻折而得的圖形，此圖形的面積

為.（取兀=3.14）

【答案】41.12

【分析】詳解：如圖1所示，陰影部分面積等于直角三角形ABCD的面積加上一個(gè)半圓即

4X84-2+iX42TT=8TT+16=41.12.

2

27.下圖中，AB是圓。的直徑，長(zhǎng)6厘米，正方形BCOE的一個(gè)頂點(diǎn)E在圓周上，4ABE=

45。，那么圓0中非陰影部分的面積與正方形BCDE中非陰影部分面積的差等于平方

厘米(取TT=3.14).

【答案】10.26

【分析】經(jīng)過(guò)分析可以得到：圓0中非陰影部分面積與正方形BCDE中非陰影部分面積的

差，就是大圓的面積減去正方形的面積.正方形的面積可以用對(duì)角線x對(duì)角線+2得到.

32X3.14-6x6+2=10.26.

2&下圖中，陰影部分面積為多少？(715=3)

AHD

BGC

【答案】4.5

【分析】方法一：陰影=小圓一柳葉=4.5；

方法二：陰影=小正方形EHFG=3x3-2=4.5.

29.如圖，直角三角形4BC中，是圓的直徑，且48=20,陰影甲的面積比陰影乙的面積

大7,求BC長(zhǎng).(.71=3.14)

【答案】15

【分析】因?yàn)閮蓧K陰影部分都是不規(guī)則圖形，單獨(dú)對(duì)待它們無(wú)法運(yùn)用面積公式進(jìn)行處理，而

解題的關(guān)鍵就是如何把它們聯(lián)系起來(lái)，我們發(fā)現(xiàn)把兩塊陰影加上中間的一塊，則變成1個(gè)半圓

和1個(gè)直角三角形，這個(gè)時(shí)候我們就可以利用面積公式來(lái)求解了.

因?yàn)殛幱凹妆汝幱耙颐娣e大7,也就是半圓面積比直角三角形面積大7.

半圓面積為：［XTTX1。2=157,則直角三角形的面積為157—7=150,可得BC=2x

150+20=15.

30.如圖，三角形4BC是直角三角形，陰影部分①比陰影部分②的面積小28平方厘米，AB

長(zhǎng)40厘米.求BC的長(zhǎng)度？（兀取3.14）

【答案】32.8厘米

【分析】圖中半圓的直徑為ZB,所以其面積為3x202x72200x3.14=628.

空白部分③與①的面積和為628,②-①=28,所以②、③部分的面積和628+28=656.

有直角三角形4BC的面積為xBC=|x40xBC=656.所以BC=32.8厘米.

31.如圖所示，大圓周長(zhǎng)是小圓周長(zhǎng)的？i（n>1）倍，當(dāng)小圓在大圓內(nèi)側(cè)（外側(cè)）作無(wú)滑動(dòng)的滾

動(dòng)一圈后又回到原來(lái)的位置，小圓繞自己的圓心轉(zhuǎn)動(dòng)了幾周？

【答案】71-1或?1+1.

【分析】為了確定圓繞圓心轉(zhuǎn)動(dòng)幾周，首先要明確圓心轉(zhuǎn)動(dòng)的距離.

設(shè)小圓的半徑為“單位1”，則大圓的半徑為力”.

⑴在內(nèi)測(cè)滾動(dòng)時(shí)，如圖⑴所示，因?yàn)閳A心滾動(dòng)的距離為27rx(n-1).

所以小圓繞自己的圓心轉(zhuǎn)動(dòng)了：修=-1(圈)?

⑵在外側(cè)滾動(dòng)時(shí)，如圖⑵所示.

因?yàn)閳A心滾動(dòng)的距離為2nx（n+1）.

所以小圓繞自己的圓心轉(zhuǎn)動(dòng)了：型篝=n+1（圈）.

2TT

32.面上有7個(gè)大小相同的圓，位置如圖所示.如果每個(gè)圓的面積都是10,那么陰影部分的面

積是多少？（兀取3.14）

【答案】20

【分析】陰影包括中間的一個(gè)圓和周?chē)鶄€(gè)花瓣?duì)畹男⌒D形.這個(gè)圖形可以割補(bǔ)成一個(gè)頂

角為60。的扇形，如下圖所示，因此六個(gè)這樣的圖形面積和正好是一個(gè)圓：陰影部分的面積等

于兩個(gè)圓的面積，為20.

33.如圖所示，小半圓的直徑在大半圓直徑上，且線段EF平行于大圓直徑與小圓相切，若

EF=5厘米，求大半圓比小半圓面積多多少？（注：n取3.14）

【答案】9.8125平方厘米.

【分析】

不妨設(shè)大半圓的半徑是R小半圓的半徑是r,我們將小半圓的圓心與大半圓的圓心重疊，那

么面積差就是圓環(huán)的一半，根據(jù)

1__

s=5n(R2-r2),

三角形40F是直角三角形，根據(jù)勾股定理：

R2-r2=(|)=2.52,

所以面積差是S=3.14x2.52+2=9.8125(平方厘米).

34.在右圖所示的正方形4BCD中，對(duì)角線AC長(zhǎng)2厘米.扇形4DC是以。為圓心，以4。為

半徑的圓的一部分.求陰影部分的面積.

【答案】1.14平方厘米

2222

【分析】如右圖所示，Sr=^AD-^-AD,S2+S3=XAD=XAC-

4LZ\Z/Zo

-AD2.

2

因?yàn)?c2=2AD2=4,

所以陰影部分的面積為：

^XAD2-^AD2+^TTXAC2AD2=^nxAC2-1/1C2=TT-2=1.14（平方厘米）.

另解：觀察可知陰影部分面積等于半圓面積與扇形ADC面積之和減去正方形4BCD的面積,

所以陰影部分的面積為彳xAU+/xAC2-AD2=1.14（平方厘米）.

35.把四個(gè)直徑為8c租的圓柱形飲料瓶捆扎在一起，截圖如下圖，那么圍繞一周的繩子長(zhǎng)度是

多少？

【答案】57.12cm

【分析】為繞一周的長(zhǎng)度，分為四段弧和四段直線段.

四段弧形，考慮實(shí)際情況，以下圖為例：

曲直交換的位置，從而得知每段對(duì)應(yīng)圓周的四分之一，總共正好一個(gè)周長(zhǎng)，即irxd,

得25.12cm.

四段直的，每段長(zhǎng)為直徑，所以為8X4=32czn.總計(jì)圍繞一周的長(zhǎng)度為57.12cm.

36.圖中有7個(gè)相同的面積為10的圓，那么陰影部分面積是多少.

【答案】20

【分析】如圖，三個(gè)小箭頭形狀能拼成一個(gè)半圓，所以原圖面積為2個(gè)圓，為20

37.如圖，一套絞盤(pán)和一組滑輪形成一個(gè)提升機(jī)構(gòu)，其中盤(pán)4直徑為10厘米，盤(pán)B直徑為40

厘米，盤(pán)C直徑為20厘米.問(wèn)：4順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)一周時(shí)，重物上升多少厘米？(71■取

3.14.)

【答案】31.4

【分析】4順時(shí)針轉(zhuǎn)一周時(shí)，。順時(shí)針轉(zhuǎn)［周，同軸的8也順時(shí)針轉(zhuǎn)g周，從而繩索被拉動(dòng)

的距離等于B的半個(gè)圓周長(zhǎng)即兀x20262.8,這時(shí)重物應(yīng)該上升去gX62.8=31.4.所以重

物上升31.4厘米.

38.如下圖所示，圖中的曲線是用半徑長(zhǎng)度的比為2:1.5:0.5的6條半圓曲線連成的.問(wèn)：涂有

陰影的部分與未涂陰影的部分的面積比是多少？

【答案】5

11

【分析】不妨設(shè)1是最小的半圓的半徑.于是其余兩種半圓的半徑便是3和4.分別用Si

及S2表示涂有陰影及未涂陰影部分的面積，由圖可知

2222

51=71(1+|X1+|X(4-3))=5TT,

52=nX4?—Si=UTT.

所以

SI：S2=5:11.

39.如圖，在一塊面積為12.56平方厘米的紙板中，裁出了2個(gè)同樣大小的圓紙板.問(wèn)：余下

的紙板的總面積是多少平方厘米？（兀取3.14）

【答案】6.28平方厘米

【分析】大圓的面積是12.56平方厘米，可求出大圓的半徑是2厘米，那么小圓的半徑是1

厘米，面積是3.14平方厘米.陰影部分的面積是12.56-3.14-3.14=6.28平方厘米.

40.如圖，若圖中的圓和半圓都兩兩相切，兩個(gè)小圓和三個(gè)半圓的半徑都是1.求陰影部分的

面積.

【答案】2.5

【分析】由于直接求陰影部分面積太麻煩，所以考慮采用增加面積的方法來(lái)構(gòu)造新圖形.

由右圖可見(jiàn)，陰影部分面積等于:大圓面積減去一個(gè)小圓面積，再加上120。的小扇形面積

（即;小圓面積），所以相當(dāng)于;大圓面積減去|小圓面積.而大圓的半徑為小圓的3倍，所

363

以其面積為小圓的32=9倍，那么陰影部分面積為x9—I）x兀x12=X兀=2.5.

\63/6

41.如下圖所示，兩個(gè)相同的正方形，左圖中陰影部分是9個(gè)圓，右圖中陰影部分是16個(gè)

圓.哪個(gè)圖中陰影部分的面積大？為什么？

【答案】?jī)蓤D中陰影部分的面積相等.

【分析】設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a,每一個(gè)圓的半徑為r,則正方形的每一條邊上都有/個(gè)圓，

從而正方形內(nèi)部共有fx2個(gè)圓，于是這些圓的總面積為：S陰影

2r2r明私2r2r4

可見(jiàn)陰影部分的面積與正方形的面積的比是固定的，也就是說(shuō)陰影部分的面積只與正方形的邊

長(zhǎng)有關(guān)系，與圓的半徑無(wú)關(guān)，無(wú)論圓的半徑怎樣變化，只要正方形的邊長(zhǎng)不變，那么陰影部分

的面積就是一定的.

由于上圖中兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)相同，所以?xún)蓤D中陰影部分的面積相等.

42.如圖，大圓半徑為小圓的直徑，已知大圓半徑是20厘米，那么陰影面積是多少？（IT取

3.14)

【答案】456平方厘米

【分析】

如圖添加輔助線，小圓內(nèi)部的陰影部分可以填到外側(cè)來(lái)，這樣，空白部分就是一個(gè)圓的內(nèi)接正

方形，那么陰影面積是大圓減正方形面積.大圓半徑為20厘米，則正方形面積是

1

S=-x402=800（平方厘米），

陰影面積是

S=202n-800=456（平方厘米）.

43.有10個(gè)同心圓，任意兩個(gè)相鄰的同心圓半徑之差等于里面最小圓的半徑.小圓半徑為1

厘米，求所有陰影面積的和（n=3.14）

【答案】78.5平方厘米.

【分析】將所有陰影放在同一個(gè)扇形內(nèi)，如下圖，所以S陰影=[x3.14xl（）2=

78.5（平方厘米）.

44.如圖，在一塊面積為28.26平方厘米的圓形鋁板中，裁出了7個(gè)同樣大小的圓鋁板.問(wèn):

余下的邊角料的總面積是多少平方厘米？（兀取3.14）

【答案】6.28.

【分析】28.26X3.14=32,大圓半徑是3厘米.小圓半徑是1厘米，所以邊角料面積為

28.26-7xI2x3.14=6.28平方厘米.

45.用一塊面積為36平方厘米的圓形鋁板下料，從中裁出了7個(gè)同樣大小的圓鋁板.問(wèn)：所

余下的邊角料的總面積是多少平方厘米？

【答案】8

【分析】大圓直徑是小圓的3倍，半徑也是3倍，小圓面積：大圓面積=m-2：7r夫2=1：9,

小圓面積=36x[=4,7個(gè)小圓總面積=4x7=28,

邊角料面積=36-28=8（平方厘米）.

46.下圖中的大正方形邊長(zhǎng)為4厘米，每個(gè)圓弧皆是半徑為1厘米的半圓或四分之一圓，請(qǐng)問(wèn)

【答案】10

【分析】將圖形分割如下圖所示，陰影部分可拼成10個(gè)小正方形.所以陰影部分面積為

47.有一輛雜技自行車(chē)，前輪的半徑是4A分米，后輪的半徑是3^分米，那么當(dāng)后輪轉(zhuǎn)的圈數(shù)

比前輪多10圈的時(shí)候，這輛車(chē)前進(jìn)了多少米？（圓周率取近似值3.14.）

【答案】113.04米.

【分析】由于前后輪的半徑比是45:3]=27:22,所以前后輪的周長(zhǎng)比也是27:22,那么

當(dāng)轉(zhuǎn)過(guò)相同路程時(shí)，前后輪轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù)比是22:27,所以當(dāng)后輪轉(zhuǎn)的圈數(shù)與前輪多轉(zhuǎn)10圈時(shí)，

車(chē)的前輪轉(zhuǎn)了U77X22=44圈，后輪轉(zhuǎn)了54圈，前進(jìn)了2x3.14x43x44x3=113.04

27—LL111（J

米.

48.如圖所示，兩條線段相互垂直，全長(zhǎng)為30厘米.圓緊貼直線從一端滾動(dòng)到另一端（沒(méi)有離

開(kāi)也沒(méi)有滑動(dòng)）.在圓周上設(shè)一個(gè)定點(diǎn)P,點(diǎn)P從圓開(kāi)始滾動(dòng)時(shí)是接觸直線的，當(dāng)圓停止?jié)L動(dòng)

時(shí)也接觸到直線，而在圓滾動(dòng)的全部過(guò)程中點(diǎn)P是不接觸直線的.那么，圓的半徑是多少厘

米？（設(shè)圓周率為3.14,除不盡時(shí)，請(qǐng)四舍五入保留小數(shù)點(diǎn)后兩位.如有多種答案請(qǐng)全部寫(xiě)出）

【答案】4.47或2.31.

【分析】如上圖：因?yàn)樵趫A滾動(dòng)的全部過(guò)程中點(diǎn)P是不接觸直線的，所以這個(gè)圓的運(yùn)動(dòng)情況

有兩種可能.一一種是圓滾動(dòng)了不足一圈，根據(jù)P點(diǎn)的初始位置和終止位置，可知圓滾動(dòng)了

270°.另一種是圓在第一條直線上滾動(dòng)了將近一圈，在第二條直線上又滾動(dòng)了將近一圈，根據(jù)

P點(diǎn)的初始位置和終止位置，可知圓滾動(dòng)了

270°+360°=630°.

因?yàn)閮蓷l線段共長(zhǎng)30厘米，所以270。的弧長(zhǎng)或者630°的弧長(zhǎng)再加上兩個(gè)半徑是30厘米.

2nrx——+2r=30（厘米）,

或者

630i,

2nrx——+2r=30（厘米）,

36U

所以圓的半徑是4.47厘米或2.31厘米.

49.如圖是一個(gè)對(duì)稱(chēng)圖形.比較黑色部分面積與灰色部分面積的大小，得：黑色部分面積與灰

色部分面積什么關(guān)系.

【答案】相等

【分析】圖中四個(gè)小圓的半徑為大圓半徑的一半，所以每個(gè)小圓的面積等于大圓面積的;，

則4個(gè)小圓的面積之和等于大圓的面積.而4個(gè)小圓重疊的部分為灰色部分，未覆蓋的部分為

黑色部分，所以這兩部分面積相等，即灰色部分與黑色部分面積相等.

50.已知右圖中正方形的邊長(zhǎng)為20厘米，中間的三段圓弧分別以。1、。2、3為圓心，求陰影

部分的面積.（兀=3）

【答案】150平方厘米

【分析】圖中兩塊陰影部分的面積相等，可以先求出其中一塊的面積.而這一塊的面積，等

于大正方形的面積減去一個(gè)90。扇形的面積，再減去角上的小空白部分的面積，為：

S正方形一S扇形一[3正方形一S圓）+4]=20X20—%X（20）2-[（20x20-IOOTT）+4]

=75（平方厘米），

所以陰影部分的面積為75x2=150（平方厘米）.

51.如圖，15枚相同的硬幣排成一個(gè)長(zhǎng)方形，一個(gè)同樣大小的硬幣沿著外圈滾動(dòng)一周，回到起

始位置.問(wèn)：這枚硬幣自身轉(zhuǎn)動(dòng)了多少圈？

【答案】見(jiàn)解析.

【分析】當(dāng)硬幣在長(zhǎng)方形的一條邊之內(nèi)滾動(dòng)一次時(shí)，由于三個(gè)硬幣的圓心構(gòu)成一個(gè)等邊三角

形，所以這枚硬幣的圓心相當(dāng)于沿著半徑為硬幣2倍的圓旋轉(zhuǎn)了

180°—60°-60°=60°.

而硬幣上的每一點(diǎn)都是半徑等于硬幣的圓旋轉(zhuǎn)，所以硬幣自身旋轉(zhuǎn)了120°.

當(dāng)硬幣從長(zhǎng)方形的一條邊滾動(dòng)到另一條邊時(shí)，這枚硬幣的圓心相當(dāng)于沿著半徑為硬幣2倍的圓

旋轉(zhuǎn)了

360°-60°-60°-90°=150°.

而硬幣上的每一點(diǎn)都是半徑等于硬幣的圓旋轉(zhuǎn)，所以硬幣自身旋轉(zhuǎn)了300。.

長(zhǎng)方形的外圈有12個(gè)硬幣，其中有4個(gè)在角上，其余8個(gè)在邊上，所以這枚硬幣滾動(dòng)一圈有

8次是在長(zhǎng)方形的一條邊之內(nèi)滾動(dòng)，4次是從長(zhǎng)方形的一條邊滾動(dòng)到另一條邊.

120°X8+300°X4=2160",

所以這枚硬幣轉(zhuǎn)動(dòng)了2160。，即自身轉(zhuǎn)動(dòng)了6圈.

另解：通過(guò)計(jì)算圓心軌跡的長(zhǎng)度，每走一個(gè)2兀即滾動(dòng)了一圈.

52.如果半徑為25厘米的小鐵環(huán)沿著半徑為50厘米的大鐵環(huán)的外側(cè)作無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng)，當(dāng)小鐵

環(huán)沿大鐵環(huán)滾動(dòng)一周回到原位時(shí)，問(wèn)小鐵環(huán)自身轉(zhuǎn)了幾圈？

【答案】3

【分析】如圖，同樣考慮小圓的一條半徑04,當(dāng)小圓在大圓的外側(cè)滾動(dòng)一周，即滾動(dòng)了大

圓的半周時(shí)，半徑。4滾動(dòng)了540。，滾動(dòng)了一圈半，所以當(dāng)小圓沿大圓外側(cè)滾動(dòng)一周時(shí)，小圓

自身轉(zhuǎn)了3圈.

也可以考慮小圓圓心轉(zhuǎn)過(guò)的距離.小圓圓心轉(zhuǎn)過(guò)的是一個(gè)圓周，半徑是小圓的3倍，所以這個(gè)

圓的周長(zhǎng)也是小圓的3倍，由于小圓的圓心每轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)自身的周長(zhǎng)時(shí)，小圓也恰好轉(zhuǎn)了一圈，

所以本題中小圓自身轉(zhuǎn)了3圈.

53.奧運(yùn)會(huì)的會(huì)徽是五環(huán)圖，一個(gè)五環(huán)圖是由內(nèi)圓直徑為6厘米，外圓直徑為8厘米的五個(gè)環(huán)

組成，其中兩兩相交的小曲邊四邊形（陰影部分）的面積都相等，已知五個(gè)圓環(huán)蓋住的面積是

77.1平方厘米，求每個(gè)小曲邊四邊形的面積.（n=3.14）

【答案】4.1平方厘米.

【分析】⑴每個(gè)圓環(huán)的面積為：

TTx42-TTx32=711=21.98（平方厘米）

⑵五個(gè)圓環(huán)的面積和為:

21.98X5=109.9（平方厘米）

⑶八個(gè)陰影的面積為:

109.9-77.1=32.8（平方厘米）

⑷每個(gè)陰影的面積為:

32.8+8=4.1（平方厘米）

54.下圖中四個(gè)圓的半徑都是5厘米，求陰影部分的面積。

【答案】257平方厘米.

【分析】直接套用公式，正方形中間的陰影部分的面積不太好計(jì)算。容易看出，正方形中的

空白部分是4個(gè)四分之一圓，利用割補(bǔ)法，可以得到下圖。其中的陰影部分的面積與原圖相同,

等于一個(gè)正方形與4個(gè)半圓（即2個(gè)圓）的面積之和，為

（2r）2+-nr2x2=102+3.14x50a257（厘米）.

55.如圖，直角三角形4BC中，是圓的直徑，且48=20,陰影甲（上方陰影）的面積比

陰影乙（下方陰影）的面積大7,求BC長(zhǎng).（TT取3.14）

B

【答案】15

【分析】陰影甲和陰影乙的面積差等于半圓的面積減去直角三角形ABC的面積，半圓的面

積為:xnx（g）=50n=157,

所以SAABC=157-7=150,BC=王=嚶=15.

/iDNU

56.如圖，是一個(gè)邊長(zhǎng)是12厘米的正方形，陰影部分的面積是多少平方厘米？（兀=3.14）

【答案】41.04

【分析】根據(jù)容斥原理，陰影面積是

11

x3.14+-x122x3.14--X12x12=41.04（平方厘米）.

82

57.如圖（1）是一個(gè)直徑是3厘米的半圓，是直徑.如圖（2）所示，讓2點(diǎn)不動(dòng)，把整

個(gè)半圓逆時(shí)針轉(zhuǎn)60。，此時(shí)B點(diǎn)移動(dòng)到。點(diǎn).請(qǐng)問(wèn)：圖中陰影部分的面積是多少平方厘米？

（兀取334）

c

(6(r

B

(2)

【答案】4.71平方厘米

【分析】圖中陰影部分面積為整個(gè)圖形面積減去半圓的面積，而整個(gè)圖形面積為一個(gè)半圓面

積與一個(gè)圓心角為60。的扇形面積之和.因此陰影面積等于圓心角為60。的扇形面積，即！x

O

yrx32=4.71.

58.如下圖，有8個(gè)半徑為1厘米的小圓，用它們的圓周的一部分連成一個(gè)花瓣圖形，圖中的

黑點(diǎn)是這些圓的圓心.則花瓣圖形的面積是多少平方厘米？(IT取3)

【答案】19

【分析】本題直接計(jì)算不方便，可以利用分割移動(dòng)湊成規(guī)則圖形來(lái)求解.

如上圖，連接頂角上的4個(gè)圓心，可得到一個(gè)邊長(zhǎng)為4的正方形.可以看出，與原圖相比，正

方形的每一條邊上都多了一個(gè)半圓，所以可以把原花瓣圖形的每個(gè)角上分割出一個(gè)半圓來(lái)補(bǔ)在

這些地方，這樣得到一個(gè)正方形，還剩下4個(gè);圓，合起來(lái)恰好是一個(gè)圓，所以花瓣圖形的面

4

積為42+TTXI2=19（平方厘米）.

在求不規(guī)則圖形的面積時(shí)，我們一般要對(duì)原圖進(jìn)行切割、移動(dòng)、補(bǔ)齊，使原圖變成一個(gè)規(guī)則的

圖形，從而利用面積公式進(jìn)行求解.這個(gè)切割、移動(dòng)、補(bǔ)齊的過(guò)程實(shí)際上是整個(gè)解題過(guò)程的關(guān)

鍵。

59.如圖，直角三角形的三條邊長(zhǎng)度為6,8,10,它的內(nèi)部放了一個(gè)半圓，圖中陰影部分的面積

為多少？

【答案】24-4.5TT

【分析】S陰影=S直角三角形—S半圓，

設(shè)半圓半徑為r,直角三角形面積用r表示為：等+等=8r

又因?yàn)槿切沃苯沁叾家阎?，所以它的面積為6X8=24,

所以8r=24,r=3

所以S陰影=24—JX9兀=24—4.5TT

60.如圖所示，正方形CD的面積是64平方厘米，E、F分別為所在半圓弧的中點(diǎn).求陰影

部分的面積.（兀取3.14）

BD

【答案】73.12平方厘米.

【分析】從圖中可以看出，兩塊空白圖形的面積等于半圓面積加上正方形面積減去△AED

的面積，即

8x8+7TX42+2—8x12+2=41.12

而陰影部分面積等于整個(gè)圖形面積減去空白的面積，即

8x8+7x42—41.12=73.12（平方厘米）.

61.如圖所示，一塊半徑為2厘米的圓板，從位置①起始，依次沿線段48、BC、CO滾到位

置②.如果4B、BC、CD的長(zhǎng)都是20厘米，那么圓板經(jīng)過(guò)區(qū)域的面積是多少平方厘米？（兀

取3.14,答案保留兩位小數(shù).）

【答案】228.07

【分析】小圓滾動(dòng)時(shí)所經(jīng)過(guò)的區(qū)域如下圖所示.

半圓FEQ、半圓/KL的面積之和是4兀平方厘米；長(zhǎng)方形"BQ、BHIP、